EL MODELO DE MERCADO (MODELO DE ÍNDICE ÚNICO, O MODELO DE UN SOLO FACTOR).

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1 1 EL MODELO DE MERCADO (MODELO DE ÍNDCE ÚNCO, O MODELO DE UN SOLO FACTOR). Disoemos de las tasas de redimieto de u cojuto de activos co riesgo (i = 1,,, ) y disoemos tambié de la tasa de redimieto de u ídice de mercado amliamete diversificado, como odría ser el Ídice de Precios y Cotizacioes de la BMV. Para cada activo i se corre ua regresió lieal etre los redimietos del activo y los del ídice de mercado. Esto es: r r (1) i i i i r i = Tasa de redimieto del activo i. i = Comoete del redimieto del activo que es ideediete del desemeño del mercado. i = Ua costate que mide la sesibilidad del redimieto e el activo resecto a los cambios e el redimieto del mercado. r = Tasa de redimieto del ídice de mercado. i = Es el térmio de error aleatorio. Se suoe que tiee ua distribució ormal co media cero, variaza i y o está correlacioados etre sí. La variaza del redimieto del activo i es: i i i () Si armamos u ortafolio de activos, etoces tedremos ara el ortafolio los siguietes resultados: r w r (3) i i i1

2 Sustituyedo (1) e (3): r w ( r ) i i i i i1 w ( w ) r w i i i i i i i1 i1 i1 (4. a) r La variaza del redimieto del ortafolio es: (5) Siedo: wi i (6) 11 Suoiedo que los comoetes del error aleatorio o está correlacioados etre sí: w i i i1 (7) Si cosideramos u ortafolio e el que los activos tiee la misma oderació detro del total, tedremos que (6) uede escribirse: 1 i (8) De maera que la exresió ecerrada e el arétesis es el romedio de las betas de los activos que comoe el ortafolio. Si agregamos más activos, el romedio o se reduce sistemáticamete, tambié uede aumetar. Es decir, la diversificació igeua o reduce este comoete de la variaza del ortafolio. Es la arte o diversificable del riesgo. Es el riesgo sistémico o de mercado.

3 3 Por el cotrario, la diversificació igeua alicada e (7) resulta: 1 1 i i1 1 1 (9) Esta arte de la variaza del ortafolio sí uede reducirse mediate la diversificació (aumeto de activos e el ortafolio). Esta es la arte diversificable del riesgo del ortafolio. Es el riesgo úico o esecífico. EJERCCO DE APLCACÓN Este modelo fue ideado or W. Share co el objetivo de simlificar los cálculos que so ecesarios ara oerar co el modelo origial de Markowitz. Este modelo requiere de ua matriz de variazas y covariazas de todos los activos que forma u ortafolio. E los rimeros años de la década de los seseta del siglo XX era todavía extremadamete difícil oder costruir la matriz de variazas y covariazas co datos históricos. El modelo de mercado es más ecoómico e cuato a los isumos de iformació ecesarios. Vamos a hacer u ejercicio de cálculo de u ortafolio de activos y luego de 3 activos usado el modelo de mercado y co iformació de redimietos de emresas mexicaas listadas e la BMV y tambié del redimieto del PyC al cual cosideramos el ídice de mercado. Se recoiló iformació sobre tasas de redimieto semaales desde el 16/01/009 hasta el 3/0/01 de las accioes de las emresas ARCA, ALFA y AMÉRCA MOVL así como del PyC. Co esta iformació se costruye: a. Ua regresió lieal etre los redimietos de cada ua de las emresas cotra los redimietos del ídice de mercado. Los resultados fuero: Para ARCA

4 4 r ARCA = r R = arca Para ALFA r ALFA = r R = alfa Para AMX r AMX = r R = amx b. Ua matriz de variazas covariazas y de coeficietes de correlació corresodiete a las cuatro variables. ARCA ALFA AMX PYC ARCA ALFA AMX PYC ARCA ALFA AMX PYC ARCA 1 ALFA AMX PYC Co esta iformació vamos a calcular la variaza de u ortafolio costruido e artes iguales co ARCA y ALFA, siguiedo el modelo de mercado. La variaza del ortafolio es: De esta ecuació coocemos = de maera que % =

5 5 Sabemos que 0.5 ( ) 0.5 (1.7446) El térmio Por lo tato, la variaza del ortafolio or artes iguales de ARCA y ALFA es: (9.5388) % Ahora vamos a calcular la variaza del ortafolio co la fórmula coocida. w1 11 w w1w ( ) 0.5 ( ) (0.5)(0.5)(3.7451) % Si hacemos u ortafolio co los 3 activos e artes iguales, la variaza y desviació estádar del ortafolio, segú el modelo de mercado será: (1 / 3) ( ) (1 / 3) (1.7446) (1 / 3) (0.903) (1 / 3) (1 / 3) (1 / 3) La variaza y desviació estádar del ortfolio de 3 activos es: (9.5388) % Si ahora calculamos la variaza co el método de variazas y covariazas teemos: w1 11 w w3 33 w1w 1 w1w 3 13 ww3 3

6 Y la desviació estádar es: = % = CONCLUSONES: 1) Cuado aumetamos u activo e el ortafolio (aumetamos la diversificació) la variaza se reduce, ) El cálculo idirecto co el modelo de mercado resulta e este caso ua razoable aroximació. Bibliografía: Alexader, Share y Bailey, Fudametos de versioes, Teoría y ráctica, Tercera Edició, Pretice Hall, 003.

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