. (4.5) 3. Obtener el módulo de G(jω): . (4.6) 4. Calcular el ángulo de fase : (4.7)

Transcripción

1 Problemas Resueltos de Análisis de Sistemas Lineales Continuos m j A 1 i1 ( ) zi j (45) r n j ( j) 1 j1 p j 3 Obtener el módulo de (jω): ( j) Aj 1 j 1 j 1 z z z 1 2 r ( j) j 1 j 1 j 1 p p p 1 2 m n (46) 4 Calcur el ángulo de fase : ( j) A( j/ z 1) ( j/ z 1) ( j/ z 1) 1 2 r ( j) ( j/ p 1) ( j/ p 1) ( j/ p 1) 1 2 m n (47) 5 Evaluar el módulo y fase para distintos valores de y graficar los valores calcudos en el pno por EJEMPLO 1: Construcción del diagrama de Nyquist para un sistema de tercer orden Estabilidad retiva Determinar los valores de ganancia k del sistema de Fig 411, para asegurar su estabilidad en zo cerrado Calcur los márgenes de ganancia y de fase La función de transferencia del sistema en zo abierto es: s 1 s () (411) ss ( 2)( s1) R(s) + - k s () Y(s) Figura 411 Diagrama de un sistema realimentado unitariamente (Ejemplo 1) 128

2 Capítulo 4 Construcción del Diagrama de Nyquist Solución Ejemplo 1 Para analizar estabilidad del sistema de Fig 411 es necesario, en primer lugar, construir el diagrama por del sistema en cadena abierta La función de transferencia en cadena abierta es: s 1 () s k() s k ss ( 2)( s 1) (412) El diagrama por se va a obtener para k 1, lo que significa que ( s) ( s) Una vez obtenido este diagrama, se estudia estabilidad por el Criterio de Nyquist para todos los valores de ganancia k i Construcción del Diagrama Por (Lugar de Transferencia de Nyquist) Para realizar el diagrama por de ( s ) hay que comenzar por normalizar función de transferencia en zo abierto: s1 0,5( s1) () s (413) ss ( 2)( s1) s(1 0,5 s)(1 s) Ahora, en (413) se sustituye s por j : 0,5(1 j) ( j) j(1 j0,5 )(1 j) (414) La magnitud de ( j ) está dada por: 2 0,5 1 0, ( j) 10, ,25 (415) La expresión de fase se determina considerando contribución en fase de cada término que compone función de transferencia: El número real positivo 0,5 aporta 0º El término s 1 aporta una fase dada por 1 tan ( ) El polo simple en el origen 1 s aporta 90º El término 1 1 s 1 1 aporta una fase dada por tan ( /1) tan ( ) 129

3 Problemas Resueltos de Análisis de Sistemas Lineales Continuos El término 1 1 0,5s aporta una fase dada por 1 1 tan ( 0,5 /1) tan (0,5 ) Por consiguiente, fase es: º tan 90º tan ( ) tan (0,5 ) 90º 2 tan tan (0,5 ) (416) Al evaluar estas expresiones para distintos valores de se tiene: Si 0, ( j), 90º 0,1, ( j) 4,994, 75,72º 1, ( j) 0,4472, 26,57º 2, ( j) 0,1768, 81,87º 3 10, ( j) 9,806 10, 157,3º, ( j) 0, 180º El diagrama por de este sistema inicia tangente al eje imaginario negativo, pasa por el IV, I y II cuadrantes del pno por, en este orden, para finalmente llegar al origen tangente al eje real negativo, como se muestra en Fig 412 Esta simución fue obtenida con Matb, ejecutando el siguiente código: %Inicio de rutina clear all; w=01; magx=0; phix=0; for w=01:005:10, mag=(05)/(w*sqrt(1+025*w^2)); magx=[magx;mag]; phi=-90+2*atand(w)+atand(05*w); phix=[phix;phi*pi/180]; end por(phix(3:size(phix)),magx(3:size(magx))); %Fin de rutina 130

4 Capítulo 4 Construcción del Diagrama de Nyquist Im 1 ω + Re << 1 Figura 412 Diagrama por del Ejemplo 1 (k=1) Sin embargo, se puede obtener rápidamente el Lugar de Nyquist con el comando: nyquist(05*[1 1],conv([ ],[-1 1])) cuyo resultado se muestra en Fig 13, pudiendo observarse misma curva de Fig 412 (en trazo continuo) junto con su curva simétrica respecto del eje real (en trazo discontinuo) Es cro que curva en trazo continuo corresponde a evaluación de frecuencia en el intervalo (0, ), mientras que su curva simétrica corresponde al intervalo de frecuencias (,0) ii Márgenes de ganancia y de fase Para calcur el margen de ganancia se procede a buscar el valor de frecuencia para cual 180º Lo anterior significa que en expresión (416) se hace: º 90º 2 tan tan (0,5 ) º 2 tan tan (0,5 ) solo si! El margen de ganancia se obtiene haciendo el siguiente cálculo: M 20log ( ) j 131

5 Problemas Resueltos de Análisis de Sistemas Lineales Continuos 15 Nyquist Diagram 10 Imaginary Axis Real Axis << 1 Figura 413 Diagrama por del Ejemplo 1 usando el comando nyquist (k=1) El margen de ganancia obtenido, cuando, significa que el Lugar de Nyquist solo toca el eje real negativo en el límite superior de frecuencia En Fig 414, cual es un acercamiento de Fig 413 en el origen, se observa cómo se acerca curva al eje de los 180º mientras que su magnitud decrece hasta hacerse igual a 0 Es decir, que toca el eje real negativo solo al llegar al origen Sin importar el valor que se le pueda dar a ganancia k, siempre y cuando k 0, el margen de ganancia será infinito 04 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis << 1 Figura 414 Diagrama por del Ejemplo 1 (acercamiento al origen, k=1) 132

6 Capítulo 4 Construcción del Diagrama de Nyquist Para calcur el margen de fase se busca el valor de frecuencia para el cual ( j) 1, esto es: 0, ,486 rads 2 1 0,25 Al sustituir en expresión del ángulo de fase este valor de frecuencia se tiene: 90º 2 tan 1 0,486 tan 1 (0,5 0,486) 24,50º Finalmente, el margen de fase es: MF 180º 180º 24,50º 155,5º En Fig 415 se seña el punto del pno por para el cual se ha calcudo el margen de fase En Matb, es fácil obtener los valores de los márgenes de ganancia y de fase En este caso, basta con ejecutar secuencia de comandos: sys=tf(05*[1 1],conv([ ],[-1 1])) allmargin(sys) para obtener información solicitada: MFrequency: Inf ainmargin: Inf PMFrequency: PhaseMargin: DMFrequency: DeyMargin: Stable: 0 donde ainmargin y PhaseMargin son los márgenes de ganancia y fase calcudos, respectivamente, MFrequency es frecuencia para cual se calculó el margen de ganancia (o frecuencia de cruce de fase), PMFrequency es frecuencia para cual se calculó el margen de fase (o frecuencia de cruce de ganancia), y condición Stable:0 indica que el sistema no es estable en zo cerrado Cuando se obtiene Stable:1 el sistema es estable en zo cerrado iii Análisis de estabilidad del sistema en zo cerrado Recuérdese que según el Criterio de Estabilidad de Nyquist a medida que se encierra el semipno derecho del pno s (se sigue en sentido horario el Contorno de Nyquist), se obtiene el Lugar de Transferencia de Nyquist, que es curva mostrada en Fig

7 Problemas Resueltos de Análisis de Sistemas Lineales Continuos Nyquist Diagram Imaginary Axis MF=155,5º System: sys Real: 0926 Imag: Frequency (rad/sec): Real Axis Figura 15 Diagrama por del Ejemplo 1 mostrando el margen de fase (k=1) En el Contorno de Nyquist de Fig 416 (a) se ha marcado ubicación de los ceros y polos de función de transferencia en zo abierto descrita en (413) Dado que hay un polo de ( s ) en el origen, el Contorno no puede pasarle por encima sino que debe bordearlo (véase Fig 416 (b)) Contorno de Nyquist Im A B D C Re Contorno de Nyquist - E (a) (b) Figura 416 (a) Contorno de Nyquist del Ejemplo 1, (b) Acercamiento en el origen del Contorno de Nyquist Im J 0 F I H Re El recorrido entre 0 y corresponde a parte del Lugar de Transferencia de Nyquist dibujado en Fig 412 Para continuar dibujando el contorno, se debe hacer un barrido 134

8 Capítulo 4 Construcción del Diagrama de Nyquist desde el punto correspondiente a hasta el punto correspondiente a, siguiendo el arco de radio cuya magnitud tiende a infinito El Lugar de Transferencia de Nyquist se obtiene sustituyendo en ( s ) variable s por forma por: exp( j ), donde es magnitud del número y es su correspondiente ángulo: 0,51 exp( j) exp( j) exp( j) 1 0,5 exp( j) 1 exp( j) (417) Al descomponer: exp( j) cos jsen (418) en cada uno de los términos de exp( j ), componente real que acompaña al coseno puede ser despreciada en magnitud respecto de magnitud de propia componente coseno Es decir que: 0,5 1 cos jsen exp( j) cos jsen 1 0,5 cos0,5 jsen 1 cos jsen En vista de lo anterior, expresión (417) puede simplificarse en: exp( j) 0,5 exp( j) exp( j) 0,5 exp( j) exp( j) 1 1 exp( j) exp( j) exp( j2 ) 2 (419) La magnitud de (419) está dada por: 1 exp( j) (4110) 2 Dado que, entonces j exp( ) 0 La expresión de fase de (419) es: 2 (4111) Al hacer el barrido de ángulo en el Contorno de Nyquist desde el eje de +90º hasta el eje de -90º, en sentido horario, se obtiene siguiente información acerca de trayectoria del Lugar de Nyquist: 135

9 Problemas Resueltos de Análisis de Sistemas Lineales Continuos Si 90º ( + ), 180º (coordenada A) 45º, 90º (coordenada B) 0º, 0º (coordenada C) 45º, 90º (coordenada D) 90º ( ), 180º (coordenada E) El Lugar de Nyquist correspondiente a este recorrido se muestra en Fig 417 como un acercamiento de dicha curva en el origen, dado que el mismo ocurre prácticamente en este punto (recuerde que j exp( ) 0 ) Im Lugar de Transferencia de Nyquist D E A 0 C Re B Figura 417 Acercamiento de Trayectoria de Nyquist en el origen Dado que este trozo de curva no se aprecia a esca normal de figura, no se suele ni calcur ni dibujar, y lo que se hace es conectar directamente el trazado del Lugar de Transferencia de Nyquist (para frecuencias entre 0 y ) con su simétrico (obtenido para frecuencias entre 0 ), que es justamente lo que se muestra en Fig 414 Ahora solo falta por hacer el recorrido del Contorno de Nyquist entre 0 y 0, a través del arco mostrado en Fig 416(b) cuyo radio es 1 El Lugar de Transferencia de Nyquist se obtiene sustituyendo en ( s ) variable s por forma por: exp( j ), donde es magnitud del número y el ángulo 0,51 exp( j) exp( j) exp( j) 1 0,5exp( j) 1 exp( j) (4112) 136

10 Capítulo 4 Construcción del Diagrama de Nyquist Dado que magnitud de es despreciable respecto a los términos reales puros, expresión anterior puede aproximarse por: 0,5 exp( j) exp( j ) (4113) La magnitud de (4113) es: 0,5 exp( j) (4114) y su fase es: 0º (4115) Al hacer el barrido de ángulo en el Contorno de Nyquist, desde el eje de -90º ( 0 eje de +90º ( 0 ) hasta el ), en sentido antihorario, se obtiene siguiente información acerca de trayectoria del Lugar de Nyquist: Si 90º ( 0 ), 90º (coordenada F) 45º, 45º (coordenada ) 0º, 0º (coordenada H) 45º, 45º (coordenada I) 90º ( 0 ), 90º (coordenada J) El Lugar de Nyquist completo se ilustra en Fig 418, en el que se seña cada una de s coordenadas correspondientes al barrido entre 0 y 0 círculo de radio infinito ( exp( j ), s cuales forman un medio ) Obsérvese que habiendo completado el recorrido del Contorno de Nyquist, trayectoria o el Lugar de Nyquist obtenido es una curva cerrada Esta condición debe cumplirse siempre, de lo contrario el procedimiento no se ha aplicado correctamente Ahora se puede aplicar el Criterio de Estabilidad de Nyquist, el cual pntea que para que el sistema en zo cerrado, con realimentación unitaria, sea estable se debe cumplir que: Z N P 0, (4116) donde P es el número de polos de función de transferencia en zo abierto ( s ) que son inestables, N es el número de vueltas alrededor del punto -1+j0, tal que si N es positivo el sentido de giro es horario y si N es negativo el sentido de giro es antihorario, y Z es el número de ceros 137

11 Problemas Resueltos de Análisis de Sistemas Lineales Continuos del polinomio 1 ( s) en el semipno derecho, o, lo que es equivalente, Z es el número de polos del sistema en zo cerrado que son inestables Si Z 0, entonces el sistema en zo cerrado no tendrá polos en el semipno derecho 0 - Im F Lugar de Transferencia de Nyquist -1+ j0 + - H Re I 0 + J Figura 418 Lugar de Transferencia de Nyquist para el Ejemplo 1 ( k 0 ) El sistema en zo abierto analizado, cuya función de transferencia está dada por expresión (413), tiene dos polos inestables, por lo tanto P 2 El Lugar de Nyquist ilustrado en Fig 418 no encierra en ningún sentido al punto -1+j0, por lo que N 0 En consecuencia: Z N P 02 2, lo que significa que el sistema realimentado unitariamente, representado por Fig 411, cuando ganancia k 1, tiene 2 polos en el semipno derecho haciendo que el sistema en zo cerrado sea inestable Si se estudia el comportamiento del Lugar de Nyquist para cualquier valor de ganancia k 0, magnitud de ( j) k( j) es: ( j) k 2 0,5 1 0, , ,25 k (4117) y su fase sigue estando descrita por expresión (416), dado que k 0 Por consiguiente, lo que se obtiene como resultado es que trayectoria de Fig 418 se comprime (cuando 0 k 1) o se expande (cuando k 1), pero no rota alrededor del origen, y no altera el análisis de estabilidad 138

12 Capítulo 4 Construcción del Diagrama de Nyquist hecho puesto que en ningún caso se encierra el punto crítico En conclusión, el sistema de zo cerrado es inestable para cualquier valor de ganancia k 0 Ahora bien, si k es negativo, figura va a rotar sobre el origen La magnitud y fase de función de transferencia en zo abierto son: ( j) 0,5 k 2 1 0,25 (4118) º tan 90º tan ( ) tan (0,5 ) 90º 2 tan tan (0,5 ) (4119) Dado que k es negativo, su aporte en fase es de 180º, haciendo que expresión de fase cambie La tendencia de magnitud para bajas y altas frecuencias es misma mostrada para cuando k 0 Evaluando fase para diferentes valores de se tiene: Si 0, 90º 0,1, 104,3º 1, 206,6º 2, 261,9º 10, 337,3º, 90º 270º 360º 0º Nótese que trayectoria pertenece a los cuadrantes II, III y IV del pno por (Fig 419) J Im 0 + I Lugar de Transferencia de Nyquist H -1+ j0 - + Re F 0 - Figura 419 Lugar de Transferencia de Nyquist para el Ejemplo 1 ( k 0 ) 139

13 Problemas Resueltos de Análisis de Sistemas Lineales Continuos El Contorno de Nyquist es exactamente el mismo ilustrado en s Fig 416 (a) y (b), y casi todo su recorrido se hace de misma manera previamente descrita (entre 0 y, entre y, y entre y 0 ) Es muy importante recalcur aquel trayectoria de Nyquist correspondiente a parte del contorno que bordea el polo en el origen, es decir, el arco que va de 0 hasta 0 Para ello, se sustituye nuevamente s por exp( j ) en (412): 0,5k 1 exp( j ) 0,5k exp( j) exp( j) 1 0,5exp( j) 1 exp( j) exp( j) (4120) La magnitud de (4120) está dada por: exp( j) 0,5 k (4121) para cualquier valor negativo de k La fase de (4120) está descrita por: 180º, (4122) donde 180º es contribución de ganancia negativa k Evaluando fase para diferentes valores del ángulo se tiene: Si 90º ( 0 ), 270º (coordenada F) 45º, 225º (coordenada ) 0º, 180º (coordenada H) 45º, 135º (coordenada I) 90º ( 0 ), 90º (coordenada J) La Fig 419 muestra el nuevo diagrama por para valores negativos de k Al analizar estabilidad de este sistema se pueden presentar dos casos En primer lugar, es importante determinar el valor de frecuencia en el que curva toca el eje real negativo, es decir, frecuencia para cual fase 180º en expresión (4119): 1 180º 90º 2 tan tan 1 (0,5 ) 0,708 rads -1 La magnitud evaluada para esta frecuencia es: 0,5 k ( j) 0,6657 k 0, ,708 10,25 (0,708) 140

14 Capítulo 4 Construcción del Diagrama de Nyquist El primer caso es el ilustrado en Fig 419, para el cual: ( j) 1 0,6657 k 1 k 1,5021 0,708 El número de polos inestables del sistema en zo abierto sigue siendo P 2 El Lugar de Nyquist da una so vuelta en sentido horario alrededor del punto crítico, por lo que N 1 Al calcur el número de polos ubicados en el semipno derecho del pno s, para el sistema realimentado unitariamente, se obtiene: Z N P 12 3, significando que el mismo tiene tres raíces de parte real positiva, haciendo al sistema de zo cerrado inestable El segundo caso se da cuando el corte de curva con el eje real negativo está a izquierda del punto crítico, esto es: ( j) 1 0,6657 k 1 k 1,5021 0,708 En esta situación, el Lugar de Transferencia da una so vuelta en sentido antihorario al punto 1 j0 por lo que N 1 Por consiguiente: Z N P 12 1, lo que significa que el sistema en zo cerrado es inestable por tener una raíz en el semipno derecho del pno s En resumen, no hay ningún valor de ganancia k, ni positivo ni negativo, para el cual el sistema en zo cerrado realimentado unitariamente sea estable EJEMPLO 2: Construcción del diagrama de Nyquist para un sistema de segundo orden Estabilidad retiva Analizar estabilidad del sistema en zo cerrado, descrito en el diagrama adjunto (véase Fig 421), a través del análisis armónico (diagrama por) Calcur los márgenes de ganancia y de fase R(s) + - () s 1 2() s + - Y(s) Figura 421 Diagrama del sistema realimentado del Ejemplo 2 141