1. Análisis de los Sistemas Discretos. 1. Análisis de los Sistemas Discretos 1

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1 . Análisis de los Sistems Discretos. Análisis de los Sistems Discretos.. Introducción.. Estbilidd... Estbilidd de Sistems Lineles... Estbilidd de Sistems con Entrd y Slid Acotds(BIBO) Cómputo de l Estbilidd 4.3. Controlbilidd, Alcnzbilidd y Observbilidd.3.. Controlbilidd y Alcnzbilidd.4. Observbilidd 4.5. Descomposición de Klmn 6.6. Pérdid de Alcnzbilidd y Observbilidd debido l muestreo 7.7. Un Controldor Simple Estdo Estcionrio 8.8. Simulción 9.9. Control de un Doble Integrdor 9 Control Digitl 5.doc

2 .. Introducción Los sistems estudir son x Φ x +Γu y Cx + [.] A q y B q u [.] n n A q q + q + + n nb nb B q bq + bq + + bn b [.3].. Estbilidd Dd uns secuenci x + f x, [.4] sen dos secuencis x y Se dice que l secuenci x soluciones de [.4] x es estble si ddo x x < δ [.5] se cumple x x ε < [.6] Se dice que l secuenci x x x x x es sintóticmente estble si se cumple [.7]... Estbilidd de Sistems Lineles Se el sistem + Φ x [.8] con [.9] se cmbi el vlor inicil Control Digitl 5.doc

3 x x [.] + resultndo Φ x [.] L diferenci entre mbs soluciones es x x x Φ x [.] con x [.3] esto implic que si x es estble, tod otr solución será tmbién estble. Se deduce que l estbilidd es un crcterístic del sistem y no de un solución determind. L solución de x Φ x [.4] Si l mtriz Φ se puede digonlizr, l solución es un combinción linel de los utovlores. Si l mtriz Φ no se puede digonlizr, l solución es un combinción linel del producto de polinomios por los utovlores. Pero en mbos csos, pr que l solución tiend cero los utovlores deberán ser menor que. Teorem. Un sistems discreto, linel, invrinte en el tiempo es sintóticmente estble si todos los utovlores de Φ están dentro del círculo unidd.... Estbilidd de Sistems con Entrd y Slid Acotds(BIBO) Un sistem cuy entrd es cotd, es estble si su slid tmbién lo es. L estbilidd sintótic es más restrictiv. Ejemplo.. Oscildor Armónico [ ] x cos ωt sen ωt cos ωt x x + u sen ωt cos ωt sen ωt + y [.5] Los utovlores son. Control Digitl 5.doc 3

4 Si l entrd es nul, el sistem es estble porque x x Pero si l entrd es un ond cudrd de frecuenci ω l slid es El sistem es estble pero no es estble en el sentido de entrd y slid cotd..3. Cómputo de l Estbilidd - Cómputo directo de los utovlores - lugr de ls ríces - criterio de Nyquist - método de Lypunov - Cálculo directo: cálculo de ls ríces de n n Aq q + q + + n [.6] no es decudo pr clculrlo mnulmente en sistems de lto orden - Criterio de Jury (Routh-Hurwitz) Se form l siguiente tbl n n Control Digitl 5.doc 4

5 n n α n n n n n n n n n n n n n αn n con α α i i i [.7] Teorem. Si >, el sistem es estble si todos los son positivos. Si ningún, l cntidd de negtivos es igul l número de ríces fuer del círculo unidd. Ejemplo.. Sistem Aq q q + + [.8] α α ( ) α ( ) ( ) ( ) α ( ) α ( α ) ( ) + + Tods ls ríces están dentro del círculo unidd si: ( ) > [.9] Control Digitl 5.doc 5

6 ( ( ) ) > + esto implic [.] < [.] + > + + < + > [.] - - Criterio de Nyquist Es el equivlente l de los sistems continuos Se el sistem r + + u G(z) y - Control Digitl 5.doc 6

7 H z Y z G z U z + G z [.3] L ecución crcterístic es + G z [.4] Plno Z Im G Re inf Ejemplo.3. Sistem de Segundo Orden G z,5 ( z ) ( z,5) ( ) ( ) ( cosω)(,5+ cosω),5,5 cosω sen ω jsenω cosω,5 j G e ω [.5] [.6] Control Digitl 5.doc 7

8 Im Plno Z G - Re inf - Robustez el cmino cruz el eje rel negtivo en ω,5 el sistem es estble en lzo cerrdo pr < Tolernci vriciones Teorem 3. Se G ( z ) el vlor rel y G( z) el vlor nominl H ( z) H z ( z) G + G z G z + G z - si H( z ) es estble [.7] [.8] - si G ( z ) y G( z) tienen l mism cntidd de polos fuer del círculo unidd y - si se cumple que pr entonces H z G ( z) G( z) < + G( z) z es estble Cundo l gnnci del sistem es lt, es fácil de cumplir l condición. Se necesit myor precisión en los lugres donde G( z) Otr form de verlo: l función en lzo cerrdo es Control Digitl 5.doc 8

9 H f ( z) ( z) + G ( z) los polos en lzo cerrdo están en G z G z G z G z en est form vle el nuevo teorem: Teorem Se G ( z ) el vlor rel y G( z) el vlor nominl [.9] [.3] - si H( z ) es estble - si G ( z ) y G( z) tienen l mism cntidd de ceros fuer del círculo unidd y - si se cumple que pr z < + G z G z G z entonces H z es estble Regls tener en cuent: - es importnte sber l cntidd de polos y ceros inestbles - no es necesrio tener grn precisión en el modelo pr frecuencis en l que el sistem tiene lt gnnci - pr quells frecuencis en ls que no se conoce el modelo con exctitud hy que reducir l gnnci - hy que tener un modelo preciso pr frecuencis en donde G( z) - Segundo Método de Lypunov Función de Lypunov: Se el sistem x + f x f [.3] Control Digitl 5.doc 9

10 V ( x ) es un función de Lypunov si - V ( x) es continu en x y - V ( x) es definid positiv y - V ( x) V ( f ( x) ) V ( x) V es definid negtiv X X X + X V(x ) Ls curvs de nivel de V ( x ) son cerrds lrededor del origen L tercer condición dice que l dinámic del sistem es tl que prtiendo de un estdo, el siguiente llevrá un vlor de V ( x ) menor o más cerc del origen. Teorem 4. Estbilidd L solución x es sintóticmente estble si existe un función de Lypunov pr el sistem Si demás existe < ϕ x < V x [.3] y se cumple ϕ ( x ) cundo x [.33] entonces, l solución es sintóticmente estble pr culquier condición inicil. - El principl problem es encontrr l función de Lypunov - Pr sistems lineles, un función cndidt es Control Digitl 5.doc

11 T V x xpx [.34] donde T T T V x V Φx V x x Φ PΦx xpx Φ Φ T T T x P P x xqx Pr que V ( x ) se un función de Lypunov, debe existir un mtriz P, que cumpl [.35] Φ T PΦ P Q [.36] con Q definid positiv Est es l ecución de Lypunov L un mtriz P es definid positiv si Q definid positiv.3. Controlbilidd, Alcnzbilidd y Observbilidd.3.. Controlbilidd y Alcnzbilidd Se el sistem x Φ x +Φ Γ u + +Γu n n n n n Φ x + con WU c [.37] n W c Γ ΦΓ Φ Γ T T T n [.38] U u u [.39] si W c tiene rngo n se pueden encontrr n vlores de u pr llevr l sistem un vlor desedo x n. Si hy más de un entrd l solución no es únic. - Definición de Controlbilidd: Un sistem es controlble si se puede llevr desde culquier punto l origen en tiempo finito. - Definición de Alcnzbilidd: Un sistem es lcnzble si se puede llevr desde culquier punto otro culquier en tiempo finito Control Digitl 5.doc

12 Controlbilidd no implic lcnzbilidd. Por ejemplo si y está en el origen, es controlble pero no necesrimente lcnzble. Teorem Un sistem es lcnzble si y solo si Wc se llm mtriz de controlbilidd. Ejemplo Wc es de rngo n. x x + u + no es lcnzble porque Wc si tuvier dos entrd con un mtriz Γ no singulr, el sistem serí lcnzble. [.4] [.4] Ejemplo ddo x x u,5 +,5 x + [.4],5 es posible encontrr un ley de control tl que x? L ecución dice x Φ x +ΦΓ u +Γ u [.43] o se,5 3,5 + +,5 [,5u u] [.44],5u + u 4 [.45] tiene solución. Control Digitl 5.doc

13 Si se prte del origen y se quiere llegr x 3 3 +,5 [,5u u ] no tiene solución El sistem no es lcnzble y que [.46],5 Wc [.47],5,5 Prtiendo del origen solo se pueden lcnzr los puntos que pertenecen l subespcio,5 L crcterístic de lcnzbilidd es independiente de trnsformciones. n W c Γ ΦΓ Φ Γ TW n TΓ TΦT TΓ TΦ T TΓ c [.48] De hí el porque del nombre de l form cnónic controlble Ejemplo Sistem en form cnónic controlble 3 x x + u + W W c Γ ΦΓ ΦΓ c l invers es generlizndo [.49] [.5] [.5] Control Digitl 5.doc 3

14 W c n n n 3 n [.5] - Seguimiento de Tryectoris Si l mtriz Γ es de rngo n, es posible llegr un estdo en, lo sumo, n psos. Es necesrio pero no suficiente tener n entrds. Si el sistem es SISO es fácil hcer seguir un tryectori r. Se hce B q y u r [.53] A q u l cción de control es A q r [.54] B q Si hy d muestrs de retrdo, l generción de l ctución es cusl Recordr cociente de polinomios en q: Solo tiene solución si u prte de estdo inicil cero. Tiene que tener invers estble..4. Observbilidd Definición: El estdo x es no observble si existe un número finito n en donde y resultndo x x y u. El sistem es observble si, conociendo entrds y slids es suficiente pr conocer el estdo inicil. En un sistem tl como el [.] es clculble el efecto de l entrd y no se pierde generlidd si se hce u. Se suponen conocids ls slids y, y,, yn Con esto se puede plnter Control Digitl 5.doc 4

15 y Cx y Cx CΦx y Cx CΦ x n n n [.55] vectorilmente C y C y Φ x n C Φ y n [.56] el estdo inicil se puede reconstruir si l mtriz de observbilidd W x o + y C CΦ n C Φ tiene rngo n. Teorem El sistem 5. es observble sii l mtriz de observbilidd tiene rngo n. Ejemplo Se el sistem,,3 x x [,5] [.57] [.58] W o l mtriz de observbilidd es C,5 CΦ,6,3 tiene rngo. En l figur siguiente se muestr l respuest del sistem pr diferentes estdos iniciles. Se observ que pr todos los estdos que están en un rect prlel [ ],5 dn l mism slid. (b y d) [.59] Control Digitl 5.doc 5

16 6 x Descomposición de Klmn Un sistem puede tener solo un prte observble y otr lcnzble. Ests prtes son subespcios del espcio de estdo independientes de ls coordends de estdo. Se puede demostrr que existe un trnsformción tl que el sistem se prticion de l form: Φ Φ Γ Φ x x u + + Φ3 Φ3 Φ33 Φ 34 Γ 3 Φ43 Φ44 [ ] y C C x [.6] en donde hy cutro prtes - S o observble y lcnzble - S o observble pero no lcnzble - S o no observble pero lcnzble Control Digitl 5.doc 6

17 - S o ni observble ni lcnzble L función de trnsferenci es únic y se puede expresr como G q C qi Φ Γ [.6] C-noO u y C-O noc-o noc-noo.6. Pérdid de Alcnzbilidd y Observbilidd debido l muestreo Ls mtrices del sistem muestredo dependen del período de muestreo. Pr que el sistem muestredo se lcnzble, el continuo lo debe ser. Pero est se puede perder l muestrer. L no observbilidd de los sistems muestredos se present en ls llmds oscilciones ocult en donde un sistem continuo es observble y el discreto dej de serlo. Ejemplo: Oscildor rmónico. cos [ ] x cos ωt sen ωt cos ωt x x + u sen ωt ωt sen ωt y + el determinnte de ls mtrices de controlbilidd y observbilidd es ( ω ) ( ( ω )) ( ω ) detw sen T cos T c detw sen T o [.6] [.63] Ambs se pierden pr ωt nπ pesr de que el sistem continuo es observble y controlble. Control Digitl 5.doc 7

18 .7. Un Controldor Simple Ventjs de l relimentción (tnto continu como discret): - Mejors en el trnsitorio - Disminuye l sensibilidd cmbios de prámetros del sistem - Corrige errores en régimen permnente.7.. Estdo Estcionrio Se un lzo simple de relimentción. El error será e + R q G q r [.64] Si l entrd es un esclón, plicndo el teorem del vlor finl, se puede clculr el error en régimen estcionrio hciendo q en [.64]. El número de integrdores en lzo bierto determin el tipo de referenci pr l cul el sistem no tiene error estcionrio. Si en lzo bierto hy p integrdores, el sistem no tendrá error estcionrio pr referencis polinómics en de orden menor p. Ejemplo Se el sistem q,5 y G q u u ( q,8) ( q ) [.65] e relimentndo result ( q,8)( q ) ( q )( q ) q r,8 +,5 Si l referenci es un esclón el error finl es cero (hciendo q ) [.66] Otr form de verlo es observndo el integrdor que posee el sistem en lzo bierto. Si l referenci es un rmp se debe clculr ( z,8) ( z ) ( z ) z lime lim,4 z z,8 z + z,5 z [.67] Control Digitl 5.doc 8

19 En l litertur es frecuente representr l referenci o perturbción como generd por un impulso plicdo cierto sistem: r H q δ [.68] r H r (q) r + e u + G(q) y - Si se quiere representr un esclón H r ( q) q q [.69] o un rmp H r ( q) q ( q ) [.7] es más fácil plicr el teorem del vlor finl..8. Simulción Es importnte pero No olvidr que debe ir compñd del nálisis. Nunc se pueden simulr los infinitos csos.9. Control de un Doble Integrdor G q ( q + ) ( q ),5 [.7] Objetivo: seguir un tryectori Tipo de control: digitl, proporcionl [ ] u K r y Ke [.7] p p l ecución crcterístic es ( q ) K ( q ) +,5 + [.73] p Control Digitl 5.doc 9

20 el sistem es inestble independiente de l gnnci Plno Z Otro Control: [ ] u K e Ty [.74] p d se muestre tmbién l velocidd r u dy/dt y CAD Computdor H(z) u * CDA /s /s Pr clculr l relción entrd slid se observ que en el sistem continuo u t dy dt como u es constnte durnte el muestreo, [.75] y y + u [.76] o y u [.77] q y reemplzndo result ( q+ ),5K p ( q )( q + TK ) +,5K ( q+ ) d p p r Es un sistem de segundo orden con dos prámetros (ls gnncis) pr justr. [.78] Control Digitl 5.doc

21 El sistem es estble pr K > ; T >,5; KT < Root locus pr T d,5 p d p d Plno Z - Respuest l esclón Pr K p el sistem lleg l vlor finl en dos muestrs, es el llmdo control de tiempo finito. Pr gnncis superiores hy un polo rel negtivo que d el crácter oscilnte de l respuest El límite es K 4 p Control Digitl 5.doc

22 Cuiddo!!! Si el sistem se represent como y y y +,5u +,5u [.79] Se intent seguir un referenci. Un opción es hcer r y y +,5u +,5u [.8] y despejr u r y y +,5u +,5u + u ( q+ ) qr ( q ) y q u r y + + ( q ) ( q ) ( q ) l slid en lzo cerrdo es [.8] y [.8] r Prece igul que el nterior pero l respuest del último es l de l figur Control Digitl 5.doc

23 Hy un oscilción ocult Algo se puede ver nlizndo el sistem discreto que en lzo cerrdo tiene un trnsferenci y q( q+ ) ( q+ ) q q+ ( q+ ) q( q+ ) r r q ( q+ ) El sistem es de tercer orden. r Hy un cncelción de polos y ceros Lo que ps es que se pierde l observbilidd debido l elección del controldor. - Oscilciones Ocults Son oscilciones del sistem continuo no observds por el sistem discreto (tmbién llmds intersmple ripple). Se pueden ver con simulción o con z-modificd Se deben, básicmente, que el sistem está en lzo bierto entre muestrs Se distinguen dos tipos - Oscilciones debids l sistem continuo - Oscilciones debids l controldor El primer cso se puede deber pérdid de observbilidd debid l muestreo. [.83] Control Digitl 5.doc 3

24 En l función de trnsferenci se cnceln polos y ceros. Ests oscilciones ocurren pr ciertos vlores de muestreo Se puede cmbir el período de muestreo y nlizr observbilidd El segundo tipo ocurre con ceros poco mortigudos que son cnceldos por el controldor. Resumen: Son independiente del período de muestreo (cso doble integrdor) No existen oscilciones ocults si el sistem continuo no tiene modos no observbles oscilntes y si los ceros inestbles o cercnos l inestbilidd no son cnceldos. Ejemplo: G s π + s + +, + s π [.84] con T su FT discret es G z z [.85] con e el sistem discreto es de primer orden y el continuo es de tercero. Esto indic que existirán oscilciones ocults. L figur muestr l respuest l esclón del sistem continuo y sus muestrs Control Digitl 5.doc 4