Lección 6. Errores. MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY. Agosto 2014
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- Elvira Duarte Pinto
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1 Lección 6. Errores MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY Agosto Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida
2 En esta lección conoceremos y analizaremos los errores de los números punto flotante. Al final debemos de: Conocer el tipo de errores de truncamiento y redondeo. Analizar los errores absolutos y relativos.
3 Errores En la práctica del cálculo numérico es importante tener en cuenta que las soluciones calculadas por la computadora no son soluciones matemáticas exactas. La precisión de una solución numérica puede verse disminuida por diversos factores, algunos de naturaleza sutil, y la comprensión de estas dificultades puede guiarnos a menudo a desarrollar o a construir algoritmos numéricos adecuados. 1. Errores aritméticos Uno de los principales errores que surgen al realizar cálculos en una calculadora o una computadora son debido a la representación del punto flotante de un número. Este hecho es porque realizamos cálculos con números reales utilizando números con una cantidad finita de cifras. La mayoria de los números reales deben ser representados por un número cercano al exacto que pueda ser representado en la maquina. Dado un número arbitrario x denotaremos como fl(x) a su aproximación en la computadora, es decir a su representación punto flotante. Existen dos maneras principales de producir fl(x) de x: truncamiento y redondeo Forma decimal normalizada Sea x un número real cualquiera expresado de forma decimal normalizada como x = σ (0.d 1 d 2... d k d k+1 ) 10 n (1) donde σ es el signo +1 o 1 y n es el exponente en el sistema decimal, d i {0, 1, 2,, 8, 9} y d 1 0, para cada i = 1, 2, 3, k, k + 1,. OBSERVACIONES: Todo número real puede ser normalizado. Los números de esta forma se llaman números de máquina decimales. Supongamos que k es el número máximo de cifras decimales que se admiten en la aritmética de un computador, entonces el número real x es representado mediante el número de máquina decimal con k dígitos Truncamiento Consiste simplemente en truncar (cortar) los dígitos d k+1 d k+2... para obtener fl(x) = σ(0.d 1 d 2... d k ) 10 n (2) En este caso, la k ésima cifra de x coincide con la k ésima cifra de fl(x). OBSERVACIÓN: 1.3. Redondeo La razón de introducir el concepto de truncamiento en vez de redondeo después de realizar cada operaciones aritmética. Una manera alternativa de usar representaciones con k cifras, está dado por el redondeo definido como { σ [(0.d1 d 2 d k ) + (0.00 1)] 10 n si 5 d k+1 < 10, fl(x) = (3) σ(0.d 1 d 2 d k ) 10 n si 0 d k+1 < 5. Errores 3
4 OBSERVACIÓN: El redondeo anterior es llamado redondeo hacia arriba. Podemos definir el redondeo hacia abajo de manera similar. Ejemplo: El número π tiene un desarrollo decimal infinito de la forma π = Cuál es la forma decimal normalizada de π? π = Cuál es el valor de π con un truncamiento a cinco cifras? fl(π) = Cuál es el valor de π con un redondeo a cinco cifras? fl(π) = El error que resulta al sustituir un número por su forma truncada o redondeada es el error de redondeo. 2. Error Absoluto y error relativo En la siguiente definición se describen dos métodos para medir errores de aproximación. Definición: Sea ˆp una aproximación a p. El error absoluto de la aproximación es y el error relativo es E A = (4) E R =, (5) p siempre que p 0. El error relativo también se puede multiplicar por 100 % para expresarlo como ε R = donde ε R denota el error relativo porcentual. 100 % (6) p OBSERVACIONES: El error absoluto no es más que la distancia entre el valor exacto y el valor aproximado, mientras que el error relativo mide el error entendido como una porción del valor exacto. Como una medida de la precisión, el error absoluto puede llevar a confusiones, en tanto que el error relativo es más significativo, pues toma en cuenta el tamaño del valor. Muchas veces no conoceos el valor exacto, pero si su error absoluto y el valor aproximado, entonces el valor relativo puede ser approximado como: E R. (7) ˆp Errores 4
5 Ejemplo 1: Sean x = el valor exacto y ˆx =3.14 una aproximación a este valor, calcular el valor absoluto y relativo de este número. El error absoluto es E = x ˆx = = y el error relativo es E = x ˆx x = = Ejemplo 2: Se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores reales son y 10 cm, calcular el error absoluto y el error relativo porcentual en cada caso. El error absoluto en la medición del puente es E A = = 1cm y en la del remache es de E A = 10 9 = 1cm. El error relativo porcentual para el puente es y para el remache es de E R = % = 0.01 % E R = % = 10 % 10 Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error absoluto de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho mayor. Se concluye entonces que se ha hecho un buen trabajo en la medición del puente; mientras que la estimación para el remache se dejó mucho que desear. Ejemplo 3: Se conoce que el error absoluto de aproximar el cero de una ecuación no lineal es de Si se sabe que el valor de la solución es cercana al valor 0.1. Cual será un aproximado de su error relativo? Como no conocemos el valor exacto de la solución, pero si el valor aproximado, entonces podemos aproximar el error relativo como E = x ˆx x Error absoluto ˆx = = 0.02 Es decir el error relativo es aproximadamente el 2 % del valor exacto. Errores 5
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