Estructuras de Datos. Grafos. Grafos. Grafos. Tema 1. Grafos. Definiciónes básicas: Definiciónes básicas:

Transcripción

1 Estruturs Dtos m Dfiniions ásis 2. Implmntions 3. Funions mnipulión 4. Rorrios Dfiniións ásis: L torí grfos: rm l mtmáti omintori muy útil n l soluión prolms prátios qu s formuln mnr nturl por mio ojtos y sus onxions ntr llos Ejmplos: trminr l mino más orto ntr os ius, nálisis iruitos létrios,... Dfiniións ásis: Grfo: s un ojto mtmátio onformo por un olión vértis (o noos) y rists qu ontn los noos ntr si Los vértis son ojtos simpls qu pun tnr un nomr y otrs propis (informión) Un rist s l onxión ntr os vértis Dfiniións ásis Grfo Dirigio (R) S V φ; y A V V, ntons l pr (V,A) s nomin grfo irigio on: V rprsnt l onjunto vértis y A l onjunto rists. Grfo No Dirigio No import l irión l rist Cuno s hl Grfo, sin spifir, s rfir No irigio 1 2

2 Ejmplo grfo irigio f L rist (, ) s i qu s inint on los vértis y El vérti s ynt l vérti s un vérti islo (no s inint on ningun rist) l rist (, ) s un lzo o ilo l finiión un grfo s inpnint su rprsntión Un mino simpl f : {,}, {,}, {,f} Un mino no simpl f : {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,f} Un ilo simpl: {,}, {,}, {,} Un ilo no simpl: {,}, {,}, {,}, {, }, {,}, {,} Dfiniións ásis Cmino S G = (V,A) un grfo no irigio, pr x, y V s i qu hy un mino n G x y si xist un susión no ví y finit rists istints A omo: {x, x 1 }, {x 1, x 2 },, {x n, y} Cuno x = y l mino s nomim ilo Dfiniións ásis Grfo Conxo S G = (V,A) un grfo no irigio, ntons G s onxo si xist un mino ntr pr vértis G Si G=(V,A) s un grfo onxo ntons xist un mino simpl ntr os vértis ulsquir G Longitu l mino: l númro rists qu ontin Un mino s simpl si sólo ps un vz por noo 3 4

3 Ejmplo grfo no onxo Está formo por 2 omponnts onxs Un grfo onxo tin un úni omponnt onx f Dfiniións ásis Grfo Ponro S l signn psos ls rists pr rprsntr l istni o l ost soio psr por ih rist Dfiniións ásis Grfo Complto Si s l númro rists un grfo no irigio y v s l númro vértis ntons: 1 [ 0, v( v 1)] 2 ompltos qullos on tos ls rists posils 1 nsos son los qu tinn muhs rists v( v 1) 2 isprsos son los qu tinn pos rists ( 0) 0 Implmntions Mtriz yni Mtriz V V vlors oolnos, sino: [i,j] = si los vértis i,j tinn un ro [i,j] = F si los vértis i,j no tinn un ro Si l grfo s ponro: [i,j] = ost o pso l rist Pr grfos no irigios l mtriz s simétri, pu utilizrs sólo un ls tringulrs, unqu los lgoritmos s simplifin si s utiliz omplt 5 6

4 Implmntions Implmntions Mtriz yni L implmntión mint mtriz yni sólo s stisftori si los grfos son nsos Rquir V 2 lmntos lmnminto Rquir V 2 psos iniilizión C lmnto l mtriz pu sr un rgistro on: l pso o l vlor oolno soio l rist y otr informión qu s onsir nsri Mtriz yni Implmntions Implmntions Mtriz yni Lists yni Implmntión más u pr grfos no nsos oos los vértis ontos on uno o s inluyn n su list ynis Un list (rry) vértis on: informión vérti un list on los vrtis on los qu tin rists El spio nsrio s O(V+A) 7 8

5 Implmntions Lists yni Funions mnipulión. Moifiión fun ñirvrti (v:vrti, g:grfo) v g:grfo /* ñ l vérti v l grfo g */ Ejmplo: grfoejmplo ñirvrti(vrt, grfoejmplo); fun orrrarist (v 1,v 2 :vrti, g:grfo) v g:grfo /* limin l rist ntr los vértis */ Ejmplo: grfoejmplo orrrarist(vrt1, vrt2, grfoejmplo); fun orrrvrti (v:vrti, g:grfo) v g:grfo /* orr l vérti v l grfo g y tos ls rists qu prtn o llgun él */ Ejmplo: grfoejmplo orrrvrti(vrt, grfoejmplo); Funions mnipulión. Crión Funions mnipulión. Consult fun grfovío() v g:grfo /* vulv un grfo vío*/ Ejmplo: grfoejmplo grfovío(); Funions mnipulión. Moifiión fun ñirarist (v 1,v 2 :vérti, p:pso, g:grfo) v g:grfo /* ñ un rist ntr los vértis y l sign pso p */ Ejmplo: grfoejmplo ñirarist(vrt1, vrt2, parist, grfoejmplo); fun ynt (v 1,v 2 :vrti, g:grfo) v :oolno /* ompru si los vértis son ynts*/ Ejmplo: Si ynt(vrt1, vrt2, grfoejmplo)... fun susors(v:vrti, g:grfo) v l:list /* vulv un list on los vértis ynts v */ Ejmplo: listaj susors(vrt, grfoejmplo); fun pso(v 1,v 2 :vrti, g:grfo) v p:pso /* vulv l pso soio l rist qu un los vértis */ Ejmplo: psoari pso(vrt1, vrt2, grfoejmplo); 9 10

6 Cost ls funions: Rorrios n profuni grfos no irigios grfovío ñirarist ñirvrti orrrarist orrrvrti ynt susors pso Mtriz yni O(n) O(n) List yni O(n) O(n 2 ) O(n) O(n) Es un form xplorr vérti y ompror rist l grfo form sistmáti S G=(V, A) un grfo no irigio Rorrios Grn nti prolms s pun formulr n términos grfos Pr rsolvr st tipo prolms muhs vs s nsrio visitr toos los noos y/o rists Pr trminos prolms no srá nsrio xplorr toos los noos Dos tipos rorrio: Profuni Anhur o mplitu Rorrios n profuni grfos no irigios 1. S slion ulquir noo v V omo punto prti l rorrio 2. S mr l noo pr inir qu h sio visito 3. S us un noo ynt v qu no hy sio visito, s mr y s ontinú prtir él 4. Cuno no hy noos ynts v sin mrr, s us un noo no visito y s ontinú prtir él 5. El lgoritmo trmin uno stén mros toos los noos G 11 12

7 Proiminto RorrioP(G: grfo) Pr v V hr Mrr[v] no visito Fpr Pr v V hr Si mrr[v] visito ntons RP(v) fsi Fpr Fproiminto Grntiz rorrio omplto n grfos no onxos Rorrios n profuni grfos no irigios Es n profuni porqu xplor n un irión n lugr xplorr los lror Do un noo xplor uno ynt, lugo l ynt ést y sí susivmnt hst qu no pu ontinur Rtro y ontinú l xplorión prtir otro noo Proiminto RP(v:noo) mrr[v] visito Pr noo w ynt v hr Si mr[w] visito ntons RP(w) fsi fpr fproiminto Ejmplo rorrio: 13 14

8 Cost l rorrio n profuni Rorrio n profuni. Apliión un prolm Implmntión mint mtriz yni O(V 2 ) Implmntión mint lists yni O(V + A) L lión un noo s porí intrprtr omo un lión L visit los noos ynts s porí intrprtr omo l xplorión ls onsunis ih lión Rorrio n profuni El rorrio n profuni rsulv irtmnt lgunos prolms lmntls grfos, tls omo: Dtrminr l númro omponnts onxs: igul l númro vs qu s llm visitr n l proiminto rorrr. Compror si l grfo tin ilos: un grfo tin un ilo si trt visitr un noo y visito. Rorrio n profuni El rorrio n profuni un grfo onxo l soi un árol ruriminto El noo iniil s l ríz l árol Ls rists qu no stán n unn noos on sus ntsors S liminn los ilos Si l grfo no s onxo, s prou un osqu árols Proporion un mnr numrr los noos l grfo 15 16

9 Rorrio n profuni. Numrr los noos n orn visit Proiminto RorrioPnum(G: grfo) Pr v V hr Mrr[v] no visito Fpr num 0 Pr v V hr Si mrr[v] visito ntons RPnum(v) fsi Fpr Fproiminto Árol rurimin to: Rorrio n profuni. Numrr los noos n orn visit Proiminto RPnum(v:noo) mrr[v] visito num num + 1 orn[v] num Pr noo w ynt v hr Si mr[w] visito ntons RPnum(w) fsi fpr fproiminto Rorrio n profuni n grfos irigios Hy qu tnr n unt qu l onpto yni y no s simétrio El lgoritmo s l mismo qu pr grfos no irigios Pu prouir un osqu árols unqu l grfo s onxo 17 18

10 Ejmplo rorrio n grfos irigios Árol rsultnt l rorrio: Ejmplo rorrio n grfos irigios (trz): 1. rp(l) llm iniil 2. rp(2) llm rursiv 3. rp(3) llm rursiv; no s pu ontinur 4. rp(4) no s h visito un vino l noo 1 5. rp(8) llm rursiv 6. rp(7) llm rursiv; no s pu ontinur 7. rp(5) nuvo punto ominzo 8. rp(6) llm rursiv; no s pu ontinur 9. no qun noos por visitr Rorrio n profuni n grfos irigios Ls rists qu no formn prt l osqu rsultnt l rorrio son: Ls qu vn un noo uno sus ntsors {3,1}, {7,4} Ls qu vn un noo uno sus snints {1,8} Ls qu unn os noos qu no son ntsors ni snnts {5,2}, {6,2}, {6,3} 19 20

11 Rorrio n profuni Posil implmntión l grfo: ipo grfolist = mtriz [1.. v] rgistro vlor: informionnoo mr: oolno orn: ntro vinos: list Proiminto RPItrtivo(v:noo) P pilví mrr[v] visito pilr (v,p) Mintrs P no stá ví hr Mintrs hy un noo w ynt im(p) tl qu mr[w] visito hr mr[w] visito pilr(w,p) fmintrs spilr(p) fmintrs FProiminto Rorrio n profuni itrtivo Disponmos un AD pil on ls oprions: pilr spilr im Gstion l pil juión form xplíit mint l AD pil Rorrio n profuni itrtivo Pr sgurr l rorrio n tos sus omponnts onxs: Proiminto RorrioP(G:grfo) Pr v V hr Mrr[v] no visito Fpr Pr v V hr Si mrr[v] visito ntons RPItrtivo(v) fsi Fpr Fproiminto 21 22

12 Rorrio n nhur o mplitu Do un noo, primro visit sus vinos más rnos Únimnt spués visitr los noos más rnos ominz visitr los más ljos El orn rorrio primro sus vinos rnos y postriormnt los vinos ljos lo tnmos implíitmnt n l AD ol H flt un ol on ls oprions: ñir liminr primro Algoritmo qu sgur l rorrio n tos ls omponnts onxs: Proiminto RorrioAnhur(G:grfo) Pr v V hr Mrr[v] no visito Fpr Pr v V hr Si mrr[v] visito ntons RA(v) fsi Fpr Fproiminto Proiminto RA(v: noo) Q olvi Mr[v] visito ñir(v,q) Mintrs Q no stáví hr u primro(q) liminr(u,q) Pr vérti w ynt u hr Si mr[w] visito ntons mr[w] visito ñir(w,q) fsi Fpr Fmintrs FProiminto Ejmplo rorrio n nhur 23 24

13 Noo visito Q , 3, , 4, 5, , 5, , 6, 7, , 7, , Árol rsultnt: Rorrio n nhur o mplitu El rorrio gnr un árol Si l grfo no s onxo l rorrio gnr un osqu árols (un árol por omponnt onx) S pu plir n grfos irigios Rorrio n nhur o mplitu. Apliión Cuno s quir hr un xplorión pril un grfo infinito o muy grn Pr hllr l mino más orto s un punto un grfo otro Si hy qu nontrr un soluión prtino un situión iniil y ftuno l mnor númro psos posils En prolms n los qu s n, por jmplo, os posils oprions, un vlor iniil y s quir llgr un vlor n plino ls oprions s pun plntr omo un úsqu n un grfo irigio infinito, sino l noo iniil s l punto prti los snints un noo son los vlors qu s otinn plino ls oprions 25 26

14 Rorrio n nhur o mplitu. Apliión Ejmplo: Vlor iniil 1 Oprions prmitis: multipliión por 2 y ivisión por 3 Ojtivo: S s otnr un vlor n En stos sos: Si s rliz un úsqu n profuni hy más proilis fllr n l úsqu L úsqu n nhur grntiz nontrr l soluión, si s qu xist, n l mnor númro oprions Rorrio n nhur o mplitu. Apliión Expión: Si un grfo tin noos on un númro infinito vinos y los minos no son longitu infinit L úsqu n profuni porí tnr éxito Algoritmo: rorrr nivl xplorno pr noo los rsultos plir ms oprions