Capítulo 5: Teoría de Gráficas

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1 Mtmátis Disrts Cpítulo : Conptos Básios Algunos grfos s pun onsirr grfos irts rlions, pro hy otros qu no. Tom n unt qu toos los igrms (grfos) onstn : Vértis (Noos): Un onjunto puntos qu s mustrn mint írulos, puntitos u otros ionos qu vs s rotuln n l form v, v,... o in,,... Arists (ros o líns ): Líns qu ontn os noos ntr sí. Ls rists s tiqutn on,,... Rorrio, mino o rut: D v v n s uno prtino v rorrmos un rist hst l vérti v, rorrmos otr rist hst l vérti v, y sí susivmnt hst qu llgmos l vérti v n. Existn os rorrios ásios qu s pun rlizr n los grfos: Un rorrio mplitu Un rorrio profuni. RECORRIDO DE AMPLITUD Es onsiro por nivls, on nivl stá intifio. Pr rorrr st grfo por mplitu n un lnguj progrmión s lo hrá implmntno un strutur ols n on s olon los noos orrsponints nivl l grfo. Estos noos son trtos uno por uno, lugo sus noos ynts son visitos, y sí susivmnt hst qu toos los noos hyn sio visitos. Est oniión trminión s lnz uno l ol qu ví.

2 RECORRIDO EN PROFUNDIDAD El rorrio por profuni sigu primro un trytori s l noo iniil hst un noo trminl, spués otr trytori s l mismo punto iniil hst lnzr otro finl., y sí susivmnt hst qu toos los noos hyn sio visitos. Dfiniión: Un Gráfi (o gráfi no irigi) onst un onjunto V vértis (o noos) y un onjunto E rists (ros o los) tls qu ríst E qu soi un pr no orno vértis. Si xist un úni rist soi on los vértis v y w, sriimos = ( v, w ) o = ( w, v ) En st ontxto (v,w) not un rist v w n un gráfi no irigi y no un pr orno. Dfiniión: Un Gráfi irigi (o igráfi) G onst un onjunto V vértis (o noos) y un onjunto E rists (ros o los) tls qu ríst E s soi on un pr orno vértis. Si xist un úni rist soi on l pr orno (v,w) vértis sriimos = ( v, w ) lo ul not un rist v w Un rist n un grfi (irigi o no) soi on un pr vértis v y w s inint n v y w. S i qu: v y w son inints n v y w son vértis ynts Si G s un grfi (irigi o no) on vértis V y rists E, sriimos G = ( V, E ) 7 A mnos qu s iniqu lo ontrrio suponrmos qu V y E son onjuntos finitos y qu V s no vío. 8

3 Ejmplo : El sistm rrtrs l Euor v sr rorrio por un insptor. D rorrr uno los minos y rr un rhivo on informión l sto rrtr. El insptor viv n Guyquil, si qu slrá hí pr rorrr toos los minos xtmnt un vz y rgrsrá Guyquil. Es sto posils? Soluión Grfi no irigi V = {Esm, Quit, NuLo, Port, Am, LLi, Guy, Rio, Cun, Mh, Loj} E = {,,,,,, 7, 8, 9,,,,, } L rist = (Esm, Quit) = (Quit, Esm), = (Quit, NuLo) = (NuLo, Quit), t 9 Ejmplo : Gráfi Dirigi Pr l gráfi nuni tos sus rists n trminos sus vértis inints. V Arists Prlls: Son rists istints sois on l mismo pr vértis. = (v, v ) y = (v, v ) Lzo: Es un rist inint n un únio vérti. = (v, v ) V V V Vérti islo: Es un vérti qu no s inint n rist lgun. V V 7 Gráfi Simpl: Es un gráfi sin lzos ni rists prlls.

4 Ejriio n Clss: Pr un ls grfis prsnts iniqu si tinn rists prlls, lzos, vértis islos y si son gráfis simpls Gráfi on Psos (grfos ponros): Un gráfi on númros (psos) sor un sus rists. = (v, v ) =, = 7 Pso l Arist: Es l tiqut l rist. El pso l rist = Longitu un Cmino: Es l sum los psos ls rists n l mino v w. Grfo nulo: Un grfo qu ontng solmnt noos islos. En un grfo irigio: Gro Entr: Pr too noo v s l númro rists qu tinn v omo noo iniil. Gro Sli: El númro rists qu tinn v omo noo trminl. Gro totl l noo: Es l sum l íni ntr y l íni sli l noo. El gro totl un noo islo s, y l un noo on un ul y sin otrs rists qu inin n él son. Ejmplo : En un proso prouión on fruni s nsrio rlizr muhos gujros n hojs mtl. Los omponnts s tornilln lugo n sts hojs. Los gujros s rlizn jo l ontrol un omputor. Pr horrr timpo y inro l tlro movrs lo más rápio posil.

5 Soluión: 8 9 Cmino,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Longitu 8 7 Ejmplo : Hy muhos progrms qu onstn móulos qu s invon unos otros. Los grfos llms rprsntn móulos mint noos. Un lín irigi qu v l noo x l noo y ini qu x invo y, n l grfo llms l figur, por jmplo l moulo A invo los móulos B,C y D. Los móulos B y C invon l móulo E. Cuno uno los móulos invo otro, tin qu hr un omuniión ntr sos móulos trvés un intrfz. 7 8 Ejmplo : Un pliión más rint los grfos s l molo rs omputors. Un r omputors onst to un gm lmntos, tls omo omputors y líns omuniión. En l grfo qu rprsnt l r omputors: noo s un ispositivo (un omputor o un trminl) y rist o nl not un mio omuniión (un lín tlfóni o un l omuniión) Los grfos son importnts pr molr sts rs on rspto su fiili y su fiini. En l figur. L prt sur rprsnt l prt omuniions l r. Los más ispositivos qu s nuntrn lror l sur omuniions s pun onsirr ispositivos xtrnos. 9

6 Gráfi Complt n vértis Dfiniión: Qu s not K n, s l gráfi simpl on n vértis n l ul xistn un rist ntr pr vértis istintos. Ejmplo: V V V V Gráfi Biprtit Dfiniión: Un gráfi G=(V,E) s iprtit si l onjunto vértis V s pu sprr n os suonjuntos V y V moo qu rist n E s inint n un vérti V y un vérti V. Ejmplo: En l gráfi tnmos qu V s pu iviir n: V = {v, v, v } V = {v, v } V V V V V Gráfi Biprtit Complt on m y n vértis Dfiniión: L gráfi iprtit omplt on m y n vértis, not K m,n, s l gráfi simpl uyo onjunto vértis stá iviio n onjuntos V on m vértis y V on n vértis, n los uls xist un rist ntr pr vértis v y v, on v stá n V y v stá n V. Dr: Ejriios l l 8 l pgin Ejmplo:

7 Cminos y Cilos Dfiniión: S v y v n vértis un gráfi. Un mino (rut) v v n longitu n s un susión ltrnnt n+ vértis y n rists qu ominzn on l vérti v y trminn on l vérti v n. Ejmplo: Un mino s: (,,,,,,,, ) (,,,, ) Gráfi Conx Dfiniión: Un gráfi G s onx si os ulsquir os vérti v y w n G, xist un mino v w. Ejmplo: Ejriio n Clss: Pr un ls grfis prsnts iniqu os minos istintos, iniqu si s onxo. Sugráfis Un gráfi onx onst un piz. Un gráfi no onx onst os o ms pizs. Ests pizs son sugráfis l gráfi originl y s llmn omponnts. Dfiniión: S G=(V,E) un gráfi. (V,E ) s un sugráfi G si ) V V y E E. ) Pr rist E, si s inint n v y w, ntons v, w V. Un sugráfi G un gráfi G s otin ligino irts rist y vértis G, sujtos ls rstriions qu si lgimos un rist n G qu s inint n los vértis v y w, ntons mos inluir los vértis v y w n G

8 Ejmplo: G s un sugráfi G Ejriio n lss: Enuntr os sugráfis pr gráfi. 7 G G Dfiniions: Sn v y w vértis n un gráfi G Cmino Simpl: Un mino simpl v w s un mino v w sin vérti rptios. Cilo o iruito: Es un mino longitu istint ro v v, sin rists rptis. Cilo Simpl: Es un ilo v v n l ul no xistn vértis rptios, xpto por los vértis iniil y finl, qu son iguls v. Ejriio n lss: Pr l grfi lln l siguint tl: Cmino (,,,,,,) (,,,) (,,,,,,) (,,,) (7) Es mino simpl? Es ilo? Es un ilo simpl? 8

9 Soluión: Cmino Es mino simpl? Es ilo? Es un ilo simpl? (,,,,,,) n n n (,,,) s n n (,,,,,,) n s n (,,,) n s s (7) s n n Ejmplo: Prolm los Punts Konigsrg. L primr puliión n l torí grfos fu hh por Lonhr Eulr n 7. Tl puliión xpon un torí gnrl qu inluy un soluión lo qu s onoio omo Prolm los Punts Konigsrg. Dos isls qu s hlln n l río Prgl n Konigsrg (nts n Prusi Orintl; llm hor Kliningro, n l Unión Soviéti) stán onts ntr si y on ls márgns l río por punts. El prolm onsist n prtir s ulquir lugr A, B. C o D; sguir minno y psr por uno los punts xtmnt un vz, y lugo volvr l punto prti. Tl rut s llm iruito o rorrio Eulr. Tl rorrio s pu rprsntr omo lo ini l Figur. Los vértis orrsponn los lugrs, y los los, los punts. A A B D C B D C L soluión pu otnrs fáilmnt usno l onpto gro (vlni) un vérti. El gro un-vérti v, (v), s l numro rists inints n v. (Por finiión lzo v ontriuy n l gro v.) C lo inint n v s mpl solo un vz. Por lo tnto, los los inints n v stán n prs (o pros) y, omo onsuni, v tin vlni pr. Los los inints l vérti iniil v tmién stán pros. El lo por l ul s sl v por primr vz, st pro on l lo por l ul s vulv v por ultim vz. Lo mismo ourr n los vértis no iniils. Por onsiguint, si s pu prtir ulquir vérti, minr lo lrgo ulquir lo xtmnt un vz y volvr l punto prti, ntons toos los vértis n tnr gro pr. En un iruito Eulr s ps por lo xtmnt un vz, n tnto qu n un iruito Hmilton s ps por vérti xtmnt un vz. 9

10 Ciruitos Eulr Un grfo no irigio rprsnt un iujo líns. C noo l grfo rprsnt un punto l iujo y un rist ntr os noos ini qu xist un lín ntr los os puntos orrsponints. Es posil iujr sts figurs on un olígrfo, pintno lín un sol vz, sin lvntr l olígrfo y no on s mpzó? Ciruito Eulr: s un ilo (no nsrimnt simpl) qu visit tos ls rists xtmnt un vz. Coniions nsris pr qu xist un iruito Eulr: El grfo sr onxo. Toos los noos n tnr gro (númro rists) pr, y qu l mino ntr y sl los noos. 7 Algoritmo pr nontrr un iruito Eulr n un grfo G, prtino un noo v. Busr un ilo n G mpzno por v (por jmplo on un úsqu n profuni). Pu qu no tos ls rists hyn sio visits.. Si qun rists por visitr, slionr l primr noo w l ilo ntrior qu tng un rist sin visitr. Busr un ilo prtino w qu ps por rists no visits.. Unir l ilo l pso on l otnio n l pso. Rptir susivmnt los psos y hst qu no qun rists por visitr. Un mino ulrino n un grfo s un mino qu ontin tos ls rists l grfo xtmnt un vz. Un grfo s ulrino si ontin un mino ulrino rro. 8 Torm : Si un gráfi G tin un ilo Eulr, ntons G s onx y vérti tin gro pr. Ejriio n lss: Pr ls grfis s iniqu si tinn ilos Eulr: Torm : Si g s un gráfi onx y too vérti tin gro pr, ntons G tin un ilo Eulr. 9

11 Cilos Hmiltoninos Do un grfo no irigio G, un ilo hmiltonino s un ilo simpl qu visit toos los vértis. Un mino hmiltonino En un grfo s un mino qu ontin toos los vértis l grfo xtmnt un vz (slvo v =v n, si l mino s rro). Un grfo hmiltonino s qul qu ontin un ilo hmiltonino. Propi: Un grfo iprtio G=(V È V, A) on ½ V½ ¹ ½ V½ no s hmiltonino. Torm: S G un grfo simpl n vértis. Si pr too pr vértis x y no ynts s umpl qu (x)+(y) ³ n, ntons G s hmiltonino. Torm: Si G s un grfo hmiltonino ntons, pr too SÌ V s umpl qu l númro omponnts onxs G - S, s mnor o igul qu ½ S½. Osrvion: NO hy rtrizión spifí pr los grfos hmiltoninos. Un iruito hmiltonino, o Hmilton, n un grfo G s un mino qu ominz y trmin n un mismo vérti, psno xtmnt un vz por vérti. Dtrminr si un grfo no irigio o tin un ilo hmiltonino. Aunqu l prolm s muy prio l l iruito Eulr, no s ono ningún lgoritmo fiint pr rsolvrlo. El prolm l ilo hmiltonino prtn un onjunto prolms ifíil soluión llmo prolms NP-ompltos. L soluión rquir ásimnt vlur tos ls posiilis, no lugr un orn omplji xponnil o ftoril. Otr posiili s usr métoos hurístios, qu pun funionr n lgunos sos y n otros no. A ifrni l situión rlion on los iruitos Eulr, no hy oniions nsris y sufiints pr l xistni los iruitos Hmilton n un grfo qu s pun vrifir on fili. Los iruitos Hmilton son llmos sí n honor Sir Willim Rown Hmilton, quin ptnto un jugo on l form un oro, mios l siglo XIX. C squin l oro tni l nomr un iu y l prolm r omnzr n ulquir iu, vijr lo lrgo ls líns, visitr polión xtmnt un vz y volvr l punto prti.

12 Prolm l vijnt (gnt vijro) Do un grfo no irigio, omplto y ponro G = (V, A), nontrr un ilo simpl osto mínimo. Ejmplos: Ejmplos: Un rprtior trmins mrnís tin nrgos n vris ius. Qué rut sguir pr qu l osto splzminto s mínimo? El prolm l vijnt s un prolm NP-omplto, on un orn omplji xponnil. No xist un soluión polinómi. Pomos plir hurístis, otnino soluions proxims, no nsrimnt óptims. Ejriios: Dr: Hr los jriios,,,,, 7, 8,, ls págins

13 Ewr W. Dijkstr Nio n Píss Bjos n 9. D profsión progrmor. Gnó l Prmio Turing (97) Disñó l Algoritmo l Rut más Cort Mur ánr n l Grfi on psos: Es un grfi n l ul s l signn vlors ls rists y qu l longitu un rut (mino) n un grfi on psos s l sum los psos ls rists l rut. El pso simpr v sr positivo El pso i j s rprsnt sí: w(i,j) i Vrti w(i,j) Arist j Etiqut 9 El Algoritmo n Psuoóigo Est lgoritmo trmin l rut ms ort l vérti l vérti z n un grfi onx on psos. El pso l rist (i,j) s w(i,j)> L tiqut l vérti x s L(x) Al onluir, L(z) s l longitu un rut ms ort z. Entr: Gráfi onx on psos positivos, Vérti y Vérti z Sli: L(z), longitu un rut ms ort z. Prour ijkstr (w,,z,l). L():=. for toos los vértis x!= o. L(x) :=. En for w=pso, =vérti iniil, z=vérti finl, L= tiqut l vérti El vérti iniil simpr tom l vlor Iniilizión. T:= onjunto toos los vértis. *\ T s l onjunto vrtis uy istni ms ort no h sio trmin \*. Whil z Є T o Z s l lmnto finl. Mintrs Z T.... gin. Elgir v Є T on L(v) mínimo. T := T - {v} 7. For x Є T ynt v o 8. L(x):= min { L(x), L(v) + w(v,x) } 9. n For. n Whil. n ijkstr T={,,,,,f,g,z} Elig l vérti on long mnor (v) y l quit T Pr vérti lmnto T y ynt v -> x S lig l mínimo ntr l long x y l long x + l pso v x

14 Ejmplo: Dtrminr l rut ms ort z usno l lgoritmo Dijkstr. z 7 7 f g z Conjunto vértis uy ist. ms ort l rist iniil no h sio trmin: T={,,,,,f,g,z} Clulmos l rut ms ort z. Psos pr rsolvr l lgoritmo:. Simpr l vérti prti s igul ro. = f g. En l iniilizión s l sign un vlor tos ls tiquts sonois. 7 f g z. Smos los vlors los vértis ynts l iniil. L(x):= min{l(x),l(v)+w(v,x)} Pr nustro so s l iniil nrr on un irulo. L()=min{L(),L()+w(,) L()=min{, +}= L(f)=min{L(f),L()+w(,f) L(f)=min{, +}= L()= L(f)= 7 f g z

15 . Ahor ornmos los vértis mnor myor. En nustro so: ro v sr L(f)=. o v sr L()= Sgún st orn nos rgirmos n los sgts. psos. L()= L(f)= 7 f g z.. Smos los vértis ynts l ro n nustro so f (nrro) Dtrminmos y g L()=min{L(),L(f)+w(,f)} L()=min{, +}= L(g)=min{L(g),L(f)+w(g,f)} L(g)=min{,+}= L()= 7 f L(g)= g z Smos los vértis ynts l o. En nustro so (nrro) Dtrminmos y. L()=min{L(), L()+w(,)} L()=min{, +}= L()=min{L(),L()+w(,)} L()=min{, +}= 7 f g L()= z L()=. Ahor ornmos los vértis próximos z lulos ntriormnt mnor myor. En nustro so: ro v sr L()= o v sr L(g)= Como l mnor s L(), on nos rgirmos pr lulr z 7 f g L()= z L()= 9

16 7. S otin l rut ms ort y L(z). Smos l vérti ynt l mnor ntrior lulo, o s C. (nrro) Así. L(z)=min{L(z),L()+w(,z)} L(z)=min{, +}= L(z)= L rut ms ort s : {,,,z} f 7 g L rut ms ort Otrs Ruts z L()= /* S y Q son lists */ Implmntión n C voi Dijkstr(hs *G, int s) { int i; no *ux; for (i=; i<numvert; i++) G[i].DIST = MAXINT; G[s].DIST = ; S = NULL; Q = V; /* Q s un list qu inii on toos los vrtis G */ whil (EMPTY(Q)!= ) { i = REMOVE_MINIMO(Q); /* rmuv l vrti on mnor vlor Q */ INSERE(S,i); /* insrt i l onjunto S */ for (ux = G[i].ADJ; ux; ux=ux->next) if (G[ux->VERTEX].DIST > G[i].DIST + p(i,ux->vertex)); G[ux->VERTEX].DIST = G[i].DIST + p(i,ux->vertex); } } Apliión: Ruto n Rs Dtos Un r omuniions involur un onjunto omputors (noos) onts mint nls omuniión (rists), qu trnsfir pquts (grupos its) s trminos noos orign otros noos stino. L form más omún pr slionr l trytori (o rut) ihos pquts, s s n l formulión l rut más ort. En prtiulr nl omuniión s l sign un slr positivo l ul s pu vr omo su longitu. Un lgoritmo ruto trytori más ort, rut pqut lo lrgo l trytori longitu mínim (rut más ort) ntr los noos orign y stino l pqut.

17 Rprsntions Grfis Mtriz Ayni Nustro primr métoo rprsntión un gráfi utiliz l mtriz yni. Consirmos l gráfi: z Si onsirmos l gráfi ntrior pr otnr l mtriz yni: Primro lgimos un orn pr los vértis igmos,,,, Lugo tiqutmos los rnglons y olumns un mtriz on los vértis ornos. L ntr n st mtriz s: si los vértis rnglón y l olumn son ynts y n so ontrrio. L mtriz yni no s un mnr muy fiint pr rprsntr un gráfi. 7 A = Osrv qu pomos otnr l gro un vérti v n un gráfi simpl G, sumno l rnglón v o l olumn v n l mtriz yni G. Est mtriz nos prmit rprsntr lzos, pro no rists prlls. 8 7

18 8 9 Ejmplo : Soluión: = A 7 Cminos longitu n un vérti i un vérti j Mostrrmos qu si A s l mtriz yni un gráfi simpl G, ls potnis A, A, A, A,., Cuntn l númro minos ivrss longitus. Si los vértis G s tiqutn,,..., l ntr ij-ésim n l mtriz A n s igul l númro minos i j longitu n. Torm: Si A s l mtriz yni un gráfi simpl, l ntr ij-ésim A n s igul l numro minos longitu n l vérti i l vérti j,n=,,... 7 Por jmplo, supongmos qu otnmos l uro l mtriz A l jmplo ntrior: L ntr l igonl prinipl A proporion los gros los vértis (uno l gráfi s un gráfi simpl) = = A 7 Los minos longitu i j l jmplo ntrior stán os por A: L ntr l rnglón, olumn s, lo ul signifi qu xistn sis minos longitu. Por inspión, vmos qu stos minos son: (,,,,), (,,,,), (,,,,), (,,,,), (,,,,), (,,,,) = = = A A A

19 Mtriz Inini Pr otnr l mtriz inini un gráfi: Etiqutmos los rnglons on los vértis y Etiqutmos ls olumns on ls rists, n lgún orn ritrrio. L ntr l rnglón v y l olumn s: si s inint n v n so ontrrio L mtriz inini nos prmit rprsntr ls rists prlls y los lzos. En un gráfi sin lzos, olumn tin os. L sum los lmntos un rnglón proporion l gro l vérti intifio on s rnglón. 7 Ejmplo: 7 v v v V v v v A = v v v Soluión: 7 7 Isomorfismo Gráfis Dr: Hr los jriios l,,,, 8, 9,,, y ls págins y. Dfiniión Ls gráfis G y G son isomorfs si xist un funión uno uno y sor, f, los vértis G los vértis G y un funión uno uno y sor, g, ls rists G ls rists G, moo qu un rist s inint n v y w n G si y solo si l rist g() s inint n f(v)y f(w) n G. El pr funions f y g s un Isomorfismo G sor G 7 7 9

20 Ejmplo : A Un isomorfismo ls gráfis mostrs ntriormnt s fin omo: x x x x C y y y y y D f() = A, f() = B, f() = C, f() = D, f() = E g(x i ) = Y i, i =,...,. x G E G B Clss Equivlni Si finimos un rlión R n un onjunto gráfis mint l rgl GRG si G y G son isomorfs, ntons R s un rlión quivlni. C ls quivlni onst un onjunto gráfis isomorfs ntr lls. Torm : Sn G y G gráfis simpls. Ls siguints firmions son quivlnts. ) G y G son isomorfs ) Exist un funión uno uno y sor, f, l onjunto vértis G l onjunto los vértis G qu stisf: Los vértis v y w son ynts n G y sólo si los vértis f(v) y f(w) son ynts n G. 79 8

21 Torm : Ls gráfis simpls G y G son isomorfs si y sólo si pr irto orn sus vértis, ls mtris yni son iguls Ejmplo: Ls mtris yni ls gráfis G, on rspto l orn los vértis,,,,, y G, on rspto l orn los vértis A, B, C, D, E, l jmplo, son: Soluión: A = A B A = C D E A B C D E 8 8 Ejmplo: Ls gráfis G y G no son isomorfs, pus G tin sit rists y G tin sis rists. Ejriio n lss: Inir si ls grfis prsnts son isomorfs. V V V 7 V V V V V V V G G 8 8

22 Dr: Hr los jriios,,, y 9 l págin. 8

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