A5 Introducción a la optimización en redes

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1 48 Materials David Pujolar Morales A5 Introducción a la optimización en redes Definición 1. Grafo finito. Sea un V un conjunto no vacío con un número finito de elementos y E una familia finita de pares (ordenados o no) de elementos de V. En tal caso, se denomina grafo finito a G = (V, E). Los elementos de V se denominan nodos o vértices y los de E enlaces o aristas. Cuando los elementos de E son pares ordenados reciben el nombre de arcos o aristas orientadas; de ser pares no ordenados se denominan aristas no orientadas 1. Los arcos o aristas con origen y destino en el mismo vértice se conocen como bucles o lazos. Definición 2. Grafo orientado o digrafo. Grafo en el que todos los elementos de E son arcos. Definición 3. Grafo no orientado o simétrico. Grafo en el que todos los elementos de E son aristas. Definición 4. Grafo mixto. Grafo finito en el que E posee tanto aristas como arcos. Definición 5. Grafo nulo. Dado un grafo finito, se dice que es un grafo nulo si E no contiene ningún elemento. Definición 6. Orden de un grafo. Dado un grafo finito, se denomina orden del grafo al número de nodos del mismo. Definición 7. Subgrafo. Dados los grafos finitos G = (V, E) y G = (V, E ) se dice que G es un subgrafo de G si: V V (1) E E Definición 8. Grafo parcial. Dados los grafos finitos G = (V, E) y G = (V, E ) se dice que G es un grafo parcial de G si: Proposición 1. Todo grafo parcial es un subgrafo. V E Definición 9. Grafo propio. Grafo finito en el que card(v) 2 y card(e) 1. Definición 10. Grafo simple. Grafo propio que: - No posee bucles. - Entre cada par de nodos hay, a lo sumo, una única arista o un único arco de una determinada orientación. 2 Definición 11. P-grafo (pseudografo de orden p). Grafo finito en el que el número máximo de arcos o aristas simultáneos entre dos vértices cualesquiera es p. V E (2) 1 Con objeto de abreviar la notación, en grafos que sólo contienen aristas no orientadas -y, por lo tanto, no se induce a ambigüedad- éstas suelen designarse por el término genérico de aristas. 2 Nótese que la definición es compatible con la presencia de dos arcos entre un mismo par de nodos, siempre que posean orientaciones contrarias. No lo es con el hecho de que entre dos nodos dados existiera simultáneamente un arco y una arista. Por otra parte, adviértase que en el caso de un digrafo simple E VxV; esto es, E es un subconjunto del producto cartesiano y, por ende, puede definirse el digrafo en términos de G = (V, ) donde es una correspondencia de V sobre V.

2 Fundamentos de programación lineal y optimización en redes Materials 49 Definición 12. Multigrafo. P-grafo sin bucles 3. Definición 13. Matriz de adyacencia. Dado un grafo finito se denomina matriz de adyacencia a una matriz A de dimensión nxn (donde n es el orden del grafo) cuyos elementos, denotados por a, se definen como 4 : a k si entre el nodo i y el j existen k arcos o aristas 0 si entre el nodo i y el j no existe ningún arco o arista Nótese que en el caso de grafos simples k = 1. La matriz de adyacencia es una de las formas de representación de un grafo. Existen otros modos de representación; por ejemplo, por extensión (mediante enumeración de los elementos de V y de E); gráficamente (siempre que el número de nodos y arcos y/o aristas no sea muy elevado); etc. 5 Definición 14. Nodos adyacentes. En un grafo finito se dice que dos nodos son adyacentes cuando entre ambos hay un arco o una arista que los une. Definición 15. Grafo completo. Dado un grafo finito simple, se dice que es completo si cualquier par de nodos son adyacentes (nótese que ello requiere que el grafo posea ( n ) arcos o aristas.) 2 Definición 16. Arcos o aristas adyacentes. En un grafo finito se dice que dos arcos o aristas son adyacentes si poseen, al menos, un nodo en común. Definición 17. Extremos inicial y final de un arco. En un digrafo, dado un arco cualquiera (vi, vj) el nodo vi se denomina extremo inicial u origen del arco y vj extremo final o destino de dicho arco. Definición 18. Nodos sucesores y antecesores. En un digrafo finito en el que exista un arco (vi, vj) el nodo vj se denomina sucesor del nodo vi y, análogamente, vi antecesor de vj. (Obsérvese que si existieran los arcos (vi, vj), (vj, vi) entonces vi sería simultáneamente sucesor y antecesor de vj y viceversa.) Definición 19. Arco incidente sobre un nodo. En un digrafo finito se dice que un arco cualquiera (vi, vj) incide interiormente sobre el nodo vj y que incide exteriormente sobre el nodo vi. Definición 20. Grado interior de un nodo. En un digrafo finito el grado interior de un nodo vi es el número de arcos que inciden interiormente sobre él, denotándose como G i. El concepto puede extenderse fácilmente en el caso de considerar un subconjunto de nodos del digrafo: si V V entonces G V es el número de arcos que inciden interiormente en V (esto es, el número de arcos cuyo extremo inicial es un nodo que no pertenece a V pero cuyo extremo final sí que forma parte de V ). (3) 3 En algunos textos, el término multigrafo se reserva para los p-grafos no orientados sin bucles mientras que el concepto homólogo en digrafos es denotado por multidigrafo. Siguiendo esa nomenclatura, los p-grafos mixtos sin bucles se denominan multigrafos mixtos. 4 En el caso de grafos mixtos es preciso considerar dos matrices de adyacencia: una para los arcos y otra para las aristas no orientadas. Adviértase, por otra parte, como para grafos simétricos la matriz de adyacencia es una matriz simétrica. 5 Véase Ahuja et al. (1993) para una ampliación.

3 50 Materials David Pujolar Morales Definición 21. Grado exterior de un nodo. En un digrafo finito el grado exterior de un nodo vi es el número de arcos que inciden exteriormente sobre él, denotándose como G + i. El concepto puede extenderse fácilmente en el caso de considerar un subconjunto de nodos del digrafo: si V V entonces G + V es el número de arcos que inciden exteriormente en V (esto es, el número de arcos cuyo extremo inicial es un nodo que pertenece a V pero cuyo extremo final no forma parte de V ). Definición 22. Grado de un nodo. En un digrafo finito, el grado G i de un nodo vi se define como G i = G i + G + i. En el caso de V V entonces el grado interior de vendrá dado por G V = G V + G + V. Los nodos con grado 0 ó 1 reciben el nombre de nodos terminales. Definición 23. Estrella directa (o hacia delante). En un digrafo finito, la estrella directa del nodo vi se define como el conjunto de vértices del digrafo para los cuales existe un arco que incide exteriormente sobre vi, denotándose como S i. En otros términos S i = {v j V/ (v i, v j ) E}. Definición 24. Estrella inversa (o hacia atrás). En un digrafo, la estrella inversa del nodo vi se define como el conjunto de vértices del digrafo para los cuales existe un arco que incide interiormente sobre vi, denotándose como S i 1. En otros términos, S i 1 = {v j V/ (v j, v i ) E}. Definición 25. Camino. Dado un digrafo finito un camino desde el nodo v0 al vp es una secuencia finita de arcos adyacentes P = {(v 0, v 1 ), (v 1, v 2 ),, (v p 1, v p )}. Adviértase como el nodo inicial de cada arco es el mismo que el nodo terminal del arco precedente. Definición 26. Camino elemental. 6 Camino en el que ningún nodo que forma parte de él es recorrido más de una vez (todos los nodos v 0,, v p que constituyen el camino deben ser distintos). Definición 27. Camino simple. Camino en el que ningún arco es utilizado más de una vez. Proposición 2. Todo camino elemental es un camino simple pero no todo camino simple es elemental. Definición 28. Circuito. Camino cerrado; esto es, que empieza y acaba en el mismo vértice: P = {(v 0, v 1 ), (v 1, v 2 ),, (v p 1, v p ), (v p, v 0 ) }. Definición 29. Cadena. Dado un grafo finito (ya sea un digrafo ya sea un grafo simétrico) una cadena entre los nodo v0 y vp es una secuencia finita de arcos (con independencia de cuál sea su orientación 7 ) o aristas adyacentes. Al igual que en el caso de los caminos elementales y simples, se definen las cadenas elementales y simples. Definición 30. Ciclo. Un ciclo es una cadena cerrada; esto es, que empieza y termina en el mismo vértice. 6 En algunos textos, el término camino simple es utilizado para definir el concepto de camino elemental. 7 Así pues, en un digrafo una cadena puede contener arcos recorridos en sentido contrario a su orientación.

4 Fundamentos de programación lineal y optimización en redes Materials 51 Proposición 3. Todo camino es una cadena y, por ende, todo circuito es un ciclo, pero no toda cadena es un camino ni todo ciclo un circuito. Definición 31. Grafo débilmente conexo. Un grafo finito es débilmente conexo cuando entre cualquier par de vértices existe al menos una cadena que los une. Definición 32. Grafo fuertemente conexo. Un digrafo finito se dice que es fuertemente conexo cuando entre cualquier par de vértices existe al menos un camino que los une. Adviértase que el concepto de grafo fuertemente conexo requiere trabajar con digrafos, a diferencia de la conectividad débil, que se puede aplicar tanto a grafos orientados como no orientados. Proposición 4. Un digrafo fuertemente conexo también es débilmente conexo. Definición 33. Árbol. Dado un grafo finito, se denomina árbol a todo grafo débilmente conexo sin ciclos. (Nótese que, en consecuencia, entre cada par de vértices de un árbol sólo existirá una única cadena que los una y, por lo tanto, entre cada par de vértices de un árbol a lo sumo podrá haber un arco o arista que los vincule. Asimismo, se colige que todo árbol que posea dos o más nodos es un grafo simple.) Proposición 5. Un árbol con n nodos posee n 1 arcos o aristas 8. Definición 34. Árbol generador (árbol de expansión). Dado un grafo finito se denomina árbol generador de dicho grafo a cualquier grafo parcial del mismo que posea estructura de árbol. Definición 35. Bosque. Se denomina bosque a todo grafo finito sin ciclos 9. (Adviértase que, como consecuencia de la definición, un bosque es un grafo simple no necesariamente conexo.) Proposición 6. Todo bosque está formado por uno o más árboles. Definición 36. Red o grafo valuado. Se denomina red a todo grafo finito débilmente conexo sin bucles, en el que todo arco o arista posee asociada una o más magnitudes. En particular, tienen especial interés las redes definidas a partir de grafos simples débilmente conexos 10. Si el grafo asociado es un digrafo, la red se denomina red dirigida, mientras que si el grafo vinculado es no orientado la red se conoce como red no dirigida 11. Un modo de representar una red 12 es mediante matrices de adyacencia: una para describir su estructura de arcos o aristas y otras adicionales (tantas como tipos de magnitudes figuren en arcos o aristas) para codificar los valores asociados a arcos o aristas. En los casos más simples se pueden representar también gráficamente, de modo análogo a cómo se hace con los grafos, pero añadiendo a cada arista sus magnitudes asociadas. 8 Obsérvese como el árbol más sencillo es el formado por un único nodo. 9 De acuerdo con la definición de bosque, un árbol puede concebirse como un bosque débilmente conexo. 10 Si no se indica lo contrario, todas las redes con las que se va a trabajar se presuponen que se corresponden con un grafo simple débilmente conexo. 11 Bajo determinadas condiciones (problemas expresables como redes de flujo máximo o redes de flujo máximo a coste mínimo con coeficientes de coste no negativos) una red simétrica se puede reformular como una red orientada sustituyendo las aristas [vi, vj] por dos arcos de sentido opuesto (vi, vj) y (vj, vi) e iguales magnitudes asociadas que las de la arista. Véase Ahuja et al. (1993) para una ampliación. En las redes asociadas a ese tipo de problemas -conocidas como redes de transporte- siempre es posible identificar un nodo origen o fuente (con grado interior nulo) y un nodo destino o sumidero (con grado exterior nulo), ya sea porque se encuentran definidos explícitamente ya sea creándolos de forma ficticia; véase Wilson (2010). 12 Véase Ahuja et al. (1993) para una ampliación.

5 52 Materials David Pujolar Morales Formalmente, dado el grafo G = (V, E) y una función w: E R una red con una única magnitud en cada arista puede concebirse como el par (G, w) 13. Definición 37. Árboles generadores óptimos 14. En redes simétricas en las que cada arista posea asociada una única magnitud, puede resultar de interés hallar cuál es el árbol generador óptimo (esto es, con magnitud total mínima o máxima 15 ). Para ello se han desarrollado distintos algoritmos, como el de Kruskal, el de Prim o el de Borůvka (también denominado algoritmo de Sollin). 16 Algoritmo de Kruskal. - Ámbito de aplicación: obtención del árbol generador óptimo en redes simétricas. - Orden de complejidad: 17 O(m log m). - Pasos del algoritmo: 1.- Considerar el grafo parcial Gk = (V, Ek) vinculado a la red que define al problema. Establecer k = 0. Far E0 = y l 0 = 0; donde l k denota la longitud total de Gk (entendida como la suma de las magnitudes asociadas a las aristas que forman parte de Ek). 2.- Si el objetivo es de minimización, ordenar las aristas de E (esto es, del grafo original) en orden creciente a la magnitud que tienen asociada. Si se pretende hallar el árbol de expansión máximo, ordenar las aristas en orden decreciente. 3.- Hacer k = k + 1. Elegir la primera arista de la lista ordenada del paso anterior, con la condición de que no haya sido usada previamente y que no forme un ciclo en Gk Establecer Gk = (V, Ek) con E k = E k 1 {e k } (donde e k es la arista elegida en el paso 3) y l k = l k 1 + l ek (donde l ek denota la longitud de la arista e k ). 5.- Si k < n 1 volver al paso 3. Si k = n 1 finalizar; la solución viene dada por Gn-1 = (V, En-1) con longitud total l n 1. Nótese como el algoritmo parte de una arista y va construyendo bosques que van expandiéndose progresivamente hasta fusionarse en un único árbol. Adviértase, por 13 La extensión para redes con d magnitudes asociadas a cada arco o arista es inmediata: baste para ello tratar w como una función vectorial con dominio en R d. 14 También denominados árboles de expansión óptimos. 15 Adviértase como la obtención del árbol de expansión máximo en una red (G, w) equivale a hallar el árbol de expansión mínimo en la red (G, w). 16 Para una ampliación, véase Ahuja et al. (1993). 17 La complejidad de un algoritmo viene dada por el número de pasos que hay que efectuar para pasar de los datos iniciales del problema al resultado final. Para un algoritmo cualquiera, se dice que su tiempo de ejecución es de orden O(f(N)) (donde N denota una medida de las operaciones que debe efectuar el algoritmo en relación con el volumen de datos de entrada del problema genérico sobre el que se aplica) si N N 0 el tiempo de cómputo del algoritmo no es superior a cf(n) siendo c y N 0 constantes no negativas cualesquiera. Así pues, el orden de complejidad de un algoritmo establece la cota superior del tiempo de cómputo de dicho algoritmo. Nótese que el orden de complejidad sólo recoge los términos influyentes en el tiempo de cómputo para N suficientemente grande. En el caso del algoritmo de Kruskal, se demuestra que el factor determinante en el tiempo de cómputo está acotado superiormente por O(m log m) siendo m el número de aristas.

6 Fundamentos de programación lineal y optimización en redes Materials 53 otra parte, que la existencia de solución (que puede ser única o múltiple) está asegurada por el hecho de ser G conexo (recuérdese la nota 10). Árboles generadores óptimos y programación lineal. La determinación del árbol de expansión óptimo de una red admite la siguiente formulación en términos de un problema lineal binario: OPT x sa. vi, v j E vi, v j E ( S ) vi, v j E ( S ) x 0 i, j 1,, n c x x x card S 1 S V n x i, j 1,, n donde: - n es el orden del grafo asociado a la red. - c es la magnitud asociada a la arista [vi, vj]. - x es una variable binaria con valor 1 si entre los vértices vi, vj existe una arista que los une y valor nulo en caso contrario. - S es cualquier subconjunto no vacío de V. - E(S) es un subconjunto de aristas de E cuyos ambos extremos pertenecen a S. 1 (4) Adviértase como el primer conjunto de restricciones garantiza la ausencia de ciclos. Asimismo, adviértase que cuando card(s) = 2, la primera restricción implica que x 1 i, j. A su vez, este hecho combinado con las restricciones de no negatividad y de pertenecía a los enteros asegura que las variables sean binarias. Finalmente, el segundo bloque de restricciones es consecuencia del hecho de que todo árbol de expansión debe poseer n 1 aristas.