PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 06 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de un función f en el punto de bscis ( ) sbiendo que f (0) 0 y f '( ) pr. MATEMÁTICAS II. 06. JUNIO. EJERCICIO.OPCIÓN A. Clculmos l integrl: ( ) f ( ) d d Como es un función rcionl, dividimos los dos polinomios y descomponemos l integrl f ( ) d ( ) d d ln C Como f (0) C C 0 Luego, l función es: f ( ) ln L rect tngente en es y f () f '() ( ) 5 f () ln ln ( ) f '( ) f '() 0 Sustituyendo en l ecución, tenemos, 5 5 y ln 0 ( ) y ln

3 Se f : (0, ) l función dd por f ( ) ln (ln represent logritmo neperino). ) Clcul l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de bscis. b) Esboz el recinto comprendido entre l gráfic de f, y y l rect. Clcul su áre. MATEMÁTICAS II. 06. JUNIO. EJERCICIO.OPCIÓN B. ) L rect tngente en es y f () f '() ( ) f () Ln 0 f '( ) f '() Sustituyendo en l ecución, tenemos, y 0 ( ) y b) El áre de l región pedid es: 9 A ( ln ) d ln ln ln ln ln u L integrl de ln l hcemos por prtes ln d ln d ln C u ln ; du dv d; v d

4 ln Consider l función f dd por f ( ) pr 0. ) Hll tods ls primitivs de f. b) Hll f ( ) d c) Determin l primitiv de f que tom el vlor pr. MATEMÁTICAS II. 06. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. ) Clculmos l integrl de y l integrl de ln por seprdo. I d d I ln d Hcemos un cmbio de vrible: t ln ; dt d ln t (ln ) I d t dt Con lo cul, tods ls primitivs de f son: (ln ) F( ) C b) (ln ) (ln ) (ln) (ln ) f ( ) d c) Clculmos l primitiv que cumple: F() (ln) 7 F() C C C Con lo cul, l primitiv que nos piden es: (ln ) 7 F( )

5 Se f : l función dd por f( ). Clcul el áre del recinto limitdo por l ( ) gráfic de f, el eje de bsciss y ls rect 0 y. MATEMÁTICAS II. 06. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Hcemos un esbozo del recinto cuy áre nos piden clculr El áre que nos piden viene dd por: A Hcemos un cmbio de vrible: 0 ( ) t ; dt d d Clculmos los nuevos límites de integrción: Si t 0 Si t Con lo cul: A d dt u ( ) t t 0

6 De l función definid por, donde se sbe que su gráfic tiene tngente horizontl en y que. Hll los vlores de y b. MATEMÁTICAS II. 06. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Clculmos l primer derivd de l función. f '( ) e b Vmos plicndo ls condiciones del problem. - Tngente horizontl en 0 f '(0) 0 b 0 - b b f ( ) d e ( e b) d e e e Resolviendo el sistem formdo por ls dos ecuciones, tenemos que: ; b

7 Consider l función definid por, con. Clcul el áre del recinto encerrdo por l gráfic de f y el eje OX. MATEMÁTICAS II. 06. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Clculmos los puntos de corte de l función con el eje OX ( m ) 0 6m 0 0 ; m m Vemos que función v por encim y cuál por debjo: m( m m) f( ) 0 Eje OX y 0 m m m ( m ) Luego, l función f( ) v por encim del eje OX m m m m (6 ) A m d m m u m m m

8 Clcul el vlor de pr el que se verific. MATEMÁTICAS II. 06. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Clculmos l integrl d d ln( ) ln( ) ln Resolvemos l ecución: ln( ) ln ln e e ' 77 Y que 0

9 Consider l función dd por siendo. Esboz el recinto limitdo por l gráfic de f y l rect recinto se 6. MATEMÁTICAS II. 06. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. y clcul el vlor de m pr que el áre de dicho Hcemos un esbozo de ls dos funciones. Clculmos los puntos de corte de ls dos funciones. y m m 0 0 ; m. y m 6 ( ( ) 0 m m m m m ( m ) m ( m ) 8 8 m m d m m 8m 6 7 0

10 Clcul MATEMÁTICAS II. 06. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Como el cmbio es t, vmos clculr cuánto vle d y : dt d d dt t dt t t t Sustituimos en l integrl el cmbio de vrible t dt t dt tdt d t t t t t Dividimos y descomponemos: tdt dt t ln t ln C t t

11 Determin l función tl que MATEMÁTICAS II. 06. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Clculmos: f '( ) f ''( ) d sen d sen d ( cos ) cos C f ( ) f '( ) d (cos C) d sen C D Clculmos los vlores de ls constntes con los dtos del problem f(0) D f 0 C 0 C Luego, l función que nos piden es: f ( ) sen

12 Se f : l función definid por f ( ). Encuentr l rect horizontl que cort l gráfic de f formndo con ell un recinto con áre 8 5. MATEMÁTICAS II. 06. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. Hcemos un esbozo de ls dos funciones. L rect prlel l eje OX tiene de ecución y Clculmos los puntos de corte de ls dos funciones. y y. Como el recinto es simétrico respecto l eje OY, clculmos el áre pr 0 y l multiplicmos por ( ) 8 ( ) d

13 Clcul d. Sugerenci: se puede hcer el cmbio de vrible t MATEMÁTICAS II. 06. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B Hcemos el cmbio de vrible: t t d t dt Con lo cul: t t I d tdt dt t t Es un integrl rcionl, hcemos l división y descomponemos t t ( ) I dt t t dt t t ln t ln C t t

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