EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS

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1 EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS. Integrles impropis de primer especie. Clculr Pr n, n con >. F (b) = b n n+ = n + Si n >, entonces F (b) =, con lo que Si n <, entonces l integrl converge y Pr n =, F (b) = F (b) = y, como F (b) =, l integrl diverge.. Clculr e. Resolvemos directmente l integrl: e = b e = ] b = n + (bn+ n+ ). n diverge. n = n+ n +. = ln b ln e ] ( e ) =. 3. Estudir l convergenci de l integrl e. Clculremos directmente l integrl plicndo l definición de integrl impropi.

2 e b de lo que se deduce que l integrl es convergente. 4. Estudir l convergenci de l integrl e / e / ] b ( e b/ + ) =, En primer lugr, si =, e = y l integrl diverge. e, R. Si, descomponemos l integrl en dos sumndos y obtenemos: I = k k e + e ] k ek e = + m ] + m k e ] m k e + m m e e m + ] { / si >, = si <. Result en definitiv que l integrl propuest es convergente cundo > y divergente cundo. 5. Clculr e. Utilizremos l propiedd (4), relciond con l integrción por prtes pr integrles impropis. Pr ello, tomndo f() =, g () = e, tenemos que f () =, g() = e y e b e e ] b + b debido que e ] b b be b e b =. 6. Hllr e + e. e e ] b =, Como mbos ites de integrción son infinitos, descomponemos l integrl en dos sumndos. Si escribimos el integrndo como e + e = e, tenemos: + e b I e + + e b rc tg e ] b + b e b + e rc tg e ] b (rc tg e b π/4) + (π/4 rc tg b eb ) = π π 4 + π 4 = π.

3 7. Estudir l convergenci de l integrl (ln ) 8. Si clculmos directmente l integrl, tenemos: (ln ) 8 de modo que l integrl es convergente. 8. Estudir l convergenci de l integrl b (ln ) (/)(ln ) ( ) 7(ln b) 7 + 7(ln ) 7 = 7(ln ) 7, e e. Resolvemos en primer lugr l integrl indefinid hciendo el cmbio de vrible e = t: e e = e e e = e t dt = e t = e e. Clculmos continución l integrl impropi y tenemos: e e = b e e = de lo que se deduce que l integrl es convergente. 9. Hllr e sen. ] b ( e eb + e e ) = + = ; El ite superior de integrción es infinito con lo que, l integrr por prtes, obtenemos: I b e sen ] b e (sen + cos ) e b (sen b + cos b) +. Cundo b, e b, mientrs que sen b + cos b, luego I = /.. Clculr I n = n e, pr n N. Integrndo por prtes, obtenemos que n e = n e + n n e. 3

4 Recordndo demás que b n e b =, result: I n b n e b n e b + n b n e = n I n. Procediendo por recurrenci, se lleg que I n = n(n )I n = = n! I y como I = obtenemos que I n = n!. Hllr Por definición de integrl impropi, tenemos: b rc tg(/) I + 4 ] b = π 4. e =,. Clculr l integrl Por definición de integrl impropi = B A A B Resolvemos en primer lugr l integrl indefinid pr lo cul plicmos el método de integrción por frcciones simples. Como = ] ln rc tg rc tg, 3 l integrl propuest vldrá I = 8 ln + π π ln + π π ] = 5π. 3. Demostrr que ( + es convergente, pr todo m N. ) m En efecto, si hcemos el cmbio de vrible = tg t, = sec t dt, los ites de integrción son hor t = (correspondiente = ) y t = π/ (cundo = ). L integrl qued hor π/ sec t dt ( + tg t) m = π/ sec m t dt = l cul es evidentemente convergente pr m nturl. π/ cos m t dt, 4

5 4. Determinr el vlor de C pr que se convergente l integrl impropi Hllr el vlor de dich integrl. Si escribimos l función integrndo como cociente de polinomios, + C C + = + C C ( + C)( + ) = ( C) + C (, + C)( + ) ( + C C ) + observmos que el denomindor tiene grdo 3. Pr que l integrl se convergente, el grdo del numerdor debe ser menor que. De quí se deduce que C =, es decir C = /. Pr este vlor, l integrl qued: + / ] ( b b ) + + / + 4 ln( + ) ] b ln( + ) 4 ln(b + ) 4 ln 3 ln(b + ) + ln 4 ln 4(b + ) 3(b + ) = 4 ln 8 3. ]. 5. Hllr los vlores de los prámetros y b pr que ( ) + b + =. ( + ) Al igul que en el problem nterior, escribimos el integrndo como un frcción pr comprr los grdos del numerdor y denomindor. Como + b + ( + ) = (b ) + ( + ), l integrl será convergente cundo b =, es decir = b. En este cso, si integrmos por frcciones simples, obtenemos que I = ( + b + ( + ) ) ln k ln k k k + ln + = ln ln +. Como debe ser = ln ln, result que = b = e. + + ] k 6. Estudir l convergenci de l integrl ln. 5

6 Resolvemos l integrl indefinid por prtes hciendo u = ln y dv = /. Así du = /, v = / y: ln = ln + = ln + ln =. L integrl impropi qued entonces: ln b ln + ln ] b ( + ln b ) + =, b pues ln b/b = (se puede plicr por ejemplo l regl de L Hôpitl). Otr posibilidd, en l que no se clcul directmente l integrl, es utilizr el criterio de comprción. Debido que: e ln / /3/ ln / / (/) / =, / es convergente, se deduce l convergenci de l integrl propuest. 3/ 7. Estudir l convergenci de l integrl En primer lugr observmos que l función integrndo es positiv en el intervlo de integrción. Como l diferenci de grdos entre el denomindor y el numerdor es, comprmos el integrndo con l función /. Debido que / =, y l integrl impropi / es convergente, l integrl propuest tmbién es convergente. 8. Estudir l convergenci de l integrl Análogmente l problem nterior, l función es positiv en el intervlo, ). Además, cundo, es un infinitésimo del mismo orden que /, es decir / = /. Como es divergente, l integrl propuest tmbién lo será. 9. Estudir l convergenci de l integrl

7 L convergenci de l integrl dd equivle l convergenci de l integrl porque, en el intervlo, ], el integrndo es cotdo y l integrl es propi. 4 + Como l función integrndo es positiv en el intervlo de integrción, podemos plicr el criterio de comprción. Así tenemos que / 4 + / 4 + =, pues el grdo del numerdor coincide con el grdo del denomindor. Como l integrl es divergente, tmbién es divergente l integrl propuest.. Investigr l convergenci de l integrl 3 +. Como el integrndo es positivo plicmos el criterio de comprción por pso l ite. Cundo, tenemos Como l integrl 3 + = 3 ( + / 3 ) = 3/ + / 3 3/.. Estudir l convergenci de l integrl es convergente, l integrl propuest tmbién lo será. 3/ ( + ) 3/. Comprmos el integrndo con l función y = /. Tenemos sí: ( + ) 3/ / 3 3 ( / =. + ) 3/ Como es divergente, tmbién lo es l integrl propuest.. Estudir l convergenci de l integrl Comprndo los grdos del numerdor y denomindor, obtenemos que g() = / es un infinitésimo equivlente l función integrndo cundo. Como demás es convergen- 3 te, por el criterio de comprción deducimos que l integrl propuest es tmbién convergente. 7

8 3. Estudir l convergenci de l integrl e. En primer lugr descomponemos l integrl en tres sumndos. Además, debido l simetrí de l función integrndo, podemos escribir: I = e + e + e = e + e. Pr estudir l convergenci de est últim integrl impropi, como l función integrndo es positiv, plicmos el criterio de comprción. Tenemos por un ldo que se verific l cotción e e,, y por otro ldo que e b Esto indic que l integrl propuest es convergente. 4. Investigr l convergenci de l integrl e e ] ( b e b + e ) = e. 3. Debido que es un infinito de orden superior 3, es decir =, plicremos el criterio de comprción por pso l ite con l función g() = /. Ahor bien, como e 3 / / 3 =, converge, el criterio no puede plicrse con est función. Si tommos un función un poco myor que g, como h() = (/3), tenemos: y demás 3 / (/3) 3 (4/3) =, (/3) (/3) ln /3 ] b 3 = ln /3. El citdo criterio de comprción indic pues que l integrl propuest es convergente. 5. Determinr si l integrl converge o no. 3 El integrndo es no negtivo y decreciente en, ). Recordmos que, de cuerdo con el criterio de l integrl pr series infinits, si f es un función no creciente y no negtiv en, ), entonces f y n f(n) convergen mbs o divergen mbs. 8

9 En este cso l convergenci de l serie n se puede determinr por el criterio de l ríz. 3n n Tenemos sí: n n + /3 n+ n/3 n 3 n n + n 3 n+ n = 3 <, de modo que l serie converge, con lo que tmbién l integrl dd converge. 6. Estudir l convergenci de l integrl e. Aunque l función no está definid en =, como + e =, l función está cotd pr > y l integrl no es impropi en =. El crácter de est integrl es el mismo que el de l serie socid n n e n. Aplicndo el criterio de Pringsheim, como n n e n = y es convergente, tmbién lo es l serie nterior. n 7. Estudir l convergenci de l integrl e Debido que l función integrndo es positiv en el intervlo de integrción y tiende cero cundo, reducimos el estudio de l convergenci de l integrl l de l serie socid 4n 3 + n + e n. Por el criterio de l ríz, n n Entonces l integrl es convergente. 8. Estudir el crácter de l integrl I =. n 4n 3 + n + e n /e <. n ln( + ) e Como l función integrndo es no negtiv en el intervlo de integrción, estudiremos el crácter de l serie socid ln( + n) e n. Aplicndo el criterio del cociente tenemos:. ln(n+) e n+ ln(n + ) ln(n+) e ln(n + ) = e <, e n lo que indic que l serie es convergente y, en consecuenci, tmbién es convergente l integrl propuest. 9

10 9. Estudir el crácter de l integrl + sen. Como l serie socid l integrl impropi es serie n y est es divergente, tmbién será divergente l integrl dd. 3. Estudir l convergenci de l integrl sen k e n + n sen, l cul es equivlente l n Como l función integrndo cmbi de signo, estudimos l convergenci bsolut. L serie socid l integrl es sen kn sen kn que es convergente pues y, por el criterio e n e n e n n de l ríz, n n e n. n e n = <. Lo nterior indic que l integrl dd es bsolutmente convergente. 3. Estudir l convergenci de l integrl α >. sen, pr α Como l función f() = sen tiene primitiv F () = cos cotd y l función g() = / α es derivble y decreciente, con g() =, por el criterio de Dirichlet (4) se deduce que l integrl es convergente. 3. Estudir el crácter de l integrl cos Como el integrndo no es un función positiv en el intervlo de integrción, debemos estudir l convergenci bsolut. Como cos,, tenemos que cos de donde cos, l cul es convergente. Se deduce por el criterio de comprción que l integrl propuest es bsolutmente convergente.. Como regl generl podemos firmr que, si en l epresión el numerdor está cotdo, l integrl impropi converge bsolutmente si lo hce f() n n. 33. Probr que sen converge condicionlmente.

11 sen Aunque l función no esté definid en =, está cotd pues =. Por tnto l sen convergenci de l integrl dd equivle l convergenci de l integrl. Como vimos en el problem.3, est integrl es convergente. Sin embrgo, sen diverge pues, como sen sen cos =, tenemos que De ls dos últims integrles, prtes, sen diverge y cos cos. converge, pues, integrndo por ] cos sen b sen + = sen sen +, y est últim integrl converge bsolutmente como se deduce por l cotción sen. De lo nterior se deduce que sen converge condicionlmente. 34. Estudir l convergenci de l integrl sen 3 L integrl es impropi por tener un ite de integrción infinito. Aunque demás l función no sen 3 3 está definid en =, como =, l integrl no es impropi en =. + + Pr estudir l convergenci utilizmos l fórmul sen 3 = 3 sen 4 sen 3 = 3 4 sen. 3 4 sen 3 3 sen 3. Entonces 4 y cd uno de los sumndos es convergente como vimos en el problem nterior. Entonces su sum será tmbién convergente.,. Integrles impropis de segund especie. Resolver b, con α R, donde < b. (b ) α

12 Distinguiremos los siguientes csos: - Si α =, por definición de integrl impropi, b b r b r b r b ln(b ) ] r ln(b r) + ln(b )] =. r b - Si α, b r ] r (b ) α r b (b ) α (b ) α+ r b α + (b ) α+ (b r) α+ ] { si α + < = r b α + (b ) α+ α+ si α + >. En definitiv, l integrl propuest es convergente cundo α < y divergente cundo α.. Clculr b donde < b. ( ) 3/ Como l función no está cotd en =, hcemos lo siguiente: b ( ) 3/ c + c + b c ( ) 3/ b + c + c ] =. ] b c 3. Clculr 3 9. El integrndo present un discontinuidd esencil en = 3. Result entonces: ε ε + 9 ] 3 ε 3 ε rc sen /3 rc sen ε + ε + 3 = rc sen = π. 4. Estudir l convergenci de l integrl El integrndo f() = tenemos: ( )( + ). es no negtivo y f() =. Tomndo g() =, ( )( + ) f() g() = >. + 3

13 Por tnto, l integrl dd converge si y sólo si converge l integrl de g. Ahor bien, luego l integrl dd es convergente. b ] b b b =, 5. Investigr si es convergente l integrl 4. L función integrndo tiene un discontinuidd en =. Comprmos l integrl propuest con l de /( ) α con α propido. Debido que / 4 /( ) α ( ) α 4 ( ) α ( ) / ( + )( + ) = /, cundo α = / y demás es convergente, del criterio de comprción se deduce ( ) / l convergenci de l integrl propuest. 6. Estudir l convergenci de l integrl ( + ) 4. Aplicmos el criterio de comprción con l integrl convergente l integrl es convergente. (+ ) 4 ( ) / ( + )( + ) / =,. Como ( ) / 7. Estudir l convergenci de l integrl ( 3 ) n. L integrl es impropi porque el integrndo tiende infinito cundo. Hcemos el cmbio de vrible 3 = t, = dt dt. L integrl se escribe hor como I = 3t/3 3t /3 ( t). A n primer vist prece que se h complicdo l integrl pues hor es impropi pr los dos etremos del intervlo. Dividimos éste en dos sumndos: I = / dt 3t /3 ( t) n + / dt 3t /3 ( t) n. El primer sumndo es convergente pues l integrl es equivlente / dt t /3 que sbemos es convergente. El segundo sumndo, l estr cotdo /t /3 en todo el intervlo, será convergente cundo n/ <, es decir n <. 3

14 Otro método más sencillo serí descomponer 3 de l siguiente form 3 = ( ++)( ). L integrl qued entonces ( I = ++) n ( ) n/. Como el numerdor está cotdo en todo el intervlo y el grdo del denomindor es n/, l integrl será convergente cundo n/ <. 8. Demostrr que 4 no eiste. ( ) El integrndo present un discontinuidd esencil en =, vlor comprendido entre los ites de integrción. Descomponemos l integrl en dos sumndos y result: ε 4 I ε + ( ) + ε + +ε ( ) ] ε ] 4 + ε + ε + +ε ( ) ε + ε + ( 3 + ε ) ε + =. Si no se hubier tenido en cuent el punto de discontinuidd, obtendrímos equivocdmente el resultdo: 4 ( ) = ] 4 = 4 3 pues demás no es posible que l integrl de un función positiv se negtiv. 9. Estudir l convergenci de l integrl I = 3. Como l función no está cotd en =, descomponemos l integrl en sum: 3 = Cd uno de los sumndos es convergente pues tiene l form deduce que l integrl es convergente. α con α <. De ello se El vlor de l integrl serí el mismo si no se tuvier en cuent l discontinuidd esencil en =, pero no serí correcto el proceso seguido.. Hllr

15 Como el integrndo present un discontinuidd en =, tenemos que ε I ε ε + +ε ( ) /3 ] ε 3 + ( ) /3 ] 4 ε + +ε 3 3 ε + ( ε)/3 ] + ε (ε ) /3 ] = 3 3 ε + ( 3 9 ).. Determinr el crácter de l integrl 3 (3 )( ). L integrl es impropi porque el integrndo tiende infinito en los dos etremos del intervlo. Seprmos l integrl en dos sumndos y tenemos: I =, (3 )( ),5 (3 )( ) Aplicremos el criterio de comprción pr estudir l convergenci de cd integrl. En el cso de que,5, deducimos que (3 )( ) ( )/ = (3 )( ) ( )/ = (3 )( ) ( ) /.,5 Como demás es convergente, tmbién lo será el primer sumndo de l integrl ( ) / dd. Procediendo nálogmente con el segundo sumndo obtenemos que, si,5 < < 3, (3 )( ) (3 ) / y sbemos tmbién que 3,5 es convergente. (3 ) / En definitiv obtenemos que l integrl propuest es convergente.. Determinr l nturlez de l integrl I = ( ). Como l integrl es impropi en los dos etremos de integrción, l dividimos en dos sumndos. Así escribimos I = / ( ) + / / ( ) = 5 ( ) / / + / /.

16 Los numerdores están cotdos en los intervlos correspondientes. Por tnto l primer integrl / tiene el mismo crácter que que sbemos es convergente. Con respecto l segund / integrl podemos fctorizr el denomindor y escribir Est integrl es equivlente en cunto su crácter l integrl convergente. En definitiv, l integrl dd es convergente. 3. Hllr π/ cos sen. / / = El integrndo present un discontinuidd en = π/, de modo que I = π/ ε cos ( sen ) / ] π/ ε ε + sen ε + = ε +{ sen(π/ ε)]/ } =. / / / ( ) / ( + ) /. que es tmbién ( ) / 4. Clculr l integrl ln. Est integrl es impropi porque el integrndo no está cotdo en =. Si relizmos l integrl indefinid por prtes, tenemos: ( ln ] ) ln I + + ] ln 4 = 4 + +( ln 4 ) ln / = 4 = 4 = 4. + / + ( /) 3/ 5. Clculr rc sen. Por definición de integrl impropi, tenemos: rc sen B B B rc sen (rc sen ) ] B = (π/) = π 8. 6

17 π/ cos 6. Determinr los vlores de m pr que m se convergente. Debido l equivlenci cos cos si, entonces m y ls dos integrles m π/ cos π/ m, tienen el mismo crácter (convergen o divergen l vez). De m quí se deduce que l integrl es convergente cundo m <, o bien m < 3, y divergente cundo m Estudir l convergenci de l integrl ln. Como l función no está cotd en = ni en =, descomponemos l integrl en dos sumndos sí: ln α = ln + ln, con < α <. α Aplicmos el criterio de comprción pr estudir l convergenci de cd un de ls integrles. Debido que ln / / = y que α es convergente, el primer sumndo es convergente. / Análogmente, como y α ln / = es convergente, el segundo sumndo es tmbién convergente. De lo nterior se deduce que l integrl propuest es convergente. 8. Determinr l nturlez de l integrl ln según los vlores de >. Como l función integrndo no está definid en = ni en =, descomponemos l integrl en dos sumndos / I = + ln / = I + I. ln En l segund integrl hcemos el cmbio de vrible z =, con lo que I = / z dz ( z) ln( z). Debido l equivlenci de infinitésimos ln( z) z cundo z, podemos comprr l / z dz / dz integrl con = y est últim es convergente. z z 7

18 Estudimos hor el primer sumndo, que es un integrl impropi en = porque ln ln =. / / Comprremos l integrl con b que es convergente si b < y divergente si b. Clculndo el ite del cociente, obtenemos: + / ln b / b + ln = { si b si b <. De este modo, si <, elegimos b =, en cuyo cso el ite del cociente es cero y l integrl I es convergente. Por otr prte, si >, elegimos b = lo que hce que el ite del cociente se infinito y l integrl se divergente. Estudiremos por último el cso =. Como / / ln ln pues está cotd en (, /), y demás / l integrl es tmbién divergente. ] / ln ln =, ln + tiene el mismo crácter que En definitiv, obtenemos que l integrl propuest es convergente cundo < y divergente cundo. 9. Estudir el crácter de l integrl I = 3 e /. e t Si hcemos el cmbio de vrible = /t, result l integrl I = dt. Ahor bien, como l t5 sucesión de término generl n = en n 5 es divergente, ( n = ), l serie n es divergente. Por el criterio de l serie socid, l integrl impropi I es tmbién divergente.. Estudir l convergenci de l integrl π cos. El denomindor se nul cundo = ; por tnto el integrndo no está cotdo en =. Debido l equivlenci cos, result que l integrl propuest tiene el mismo crácter que π. Como ést es divergente, tmbién lo es l integrl propuest.. Estudir l convergenci de l integrl

19 Descomponemos l integrl en dos sumndos como I = Así tenemos dos integrles impropis: l primer es de segund especie pues l función no está cotd en = y l segund de primer especie, pues el intervlo de integrción es infinito. Aplicmos el criterio de comprción en mbos csos. Por un prte, e es convergente. Por otr prte, / + 4 / = + 3 / + 4 / = + 4 e es convergente. Como mbs integrles son convergentes, tmbién lo será l sum de mbs.. Estudir l convergenci de l integrl e. e Como + directmente l integrl, obtenemos: e = e e = =, l integrl es impropi en mbos etremos de integrción. Clculndo ] e B + e A =. A + B e ] B A + A B 3. Determinr los vlores de pr los cules es convergente l integrl I = +. Por un prte el intervlo de integrción es infinito y por otr, en el cso de que <, el integrndo no está cotdo en =. Debemos pues descomponer l integrl en dos sumndos I = + + L primer integrl tiene el mismo crácter que es decir >. +., l cul es convergente cundo <, Con respecto l segundo sumndo, debido l equivlenci +, cundo, l integrl es equivlente = =, l cul es convergente si >, o bien <. 9

20 En definitiv, ls dos condiciones indicn que l integrl propuest es convergente cundo < < y divergente en cso contrrio. 4. Estudir l convergenci de l integrl e α según los distintos vlores de α. Debido que l función integrndo no está cotd en = cundo α >, descomponemos l integrl en dos sumndos e e e α = α + α, y estudimos l convergenci de cd uno de ellos. En el primer sumndo, como e si, entonces e α, de modo que l integrl es convergente si α < y α divergente si α. Pr el segundo sumndo, como e α, l convergenci equivle l de l α integrl. Por tnto, converge si α > y diverge si α. α Como l integrl propuest es convergente cundo lo sen mbos sumndos, tenemos que es convergente cundo α (, ) y divergente en el resto. 5. Probr que l integrl impropi Descomponemos l integrl en dos sumndos como t α e t dt = t α e t dt converge si α > y diverge si α. t α e t dt + y estudimos l convergenci de cd uno de ellos. t α e t dt, El primer sumndo corresponde un integrl impropi de segund especie. Debido l equivlenci e t t cundo t, result que tα e t. Esto indic que l integrl converge t α cundo α <, es decir α >, y diverge cundo α. El segundo sumndo es siempre convergente como se deduce l comprrlo con l integrl convergente. En efecto: dt t t t t α e t t t α+ e t =. L integrl propuest es por tnto convergente cundo α >. 6. Se define l función Γ() como: Γ() = t e t dt.

21 ) Probr que converge pr > y diverge pr. b) Probr que Γ( + ) = Γ() pr >. c) De lo nterior, deducir que Γ(n) = (n )! pr culquier n nturl. ) Vmos seprr el estudio en tres csos: - : L integrl es impropide primer especie pues l función está cotd. Aplicmos dt el criterio de comprción con, que es convergente: t t t t e t t + t e t =, como se deduce l plicr l regl de L Hôpitl sucesivs veces (el denomindor es un infinito de orden superior l del numerdor). Esto indic que l integrl impropi es convergente. - < < : En este cso l integrl tmbién es impropi de segund especie pues en = l función no está cotd. Descomponemos l integrl como t e t dt = t e t dt + t e t dt. El segundo sumndo es convergente (se procede como en el cso nterior); pr estudir l dt convergenci del primer sumndo plicmos de nuevo el criterio de comprción con t α donde elegimos culquier α que cumpl > α >. Debido que y que t tα t e t + t tα+ =, + dt es convergente, tmbién l integrl propuest es convergente. tα - : De nuevo tenemos un integrl impropi de segund especie. Aplicmos el criterio dt de comprción con, hciendo α =. Result: tα y, como t tα t e t + t e t = + dt es divergente, tmbién lo es l integrl propuest. tα b) Aplicndo el método de integrción por prtes, Γ( + ) b b t e t dt t e t] b + + Γ() = Γ(). eb c) Aplicndo el prtdo b) sucesivs veces, tenemos: Como demás Γ() = b Γ(n) = (n )Γ(n ) = = (n )(n )... Γ(). e t dt =, deducimos que Γ(n) = (n )! t e t dt

22 3. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. Resolver (rc tg t) dt. + L integrl del numerdor es divergente porque (rc tg t) = π /4. Como el ite del t denomindor tmbién es infinito, tenemos un indeterminción /. Aplicndo l regl de L Hôpitl, L (rc tg t) dt + (rc tg ) / + = π /4 = π /4. ( et dt. Resolver et dt Como ls integrles ). e t dt y e t dt son divergentes (los integrndos son funciones que no están cotds en (, )), tenemos un indeterminción del tipo /. Aplicndo por dos veces l regl de L Hôpitl, result: L ( et dt ) et dt et dt e e et dt e e e / =. 3. Se F l función definid en todo R por F () = ) Estudir l continuidd y derivbilidd de F. b) Probr que F () F () =. + e t t dt. ) Como l función integrndo f() = e / es continu en R \ {}, será integrble en culquier intervlo que no conteng l cero. Esto implic que F es continu en R pues, l ser + >, culquier punto del intervlo, + ] es positivo. Además es tmbién derivble en todo R, siendo dt, debemos estudir l convergenci de est inte- b) Como F () F () = e t t grl impropi. f () = e+, R. +

23 Debido que =, l función integrndo no está cotd, de modo que l integrl t es divergente. Tenemos en definitiv que t e t F () F () = Demostrr l cotción e ( + ) e t dt e. Integrmos en primer lugr por prtes, hciendo u = t y dv = te t dt. Así: e t dt = = t te t dt ( + t ] b t e t ) e t dt = e. Como t, + t +. Por tnto, e ( = + ) t e t dt = e t dt e ( + ) y tmbién t e t dt ( + ) e t dt e t dt e. Observción. Est cotción permite estimr el error que se comete l desprecir el áre situd bjo l curv y = e pr vlores grndes de. 5. Hllr el áre comprendid entre l estrofoide y ( + ) = ( ) y su síntot. En form eplícit, l ecución es y = ± + y su síntot es l rect =. De cuerdo con l figur y teniendo en cuent l simetrí, el áre es: A = + = r + + = (4 + π). 3 r

24 6. Hllr el áre situd l derech de = 3 y limitd por l curv y = X. y el eje De cuerdo con l gráfic, el áre viene dd por l fórmul A = 3 que es un integrl impropi. Resolviendo l integrl indefinid por el método de frcciones simples, obtenemos: = ln ] b + b A 3 3 = ln b b + ln = /b ln + /b + ln = ln. 7. Clculr el áre limitd por ls curvs y =, y = en el intervlo, ). + De cuerdo con l gráfic y por definición de integrl impropi, tenemos: ( A = ) b ( + ) + ln ] b ( ln( + ) ln b ln ) = ln. + b 4

25 8. Hllr el áre limitd por l curv y + y = y sus síntots y el volumen engendrdo por dich áre l girr lrededor del eje X. ) Si despejmos l vrible y, l curv se epres como y = ± síntots son = y =. lo que indic que ls Teniendo en cuent que l curv es simétric respecto los dos ejes de coordends (lo que se deduce l sustituir por e y por y), el áre vendrá dd por l fórmul A = 4. Como el integrndo present un discontinuidd en =, debemos clculr A = 4 ε + ε = 4 ε + ] ε = 4 ε +( ε ε ) = 4. b) Aprovechndo de nuevo ls simetrís y plicndo el método de los discos, tenemos: V = π y = π = π ε + ε y = π = π ε + + ln ( ) ] + / ε =. 9. Hllr el áre de l región comprendid entre l curv de Agnesi y = 3 y el eje de + bsciss y el volumen engendrdo por l mism región l girr lrededor del eje X. 3 El eje de bsciss es l síntot de l curv, pues + =. 5

26 ) Teniendo en cuent l simetrí de l figur, el áre viene dd por 3 A = + = b / (/) + (/) + rc tg(/) ] b rc tg(b/) = π. b) Aplicndo el método de los discos, el volumen se obtiene por l fórmul V = π y 6 () = π ( + ). Pr relizr l integrción plicmos el cmbio de vrible = tg t, con lo que = = t = y = = t = π/ y obtenemos: V = π = π π/ 6 ( + ) π/ = π sec 4 t sec t dt 3 cos t dt = π 3 π/4 = π 3 /.. Se consider l curv y = /4 definid en (, ]. ) Hllr el áre bjo l curv. b) Hllr el volumen del sólido obtenido l girr l curv lrededor del eje X. ) Como l función no está cotd en =, el áre viene dd por un integrl impropi: A = /4 + b) Análogmente l prtdo nterior, V = π = π + /4 + /4 = π + ] ( ) 3/4 4 3/ /4 = / ] / = π / +( / ) = π.. Se consider l región R limitd por ls curvs y( + ) + rc tg = y y 3 = en el intervlo, ]. 6

27 i) Clculr el áre de l región R. ii) Eiste el volumen del sólido obtenido l girr R lrededor del eje X? i) De cuerdo con l figur, el áre viene dd por: A = + ( /3 + ) rc tg + (3 + (π/4) 3 /3 + /3 /3 (rc tg ) (rc tg ) + ) = 3 + π 3. ] ii) El volumen pedido es el mismo que el de l región comprendid entre l curv y = /3 y el eje X en el intervlo, ] (bst observr que l girr est región y qued incluid l prte comprendid en el curto cudrnte). Aplicndo el método de los discos, V = π y = π 4/3 + π = 3π +( /3 /3 ) =. /3 /3 ]. Determinr el volumen del sólido obtenido l girr l región limitd por l curv e y = y los ejes de coordends lrededor del eje OX. 7

28 De cuerdo con l figur, si plicmos el método de los tubos, l fórmul del volumen d: V = π ( )ydy = π ye y dy. Como es un integrl impropi debemos estudir su convergenci. Integrmos en primer lugr por prtes y obtenemos: ye y dy = (y + )e y, con lo que V B π (y + )e y] B B π(b + )e B + π = π. 8

29 4. Ejercicios propuestos. Hllr Resp.: I = /.. Clculr Resp.: I = π/. 3. Clculr Resp.: I = π/4. e Pr qué vlores de es convergente Resp.: Diverge pr todo. +? 5. Clculr 4e + 9e. Resp.: I = π 6 rc tg Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Divergente (comprr con /). 7. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con 8. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con 9. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con ln ( + ). / α con < α < 4). / 3 ). / ). ( + )

30 3e 3/ e + e /. Estudir l convergenci de l integrl e e 3/ + 3e 4e / +. Resp.: Convergente (comprr con e / ).. Estudir l convergenci y clculr l integrl Resp.: I = π/4. ( + ).. Estudir l convergenci de l integrl f() = { si < si Resp.: Convergente pues 3. Estudir l convergenci de l integrl f() siendo / es convergente y + 3 cundo. sen. Resp.: Divergente (l función y = sen no está cotd en (, )). 4. Probr que cos + = sen y que un de ells converge bsolutmente. ( + ) Sugerenci: L iguldd se obtiene integrndo por prtes. Ver problem.3 pr estudir l convergenci. 5. Se consider l función f() = ce. ) Determinr el vlor de c pr que b) Clculr Resp.: ) c = ; b) I = /. 6. Probr que Sugerenci: Resolver l integrl. f() =. f() con el vlor de c obtenido en ). e p es convergente si p > y divergente si p. 7. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Divergente (comprr con / ). + cos. 3

31 8. Demostrr que π/ sec no eiste. Resp.: L integrl es divergente. 9. Clculr. Resp.: L integrl es divergente.. Clculr 3 ( ) 3/5. Resp.: 5( 5 )/4.. Estudir l convergenci de l integrl impropi Resp.: Divergente (comprr con /). e cos.. Estudir l convergenci de Resp.: Convergente (comprr con Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con c /( ) / ) / y con 3 c / 3 ). 4. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Divergente (integrción direct). sen. 5. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (integrción direct). ln. 6. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con / )

32 7. Demostrr que e e t dt =. Sugerenci: Aplicr l regl de L Hôpitl. 8. Clculr el áre de l región limitd superiormente por l curv y =, inferiormente por l curv y( + ) = y l izquierd de =. Resp.: A =. 9. Clculr el áre de l región limitd por ls curvs y =, =, = 3 por encim del eje OX. Resp.: A = 8 ln(3 + 8). 3. Clculr el áre de l región limitd por l curv y = entre los puntos de bscis 3 = y =. Resp.: A = π/3. 3. Clculr el áre comprendid entre y = e y el eje X en (, ). Cuánto vle Resp.: A = ; I = por ser un función impr y l integrl convergente. e? 3. Se f() = e pr todo. Llmmos R l región limitd por l curv y el eje X en el intervlo, t], con t >. Clculr el áre A(t) de R y el volumen V (t) obtenido l girr R lrededor del eje X. Interpretr los vlores de A(t) y V (t). t t Resp.: A(t) = e t + ; V (t) = π 4 e 4t + π 4. 3