Descomposición elemental (ajustes por constantes)

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1 Descomposición elementl (justes por constntes) OBSERVACIONES. Ls primers integrles que precen se hn obtenido del libro de Mtemátics I (º de Bchillerto) McGrw-Hill, Mdrid Otros problems se hn obtenido de ls Pruebs de Selectividd. Alguns integrles con solución.. d c. d c. d c ( ). ( ) d c. d c ( ) 6. ( ) d c 7. ( ) d c 8. d c 0 9. d c 9 0. d c ( ) 6. ( ) d 6 c. ( ) d c 9. ( ) d 0 c. d c. d c 6. d c 7. d c / 8. d c / 9. d c / 0. d c. d ln c. d ln( ) c. d c ln( ). d ln( ) c. d ln c 6. d ln c 6 ( ) 7. ( ) d c 6 ( ) 8. ( ) 6 d c 6 9. d ln( 6) c 6 0. cos d sen c. 8 d 6ln( ) c. d c ln( 6) 6. d ln( ) c. 6 e d 6e c. 6 e d e c 6. e d e c

2 7. e d e c 8. ( e ) d e c 9. (e ) d e c 0. ( e ) d e c e. d e c 6. cos d sen c. d sen c cos. ( cos) d sen c. d sen c cos 6. send cos c 7. send cos c 8. ( sen) d cos c 9. sen d c cos 0. ( tg ) d tg c. d tg c cos tgd ln cos c Integrles resuelts. Clcul d Descomponiendo l epresión del integrndo: Por tnto: d d c NOTA: L integrl d es inmedit, pues d d c. De un función y f (), >, sbemos que tiene por derivd y, donde es un constnte. Determin l función si, demás, sbemos que f ( 0) y f ( ). L función y f () es un primitiv y. Por tnto, f ( ) d = ln( ) k, siendo k un constnte. De f ( 0) ln( 0) k k =. Luego f ( ) ln( )

3 De f ( ) ln( ) ln L función es f ( ) ln( ). ln. ln. Clcul un primitiv de l función / f ( ) ( ) que se nule en =. El conjunto de tods ls primitivs es ( ) d / / / / / = ( ) d ( ) d = / / / = c c / / / 6 Como l primitiv buscd se nul en = 0 c c 6 L primitiv es: F ( ).. Clcul rzondmente l epresión de un función f () tl que f ( 0). f ( ) e y que f ( ) e d e c De f ( 0) e 0 c c =. Luego, ( ) f e sen. Clcul l integrl indefinid: d cos sen d sen = d cos sen = cos ( cos ) sen d = cos sen cos sen = d = / / (sen (cos ) sen (cos ) ) d = cos / / = (cos ) (cos ) c

4 6. Clcul l primitiv de l función f ( ) que se nul en el punto de bscis =. Se F( ) d l primitiv buscd. F( ) d = ( ) d / = ( ) d / = / / ( ) ( ) ( ) c c = c / ( ) 7 Si se nul pr = F () c 0 c 0 c ( ) Luego, F ( ) 7. Dd l función f ( ) : ) Clcul l integrl f ( ) d. b) Hll l primitiv F de f que cumple que F ( ). ) Ajustndo constntes se tiene: f ( ) d = d d c 0 0 b) Como F( ) c, pr que F ( ) se tendrá: F () c c c Por tnto, l primitiv buscd es F ( ) 8. Clcul d. Primer descomposición: L segund frcción: ( ) Y, por último:

5 9 ) ( 9 Por tnto, l integrl pedid es: d = d = = c rctg L ) (

6 6 Cmbios de vrible d 0. Clcul ( ) Hciendo el cmbio de vrible = t d = dt, se tiene: d ( ) dt t t dt t c d c ( ). Clcul d. Puede hcerse el cmbio t. Con esto, si diferencimos se tiene: d dt d dt d tdt. Sustituyendo en l integrl dd: d tdt t Deshciendo el cmbio se obtiene: d ln t dt t c dt t ln( t) c t. Clcul d Hciendo el cmbio de vrible t se tiene: t ; t ; d tdt Por tnto d t t = tdt t t t dt Hciendo l división del integrndo: t t dt t t dt t t t t t ln( t) c Deshciendo el cmbio se tendrá que: d = ln( ) c

7 7. Clcul d. d dt Hciendo + = t t ( t ) Luego: d = ( t t ) t dt ( t t t ) dt / / / / = 7 / / / 7 / / / = t t t c ( ) ( ) ( ) c 7 7. De tods ls primitivs de l función f ( ) tn( )sec ( ), hll l que ps por el punto P(/, ). Como deberí sberse, sec () = + tn (). En consecuenci: tn( )sec ( ) d = tn( )[ tn ( )] d Hciendo el cmbio tn() = t [ + tn ()]d = dt, luego tn( )[ tn ( )] d = dt t c c t tn ( ) Pr que pse por P(/, ) tn (/) + c = + c = c = 0. L primitiv buscd es tn( )sec ( ) d tn ( )

8 8 Integrción por prtes 6. Describe en qué consiste el método de integrción por prtes pr el cálculo de primitivs. Aplic dicho método pr clculr ls siguientes primitivs: I e d J ln( ) d El método de integrción por prtes puede usrse pr l integrción de un producto de funciones. Su regl se obtiene como sigue: Sen u y v ls funciones. Diferencindo: d( uv) udv vdu Integrndo: d ( uv) udv vdu uv udv Despejndo: udv uv vdu vdu Aplicción los csos plntedos: I Tomndo: Se tiene: Tomndo: Luego, I e d u = du = d e d dv e dv d v e e d = e e d = e e c J ln( ) d u = ln du = (ln +)d dv = d v = ln( = ln ( ln ) d ln ln d J ) d ln d = ln c De donde, J ln( ) d = ln c d 7. Clcul ls siguientes integrles indefinids: ln( ) d ln( ) d se hce por prtes, tomndo: u = ln ( + ) du dv = d v = d

9 9 Qued; ln( ) d ln( ) d = ln( ) d = = ln( ) ln( ) c 8. Determin l función f () sbiendo que f ( ) ln, f () = 0 y e f ( e). f ( ) ln d ln d ln c Est integrl l hemos hecho por prtes, tomndo: ln = u; d = dv Como f () = 0 0 c c. Por tnto, f ( ) ln d d d Hciendo por prtes d ln ln u; d dv, se tiene: ln d ln 6 8 Luego, f ( ) ln d d d = ln c 6 8 e e e e e e Como f ( e) ln e c c e e De donde, f ( ) ln Clcul l siguiente integrl indefinid e ( b c) d En función de los prámetros, b y c. L integrl pedid e b c d ( ) = e d be d ce d Ls dos primers integrles deben hcerse por el método de prtes; l tercer es inmedit. c c L integrl ce d e d e k Pr be d hcemos u = b du = bd dv e d v e

10 0 Luego, be d b b b = b e e d e e (*) Pr e d hcemos u = du = d dv e d v e Luego e d e e L segund integrl es idéntic (*) pr b. Por tnto e d e e d = e e e d Teniendo en cuent todos los resultdos, e b c d ( b b c ) = e e e e e e k b b c = e k = 0. Se f: (0, +) R l función definid por f ( ) ( ln ), donde ln es logritmo neperino de. Encuentr un primitiv de f cuy gráfic pse por el punto (, ) ( puntos) F ( ) ( ln ) d Hcemos ln d por prtes: u = ln du = (ln +)d dv = d v = Luego, ln d = ln ( ln ) d De donde, ln d = ln ln d = ln Con esto: F ( ) ( ln ) d = ln c ln c Como el punto (, ) es de F(), se cumple que: ln c c Por tnto, l primitiv pedid es F ( ) ln

11 . Hll l integrl indefinid d 6 Descomposición en frcciones simples Por descomposición en frcciones simples: A B A( ) B( ) = 6 ( )( ) Luego: A ( ) B( ) si = : = A A = / si = : = B B = / Por tnto: d = 6 / / d d d = ln( ) ln( ) c =. Clcul d Por descomposición en frcciones simples: A B A( ) B( ) = Luego: A ( ) B( ) si = : = A A = si = : = B B = Con esto: d d d = ln( ) ln( ) c. Clcul: d (Observ que es csi igul que l nterior.) Descomponiendo en frcciones simples, d = d d L L c / ( ) / ( )

12 . Clcul: d Hcemos l división :. Qued:. Descomponemos en frcciones simples. A B A( ) B( ) Pr =, se tiene: A A / Pr =, se tiene: B B / / / Luego, A( ) B( ) Por tnto: / / d = d = = ( ) d d d = ln( ) ln( ) k. Clcul: d Puede hcerse por el método de descomposición en frcciones simples. Como ls ríces del denomindor de l epresión son 0, y, se tendrá: A B C A( ) B( ) C( ) = ( )( ) Por tnto: A ( ) B( ) C( ) Si dmos los vlores 0, y se tendrá: Pr = 0 = A A = Pr = = B B = Pr = = C C = Luego d d ln ln( ) ln( ) c

13 6. Se considern ls funciones reles f ( ) 8 9 y g ( ) 6 7. Se pide: f ( ) ) Determin ls ecuciones de ls síntots l gráfic de l función. g( ) f ( ) b) Clcul l función H ( ) d que cumple H() =. g( ) f ( ) 8 9 ) L función F ( ) : g( ) 6 7 tiene un síntot oblicu, pues el grdo del numerdor es uno más el grdo del denomindor; puede tener síntots verticles en los ceros del denomindor; en ls soluciones de 6 7 0, que son = / y = /. Ls síntots verticles se confirmn, pues 8 9 lím y lím / 6 7 / L síntot oblicu puede clculrse dividiendo: L síntot es l rect y = +. b) Por l división nterior, sbemos que Si tenemos en cuent que , f ( ) 7 H ( ) d = g( ) d 6 7 Si H() = + + ln + c = c =. Por tnto, H ( ) ln6 7 f ( ) 7. g( ) 6 7 = ln6 7 c 7. Clcul l siguiente integrl: ( ) Por descomposición en frcciones simples se tiene: A B C A( ) B( ) C = ( ) ( ) ( ) ( ) Por tnto, d

14 A( ) B( ) C = A (A B) ( A B C) Identificndo coeficientes se tiene el sistem, A 0 A B A = 0, B =, C = A B C 0 Luego, de donde ( ) ( ) ( ) d = d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = c ( ) = Ls dos últims integrles son inmedits, pues f ( ) f ( ) ( ) con escribir d d ( ) d ( ) n d d f ( ) n n. Ahor bst

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