Sistemas holónomos/no holónomos

Transcripción

1 Sistemas holónomos/no holónomos Estática y Dinámica Analítica p 1/13 Sistemas holónomos: N partículas, g ligaduras finitas, GDL = n = 3N g n = GDL coordenadas generalizadas independientes q j DVCL espacio vectorial de dimensión n = GDL DVCL: δr i = n r i q j δq j Todos los δq j arbitrarios δq j arbitrarios, los coeficientes tienen que ser todos nulos Estática Dinámica indepte Q j δq j = 0 (Q j P j ) δq j = 0 δq j Q j = 0 P j = Q j j = 1n

2 Sistemas holónomos/no holónomos Estática y Dinámica Analítica p 2/13 Sistemas no holónomos: g ligaduras finitas, h cinemáticas ni, GDL = m = 3N g h 3N g = n > GDL q j no independientes DVCL espacio vectorial de dimensión m = GDL< n DVCL: δr i = n r i δq j los δq j no son arbitrarios q j δq j no arbitrarios, los coeficientes no tienen que ser nulos Estática Dinámica DVCL Q j δq j = 0 (Q j P j ) δq j = 0 δq j? = 0? =? j = 1?

3 Sistemas no holónomos Estática y Dinámica Analítica p 3/13 Dos caminos para obtener las ecuaciones: Desplazamientos independientes: Se escogen m = 3N g h δq j independientes se sustituyen los dependientes se pone δw sólo en función de los independientes los nuevos coeficientes sí tienen que ser cero Multiplicadores de Lagrange: Se sustituyen las ligaduras no integrables por sus fuerzas esas fuerzas de ligadura se cuentan entre las directamente aplicadas desaparecen las ligaduras no integrables: sus fuerzas hacen que se cumplan se aplican las ecuaciones de sistemas holónomos

4 Movimiento: no holónomos, δq j independientes Estática y Dinámica Analítica p 4/13 Se toman n > GDL coordenadas generalizadas no independientes: r i = r i (q j,t) v i = n r i q j q j + r i t Las v i tienen que cumplir también las ligaduras no integrables N N g k A ki v i + B k = A ki r i q j + r i + B k = q j t i=1 = ( N r i A ki q j i=1 }{{} C kj i=1 ) q j + ( N ) A ki r i t + B k i=1 }{{} B k = = C kj q j + B k = 0 k = 1h

5 Movimiento: no holónomos, δq j independientes Estática y Dinámica Analítica p 5/13 Las q j cumplen las ligaduras no integrables C kj q j + B k = 0, k = 1h Los desplazamientos posibles cumplen C kj dq j + B k dt = 0, k = 1h Los DVCL cumplen las ligaduras congeladas C kj δq j + B k δt = 0, k = 1h h condiciones: sólo n h serán independientes

6 Sistemas no holónomos: δq j independientes Estática y Dinámica Analítica p 6/13 Despejar h δq j dependientes en función de n h independientes: n C 1j δq j = 0 n C hj δq j = 0 n {}}{ h C kj 1 h n δq 1 δq h δq h+1 = 0 0 h δq n h {}}{ h C kj δq 1 δq h = h n h {}}{ C kj δq h+1 δq n

7 Sistemas no holónomos: δq j independientes Estática y Dinámica Analítica p 7/13 La matriz h h de coeficientes de los dependientes se puede invertir, δq 1 δq h = h h {}}{ C kj 1 n h {}}{ δq h+1 C kj = δq n n h {}}{ D kj δq h+1 δq n De este modo podemos despejar h δq j dependientes: δq k = j=h+1 D kj δq j, k = 1h en función de los n h independientes

8 Sistemas no holónomos: δq j independientes Ej: patín Escogemos δx como independiente, despejamos δy g 1 A 1 δr = sin θ δx + cosθ δy = 0 δy = tan θ δx Ej: rodadura sin deslizamiento Las ligaduras no integrables eran: g 1 δx a cos ψδϕ = 0 δx = a cos ψ δϕ g 2 δy a sin ψδϕ = 0 δy = a sin ψ δϕ En este caso es obvio que el desplazamiento independiente va a ser δϕ Cuando se proyectan en ejes 1, la cosa ya no está tan clara: } ĝ 1 cosψδx + sinψδy + aδϕ = 0 ĝ 2 sin ψδx + cos ψδy = 0 { ) δϕ = 1 a (cosψ + sin ψ cos ψ δx δy = tan θ δx Estática y Dinámica Analítica p 8/13

9 Sistemas no holónomos, δq j independientes Estática y Dinámica Analítica p 9/13 Se sustituyen los dependientes en δw, llamando L j = Q j P j h dep n h indep {}}{{}}{ δw = L 1 δq L h δq h + h dep L h+1 δq h L n δq n = n h indep {}}{{}}{ L 1 D 1j δq j + + L h D hj δq j + L h+1 δq h L n δq n = = ( j=h+1 L h+1 + j=h+1 ( h L k D k,h+1 )δq h L n + k=1 h L k D k,n )δq n = 0 δq j k=1 Ahora todos los δq j son arbitrarios, porque son independientes: Los coeficientes tienen que ser todos nulos

10 Movimiento: no holónomos, δq j independientes Estática y Dinámica Analítica p 10/13 Sustituyendo L j = Q j P j, se llega a las Ecuaciones del movimiento para sistemas no holónomos, por desplazamientos independientes P j Q j + h (P i Q i )D ij = 0, j = h + 1,,n i=1 C kj q j + B k = 0, k = 1,,h Tenemos n ecuaciones diferenciales con n incógnitas, las q j (t) d dt T q j q T j Q j general d L j = P j Q j = dt L q j q L j sólo potenciales d dt L q j q L j Q j potenciales y no potenciales

11 Equilibrio: no holónomos, δq j independientes Estática y Dinámica Analítica p 11/13 Para las ecuaciones de equilibrio, se anulan las P j y las q j, Q j + h Q i D ij = 0, i=1 j = h + 1,,n B k = 0, k = 1,,h Ecuaciones de equilibrio para sistemas no holónomos mediante desplazamientos independientes Tenemos n h ecuaciones algebraicas no lineales con n incógnitas, las qj e : si hay solución, en general serán En los sistemas reónomos, sólo se aplican en los puntos en que se cumple B k = 0

12 Equilibrio: no holónomos, δq j independientes Estática y Dinámica Analítica p 12/13 Ej: Esquí sobre la nieve horizontal, unido por un muelle al origen Sólo puede moverse en su propia dirección: g 1 A 1 v = [ sin θ, cos θ] [ẋ,ẏ] = 0 = y F L 1 θ = sin θ ẋ + cosθ ẏ + 0 θ = = C 1x ẋ + C 1y ẏ + C 1θ θ = 0 Las fuerzas dadas y de ligadura tendrán la forma F m = k [x,y] F L 1 = µ 1 A 1 = µ 1 [ sin θ, cos θ] DVCL del punto de aplicación de la fuerza, G δr G r G = δq j = [1, 0] δx + [0, 1] δy + [0, 0] δθ q j Fuerzas generalizadas Q x = F m rg x = kx Q y = F m rg y = ky x Q θ = F m rg θ = 0

13 Equilibrio: no holónomos, δq j independientes Estática y Dinámica Analítica p 13/13 desplazamientos independientes: de la ligadura cinemática g 1 sin θ δx + cosθ δy = C 1x δx + C 1y δy + C 1θ δθ = 0 podemos escoger δx como independiente, de modo que δy = tan θ δx Sustituimos en el trabajo virtual: δw = Q x δx + Q y δy = (Q x + Q y tan θ) δx = 0 DVCL Como δx es arbitrario, pues lo hemos tomado como independiente, tendrá que ser cero el coeficiente: (Q x + Q y tanθ) = k x k y tan θ = 0 tan θ = x y Para que haya equilibrio el muelle tiene que estar perpendicular al esquí, como dice el sentido común Si se toma δy como independiente, el resultado es el mismo