Segmentación automática para el Censo Nacional 2010 por medio de programación lineal entera

Transcripción

1 Segmentación automática para el Censo Nacional 2010 por medio de programación lineal entera Flavia Bonomo, Diego Delle Donne Guillermo Durán, Javier Marenco Departamentos de Computación y Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires Instituto de Ciencias, Universidad Nacional de General Sarmiento Universidad de Chile - 27 y 28 de Octubre de 2010

2 Resumen Contexto y definición del problema Censos en Argentina El problema de segmentación Estrategia de resolución y resultados Conclusiones

3 Contexto y definición del problema Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas: Relevamiento demográfico realizado casa por casa. Incluye empleo, salud y educación, además de preguntas sobre discapacidad, pueblos originarios y acceso a la tecnología.

4 Contexto y definición del problema Provincia de Buenos Aires: habitantes km 2 No incluye a la Capital Federal, desde el año Incluye al Gran Buenos Aires, de gran densidad poblacional y perfil industrial. Provincia predominantemente rural, con ciudades de entre y habitantes.

5 Contexto y definicio n del problema La provincia esta dividida en 137 partidos. Cada partido esta dividido en radios. Cada radio tiene aprox. 300 viviendas ( entre 1 y 40 manzanas) radios urbanos Problema: Determinar que viviendas debe visitar cada censista.

6 Contexto y definición del problema Objetivo: Dividir cada radio en segmentos, que serán recorridos por los censistas.

7 Contexto y definición del problema La segmentación debe cumplir las siguientes restricciones: Cada segmento debe tener entre 32 y 40 viviendas. Cada segmento debe tener hasta 10 manzanas (se relaja en zonas rurales). Cada segmento no debe recorrer más de 2 km. (se relaja en zonas rurales). No se debe cruzar una esquina en diagonal. Un segmento debe estar contenido en su radio (se realiza la segmentación de cada radio por separado).

8 Contexto y definición del problema Si se cruza la manzana, el lado al que se cruza debe ser adyacente a alguno de los lados iniciales (1/2).

9 Contexto y definición del problema Si se cruza la manzana, el lado al que se cruza debe ser adyacente a alguno de los lados iniciales (2/2).

10 Contexto y definición del problema Una esquina no se puede cruzar en diagonal (1/2).

11 Contexto y definición del problema Una esquina no se puede cruzar en diagonal (2/2).

12 Contexto y definición del problema No se puede cruzar una avenida.

13 Contexto y definición del problema No se pueden cruzar vías del ferrocarril.

14 Contexto y definición del problema No se pueden cruzar ríos ni arroyos (!).

15 Contexto y definición del problema Se puede partir un lado, si está compuesto por un número demasiado grande de viviendas o si no hay solución factible sin partirlo. Son deseables las siguientes configuraciones, en orden de preferencia: 1. Segmento = Una o varias manzanas completas. 2. Segmentos formados por lados completos, tan 2. lindos como sea posible. 3. Edificios completos. 4. Pisos de edificios completos.

17 Modelo de programación lineal entera: S = Conjunto de todos los segmentos válidos. V = Conjunto de todas las viviendas. Para cada i S, variable binaria x i que especifica si se utiliza el segmento i o no. max s.a. i S valoración i x i i S j x i = 1 j V i L k x i = 1 k Lados x i {0, 1} i S

18 Problema: Demasiados segmentos! Más de segmentos para radios sencillos. Tiempos demasiado altos para la generación de los segmentos, previa a la resolución del modelo. Aplicar un ĺımite de segmentos? No! Quedan muchas viviendas sin cubrir. Implementar generación de columas? Muy arriesgado! Implementación difícil y riesgos con los resultados.

23 Estrategia de resolución 1/4: 1. Generar S 1 todos los segmentos que tienen una manzana, 1. y resolver el modelo con los segmentos válidos de S Si no hay solución, generar S 2 = S 1 S 1 y resolver 2. con los segmentos válidos de S 1 S Si no hay solución, generar S 3 = S 2 S 1 y resolver 3. con los segmentos válidos de S 1 S 2 S etc. (hasta un ĺımite configurable) En cada paso, se consideran sólo los vecinos de nivel 0:

24 Estrategia de resolución 2/4: N 1. Si no hay solución factible, se repite con vecinos de nivel 0 y 1: N 2. Si no hay solución factible, se repite con vecinos de nivel 0, 1 y 2:

25 Estrategia de resolución 3/4: Si no hay solución, habilitar la opción de partir un lado, manteniendo edificios o pisos completos:

30 Estrategia de resolución 4/4: Si se parte un lado, se consideran los siguientes vecindarios entre segmentos: Se repite el proceso de resolución con este nuevo conjunto de segmentos base S 1.

31 Estrategia de resolución 4/4: Si se parte un lado, se consideran los siguientes vecindarios entre segmentos: Se repite el proceso de resolución con este nuevo conjunto de segmentos base S 1.

32 Estrategia de resolución 4/4: No se tienen relaciones de vecindad entre partes opuestas si las manzanas no están enfrentadas: Se repite el proceso de resolución con este nuevo conjunto de segmentos base S 1.

36 El coeficiente de penalidad en la función objetivo de cada segmento es: valoración i = 10 #lados i #manzanas i. Utilizamos Cplex 12.1 con parámetros estándar para la resolución de los modelos de programación entera. Solución óptima en pocos segundos si el número de segmentos no es demasiado grande (salvo casos patológicos ).

37 Este enfoque permitió resolver una gran cantidad de radios, especialmente en zonas urbanas. Problema: En zonas rurales, la cantidad de segmentos puede ser demasiado grande! Más de segmentos, y hasta 10 minutos para generarlos! (implementación en C++)

38 Solución: En zonas rurales, se agregan los siguientes parámetros: No se parten manzanas que tienen menos de cierta cantidad de viviendas. Se define un mínimo de viviendas que deben tener los segmentos base S 1 (se agrupan los lados y las manzanas en forma arbitraria para cumplir este mínimo). Manejando estos parámetros, se pudieron resolver casi todos los radios rurales. Nuevo problema: Demasiados parámetros para definir!

39 Solución: En zonas rurales, se agregan los siguientes parámetros: No se parten manzanas que tienen menos de cierta cantidad de viviendas. Se define un mínimo de viviendas que deben tener los segmentos base S 1 (se agrupan los lados y las manzanas en forma arbitraria para cumplir este mínimo). Manejando estos parámetros, se pudieron resolver casi todos los radios rurales. Nuevo problema: Demasiados parámetros para definir!

40 Estrategia de resolucio n Solucio n: Clasificar los radios en tres categorı as, con distintos para metros en cada caso:

41 De acuerdo con el tipo de radio, se utilizan los siguientes juegos de parámetros: Urbanos Semiurb. Rurales Cantidad máxima de iteraciones en la generación de segmentos: Número mínimo de viviendas para partir manzanas: Número mínimo de viviendas en los segmentos base (si no, se agrupan con otros): Número máximo de viviendas por parte: Límite de tiempo IP (sg):

42 Con estos parámetros diferenciados, se pudo resolver el 96% de los radios.

43 Con estos parámetros diferenciados, se pudo resolver el 96% de los radios.

44 Pocos segundos para la generación de los segmentos (peor caso: 2 minutos). Más del 99% de los modelos de programación entera se pudo resolver en pocos segundos. Relajación lineal muy ajustada (!). La primera solución factible hallada suele ser óptima. En pocos casos se llega al ĺımite de tiempo con solución subóptima (que se toma como solución del radio).

45 No se pudieron resolver automáticamente unos 600 radios. Pocas manzanas muy pobladas, rodeadas de manzanas rurales. Estos radios se resolvieron relajando restricciones o bien manualmente.

49 Conclusiones Se pudo resolver a tiempo el problema de segmentar todos los radios en la Provincia de Buenos Aires. La generación secuencial de segmentos ayudó a respetar el orden de preferencias para las soluciones. La clasificación de los radios en tres clases permitió manejar adecuadamente casi todas las instancias. Resultó crucial el procesamiento de los datos en un sistema de información geográfica a cargo de nuestra contraparte.