Prof. Susana López 1. UniversidadAutónomadeMadrid. 1 Definición y clasificación de funciones reales de una variable real. f B

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1 Prof. Susana López 1 UniversidadAutónomadeMadrid Tema 1: Introducción a las funciones de varias variables 1 Definición clasificación de funciones reales de una variable real Definición 1 UnafunciónfesunareglaqueasignaacadaelementodeunconjuntoA eactamente un único elemento, llamado f (), de un conjunto B. A f B Diagrama de flechas para f Por ejemplo, el área de una círculo es una función de su radio: A = πr Si C representa la temperatura en grados centígrados, sabemos que eiste una relación con la temperatura medida en grados Fahrenheit, F : C = (F 3) 9 En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número (r, F, t,...) se asigna otro número (A, C, w,,...). En cada caso diremos que el segundo número es función del primero. Por lo general, consideraremos funciones para las cuales los conjuntos A B son conjuntos de números reales, R, pero estos conjuntos pueden estar formados por elementos mu diferentes, como por ejemplo números enteros, Z, o naturales, N, matrices, polinomios... Al subconjunto de A formado por aquellos elementos para los cuales eiste una imagen se le denomina dominio de la función, Dom (f).

2 Prof. Susana López Definición Dada una función f : R R definimos el dominio de la función como Dom (f) ={ R para el cual eiste un R tal que = f ()} El número f () es el valor de la función f en el elemento. Definición 3 La imagen o rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f (), conforme varía en el dominio Dom (f). Img (f) =Rang (f) ={ R para el cual eiste un Dom (f) tal que = f ()} Si f es una función, se designa a veces por el valor de f en : = f () En esta situación a se le denomina variable independiente, oargumento def, a se le denomina variable dependiente, a que su valor depende del valor de. Si se define una función por medio de una fórmula algebráica, adoptamos el convenio de que el dominio consta de todos los valores de la variable independientes para los cuales la fórmula tiene sentido (a menos que se mencione eplícitamente otro). Toda función dada por una ecuación de la forma = f () tiene una representación gráfica. La gráfica de f consta de todos los puntos (, ) en el plano de coordenadas, tales que = f () está en el dominio de f. Gráfica de f = {(, f ()) Dom (f)} = 1 = = 1 =ln

3 Prof. Susana López ³ 1 = e 9 = Funciones definidas por secciones En ocasiones una función puede tener una epresión algebráica difente dependiendo de la zona o sección del dominio de la función en la que nos encontremos, dando lugar a las funciones definidas por secciones f () = - ½ 1 si 1 si >1 si 1 g () = si 1 < si > Ejemplo 1 A continuación damos un ejemplo de aplicaciones de las funciones definidas por secciones en el campo de los derivados financieros, mu utilizados en los mercados bursátiles. Se define una opción de copra (call option), como aquel contrato que da a su poseedor el derecho pero no la oblicación de comprar determinado subacente en una fecha futura (fecha de vencimiento de la obligación) a un precio pactado con anterioridad (precio de ejercicio o Stricke). Vamos a calcular la función de pagos de una opción de compra que vence en el momento T con precio de ejercicio X. Denotaremos por S T al precio de mercado del subacente en el momento T. Supongamos que en el momento T el precio de mercado S T es menor que el precio de ejercicio. En tal caso al poseedor de la opción no le interesará ejercerla por tanto su ganancia

4 Prof. Susana López 4 a través de la opción será cero. Sin embargo cuando el precio de mercado está por encima del precio de ejercicio de la opción el poseedor de la opción la ejercerá comprará el subacente a través de la opción de compra en lugar de ir al mercado, en ese caso su ganacia será la diferencia entre el precio de mercado el precio de ejercicio del subacente (S T X). De modo que su función de pagos viene definida por: 1 7. ½ G (S T )= 1 si S T X S T X si S T X 1 donde tomamos X =1. Del mismo modo se define una opción de venta (put option), como aquel contrato que da a su poseedor el derecho pero no la oblicación de vender determinado subacente en una fecha futura, a un precio pactado con anterioridad. Cuál sería la función de pagos de una opción de venta que vence en el momento T con precio de ejercicio X? 1. Funciones polinómicas Una función P () recibe el nombre de polinomio si: P () =a n n + a n 1 n a + a 1 + a donde n es un entero no negativo que representa el grado del polinomio los números a,a 1,a,..., a n 1,a n son constantes reales denominadas coeficientes del polinomio. Dado cualquier polinomio su dominio siempre es todo R Funciones lineales Un polinomio de primer grado es de la forma P () =a + b establece una relación lineal entre las variables e = P (). El número a se denomina pendiente de la recta nos indica cuanto varía la variable cuando la variable aumenta una unidad. P ( +1) P () =a ( +1)+b (a + b) =a + a + b a b = a

5 Prof. Susana López mientras que b representa el corte de la recta de ecuación = a + b con el eje Y. Cuando consideramos una función lineal, la razón de cambio o tasa de variación de la función cuando aumenta h unidades es un múltiplo de la pendiente de la recta a: P ( + h) P () =a ( + h)+b (a + b) =a + ah + b a b = ah Ejemplo =3 1 Distintos modos de calcular la ecuación de una recta Sabemos que por dos puntos distintos pasa una única línea recta. Supongamos que conocemos dos puntos P =( p, p ) Q =( q, q ) queremos saber la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. La ecuación delarectasabemosqueserádelaforma: = a + b De manera que si esos dos puntos pasan por la recta deberán satisfacer la ecuación anterior: Si restamos las dos ecuaciones obtenemos: Despejando a tenemos: p = a p + b (1) q = a q + b p q = a ( p q ) a = p q p q Ahora que conocemos el valor de a podemos despejar b de cualquiera de las ecuaciones de (1) µ p q b = p a p = p p p q

6 Prof. Susana López 6 Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P =(3, ) Q =(, 3). Aplicando las fórmulas anteriores tenemos que la pendiente de la recta es: a = 3 3 = b = 3= 1 Por tanto la ecuación de la recta que pasa por los puntos anteriores es: = 1 Supongamos a continuación que sabemos cual es la pendiente de la recta, a, unpunto que pasa por ella P =( p, p ) de modo que sólo nos falta por conocer b, perosabemosquep pertenece a la recta, por tanto satisface: de aquí podemos despejar b : de manera que la ecuación de la recta es: p = a p + b b = p a p = a +( p a p ) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P =(3, ) tiene de pendiente a =3. Tenemosentoncesque b = 3 3= 4 por tanto, la ecuación de la recta es: =3 4 Recordad que toda recta cua pendiente sea cero es paralela al eje OX, por ejemplo = =3

7 Prof. Susana López 7 Mientras que toda recta paralela al eje OY no se la puede considerar como función a que a un mismo valor le hace corresponder una infinidad de s distintas =4

8 Prof. Susana López Otras funciones polinómicas Un polinomio de segundo grado es de la forma P () =a + b + c se llama función cuadrática. La gráfica de este tipo de funciones es una parábola. Recordad la fórmula para calcular las raíces de una ecuación de segundo grado del tipo a + b + c = = b ± b 4ac a La solución de la ecuación anterior nos indica los puntos de corte de la parábola con el eje OX. Si a> entonces la función cuadrática P () =a + b + c tendrá un mínimo sia< entonces tendrá un máimo P () =3 7 + Q () = +3 +1

9 Prof. Susana López 9 Un polinomio de tercer grado es de la forma P () =a 3 + b + c + d sellamafunción cúbica. Calcular la raíces de una función cúbica es a un poco más complicado para ello se deberá recurrir en muchos casos a métodos numéricos P () = Raíces de un polinomio Todos aquellos valores de que verifican: P () = se denominan raíces de la ecuación: a n n + a n 1 n a + a 1 + a = Todo polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. Si n es impar eiste al menos una raíz real, si n es par puede que no eista solución real de la ecuación anterior. Si todos los coeficientes a i de la ecuación de orden n son números enteros a n =1, entonces todas las raíces enteras posibles deben dividir al término independiente a. Cómo calcular las posibles raíces enteras de un polinomio de grado n? Recordáis la Regla de Ruffini? Supongamos que queremos calcular las raíces enteras del siguiente polinomio: P () = 3 +6 Los candidatos a ser raíces enteras del polinomio son los divisores de 6, ±1, ±, ±3, ±6. Empezamos probando =

10 Prof. Susana López 1 Por tanto =1es una raíz del polinomio P () = Esto también quiere decir que: P () = 6 ( 1) Continuamos aplicando Rufinni, pero ahora sólo buscamos las raíces enteras del polinomio en este caso tenemos que =1no es una raíz entera de 6. Por tanto, probamos por otro divisor de de manera que = es otra raíz entera de P () = 3 +6portantoP () = ( 3) ( +)( 1), de aquí a vemos que la tercera raíz entera del polinomio P () es = Funciones racionales Una función racional f es un cociente de la forma: f () = P () Q () donde P () Q () son polinomios. El dominio de la función f () consta de todos los valores de tales que Q () 6= f () = En este caso la función esta definida en todo R ecepto en = ±, es decir: Dom (f) ={ R 6= ±}

11 Prof. Susana López Funciones eponenciales Son aquellas de la forma f () =Aa, donde A R a>. Las funciones eponenciales aparecen en muchos modelos económicos, sociales físicos. Mediante funciones eponenciales podemos describir modelos de crecimiento económico el interés acumulado continuamente, este tipo de funciones son también mu utilizadas en estadística. En matemáticas ha un valor de a que da lugar a una función eponencial mucho más importante que las demás, surge a través de la definición del número irracional siguiente: e = lim n µ1+ 1 n El valor de dicho límite es aproimadamente e ' Toda función eponencial es siempre continua su dominio es todo R. n = e Quién es el conjunto imagen de esta función? Propiedades de las funciones eponenciales: 1. a a = a +. a a = a 3. a b =(ab) 4. a b = a b. (a ) = a 6. a =1

12 Prof. Susana López 1 1. Funciones logarítmicas La función logarítmica se define como la función inversa de la función eponencial. Supongamos que realizamos un depósito de 1 u.m. en una cuenta de ahorro al 8% anual queremos saber cuanto tiempo tardará en triplicarse la cantidad inicial, para ello deberemos resolver la ecuación siguiente: 1 (1 +.8) t = 3 En dicha ecuación la incógnita es el eponente, t : (1.8) t =3 buscamos un número tal que 1.8 elevado a t nos dé como resultado 3. Ha ese número t lo denominaremos logaritmo en base 1.8 de 3. Definición 4 Si a = b se dice que es el logaritmo en base a de b, seescribe = log a b.en el caso de e = b, diremos que es el logaritmo natural de b o logaritmo neperiano, =lnb =ln Tenemos entonces que se da la siguiente igualdad: e ln a = a es decir, ln a es justamente el número al que tenemos que elevar el número e para obtener como resultado a. La función logarítmica sólo está definida para los reales positivos verifica las siguientes propiedades: 1. ln ³ () =ln +ln 4. ln e = 1; ln1 = ; ln =. ln =ln ln. ln e = ; = e ln 3. ln ( a )=a ln 6. log a b = ln b ln a El dominio de definición de cualquier función logarítmica es el conjunto de los números reales estrictamente positivos, >, es continua en todos los puntos de su dominio. Cuál es el conjunto imagen de la función logarítmica?

13 Prof. Susana López Composición de funciones Consideremos la función f : A B lafuncióng : B C. Si el conjunto imagen de f esta contenido en el dominio de g : img (f) Dom (g) podemos entonces formar la función composición (g f) :A C, de manera que (g f)() =g (f ()) Supongamos que f () = g () = +1, tenemos entonces que: (g f)() = g (f ()) = g = +1 (f g)() = f (g ()) = f ( +1)=( +1) (f f)() = f (f ()) = f = 4 (g g)() = g (g ()) = g ( +1)= Desigualdades en el plano Cuando trabajamos con una variable nos interesa en ocasiones calcular los puntos de la recta real que verifican cierta relación algebráica dada por una desigualdad. La solución por lo general son intervalos de la recta real. Calcular los puntos que verifican la siguiente desigualdad resolvemos la desigualdad obtenemos 7 9 = 3 3 de manera que los puntos de la recta real que verificanseencuentranenelintervalo[ 3, 3]. 3 3

14 Prof. Susana López 14 Cuando trabajemos con dos variables también estaremos interesados en calcular que región del plano verifica cierta relación de desigualdad. En la siguiente figura la región sobreada representa el conjunto de puntos del plano que verificanla desigualdad a + b =a+b También podría plantearse dibujar la región de puntos del plano que verifican la desigualdad

15 Prof. Susana López 1 Será importante a partir de ahora recordar la ecuación de la circunferencia de cento c = (c 1,c ) radior ( c 1 ) +( c ) = R ( 1) +( ) = De manera que podemos describir los puntos que están tando fuera como dentro de la circunferencia del siguiente modo: ( c 1 ) +( c ) =R ( c 1 ) +( c ) >R ( c 1 ) +( c ) <R 1.8 Funciones trigonométricas Otro tipo de funciones con las que trabajaremos son las funciones trigonométricas

16 Prof. Susana López 16 a Cos a Sen a Tg a Las más utilizas son el seno, coseno tangente de un ángulo. Tanto el seno como el coseno están definidad para todos los numeros reales su imagen es el intervalo [ 1, 1]. La tangente no está bien definida para los múltiplos enteros impares de π/, Dom(tan()) = n R 6= (k +1) π o Img(tan()) = R Entre el seno el coseno se da la siguente relación: cos +sin =1 Las razones trigonométricas más importantes vienen resumidas en la siguiente tabla: π 3π π sin 1-1 cos 1-1 tan ± ±

17 Prof. Susana López 17 Introducción a las funciones reales de variables reales Hasta ahora hemos estudiado funciones de una variable cuo dominio recorrido son un conjuto de números reales. Sin embargo, la descripción de muchos fenómenos económicos eigen considerar un gran número de variables de manera simultánea. Por ejemplo, las funciones de ingresos, costes beneficios de una empresa que produce uno o varios bienes dependerán del precio de estos, de la demanda de dichos bienes, de los precios de la competencia etc. Otro ejemplo es la función de producción que dependerá de las materias primas que se utilicen, del precio de estas, o del tiempo de mano de obra utilizado en el proceso. Una de las funciones de producción más conocidas es la función de Cobb-Douglas: F (, ) =A a b donde A, a, b son constantes. Normalmente se supone que esta función está definida para > e >, a veces para e. En las próimas secciones vamos a ampliar los métodos de cálculo diferencial que hemos visto en el tema anterior para incluir funciones de dos o más variables independientes. Gran parte del trabajo se hará con funciones de dos variables, representadas geométricamente por superficies en el espacio tridimensional, en lugar de curvas en el plano. Definición Sea f una función que toma valores de R n losllevaar m. Definimos el dominio de f como aquellos puntos R n para lo cuales eiste un R m tal que = f() Dom (f) ={ R n para los cuales eiste un R m tal que = f()} Calcular el dominio de la función f (, ) = p. Dom (f) = (, ) R ª = = (, ) R ª = = (, ) R ª Definición 6 Definimos el rango o recorrido de f como el conjunto de puntos R m para los cuales eiste un R n tal que = f() Rango (f) ={ R m para los cuales eiste un R n tal que = f()} Cuando f : R R tenemos una función real de variable real sugráfica, formada por todos los pares (, ) tales que Dom (f) e = f(), es una curva en el plano R.

18 Prof. Susana López f () = 3 + Cuando f : R R tenemos un campo escalar sugráfica, formada por todos las ternas (,, z) tales que (, ) Dom (f) e z = f (, ), es una superficie en el espacio R 3. z z = f (, ) = 3sin 7. z f (, ) = e + Cuando f : R n R m tenemos un campo vectorial.

19 Prof. Susana López f (, ) =(, 3) 1. z f (, ) =(,, 3z)

20 Prof. Susana López.1 Curvas de nivel En general no es fácil trazar la gráfica de una función de dos variables. Pero al igual que los cartógrafos, nos podemos audar de las curvas de nivel (isoclinas) para dibujar características topográficas como colinas o valles, en un mapa plano. 37. eje Z 1-1 eje X - - eje Y - - f (, ) = Curvas de Nivel

21 Prof. Susana López z f (, ) = Curvas de Nivel Definición 7 Sea f : D R R, donde D es el dominio de la función, una curva de nivel está formada por todos aquellos puntos (, ) tales que f (, )es constante: f (, ) =c, c R Cuandosetratedefuncionesf : D R 3 R, donded es el dominio de la función, hablaremos de superficies de nivel estarán formadas por todos aquellos puntos (,, z) tales que f (,, z) es constante. En economía las curvas de nivel aparecen en muchas aplicaciones diferentes. Por ejemplo, si la producción Q (, ) de un producto de manufactura está determinada por las horas de

22 Prof. Susana López trabajo empleadas (), la inversión de capital (), entonces la curva de nivel Q (, ) =C donde C es una constante, se denomina curva de producción constante, o isocuanta. Cuando tratemos con una curva de utilidad, U (, ) donde nos indica el número de unidades del bien 1 e indica el número de unidades del bien, las curvas de nivel se denominan curvas de indiferencia.

23 Prof. Susana López 3 3 Repaso noción de vector Un vector fijo en el plano no es más que un segmento orientado en el que ha que distinguir tres características: -dirección: la de la recta que lo contiene -sentido: el que va de su origen a su etremo, marcado por una punta de flecha -módulo: la longitud del segmento Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras maúsculas, por ejemplo AB, que indican su origen etremo respectivamente. B D C A E H F G Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes sus etremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes. Un vector libre del plano es un conjunto formado por infinitos vectores fijos equipolentes. Los vectores libres se denotan con letras minúsculas, por ejemplo v. Al conjunto de los vectores libres del plano se llama R. Lagranventajadeunvectorlibreesquepodemosmoverlolibrementeporelplano,pues ahora a no está sujeto a un origen un etremo. Cada vez que lo movamos estaremos escogiendo un vector fijo distinto como representante del vector libre. Dado un vector libre cualquiera, se puede representar como un segmento de recta orientado que parte del origen O tiene su etremo en un punto Q con coordenadas (, ). A estos dos escalares (, ) se les denomina coordenadas del vector OQ.

24 Prof. Susana López 4 A través del Teorema de Pitágoras obtenemos que el módulo o norma del vector OQ = (, ) es: OQ = p + El único vector que tiene módulo es el vector nulo, cuas componentes son todas nulas, =(, ). De manera análoga en el espacio R 3 los vectores también vienen caracterizados por su dirección, norma sentido, pero en este caso los vectores tienen tres coordenadas o componentes. En general en R n losvectorestendránn coordenadas v =( 1,,..., n ) R n. 3.1 Operaciones con vectores. Definición 8 Dados dos vectores cualesquiera de R n, v =( 1,,..., n ) w =( 1,,..., n ) se define: 1. El vector suma v + w =( 1,,..., n )+( 1,,..., n )=( 1 + 1, +,..., n + n ).. El vector diferencia v w =( 1,,..., n ) ( 1,,..., n )=( 1 1,,..., n n ) 3. El vector producto de un escalar λ R por un vector v = ( 1,,..., n ), λ v = (λ 1,λ,..., λ n ) En R es fácil ver la interpretación geométrica de la suma de dos vectores. v v+ w v w

25 Prof. Susana López La diferencia de vectores es similar. v w v w v El producto de un vector por un escalar lo que hace es cambiar (λ <) o igualar la dirección del vector (λ >) aumentar( λ > 1) o disminuir ( λ < 1) el módulo del vector tantas veces como indica λ. v v Observaciones: Cuando a un vector v lo multiplicamos por 1, obtenemos el vector opuesto v, que tiene el mismo módulo que v pero sentido opuesto. Si el vector v tiene módulo k vk, entonces el vector 1 v tiene módulo unitario, es decir, k vk su módulo es igual a la unidad. Definimos el producto escalar de dos vectores v =( 1,,..., n ) w =( 1,,..., ) como: v w =( n n ) otra forma de epresar el producto escalar es: v w = k vkk wk cos α donde α es el ángulo que forman los dos vectores. Si los vectores son perpendiculares formarán un ángulo de π en ese caso cos α =, por tanto, v w =. En ese caso diremosquelosvectoressonortogonales.

26 Prof. Susana López 6 Ejercicios: 1. Calcular el dominio de las siguientes funciones: a. f () = 1 b. f () = 1 c. f () =ln( 4) +1 d. f () = q 6 e. f () = f. f () = g. f () =ln( 9) h. f () =e 1 +4 i. f () = 1 1 j. = 1 k. = 16 l. = 1 m. =ln n. = e 1 3 ñ. = 1. Dibujar las siguientes funciones estudiar su dominio: (a) h () = (b) g () = si < 1 ( 1) 1 si 1 <<1 +1 si 1 1 si < ln si <<1 +1 si 1 3. Encontrar las raíces enteras de los siguientes polinomios: (a) P () = (b) P () = Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P =(, 3) Q =(1, ). Cuánto vale la pendiente de la recta?. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P =(, ) tiene una pendiente igual a Una recta L pasa por el punto (1, 1) tiene pendiente 3. Otra recta M para por los puntos ( 1, ) (3, 1). Hallar las ecuaciones de las rectas L M, así como su punto de intersección. 7. El coste total de producir unidades de un cierto bien es una función lineal. En una ocasión, se hicieron 1 unidades con un coste de u.m, en otra se hicieron 1 unidades por 7 u.m. Hallar la ecuación lineal para el coste total en términos del número de unidades producidas. 8. El gasto C de un hogar en bienes de consumo está relacionado con el ingreso familiar de la manera siguiente: Cuando los ingresos son de 1 Euros se gastan 9, cada vez que los ingresos aumentan en 1 Euros los gastos lo hacen en 8 Euros. Suponiendo que la relación entre ingresos gastos es lineal, hallar la función que las describe.

27 Prof. Susana López 7 9. Hallar las raíces enteras de las siguientes ecuaciones: a = b = c = d = 1. Resolver las siguientes ecuaciones: (a) e.4t =8 (b) = 1+4e.t (c) 4e t 1 =4 11. La función de demanda para cierta marca de videocasetes esta dada por: p = D () = donde p es el precio unitario al por maor, en Euros, es la cantidad demandada cada semana, en unidades de millar. Trazar la curva de demanda correspondiente. Por encima de qué precio al por maor no eiste demanda? Cuál es la cantidad máima demandada por semana? 1. La gerencia de la compañía de neumáticos Titán ha determinado que las funciones semanales de demanda oferta de sus neumáticos Super Titán están dadas por: p D = D () =144 p O = O () =48+. donde tanto p D p O son los precios de demanda oferta respectivamente se miden en Euros en unidades de centena. Determinar la cantidad el precio de equilibrio, es decir, precio cantidad donde la oferta es igual a la demanda. 13. La compañía de arrendamiento de camiones Súper Car alquila un camión de cierto tamaño a 3 Euros el día 1 céntimos el kilómetro recorrido, mientras que la compañía Todo transporte alquila el mismo tipo de camión a Euros el día céntimos el kilómetro recorrido. (a) Determinar el coste diario de renta de cada compañía, en función de los kilómetros recorridos. (b) Trazar las gráficas de las don funciones en el mismo gráfico. (c) Cuál compañía debe elegir un cliente para alquilar un camión por un día, si planea recorrer a lo sumo 7 kilómetros quiere minimizar sus costes?

28 Prof. Susana López Calcular f g, g f, f f, g g siendo f g las siguientes funciones: (a) f () =ln +, g() = 1 +3 (b) f () =cos + e, g() =3ln( +) (c) f () =e, g() =ln 1. Hallar representar el dominio de las siguientes funciones: (a) f(, ) = p + 1 (b) f(, ) = 1 (c) f(, ) =ln( + ) (d) f(, ) =e / (e) f(, ) = (f) f(, ) = p 4 (g) f(, ) =, ln ( 1) (h) f(, ) = ³e, ³ 1 (i) f(, ) =, ln ( + 1) (j) f(,, z) =³p z + z, ln( 1) 16. Obtener dibujar las curvas de nivel para los siguientes valores de c propuestos: (a) f(, ) = c = 1, 1, 3 (b) f(, ) =Ln ( ) c = 1,, 1 (c) f(, ) = + c =,, (d) f (, ) = +3 c = 1,, 1 (e) f (, ) =ma(, ) c = 1, 1, 3 (f) f (, ) =min(, ) c = 1, 1, 3

29 Prof. Susana López Una empresa fabríca un producto combinando dos factores productivos, capital (K) trabajo (L), según la función de producción: Q (K, L) =8K +4L Compralosfactoresenmercadoscompetitivosalospreciosp K =6u.m. p L =3u.m. Se pide: (a) Dibujar, en el primer cuadrante del plano L K, la isocuanta de producción 4 unidades. (b) Si dispone de 4 u.m. para gastar en factores, dibuje, en los mismos ejes de antes, la restricción presupuestaria. (c) Calcule cuál es la combinación de factores con la que fabrica 4 unidades de producto respetando la restricción presupuestaria. (d) En qué sentido varía la combinación de factores anterior si aumenta el precio del capital p K. (e) Encuentre gráficamente la combinación de factores de coste 1 u.m. con la que obtiene la máima producción. (f) Encuentre gráficamente la combinación de factores con la que produce 4 unidades al mínimo coste.

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