Solución: En ambos casos se observa que los determinantes de las matrices de coeficientes son distintos de cero. Veamos: a)

Transcripción

1 Resolver el siguiene sisema: 9 Primero hallaremos los rangos de la marices formadas por los coeficienes del sisema de la mari formada por los coeficienes los érminos independienes después. sí: 9 rang Ya que la ercera fila es res veces la primera menos la segunda; 9 rang Ya que se conserva la misma combinación lineal. l ser los rangos iguales el sisema es compaible al ser el rango menor que el número de incógnias el sisema es indeerminado. Un menor de orden dos no nulo es: T Y el sisema es equivalene a, Discuir resolver los siguienes sisemas homogéneos: b) a) En ambos casos se observa que los deerminanes de las marices de coeficienes son disinos de cero. Veamos: a) b) En consecuencia, los sisemas homogéneos son compaibles deerminados, pues el rango de la mari de coeficienes de cada sisema necesariamene coincide con el rango de la mari ampliada de cada sisema. Los sisemas sólo admien la solución rivial.

2 Si enemos un sisema compaible indeerminado de dos ecuaciones lineales con dos incógnias, se puede conseguir un sisema incompaible añadiendo una ercera ecuación? Eplicar la respuesa dar un ejemplo. Sí se puede conseguir. asa con añadir una ecuación conradicoria con las oras dos. Por ejemplo: Es un sisema compaible indeerminado. Si añadimos una ercera ecuación conradicoria a esas dos se endrá un sisema incompaible: Clasificar en función del número de soluciones los siguienes sisemas de ecuaciones lineales: c) ; b) ; a) Dada la mari del sisema: a) Se sabe que el sisema iene infinias soluciones, pues las ecuaciones ª ª coinciden ( ). Dada la mari del sisema: b) Se sabe que el sisema no iene solución, pues las dos úlimas ecuaciones son incompaibles, por ano, incompaible el sisema. Dada la mari del sisema: c) Se sabe que el sisema iene solución única, a que es compaible deerminado.

3 Deerminar, para que el sisema propueso enga: a) solución única b) infinias soluciones ( ) ( ) ( ) Dada la mari de coeficienes del sisema, ( ) Se iene que su deerminane es: ( ) ( ) 7 ( )( )( ) si el deerminane no es nulo, r () número de incógnias, es decir, si es disino de,, -, eise una única solución, la rivial (,, ). si el deerminane es nulo, es decir, o, -, ha infinias soluciones. Discue el sisema de ecuaciones propueso según los valores del parámero :

4 Dada la mari de coeficienes del sisema: Se iene que su deerminane es: Si es nulo, enonces - o. si -, Y la mari ampliada queda como: Dado que el deerminane de es nulo el menor:, r (). Orlando ese menor la ercera fila la cuara columna de enemos: Y en consecuencia r () disino de r (). El sisema es incompaible, no iene solución. si, Y la mari ampliada queda como: Dado que el deerminane de es nulo el menor:, r () Como resula de M añadiendo una columna de ceros enemos que: r () r () < número de incógnias. El sisema es compaible indeerminado, iene infinias soluciones. si el deerminane no es nulo, no vale - ni, r () r () nº de incógnias. El sisema es compaible deerminado.

5 7 Deermina para qué valores del parámero, el sisema: ) ( ) ( a) es compaible b) es incompaible Obenemos primero la mari de los coeficienes,, la mari ampliada,. ; Calculemos el rango de. Tomando el menor de orden formado a parir de las primera segunda filas columnas enemos que: Por ano, r () disino de para odo. Tomando desarrollando el menor de orden : Se iene que: ) )( ( ) ( ) ( Por ano, si ( - )( - ), r () ; si ( - )( - ), r (). Es decir: si o, r (); si es disino de, r (). Veamos qué pasa con el rango de para esos valores: Si, r (), pues la primera fila es igual a la ercera además el menor. Si, Y r (). Veamos si es dos o res calculando los menores de orden : ) ( ) ( Luego r ().

6 Discuir, según los valores del parámero, el sisema de ecuaciones lineales:

7 Dada la mari de coeficienes del sisema: Se iene que su deerminane es: Si es nulo, enonces ±. Si -: Y la mari ampliada queda como: Dado que el deerminane de es nulo el menor: r (). Orlando ese menor la ercera fila la cuara columna de enemos: Luego r () disino de r (). El sisema es por ano incompaible, no iene solución. Si : Y la mari ampliada queda como: Dado que el deerminane de es nulo el menor:, r (). Orlando ese menor la primera fila la cuara columna de enemos: Luego r () disino de r (). El sisema es incompaible, sin solución. Si el deerminane no es nulo, eso es no vale o -, enemos un SCD 7

8 9 Deermina la epresión general de odos los números eneros que pueden ser descompuesos en cuaro números naurales disinos, ales que sumando al primero, resando al segundo, muliplicando por al ercero dividiendo por al cuaro, se obengan resulados iguales. Sean,,, los cuaro números naurales del enunciado. Dadas las condiciones del enunciado se iene que: ; De donde surge el siguiene sisema: Obenemos ahora la mari de coeficienes () la mari ampliada () del sisema: ; Tano en como en se ienen las siguienes relaciones: la cuara fila es igual a la segunda menos la primera la quina fila es igual a la ercera menos la primera la sea fila es igual a la ercera menos la segunda En consecuencia, r () r (). Dado que el menor de orden formado por las primera segunda filas columnas de no es nulo, r (). Y dado que el menor de orden formado a parir del anerior:, r (). Luego el r () no puede ser ni menor que, por lo que r () r () < número de incógnias. sí pues, el sisema es compaible indeerminado. Obenemos sus soluciones al resolver el sisema equivalene al propueso: ; ; La epresión general de los números pedidos es: La solución es,, 9 > (El número múliplo de para que siempre se obenga un número enero)

9 Discue el sisema (m ) (m ) en función del parámero m resuélvelo cuando sea posible. Si m m -, S.C.D. Solución Si m, S.C.I. -,, Si m -, S.C.I. Solución,, n n Discue el sisema en función del parámero n resuélvelo cuando sea posible. (n n) n n (n ) Si n n, S.C.D., n n Si n, S.I. Si n, S.C.I. -9 -, Discuir para los disinos valores del parámero n el sisema: n n n n n 9

10 Dada la mari del sisema: n n n n n n n n n Se iene que: si n, el sisema es incompaible, la primera ecuación carece de senido. si n, sólo queda la ecuación -, de donde se sabe que el sisema es compaible indeerminado con solución -,, si n n, las dos ecuaciones permanecen, el sisema es compaible indeerminado. Se iene el siguiene sisema: /n Con solución /n,, Deermina m para que sea compaible el sisema: (m ) m m

11 Obenemos primero la mari de los coeficienes,, la mari ampliada,, del sisema: (m) (m) ; m m m Debemos deerminar los valores de m para los que r () r (). Calculemos el deerminane de. (m) (m) (m) m ( ) m 9 () () m m () m () (m) m 9 (m) ( m)( m 9) m m (m )(m ) (m) m m Tomando el menor de orden formado a parir de las primera segunda filas columnas enemos que Si omamos un valor de m o m se iene que el deerminane es cero por lo ano r (), pero si se oman valores disinos a esos el deerminane no es cero por lo ano r (). Veamos ahora qué pasa con odos esos valores en cuano al rango de. si m, la mari queda como: Calculando el siguiene menor de orden enemos: En consecuencia, r () r (). si m, la mari queda como: Calculando el siguiene menor de orden enemos: En consecuencia, r () r (). si m disino de r () r () eso es SCD Dado el sisema: a Discuir si eise algún valor del parámero a para el cual el sisema sea compaible indeerminado.

12 Escribimos primero la mari de coeficienes, M, la mari ampliada, M*, del sisema: a M* ; a M El sisema será compaible indeerminado si r (M) r (M*) < número de incógnias. Calculemos el deerminane de M: M a 9 - a a. Pueso que el deerminane debe ser igual a cero, - a enonces a. Dado que el menor enonces si a, rango(m). Veamos como queda M* si a : M* ) ( enonces r (M*) r (M). En conclusión, no ha ningún valor de a que haga el sisema compaible indeerminado. Esudiar para qué valores de es compaible el sisema siguiene, resolviéndolo para cuando sea indeerminado: / Dada la mari del sisema realicemos las ransformaciones elemenales indicadas: / I I;III() II() Se iene que, si disino de -/, el sisema es compaible deerminado. si -/, sólo queda la ecuación -, de donde se sabe que el sisema es compaible indeerminado con solución, Discue el sisema de ecuaciones propueso según los valores del parámero.

13 Dada la mari de coeficienes del sisema, Se iene que su deerminane es: ) 7 ( Si es nulo, enonces - o -/. si -, la mari ampliada queda como: Dado que el deerminane de es nulo el menor:, r (). Orlando ese menor la ercera fila la cuara columna de enemos: en consecuencia r () r () < nº de incógnias. El sisema es compaible indeerminado. si -/ Y la mari ampliada queda como: Dado que el deerminane de es nulo el menor:, r (). Orlando ese menor la segunda fila la cuara columna de enemos: 9 Y en consecuencia r () disino de r (). El sisema es incompaible. si el deerminane no es nulo, es disino de -, -/, r () r () nº de incógnias. El sisema es compaible deerminado.

14 7 parir de los diferenes valores de, discue el siguiene sisema de ecuaciones.

15 Dada la mari de coeficienes del sisema, Se iene que su deerminane es: ) 7 ( Si es nulo, enonces - o -/. si -, la mari ampliada queda como: Dado que el deerminane de es nulo el menor:, r (). Orlando ese menor la ercera fila la cuara columna de enemos: en consecuencia r () r () < nº de incógnias. El sisema es compaible indeerminado. si -/ Y la mari ampliada queda como: Dado que el deerminane de es nulo el menor:, r (). Orlando ese menor la segunda fila la cuara columna de enemos: 9 Y en consecuencia r () disino de r (). El sisema es incompaible. si el deerminane no es nulo, disino de -, -/, r () r () nº de incógnias. El sisema es compaible deerminado.

16 Sean S S' dos sisemas de ecuaciones lineales con la misma mari de coeficienes. Jusificar con un ejemplo que uno de los dos sisemas puede ser compaible el oro incompaible. Si ambos sisemas son compaibles, puede ser uno deerminado el oro indeerminado? Raonar las respuesas. Sea S S' los sisemas que siguen, ambos con la misma mari de coeficienes M: M 7 S' S Se observa que r (M) pueso que: Las marices ampliadas correspondienes son: 7 N' N Observamos que el deerminane de N es igual cero por lo ano r (N) r (M), luego el sisema es compaible; pero el deerminane de N' es, disino de cero por lo ano r (N') disino de r (M), luego el sisema es incompaible. 9 Esudiar la compaibilidad de los siguienes sisemas de ecuaciones lineales: c) ; b) ; a)

17 a) El rango de la mari de coeficienes es dos, pues la mari del sisema: es equivalene a la mari: 9 Cuo rango es dos. La mari ampliada: Tiene rango dos. Enonces, el Teorema de Rouchè esablece que el sisema es compaible ( deerminado, pues el número de incógnias coincide con el rango). b) El rango de la mari de coeficienes es uno, pues la segunda fila se obiene muliplicando la primera por -. El rango de la mari ampliada es uno, pues: Enonces se iene un sisema compaible. c) El rango es uno, de la mari de coeficienes: Pues: El rango de la mari ampliada es dos, pues: Enonces se iene un sisema incompaible. Escribir un sisema de dos ecuaciones lineales con dos incógnias que sea incompaible, compruebe la incompaibilidad. Es evidene que el siguiene sisema es incompaible: Efecivamene si operamos con marices se iene que: De donde la ecuación no iene solución. 7