Unidad 3. Funciones.Derivabilidad 3 FUNCIONES TEMA ERIVABILIDAD. José L. Lorente Aragón

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1 Unidad. Funciones.Derivabilidad TEMA FUNCIONES UNCIONES.DERIVABILIDAD ERIVABILIDAD.. Tasa de variación media. Derivada en un punto. Interpretación.. Tasa de variación media.. Deinición de derivada en un punto.. Interpretación geométrica de la derivada. Continuidad y derivabilidad.. Función derivada. Derivadas de orden superior... Función derivada.. Derivadas de orden superior 4. Derivabilidad de las unciones elementales. Operaciones con derivadas 4.. Derivadas de la unción elementales 4.. Operaciones con derivadas 4.. Derivación logarítmica José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 48

2 Unidad. Funciones.Derivabilidad Conteto con la P.A.U. El saber derivar es báco a la ora de realizar el eamen de la PAU. En este tema se recuerda como se deriva y se realizan dierentes ejercicios, pero en caso de resultar insuicientes se recomienda que se repase la derivada en cualquier libro de º de Baciller. En el eamen de selectividad no suele aber ningún ejercicio concreto de derivar una unción, bien la derivada aparece en multitud de ocaones. Algunos ejemplos de ejercicios en los que ay que saber derivar son en los problemas de representación y estudio de unciones, los de estudiar la continuidad y derivabilidad de una unción, los límites que se calculan con L Hopital Problemas más concretos en el eamen de la PAU relacionados con el tema son los guientes: Estudio de la continuidad y derivabilidad de una unción, o cálculo de algún parámetro para que la unción sea continua o derivable. Estudiar la derivabilidad de una unción en un punto por la deinición de derivada. Cálculo de rectas tangentes y/o normales a una unción en un punto. En este tema abordaremos estos problemas para que el alumno se encuentre amiliarizado con ellos el día del eamen. 49 Apuntes de Matemáticas II (ºBacillerato para preparar el eamen de la PAU (LOE

3 Unidad. Funciones.Derivabilidad. Tasa de Variación media. Derivada en un punto. Interpretación. Tasa de variación Media Deinición: se llama tasa de variación media de una unción ( entre los valores y al cociente entre el incremento que eperimenta la variable dependiente y, y la variable independiente : T vm (,,( (, ( Interpretemos gráicamente su gniicado: Ejemplo: ( - ( ( (4 ( 5 ( Veamos la tasa de variación media entre y 4: 4 4 Claramente,,4 es el cociente del lado paralelo al eje y del triángulo que se orma entre el lado paralelo al eje. Por tanto, es la tangente del ángulo que orma la recta que une los puntos (,( y (,( con el eje, y por tanto pendiente de dica recta, es la José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 5

4 Unidad. Funciones.Derivabilidad. Deinición de derivada de una unción en un punto Deinición: la derivada de una unción ( en el punto, se denota como (, es la tasa de variación instantánea, es decir: '( ( ( ( ( Generalmente suele ser más ácil calcular esta derivada deinición. a partir de la segunda Una unción es derivable en un punto cuando el límite eiste, aunque este sea o -. Ejemplos: a ( en '( ( ( La unción ( es derivable en y (4 > b ( - en (( ( ( ( ( ( - ( ( ( No eiste el límite por tanto la unción ( no es derivable en. Nota: las unciones valor absoluto no son derivables en los puntos de donde se anulan. En estos puntos las derivadas laterales son de distinto gno.. Interpretación geométrica de la derivada En el apartado. vimos que la tasa de variación media se interpretaba como la pendiente de la recta que unía los dos puntos. La derivada es el límite de la variación media cuando los puntos se acercan ininitamente, veamos esto de orma gráica en derivada 5 Apuntes de Matemáticas II (ºBacillerato para preparar el eamen de la PAU (LOE

5 Unidad. Funciones.Derivabilidad Como vemos en la gráica anterior nos acercamos ininitamente al punto la recta que une los dos puntos tiende a ser la recta tangente a la unción. Por tanto la derivada en de (, es decir (, es la pendiente de la recta tangente a la unción en el punto (, (. α mtg(α ( Concluón: ( tg(αm recta tangente en o Conociendo la pendiente de la recta y el punto por el que pasa (,( es ácil calcular la ecuación de la recta tangente y normal (la pendiente es -/m-/ ( : Ecuación de la recta tangente a la unción ( en : y-( ( (- Ecuación de la recta normal a la unción ( en : y-( (- '( Ejemplo: calcular la recta tangente y normal a la curva y( en el punto de abscisa '( ( ( ( m recta tang (4 y el punto es P (,( P(,4 recta tangente y-( ((- ( 4 y-45(- y5- recta normal y-( (- y-4 (- y '( José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 5

6 Unidad. Funciones.Derivabilidad. Continuidad y derivabilidad Teorema: toda unción ( derivable en un punto, es continua en este punto. El contrario no empre es cierto para toda unción. Ejemplo: como vimos la unción ( era derivable en (eiste el límite ( ( luego es continua en Nota: Todas las unciones polinómicas, son continuas y derivables en todos los puntos. Veamos otros dos ejemplos donde el recíproco al teorema no es cierto, son continuas y no derivables: > a ( - en es continua ( ( en no es derivable (ver página 5 b g( en es continua pero no es derivable : ( ( / / Veamos la representación gráica de estas dos unciones no derivables, y veremos su interpretación gráica: a ( - 5 Apuntes de Matemáticas II (ºBacillerato para preparar el eamen de la PAU (LOE

7 Unidad. Funciones.Derivabilidad b g( Gráicamente vemos que en los puntos donde la unción no es derivable eiste un pico o punto anguloso que nos indica el cambio de pendiente de la recta tangente en dicos puntos (límites laterales son dierentes. sen( Ejercicio: Sea la unción ( a b sea continua y derivable. calcular a y b para que ( > La unción está deinida a trozos pero tanto sen( como ab son continuas y derivables en todos los puntos, luego punto donde ay que estudiar la continuidad y derivabilidad es donde la unción cambia de epreón algebraica a Continuidad: ( b continua ( ( b sen Luego b independientemente del valor de a la unción es continua b Derivabilidad ( ( a a derivable ( ( ( a sen ( L' Hopital José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 54

8 Unidad. Funciones.Derivabilidad Otro método más sencillo: cuando la unción es continua podemos derivarla (veremos cómo se deriva en el apartado 4 : cos( '( a > La unción será derivable en el punto eiste el límite '(, aunque este sea ininito. '( a derivable '( cos( a. Función derivada. Derivadas sucevas. Función derivada Cuando la unción ( es continua podemos obtener su unción derivada (. La unción derivada, (, para cada valor de nos da el valor de la derivada en ese punto, es decir la pendiente de la recta tangente en dico punto. : R R ( ': R R '( A la unción ( se le llama unción derivada de (, tal que somos capaces de calcular esta unción la derivada de ( en un punto es (, es decir la imagen de ( en el punto. A partir de deinición de derivada la unción ( se obtiene aplicando la deinición de derivada para una genérica: '( ( ( Calculo de alguna unción derivada: ( - ( ( ( '( ( (K (cte ( ( k k '( Si bien para el cálculo de la unción derivada veremos en el guiente apartado la tabla de derivadas y las reglas necesarias para realizar cualquier tipo de derivada. 55 Apuntes de Matemáticas II (ºBacillerato para preparar el eamen de la PAU (LOE

9 Unidad. Funciones.Derivabilidad. Derivadas de orden superior En todos los puntos del dominio de ( (donde ( es derivable podemos conderar otra unción (, que agna a cada punto de el valor de la derivada de ( en este punto. '': R R ''( ''( '( '( La unción así deinida recibe el nombre de segunda derivada de (, (. De orma análoga podemos deinir la tercera derivada (, cuarta (IV (, etc. 4. Derivada de unciones elementales. Operaciones con derivadas 4. Derivadas de las unciones elementales Se puede calcular a partir de la deinición vista en el apartado anterior la unción derivada de las unciones elementales. Veamos en la guiente tabla la derivada de algunas unciones elementales. Derivada elementales Función Función derivada Ejemplo (K ( (-e ( ( n (n n- ( ( (e (e (a (a ln(a (5 (5 ln(5 (ln( (/ (log a ( ( ln( a (log ( ( ln( (sen( (cos( (cos( (-sen( (tg( (tg ( cos ( (arc sen( ( (arc cos( ( (arc tg( ( José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 56

10 Unidad. Funciones.Derivabilidad 4. Operaciones con derivadas Aplicamos la deinición de la derivada y las propiedades de los límites se obtienen las reglas que permiten derivar unciones que son resultado de operar con otras unciones derivables. Para ver las propiedades de las derivadas veamos otra tabla: Propiedades de las derivadas Propiedad Suma: (g ( (g ( Ejemplo ( -cos(e --sen(e Constante por una unción: (k (k ( (5arc sen( 5 Producto: ( g ( ( g(( g ( (5 sen( 5sen(5 cos( Cociente: g ' '( g( ( g' ( ( g ( 7 ln( ' 7 ln( 7 ln ( 7ln( 7 ln ( Función e cos ( cos ( compuesta(g º ( ((g(( g (( ( ' e cos( ( sen( A partir de las derivadas elementales y de las propiedades de las derivadas es sencillo calcular la derivada de toda unción, sólo ay que aplicar las propiedades con orden. Ejercicio: calcular las derivadas guientes a D[( - 5 ]5( - 4 ( - 4 b D[( / ] ( / c D[ 4 ]4 4 ln(4 ( d D[(e 4 ]4 (e ( e 8 (e (e e D[ln(- 4 4 ] 4( ( 6 4 ( D g D ( ( (4 5 5 ( 6 ( ( ( 7 / 4 5 ( 5 ( ( Apuntes de Matemáticas II (ºBacillerato para preparar el eamen de la PAU (LOE

11 Unidad. Funciones.Derivabilidad D [(4 4 ] 4 4 ( ( i D[sen 4 (]4 sen ( cos( j D[sen( 4 ]cos( 4 4 k D ( ( ( l D[sen ( ]sen( cos( 4 sen( cos( m D [ arc sen( ] ( 7 7 ( 7 ( 7 ( n D 7 ( 7 ( ( 7( 7 7 o D [ arc tg( ] ( ( ( ( p D ln ( ( ( ( ( q D [ sen ( cos (] sen ( cos( cos ( sen ( cos( sen( 6 sen ( cos( cos ( 6 sen ( cos( sen( r D [ arc sen( tg( ] tg tg ( ( 4. Derivación logarítmica Cuando las unciones en orma de eponente, donde tanto la base como el eponente son unciones, (g( (. El cálculo de la derivada debe de acerse guiendo el guiente procedimiento (usaremos el ejemplo ((7 cos(. Tomamos logaritmos en ambos lados: ln((( ln(g( Ejemplo: ln((cos( ln(7. Derivamos a ambos lados de la igualdad: Ejemplo: '( ( g'( ' ( ln( g( ( g( '( cos( 4 cos( sen( ln(7 sen( ln(7 ( 7 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 58

12 Unidad. Funciones.Derivabilidad ( g' (. Despejamos (: '( ( ' ( ln( g( g( Ejemplo: ( sen( ln(7 Ejercicio, calcular la derivada: a D[ ] (. ln((ln( ('. ln( (. ( (ln( b D[ ln( ] ( ln(. ln((ln( ln(. '( ln( (. ( Ejercicios del tema ln( ln Estudiar la derivabilidad de y cos( (7 7 (. cos( La unción es continua en R, pues es una raíz cúbica que eiste para números negativos. Veamos la derivabilidad: ( ( / ( Apuntes de Matemáticas II (ºBacillerato para preparar el eamen de la PAU (LOE 6 ( Se anula el denominador en y, estudiemos la derivabilidad en estos puntos ( 9 6 '( '( ( ( '( ( ( 9 6 '( ( es decir la tangente es una recta paralela al eje OY. No derivable derivable m-,

13 Unidad. Funciones.Derivabilidad Nota: una unción derivable en un punto eiste la derivada, aunque esta sea ininito. Veamos la gráica para interpretar los resultados en y estudiar la derivabilidad de y g( / e en. Veamos primero la continuidad: / g ( / e Continua e / e Veamos aora la derivabilidad por la deinición: g ( g( g( / e No es derivable en Veamos la gráica: ( e / ( e ( e / / José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 6

14 Unidad. Funciones.Derivabilidad Deriva la unción ( ln(cos( e sen( ( e e tg( e ( cos( 4 Calcula un punto de la unción ( 5 en la que la recta tangente sea paralela a la recta y- Si la rectas son paralelas misma pendiente, luego la recta tangente tiene pendiente m, por tanto buscamos el punto donde ( ( P(,((,7 5 Hallar b y c para que ( sea continua y derivable en (, b c ( <. Continuidad: las unciones deinidas en los dos trozos son polinomios y por tanto el único punto ay que estudiar la continuidad es en. ( ( b c ( b c. Derivabilidad: b y c cumplen la anterior ecuación ( continua y podemos calcular la derivada en todos los puntos del dominio '( 4 b < Volvemos a tener dos polinomios, así que el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad es en : 6 Apuntes de Matemáticas II (ºBacillerato para preparar el eamen de la PAU (LOE

15 Unidad. Funciones.Derivabilidad '( '( 9 ( 4 b Resolviendo el stema b-49 y c9 9 4 b 6 a allar a, b para que ( sea continua. b Calcular los puntos donde es derivable ( a b < > a Las unciones y son continuas en R. La unción a b será continua en (,] dependiendo de a y b. Veamos los valores de a y b para que sea continua en y ( b b 4 ( ( a ( a 4 Para estos valores de a y b 4 es continua en (,] ya que 4 en este intervalo es mayor de cero. Luego a- b4 la unción ( continua en R, y podemos calcular ( b ( 4 < > Derivabilidad en '( '( '( '( '( 4 No derivable Derivabilidad en '( '( '( '( '( derivable en Luego ( derivable en R-{} José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 6

16 Unidad. Funciones.Derivabilidad 7 Calcular los puntos donde la recta tangente a y --6 paralela a la recta y6-5 Si es paralela tienen misma pendiente, es decir m6. Como la pendiente de la recta tangente es ( se tiene que cumplir que (6 (6 6-6, -. P (,((,-8 P (-,(-(-,57 8 Dada la unción ( -4 encontrar los puntos donde la recta tangente a esta unción sea paralela a la recta que corta la curva en, 4 Si son paralelas tienen la misma pendiente, calculemos las dos pendientes (4 ( Pendiente recta secante en, 4 m 4 Pendiente rectas tangentes (-4 Luego -4 5/ P(5/,-/4 9 Hallar los valores de a y b para que la recta tangente a la curva con unción y bc en el punto P(, sea perpendicular a y-.5 Primera condición la curva pasa por P, es decir ( 9bc Segunda condición al ser perpendicular la pendiente de la recta tangente será la inversa con gnomenos m-/(-.5 para la recta tangente en ( 6b b4,c- Estudiar la derivabilidad de (/(, y calcular ( a ( es continua en todo R pues el denominador no se anula y la unción valor absoluta es continua en R. Calculemos la derivada, para esto primero ponemos la unción deinida a trozos conorme a los valores del que cambian el gno de : ( > ( ( ( > El único punto donde ay que estudiar la derivabilidad es en, donde cambia de epreón analítica, ya que los denominadores no se anulan en ningún punto donde estén deinidas. 6 Apuntes de Matemáticas II (ºBacillerato para preparar el eamen de la PAU (LOE

17 Unidad. Funciones.Derivabilidad o '( o o '( '( o '(. Función derivable en R, pues ( (. continua <, ( Como es derivable en R podemos deinir la segunda derivada: continua > y ( b ( en la unción ( no es dos veces derivable pues > ( ''( ''( o o a estudiar los valores de a que acen continua (, b ver para estos valores la unción es derivable: ( a a a > a a Los dos trozos de deinición de ( son polinomios luego continuos en todo R y en por tanto en su dominio de deinición. Sólo nos alta por estudiar la continuidad en a: ( a a ( a ( a a a a a -a a -a a,a b a ( ( ( - > ( Luego es derivable en. Veamos la gráica > José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 64

18 Unidad. Funciones.Derivabilidad 65 Apuntes de Matemáticas II (ºBacillerato para preparar el eamen de la PAU (LOE a ( > 4 ( > 4 ( - ( 4, luego es derivable en. Veamos la gráica: Ejercicios de la P.A.U. Septiembre 4. Prueba A. PR- a Sea la unción dada por., ( R estúdiese la derivabilidad de en mediante la deinición de derivada a., ( R < ( ( ( ( ( ( No derivable.

19 Unidad. Funciones.Derivabilidad Septiembre 5. Prueba A PR-. a Estúdiese la derivabilidad de ln(,, ( > Primero tenemos que estudiar la continuidad de (: los dos trozos de la unción son continuos, pues el argumento del logaritmo es empre potivo. De esta orma sólo tenemos que ver la continuidad en ( ln( ( ( (, luego es continua en R y podemos calcular la unción derivada en todos los puntos:, > '(, Los dos trozos son continuos pues uno es un polinomio y el otro es un denominador que nunca se anula. Sólo tenemos que calcular la derivabilidad en : ( ( - luego es derivable en y por tanto en R Junio 6. Prueba B. C- Sea (a b cd. Determínense a, b, c y d para que la recta y sea tangente a la gráica de en el punto (,-, y la recta -y- sea tangente a la gráica de en el punto (,-. a Recta y- m y Pasa por (,- (d- (c b Recta y- m y Pasa por (,- (ab-- (ab a, b- Septiembre 6. Prueba B. C- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráica de la unción ( en el punto. ( ( la pendiente de la recta paralela es m (, es ( ( decir paralela al eje, y la de la recta normal es m, paralela al eje y. Las dos pasan por el punto P(,( P(, José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 66

20 Unidad. Funciones.Derivabilidad a Tangente en (y- y (eje X b Normal (eje Y Veamos la gráica de (: Septiembre 7. Prueba A C-.- Determinar en qué puntos de la gráica de la unción y -, la recta tangente a la misma es paralela a la recta y7. Si las rectas son tangentes misma pendiente. La pendiente de la recta y7 es m. La pendiente de la recta tangente es igual a ( -6. Obliguemos a que la pendiente sea y calculemos el valor de la coordenada de los puntos buscados: -6 (-6, P (,( P (, P (,( P (,- Junio 8. Prueba A C-.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la unción ( a en el punto sea perpendicular a la recta y. Si la recta tangente es perpendicular a y--, entonces la pendiente es m-/-. La pendiente de las rectas tangente en es ( aa. Igualando la derivada al valor de m obtenemos que a. Prueba B sen( PR- Dada la unción ( y derivabilidad de la unción ( >, se pide a Estudiar la continuidad Continuidad: sólo ay que estudiar la continuidad en que es donde la unción cambia de epreón analítica y donde se anula en denominador de la primera. sen( ( ( L Hopital tema 4 ( ( ( es por tanto continua en R 67 Apuntes de Matemáticas II (ºBacillerato para preparar el eamen de la PAU (LOE

21 Unidad. Funciones.Derivabilidad Derivabilidad: como es continua en R podemos deinir la unción derivada en todos los puntos: ( sen( cos( > Sólo ay que estudiar la derivabilidad en ( sen( sen( cos( ( L Hopital tema 4 ( - - Luego no es derivable en La unción ( es derivable en R-{} José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com 68