ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

Transcripción

1 ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA Una ecuación de segundo grado en las variables que carezca del término en puede escribirse en la forma: Si A 0, C 0 D 0, la ecuación representa una parábola cuo eje es paralelo a (o coincide con) el eje X. A esta ecuación se le llama ecuación general de la parábola. Es decir, la forma general de una parábola horizontal es: D E F 0 Si A 0, C 0 E 0, la ecuación representa una parábola cuo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Es decir, la forma general de una parábola vertical es: D E F 0 CONVERSIÓN DE LA FORMA ORGINARIA A LA FORMA GENERAL Desarrollando el binomio al cuadrado simplificando las ecuaciones ordinarias de la parábola, obtenemos la forma general de la ecuación de la parábola. Así la ecuación: 8( ) se transforma desarrollando el binomio al cuadrado del lado izquierdo de la igual haciendo el producto del lado derecho de la igual en: pasando los términos del lado derecho al lado izquierdo de la igualdad tenemos: simplificando obtenemos: Este desarrollo puede hacerse para cualquier parábola, a sea horizontal o vertical. CONVERSIÓN DE LA FORMA GENERAL A LA FORMA ORDINARIA Para mostrar la conversión de la forma general a la forma ordinaria de la ecuación de una parábola, observemos el siguiente problema. Demostrar que la ecuación representa una parábola, hallar las coordenadas del vértice del foco, la ecuación de la directriz la longitud de su lado recto. 1

2 Solución: La ecuación representa una parábola cuo eje es paralelo al eje Y (a que el término cuadrático aparece en la variable ). Para reducir la ecuación a la forma ordinaria, utilizamos el método de completar cuadrados en. Pasando el término en el término independiente a la izquierda de la igualdad tenemos: 0 97 Factorizando el coeficiente del término cuadrático tenemos: ( 5) 97 Sacando mitad al 5 (coeficiente del término lineal en ) elevándolo al cuadrado para completar cuadrados obtenemos 5 /, el cual se lo agregamos a ambos lados en la igualdad: Factorizando los términos de la derecha de la igualdad, tenemos: 5 ( ) Y dividiendo por ambos lados de la igualdad, obtenemos: 5 6( ) La cual es la ecuación de una parábola en su forma ordinaria. 5 De esta ecuación vemos inmediatamente que las coordenadas del vértice son,. Como p 6, p, la parábola abre hacia arriba. Entonces, como el foco está sobre el eje focal el eje es paralelo al eje Y, se sigue que las coordenadas del foco son 5 5 9,, o sea,,. La ecuación de la directriz es, o sea,, la longitud del lado recto es p 6.

3 EJERCICIOS En cada uno de los siguientes ejercicios, redúzcase la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la parábola, hállese las coordenadas del vértice del foco, las ecuaciones de la directriz eje, la longitud del lado recto. [1] Solución: La ecuación representa una parábola cuo eje focal es paralelo al eje X (puesto que el término cuadrático aparece en la variable ). Para reducir la ecuación a la forma ordinaria, utilizamos el método de completar cuadrados en. Ecuación: Juntando despejando términos semejantes quedaría: ( 5) Posteriormente se resuelve la suma de los términos de la ecuación Reduciendo los términos de la ecuación se tiene: Factorizando los términos de la derecha de la igualdad, tenemos: 5 8( ) Y dividiendo por ambos lados de la igualdad, obtenemos el resultado: 5 1( ) De esta ecuación vemos que las coordenadas del vértice son 5,. Como 1 p 1, p, la parábola abre hacia la derecha. Entonces, como el foco está sobre el eje focal el eje es paralelo al eje X, se sigue que las coordenadas del foco

4 son 5 5,, o sea, 1,. La ecuación de la directriz es, o sea, 5, la longitud del lado recto es p 1. [] Solución: En esta ocasión la ecuación representa una parábola cuo eje es paralelo al eje Y (a que el término cuadrático aparece en la variable ). Completando cuadrados: Ecuación: Se despejan términos semejantes Y dividiendo por 9 ambos lados de la igualdad, obtenemos el resultado: De esta última ecuación observamos que las coordenadas del vértice son, Como p 8, p, la parábola abre hacia abajo. Entonces, como el foco está sobre el eje focal el eje es paralelo al eje Y, se sigue que las coordenadas del 8 8 foco son,0, o sea,,. La ecuación de la directriz es 0 ( ), o 6 6 sea,, la longitud del lado recto es p 8.

5 [] 7 Solución: Esta ecuación representa una parábola cuo eje es paralelo al eje X puesto que el término cuadrático aparece en. Despejando factorizando tenemos: De esta ecuación tenemos que las coordenadas del vértice son,0. Como p, p 1, la parábola abre hacia la izquierda. Entonces, como el foco está sobre el eje focal el 7 eje es paralelo al eje X, se sigue que las coordenadas del foco son,0 1, o sea, 7,1. La ecuación de la directriz es 0 ( 1), o sea, 1, la longitud del lado recto es p. 5