TANGENCIAS. Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión TEMAR. Objetivos y orientaciones metodológicas. t.

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1 TANGENCIAS Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión TEMAR Objetivos y orientaciones metodológicas El objetivo de este tema es hacer aplicación de los conceptos de "potencia" e "inversión" en la resolución de problemas de tangencias. Es conveniente que el alumno comprenda el porqué de cada aplicación y no memorice las construcciones. t. Introducción La utilización de las propiedades geométricas que se derivan de los conceptos de potencia e inversión permiten resolver los problemas de tangencias de mayor complejidad. En algunos casos se aplican, además, la dilatación y la simetría como operaciones auxiliares previas, que transforman el problema en otro más sencillo y resuelto previamente. Cuando se aplica este proceso de resolución, a fin de simplificar las explicaciones, una vez efectuada y justificada la conversión, se remite al alumno al ejercicio, ya resuelto anteriormente, en el que se ha transformado, para completar el proceso. Para ello, los datos de partida del ejercicio más complejo se habrán elegido de modo que, una vez efectuada la transformación, los datos resultantes coincidan con los utilizados para explicar el caso en el que se ha convertido. Así, la resolución completa del caso más complejo es exactamente la suma de las dos explicaciones aportadas por separado. Téngase en cuenta que una circunferencia queda definida por tres puntos, por lo que, en los problemas de tangencias en los que la solución es una o varias circunferencias se necesitan tres datos o condiciones. Esta consideración es particularmente importante cuando se dibujan contornos de formas delimitados por arcos de circunferencia tangentes (bombilla, gancho de grúa, botella, etc.), en las que es preciso resolver consecutivamente varios casos de tangencias y alguno de los datos necesarios para resolver una tangencia se obtiene en la resolución de otra anterior. Conviene señalar que alguno de los casos de tangencias cuya resolución se explica en este tema aplicando el concepto de potencia o el de inversión, se puede resolver utilizando otros métodos diferentes a estos. Incluso, como se verá a lo largo del tema, algún caso de tangencia se puede resolver aplicando indistintamente potencia e inversión. En estos casos, en ambas resoluciones, se partirá de los mismos datos. Por último, se recuerda que una tangencia no se considera totalmente resuelta hasta que no se conocen los puntos de tangencia. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 59

2 2. Resolución de tangencias aplicando el concepto de potencia 2.1. Trazar las circunferencias tangentes a una recta r y que pasan por dos puntos P y Q (Fig. 1) Se trata de hallar los puntos de tangencia de las circunferencias solución con la rectar, para lo que hay que hallar el centro radical de las circunferencias que se buscan y der, a la que se considera "circunferencia" de radio infinito. Fig. 1. p Todas las circunferencias que pasan por los puntosp y O tienen su centro en la mediatriz del segmento que determinan y como eje radical la rectapo. Por otra parte, como ha quedado demostrado en el tema 2, el eje radical de una circunferencia y una recta es la propia recta, por tanto, el punto G, r donde la rectapo corta ar, es el centro radical de las circunferencias que pasan por los puntos P y 0, entre los que se hallan las soluciones que se buscan,ylarecta~ Con ayuda de una circunferencia auxiliar de centro E que pasa por los puntos P y O se calcula la distancia G TE =..JK, raiz cuadrada de la potencia de G respecto r r de las circunferencias descritas. Los puntos de tangencia TI y T 2 de las dos circunferencias solución con la rectar se encuentran a ambos lados de C, a la distancia..jk de este punto. Los centros 1y 02 de las circunferencias buscadas se hallan donde las perpendiculares a r por TI y T 2 cortan, respectivamente, a la mediatriz del segmento PO Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan y pasan por un punto P dado (Fig. 2) Fig. 2. Los centros de las circunferencias tangentes a las rectasr y s se hallan en la bisectriz del ángulo que forman y si estas circunferencias pasan por el punto P, pasarán también poro, simétrico de aquél respecto de la citada bisectriz. Según esto, el problema se convierte en el caso anterior, en el que se trazan las circunferencias tangentes a una rectal y que pasan por los puntosp y O. En la Fig. 2, la posición de las rectas t y S Ydel punto P es tal que, una vez determinado el punto O, la posición de la rectal y de los puntosp y O coincide con la posición de estos mismos elementos en la Fig. 1. Por tanto, si a la Fig. 2 se añaden los trazados de la Fig. 1, se completa la resolución de este caso de tangencias Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas r l y 51 que se cortan y una circunferencia de centro P (Figs. 3 y 4) Fig. 3. Aplicando a la circunferencia dada una dilatación negativa de magnitud igual a su radior, se transforma en un punto, su propio centro P Para mantener la equivalencia con los datos iniciales, las rectasr ys, consideradas "circunferencias" de radio infinito, se dilatan la misma magnitudr, ambas en el mismo sentido respecto de la bisectriz del ángulo que forman las rectas dadas. 60 DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato

3 De este modo, el problema se ha convertido en el caso anterior: trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasan por el punto P. Estos datos coinciden con los de partida de lafig. 2, por lo que calculando el punto Q y continuando con los trazados de lafig. 1 se obtienen los centros 01 y 02 de dos circunferencias solución. Los radios de estas son el resultado de sumar a los obtenidos en la Fig. 1 la magnitud R de la dilatación anterior, para recuperar mediante otra dilatación inversa la misma posición y magnitud de los datos iniciales. En la Fig. 4 se obtienen las otras dos soluciones, de centros 03 y 04' que tiene este caso, resolviendo esta mitad completa. La única variación con la mitad anterior consiste en efectuar la dilatación de las rectas iniciales r l y Sl en sentido contrario, de modo que se obtienen las rectasr' y s'. El problema se ha transformado en trazar las circunferencias tangentes a las rectasr' y s'y que pasan por el puntop Calculando el punto Q, simétrico dep respecto de la bisectriz común de los ángulos que forman las rectas r 1 y S1 y las r' y s', se trata ahora de trazar las circunferencias tangentes a la rectar' y que pasan por los puntos P y Q Se determina G, r centro radical del haz de circunferencias que pasan por P y Q Yde la rectar'. Con la circunferencia auxiliar de centro E, que pasa por los puntos P y Q, se calcula -IK, raíz cuadrada de la potencia del punto G r respecto de las circunferencias del haz, entre las que están las soluciones que se buscan. Por los puntos T~ y T~ de r', que distan 1K de e, se trazan las perpendiculares a esta recta que cortan a la bisectriz en los puntos 03 y 04 Las circunferencias con centros en estos puntos y que pasan por P y Q son tangentes a las rectas r' y s'. Los radios de las circunferencias solución, de centros 03 y 04' resultan de restarles a los de las anteriores la magnitud R de la dilatación. Antes de trazarlas se calculan los puntos de tangencia en los datos iniciales, que son, respectivamente, T 3 y T 4 enr, 1 T A y TE ens 1 y T M YTN en la circunferencia de centro P Trazar las circunferencias tangentes a otra de centro e y que pasan por dos puntos P y Q (Fig.5) Es, prácticamente, el mismo problema que el resuelto en el apartado 2.1.La única diferencia es que la recta r, circunferencia de radio infinito, ahora tiene radio finito ycentro e Fig. 5. Fig. 4. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 61

4 Como en aquel caso, el haz de circunferencias que pasan por los puntos P y O tienen los centros en la mediatriz del segmento PO y su eje radical es la recta PO. La circunferencia auxiliar de centro E, que pasa por los puntos P y O, corta a la dada de centro G en los puntos A y B. El punto C', donde se cortan las rectaspq y AB, es el centro radical de las circunferencias del haz que pasa por P y O Yla de centro G. En consecuencia, la potencia del punto G respecto de todas ellas es la misma y la longitud del seg~ento -1K también. Las rectas tangentes desde G r a la circunferencia dada tienen como puntos de tangencia T y T, 2 luego estos son los puntos comunes de las circunferencias solución con la dada. Los centros de las soluciones, 01 y 02' se hallan, respectivamente, donde las rectas T G YT 2 G cortan a la mediatriz del segmento PO Se seguirá idéntico proceso cuando los puntospy sean interiores a la circunferencia dada de centro e O 2.5. Trazar las circunferencias tangentes a otra de centro e y a una recta r conociendo el punto de tangencia Te en aquélla (Fig. 6) El haz de circunferencias tangentes a la de centro G en el punto T tienen los centros en la recta CT c y como eje radical la rectae. Fig. 6. Este conjunto de circunferencias y la de radio infinito r tienen como centro radical G, r punto donde se cortan las rectas e y r. El segmento -IK, raíz cuadrada de la potencia de G r respecto de todas las circunferencias del haz, es igual a Gl e: Por tanto, llevando sobre la rectarel segmento -IK a ambos lados de G r se obtienen los puntos de tangencia, T y T, 2 de t con las circunferencias solución. Los centros de estas, O y 02' se hallan en los puntos donde las perpendiculares ar por T y T 2 cortan a la recta GT c Trazar las circunferencias tangentes a otra de centro e y a una recta r conociendo el punto de tangencia T r en ésta (Fig. 7) Este caso es similar al anterior. El haz de circunferencias tangentes a r en el punto T, tienen sus centros en la perpendicular por T r ar. La circunferencia auxiliar de centro E, que pertenece a este haz, corta a la dada en los puntos A y B que determinan el eje radical, e, de ambas. El punto C; donde e corta a i, es el centro radical de las circunferencias del haz, de la dada de centro Cy de la rectar. Fig. 7. Llevando sobre la circunferencia de centro G desde G la distancia CT = {K se obtienen los puntos d~ r r tangencia, T y T, 2 de las soluciones con la circunferencia dada. Los puntos O. y 02' donde las rectas Tp y T 2 G cortan a la perpendicular por T r a i, son los centros de las circunferencias dadas. 62 DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato

5 3. Resolución de tangencias aplicando el concepto de inversión 3.1. Trazar las circunferencias tangentes a otra de centro e y a una recta r conociendo el punto de tangencia T r en ésta (Fig. 8) Este problema se ha resuelto en la Fig. 7 aplicando el concepto de potencia. El método empleado en la Fig. 8se basa en la relación de inversión entre la circunferencia de centro C y la recta r. Los puntos M y N, donde la recta perpendicular ar por el centro C de la circunferencia dada corta a ésta, son los centros de inversión positiva y negativa, respectivamente, que transforma recíprocamente a ambas. En la inversión de centro M, al punto TI' punto de tangencia de las soluciones buscadas con la rectar, le corresponde TI' alineado con M y TI Yperteneciente a la circunferencia de centro C, que será el punto de tangencia con ésta de una de las soluciones. Su centro, 0, 1 es el punto de corte de la perpendicular ar por TI y de la recta CT I Tomando el punto N como centro de la inversión negativa se determina el punto T z inverso del punto T( El centro, 0z' de la segunda solución es el punto de corte de la recta CT 2 con la perpendicular ar por T( Fig Trazar las circunferencias tangentes a otra de centro e y a una recta r conociendo el punto de tangencia Te en aquélla (Fig. 9) Este caso se ha resuelto en la Fig. 6 aplicando el concepto de potencia. A continuación se explica la solución aplicando inversión. Haciendo, como en el caso anterior, que la circunferencia de centro C y la recta r sean inversas, en la inversión positiva de centro M y en la negativa de centro N, se calcula, en ambos casos, el inverso del punto T c resultando, respectivamente, los puntos TI y T z Los centros 0 1 YO 2 de las soluciones se hallan en la intersección de la recta CT c con las perpendiculares por TI y T 2 a la rectar Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan y pasan por un punto P dado (Fig. 10) En las Figs. 1 y 2 se ha explicado la resolución de este problema aplicando el concepto de potencia. Seguidamente se explica su resolución aplicando inversión. Fig. 9. Por lo visto en el tema anterior, sabemos que la figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por él y que es homotética de ella, estando los centros de ambas alineados con el centro de inversión. Partiendo de esta propiedad se puede establecer que una circunferencia cualquiera, de centro E, tangente a DIBUJO TÉCNICO I1 - Bachillerato 63

6 las rectas t y s se puede transformar en otras, también tangentes a ambas rectas, mediante inversiones con distinta potencia de inversión y centro de inversión de todas ellas M, punto donde se cortan t y s. Los puntos P l y P z ' donde la recta PM corta a la circunferencia auxiliar de centro E, se corresponden con el punto P dado en dos inversiones positivas de centro M. En cada una de estas inversiones, los centros de las circunferencias solución, 01 y 02' se hallan en las intersecciones de la bisectriz del ángulo que forman las rectasr y s con las paralelas por P a las rectas PIE y PzE, respectivamente Trazar las circunferencias tangentes a otras dos de centros C l y C z conociendo el punto de tangencia Te en una de ellas (Fig. 11) Sean las circunferencias de centros el y e 2 y el punto Te en la primera. La inversión positiva de centro M que transforma una circunferencia en la otra permite calcular el punto TI' inverso de Te y punto de tangencia de una de las soluciones con la circunferencia de centro e 2 Fig. 10. El punto 01 de intersección de las rectas el Te y ezt l es el centro de una de las soluciones. Repitiendo el proceso, ahora con una inversión negativa de centro N, se obtiene el punto T, 2 inverso de Te y punto de tangencia de la segunda solución con la circunferencia de centro e. 2 El centro de aquélla, 02' se halla en la intersección de las rectas el Te ye 2 T 2 Fig DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato

7 ACTIVIDADES 1. Dibujarlas circunferencias tangentes a la dada de centro e y que pasen por los puntos P y O (Fig. 12). Aplicación de la Fig. 5 p o eo Q o Fig Dibujar las circunferencias tangentes a la rectarque tengan el centro en la recta a y pasen por el punto P de ésta (Fig. 13). Aplicación de la Fig. 1 p 3. Dibujar a escala 1:11a pieza cuyo croquis acotado se presenta (Fig. 14). Aplicación de la Fig. 11 Fig. 13. Fig. 14. DIBUJO TÉCNICO" - Bachillerato 65

8 4. Dibujar a escala 1:1 el contorno cuyo croquis se presenta (Fig. 15). Aplicación de la Fig. 7 o Fig. 8 Fig Dibujar a escala 1:11a pieza cuyo croquis se presenta (Fig. 16). Aplicación de la Fig. 3 Nota: El arco de circunferencia con centro en Q es tangente a las rectasr y s ya la circunferencia de centrop. Fig Dibujar a escala 1:2 la cuchara cuyo croquis se presenta (Fig. 17). Aplicación de la Fig. 6 o Fig Fig DIBUJO TÉCNICO" - Bachillerato