Unidad 4 Lección 4.2. Funciones Racionales

Transcripción

1 Unidad 4 Lección 4. Funciones Racionales 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 4

2 Actividades 4. Referencias: Sección 4. Ceros Complejos; Vea Ejemplo, y 4 Sección 4.4 Funciones Racionales; vea Ejemplos, 4 y 5. Ejercicios de Práctica: Sección 4. Ceros Complejos: impares 5 7, 5-; 5, 7, 49, 50, 55 y 57. Sección 4.4 Funciones Racionales: Impares 7-0, 5-8, -6, 9, 47, 7, 75 y 79 Referencias del Web: o Zona Virtual Funciones Racionales o Purple Math - Graphing Rational Functions 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 4

3 Teorema Fundamental del Álgebra Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene un cero complejo Teorema de la Factorización: Sea f = a n n + a n n + + a + a 0 una función polinómica con coeficientes complejos. Entonces,. tiene n raices r, r,, r n que pueden ser números reales o complejos que se repiten o no.. La función se puede escribir como: f = a n r r r n 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 4

4 Ejemplo Determine los ceros de la función f = + y eprése la función de forma factorizada. Solución: Factorizando f = = 0 = 4 = ± 4 = ±i Los ceros de la función son: Su forma factorizada es: 0, i, i = ±i f = + i i 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 4

5 Ejemplo Si - y son ceros, encuentre todos los restantes ceros de: f ( ) Solución: Si - y son ceros, por sólo hay otro ceros a tal que: f ( ) ( )( )( a) ( )( )( a) ( )( a) Observe que si divide primero entre (+) y luego, entre (-) ambos lados de la igualdad, se puede despejar por ( - a). 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 4

6 Ejemplo Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0/6/ ) )( ( a ) ( a ) )( ( a ) ( a ) )( )( ( ) ( f ) ( ) ( ` Los ceros son - y. El - tiene multiplicidad de 4

7 Multiplicidad del cero de un polinomio Si r es un factor de un polinomio m totalmente factorizado, entonces r se llama un cero con multiplicidad m. Si f ( ) 7 5 = es un cero con multiplicidad de. = - 7 es un cero con multiplicidad de = / es un cero con multiplicidad de 5. 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 4

8 Propiedad de la multiplicidad Si r es un cero con multiplicidad par el signo de f () no cambia de un lado al otro de r. Por tanto, la gráfica toca el eje de en r. Si r es un cero con multiplicidad impar el signo de f () cambia de un lado al otro de r. Por tanto, la gráfica cruza el eje de en r. 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 4

9 Ejemplo Para la función polinómica siguiente, use la multiplicidad de los ceros y el grado para bosquejar su gráfica: f ( ) 5 4 = -4 es un cero de multiplicidad. Cruza el eje de en (-4,0). = - es un cero de multiplicidad. Toca el eje de en (-,0). = 5 es un cero de multiplicidad. Cruza el eje de en (5,0). Observe que la función es de grado 4, por tanto par. 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 4

10 Teorema de ceros racionales Sea f una función polinómica con coeficientes enteros f n n ( ) an an... a a a0 entonces todos sus ceros racionales serán de la forma p tal que: q o p es un factor del término constante a 0 o q es un factor del coeficiente del término que determina el grado del polinomio a n 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0 de 4

11 Ejemplo 4 Encuentre los ceros racionales de: Solución: f ( ) Si p q es un cero racional de f, entonces p p, q, q Probar cada valor f () () () 4 f () () () 0 f ( ) ( ) ( ) 0 f ( ) ( ) ( ) 4 Los ceros son -, 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 4

12 Definición de una función racional Una función racional es una función de la forma: R( ) p( ) q( ) donde p(), q() son funciones polinómicas y q() no es una función cero. El dominio consiste de todos los números reales ecepto aquellos para los cuales el denominador q es 0. 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 4

13 Ejemplo 5 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales: (a) R( ) 8 6 Todos los números reales ecepto -6 y -. (b) R( ) (, 6) ( 6, ) (, ) 4 Todos los números reales ecepto 4 y -4 (, 4) ( 4,4) (4, ) 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 4

14 Ejemplo 5 (c) R( ) 5 9 Todos los números reales (, ) 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 4

15 Asíntotas Verticales Mientras c R() = c y c c R() R() = c y = c es una asíntota vertical 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 4

16 La función vertical en =. Ejemplo 6 f ( ) tiene una asíntota (0,) (,) (,0) (,0) f ( ) 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 4

17 Teorema (Asíntota verticales) Sea R() una función racional epresada en la forma mas simple tal que: R( ) p( ) q( ) Entonces, R() tendrá una asíntota vertical en = r, si ( r) es un factor del denominador q(). 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 4

18 Ejemplo 7 Determine las asíntotas verticales de las funciones racionales siguientes: (a) R( ) ( )( ) Asíntota vertical en : = -, = (b) R( ) No hay asíntotas verticales 5 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 4

19 (c) R( ) ( )( 4) 4 Asíntota vertical en : = -4 R() tiene que estar epresada en la forma mas simple. Por tanto, factorice y simplifique antes de determinar asíntotas verticales. 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 4

20 Asintotas horizontales Mientras R( ) L y y = R() y = L y Mientras y = L R( ) L y = R() 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0 de 4

21 La función horizontal en y =. Ejemplo 8 f ( ) tiene una asíntota (0,) (,) y (,0) (,0) 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 4

22 Considera la función racional: Donde n, m son los grados de los polinomios p, q respectivamente. Entonces:. Si n < m, entonces y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de R. Ejemplo: Teorema (Asíntota horizontal) 0 0 ) ( ) ( ) ( b b b b a a a a q p R m m m m n n n n Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0/6/ ) ( R 0 y de 4

23 Teorema (Asíntota horizontal). Si n = m, entonces y = a n / b m es una asíntota horizontal de la gráfica de R. Ejemplo: R( ) y 4 5 0/6/06 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 4

24 Teorema (Asíntota horizontal). Si n > m no tiene asíntota horizontal. Ejemplo: Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0/6/06 5 ) ( R 5 ) ( 5 6 R 4 de 4