EJERCICIOS RESUELTOS. DETERMINACIÓN ANALÍTICA DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES.

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Rafael Barbero Vega
hace 7 años
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1 EJERCICIOS RESUELTOS. DETERMINACIÓN ANALÍTICA DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES. DADAS LAS FUNCIONES, DETERMINAR SU DOMINIO Y RANGO. a) b) f 4 c) p d) g e) f) h g) q SOLUCIÓN: a) EMPLEANDO AL ALGORITMO PARA LA DETERMINACIÓN DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL: SI: DENOMINADOR X-. Por lo tanto - debe ser diferente de cero: 0 DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? NO. Por lo tanto sólo tenemos una condición para el dominio: Domf : ; PARA LA DETERMINACIÓN DEL RANGO, DEBEMOS DESPEJAR LA VARIABLE X, ES DECIR; PLANTEAR LA FUNCIÓN CON RELACIÓN A LA VARIABLE Y. RECUERDE QUE PARA DETERMINAR EL RANGO DE UNA FUNCIÓN DEBEMOS ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO DE LA VARIABLE Y, Y VER SI HAY ALGUNA CONDICIÓN QUE LIMITE EL RANGO. : En el denominador tenemos +, este binomio pasa a multiplicar a la. Resolvemos la multiplicación planteada en el lado izquierdo de la igualdad:. Como el objetivo es dejar la variable despejada en cualquier lado de la igualdad, pasamos al otro lado con signo contrario:

2 : Para dejar sola la variables completar el despeje, debemos pasar dividiendo la variable que la multiplica: Teniendo la función epresada en la variable, seguimos el mismo algoritmo: SI: EN ESTE CASO EL DENOMINADOR ES. Por lo tanto: 0 DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? NO. Por lo tanto sólo tenemos una condición para el rango: 0 rgf : En este caso hemos utilizado otra forma para denotar que la variable pertenece al conjunto de los números reales, pero no puede tomar valor 0. Se puede leer también: pertenece al conjunto de los números reales, ecepto el cero. b) f 4 SI: DENOMINADOR +4. Por lo tanto +4 debe ser desigual de cero: DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? NO. Por lo tanto sólo tenemos una condición para el dominio: Domf : ; 4 f : Pasando el denominador a multiplicar a : En este caso tenemos una variable en cada miembro de la igualdad, por lo tanto los agrupamos en un solo lado pasando la de la derecha para el miembro izquierdo con signo contrario : Pasamos 4 para el otro lado consigo contrario. Ahora corresponde obtener el factor común entre los términos de la izquierda: 4 : : 4 Para dejar despejada la, debemos pasar dividiendo

3 Teniendo la función epresada en la variable, seguimos el mismo algoritmo: SI: EN ESTE CASO EL DENOMINADOR ES. Por lo tanto: 0 0 DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? NO. Por lo tanto sólo tenemos una condición para el rango: rgf : c) p NO. PASAMOS DIRECTAMENTE A LA SEGUNDA PREGUTA: DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? SI. Por lo tanto el argumento bajo el radical debe ser maor o igual a cero: 0 Tenemos entonces una sola condición para el dominio de esta función: Domp : ; f la raíz: : Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar : dejando la sola, pasamos el a restar el otro miembro. Teniendo la función epresada en la variable, seguimos el mismo algoritmo: NO. PASAMOS A LA DA: DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? NO. POR LO TANTO NO HAY NINGUNA CONDICIÓN QUE LIMITE EL RANGO: rgp : d) g

4 SI: DENOMINADOR +. Por lo tanto + debe ser desigual de cero: 0 DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? NO. Note que en este caso, ha signo radical en esa función pero es impar, tenemos una raíz cúbica. Por lo tanto sólo tenemos una condición para el dominio: Domg : ; g raíz: : Elevamos ambos miembros al cubo para eliminar la : Ahora pasamos a multiplicar el denominador a : Resolvemos la multiplicación: : Dejamos en el lado izquierdo el término que contiene pasando la restando al término de la derecha: : Para dejar despejada la pasamos dividiendo SI: EN ESTE CASO EL DENOMINADOR ES 0 0 : :. Por lo tanto: 0 DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? NO. Por lo tanto sólo tenemos una condición para el rango: rgg : 0 e) SI: DENOMINADOR. Por lo tanto debe ser desigual de cero: En el último paso del procedimiento anterior es una diferencia de cuadrados aplicamos su factorización. 0 ; DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? SI. Por lo tanto el argumento bajo el radical debe ser maor o igual a cero: 0 : Elevando ambos miembros al cuadrado. Por lo tanto el argumento bajo el radical debe ser maor o igual a cero: 0 : Factorizando la diferencia de cuadrados:

5 0 : Para resolver la inecuación planteada tomamos los puntos o valores donde se cumple la igualdad, en este caso 0 ; - La anterior sería la ubicación de esos valores en la recta numérica. Una de las vías de determinar donde se cumple que 0 puede ser tomando cualquier valor en cada intervalo limitado por los valores que hacen cumplir la igualdad 0 ; Para = -: Sustituimos ese valor en la epresión * > 0.Esto quiere decir que la epresión es maor que 0, o positiva en el intervalo que va desde hasta -. Para = 0: Sustituimos ese valor en la epresión 0 0 * <0. Esto quiere decir que la epresión es menor que 0, o negativa en el intervalo que va desde - hasta. Para = : Sustituimos ese valor en la epresión * > 0.Esto quiere decir que la epresión maor que 0, o positiva en el intervalo que va desde hasta. Como nos interesan los intervalos donde la epresión que 0 : es es maor - ; ;. No podemos incluir al - al dentro Los intervalos serían de los intervalos puesto que cuando analizamos la primera condición a habíamos fijado que 0 ; Por lo tanto: Domf : ; ; ;. Otra forma de determinar estos intervalos, mucho más practica, es utilizando la misma recta numérica pero al dividirla en intervalos, siempre a la izquierda del límite la inecuación va a tomar valor negativo a la derecha siempre positivo: - X = X = Estos signos se obtienen multiplicando los signos de arriba.

6 Como se puede observar obtenemos los mismos intervalos: ; ; Domf : ; ; ; Para despejar, pasamos a multiplicar el denominador: : Ahora elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: * izquierda: : Pasamos : Resolviendo la multiplicación de la al otro lado de la igualdad: : Y ahora dividimos para : : Corresponde hallar la raíz cuadrada en ambos términos. SI: EN ESTE CASO EL DENOMINADOR ES. Por lo tanto: 0 DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? SI. Por lo tanto el argumento bajo el radical debe ser maor o igual a cero: ( 0 : Esto siempre se cumple, porque todo número elevado al cuadrado ) sumándole, siempre será maor que 0. Por lo tanto solo consideramos la condición de la primera pregunta. rgf : 0 f) h SI: DENOMINADOR. Por lo tanto debe ser desigual de cero:

7 0 0 0 DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? SI. Por lo tanto el argumento bajo el radical debe ser maor o igual a cero: 0 Al tomar en cuenta ambas condiciones e intersecarlas: como en la primera condición debe ser desigual de, pero en la segunda debe ser maor e igual al mismo valor, como no puede ser desigual e igual a la vez, entonces solo queda Domh : ; Para despejar, pasamos a multiplicar el denominador: : Ahora elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: * 4 :Resolviendo la multiplicación de la izquierda: 4: Pasamos 4 : Y ahora dividimos para 4 al otro lado de la igualdad: : : Corresponde hallar la raíz cuadrada en ambos términos. SI: EN ESTE CASO EL DENOMINADOR ES. Por lo tanto: 0 0 DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? NO. POR LO TANTO HAY UNA SOLA CONDICIÓN PARA EL RANGO: rgh : 0 SI: EN ESTE CASO EL DENOMINADOR ES. Por lo tanto: 0 DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? g) q

8 NO. POR LO TANTO HAY UNA SOLA CONDICIÓN PARA EL DOMINIO: Domq : ; Para despejar, pasamos a multiplicar el denominador: izquierda. : Realizamos la multiplicación planteada en el término de la : Pasamos al otro lado de la igualdad para unir los términos con esa variable - pasa sumando a la derecha de la igualdad. : Obtenemos factor común en el miembro izquierdo de la igualdad. derecha de la igualdad. : Pasamos el término dividiendo al miembro de la SI: EN ESTE CASO EL DENOMINADOR ES. Por lo tanto: 0 DA PREGUNTA: HAY RADICALES PARES CON VARIABLES? NO. POR LO TANTO HAY UNA SOLA CONDICIÓN PARA EL RANGO: rgh :

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