Listo para seguir? Intervención de destrezas

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1 Listo para seguir? Intervención de destrezas 8-1 Factores y máximo común divisor Busca estas palabras de vocabulario en la Lección 8-1 y el Glosario multilingüe. Vocabulario factorización prima máximo común divisor Escribir factorizaciones primas Escribe la factorización prima de 48. Qué es un número primo? un número que sólo tiene dos factores, él mismo y 1 Método 1: Árbol de factores Para comenzar, elige dos factores cualesquiera de 48. Sigue buscando factores hasta que cada rama termine en un factor primo. Encierra en un círculo los factores primos Método 2: Diagrama de escalera Para comenzar, elige un factor primo de 48. Sigue dividiendo entre factores primos hasta que el cociente sea La factorización prima de 48 es ó Hallar el MCD de los monomios Halla el MCD de cada par de monomios. A. 9 a 3 y 3a 9 a a a a Escribe la factorización prima de cada coeficiente y escribe las potencias como productos. 3a 3 a Alinea los factores comunes. Cuáles son los factores comunes a los dos monomios? 3 y a Multiplica los factores comunes. El MCD de 9 a 3 y 3a es 3a. B. 24 x 3, 30 x 5 24 x x x x 30 x x x x x x Cuáles son los factores comunes a los dos monomios? 2, 3 y x 3 Multiplica los factores comunes. El MCD es 6x 3. Escribe la factorización prima de cada coeficiente y escribe las potencias como productos. Alinea los factores comunes. 132 Holt Álgebra 1

2 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas 8-1 Factores y máximo común divisor Los factores compartidos por dos o más números se llaman factores comunes. El mayor factor común se llama MCD o máximo común divisor. Una liga de sóftbol compró artículos nuevos para los equipos. La liga compró 40 pelotas y 24 bates. Cuántos equipos hay si todos los artículos se distribuyen por partes iguales entre los equipos? Cuántos bates y pelotas recibe cada equipo? Comprende el problema 1. Cuántos bates y pelotas se compraron? 24 bates y 40 pelotas 2. Cómo se dividieron los artículos? por igual entre los equipos 3. Qué se te pide que halles? Cuántos equipos hay y cuántos bates y pelotas recibe cada equipo. Haz un plan 4. Si los artículos se van a dividir por partes iguales entre los equipos, entonces 40 y 24 deben ser divisibles entre el mismo número. 5. Cuáles son los factores de 24? 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y de 40? 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Resuelve 6. Qué factores son comunes a 24 y 40? 1, 2, 4, 8 7. Cuál es el máximo factor común? 8 8. Por lo tanto, hay 8 equipos de sóftbol. 9. Como hay 40 pelotas y 8 equipos, cuántas pelotas recibe cada equipo? Como hay 24 bates y 8 equipos, cuántos bates recibe cada equipo? 3 Repasa 11. Cuántas pelotas recibe cada equipo? 5 Cuántos equipos hay? 8 Cuál es el producto de la cantidad de equipos y la cantidad de pelotas? Cuántos bates recibe cada equipo? 3 Cuántos equipos hay? 8 Cuál es el producto de la cantidad de equipos y la cantidad de bates? Tus respuestas a los Ejercicios 11 y 12 se corresponden con la información del enunciado del problema? Sí 133 Holt Álgebra 1

3 Factorizar usando el MCD Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta. A. 8 y 3 2 4y 2 Listo para seguir? Intervención de destrezas 8-2 Cómo factorizar mediante el MCD Halla el MCD de cada término. 8 y y y y 2 4y y y El MCD es y y 8 y 2. Escribe los términos como productos usando el MCD como factor. y (8 y 2 ) 3 (8 y 2 ) Usa la propiedad distributiva para factorizar y hallar el MCD. 8 y 2 ( y 3 ) Comprueba: Multiplica para comprobar tu respuesta. 8 y 2 ( y 3 ) 8 y 3 24 y 2 B. 4 x 2 20x 28 Halla el MCD de cada término. 4 x x x 20x x El MCD es Escribe los términos como productos usando el MCD como factor. x 2 (4) 4 (5x) 4 (7) Usa la propiedad distributiva para factorizar y hallar el MCD. 4( x 2 5x 7 ) Comprueba: Multiplica para comprobar tu respuesta. 4( x 2 5x 7 ) 4 x 2 20x 28 Factorizar por agrupación de términos Factoriza el polinomio 4 a 3 8 a 2 3a 6, por agrupación de términos. Comprueba tu respuesta. Agrupa los términos que tienen un número común de variables como factor. (4 a 3 8 a 2 ) ( 3a 6) Cuál es el MCD de 4 a 3 y 8 a 2? 4 a 2 Cuál es el MCD de 3a y 6? 3 Escribe cada grupo con el MCD. 4 a 2 a 2 ( 3) a 2 Factoriza para hallar el factor común de a 2. (a 2) 4 a 2 3 Multiplica para comprobar tu solución. (a 2) 4 a 2 3 a (4 a 2 ) a ( 3) 2 (4 a 2 ) 2 ( 3) 4 a 3 3a 8 a 2 6 Multiplica. 4 a 3 8 a 2 3a 6 Vuelve a escribir en orden descendente. 134 Holt Álgebra 1

4 Listo para seguir? Intervención de destrezas 8-3 Cómo factorizar x 2 bx c Factorizar x 2 bx c cuando c es positivo Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta. A. x 2 9x 14 Cuando el término constante es positivo, sus factores tienen el mismo signo. Cuál es el valor del término c? 14 Cuál es el valor del término b? 9 Factores de 14 1 y Suma 2 y 7 9 Cuáles son los factores de c cuya suma es b? 2 y 7 Completa: x 2 x 7 Comprueba mediante FOIL: x 2 x 7 x 2 7x 2x 14 x 2 9x 14 B. x 2 8x 15 Cuál es el valor del término c? 15 Cuál es el valor del término b? 8 Factores de 15 Suma 1 y y 5 8 Cuáles son los factores de c cuya suma es b? 3 y 5 Completa: x 3 x 5 Comprueba mediante FOIL: x 3 x 5 x 2 5x 3x 15 x 2 8x 15 Factorizar x 2 bx c cuando c es negativo Factoriza el trinomio x 2 3x 18. Comprueba tu respuesta. Cuando el término constante de un trinomio es negativo, sus factores tienen signos opuestos. Cuál es el valor del término c? 18 Cuál es el valor del término b? 3 Factores de 18 1 y y 9 7 Suma 3 y 6 3 Cuáles son los factores de c cuya suma es b? 3 y 6 Completa: x 3 x 6 Comprueba mediante FOIL: x 3 x 6 x 2 6x 3x 18 x 2 3x Holt Álgebra 1

5 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas 8-4 Cómo factorizar a x 2 bx c Factorizar a x 2 bx c cuando c es positivo Factoriza el trinomio 2 x 2 9x 10. Comprueba tu respuesta. Cuál es el valor de a? 2 Cuál es el valor de c? 10 Cuál es la suma de los productos internos y externos? 9 Factores de 2 Factores de 10 Externos Internos x 2 2x 5 Completa la factorización. Comprueba: x 2 2x 5 2 x 2 5x 4x 10 2 x 2 9x 10 Factorizar el trinomio a x 2 bx c cuando c es negativo Factoriza el trinomio 4 x 2 21x 18. Comprueba tu respuesta. Cuál es el valor de a? 4 Cuál es el valor de c? 18 Cuál es la suma de los productos internos y externos? 21 Factores de 4 Factores de 18 Externos Internos 1 4 1( 18) (1) x 6 4x 3 Completa la factorización. Comprueba: x 6 4x 3 4 x 2 3x 24x 18 4 x 2 21x Holt Álgebra 1

6 Listo para seguir? Prueba 8-1 Factores y máximo común divisor Escribe la factorización prima de cada número Halla el MCD de cada par de monomios x 4 y 9 x x 3 y 20 x 4 3 x 2 5 x y 27 c a y 7c Nichole diseña un acolchado. Ha cortado 60 cuadrados rojos y 48 cuadrados verdes. Quiere que el acolchado tenga la misma cantidad de cuadrados de colores en cada hilera, pero que no haya cuadrados verdes y rojos en la misma hilera. Cuántas hileras tendrá el acolchado si Nichole coloca la máxima cantidad de cuadrados en cada hilera? 9 hileras 8-2 Cómo factorizar mediante el MCD Factoriza cada polinomio. Comprueba tu respuesta x 2 12x a 2 10 a 3 6x(5x 2) 2a 2 (1 5a) x 4 15 x 3 9 x x 2 12x 16 3x 2 (2x 1)(x 3) 4( x 2 3x 4) 16. El área total de un cilindro se puede hallar mediante la expresión 2 r 2 2 rh, donde r representa el radio del cilindro y h representa la altura. Factoriza esta expresión. 2 r (r h) r h 137 Holt Álgebra 1

7 Listo para seguir? Prueba, (continuación) Factoriza cada polinomio por agrupación de términos. Comprueba tu respuesta. 17. x 3 3 x 2 2x x 3 10 x 2 x r 3 8r 2 3r 12 ( x 2 2)(x 3) (5 x 2 1)(x 2) (2r 2 3)(r 4) s 3 12 s 2 s y 3 16 y 2 2y b 3 16b 2 2b 4 (3s 2 1)(s 4) (4 y 2 2)(y 4) (8b 2 2)(b 2) 8-3 Cómo factorizar x 2 bx c Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta. 23. a 2 12a x 2 3x x 2 8x 7 (a 5)(a 7) (x 5)(x 2) (x 1)(x 7) 26. x 2 13x c 2 13c y 2 12y 32 (x 15)(x 2) (c 9)(c 4) (y 8)(y 4) 29. Simplifica y factoriza el polinomio n(n 7) 12. Demuestra que el polinomio original y la forma factorizada describen la misma sucesión de números para n 0, 1, 2, 3 y 4. n 2 7n 12; (n 3)(n 4) 8-4 Cómo factorizar a x 2 bx c Factoriza cada trinomio. Comprueba tu respuesta a 2 5a x 2 11x x 2 x 10 (2a 1)(a 2) (2x 1)(3x 4) (3x 5)(x 2) x 2 14x c 2 12c y 2 y 20 2(2x 3)(x 2) 6(c 3)(c 1) (3y 4)(4y 5) 36. El área de un rectángulo es (10 x 2 21x 9) c m 2. La longitud es (5x 3) cm. Cuál es el ancho del rectángulo? (2x 3) cm 138 Holt Álgebra 1

8 Listo para seguir? Enriquecimiento Suma y resta de cubos Así como es posible factorizar la suma y la resta de dos cuadrados, también es posible factorizar la suma y la resta de dos cubos. La suma de dos cubos se puede factorizar de la siguiente manera: a 3 b 3 (a b)( a 2 ab b 2 ) La resta de dos cubos se puede factorizar de la siguiente manera: a 3 b 3 (a b)( a 2 ab b 2 ) Factoriza cada una de las siguientes operaciones. 1. r 3 s 3 2. x 3 y 3 (r s)( r 2 rs s 2 ) (x y)( x 2 xy y 2 ) 3. x n 3 64 (x 2)( x 2 2x 4) (n 4)( n 2 4n 16) 5. 8 y p q 3 64p (2y 3)(4 y 2 6y 9) p(q 4)( q 2 4q 16) Expresa cada una de las siguientes operaciones como la suma o la resta de dos cubos. 7. (m 1)( m 2 m 1) 8. (2 3t )(4 6t 9 t 2 ) m t 3 9. (b 64)( b 2 4b 16) 10. (x 7)(x 2 7x 49 ) b x (2y 1)(4 y 2 2y 1) 12. (3 2t )(9 6t 4t 2 ) 8 y t (s 10)( s 2 10s 100) 14. 2(x 4)( x 2 4x 16) s x Holt Álgebra 1

9 8B Listo para seguir? Intervención de destrezas 8-5 Cómo factorizar productos especiales Reconocer y factorizar trinomios cuadrados perfectos Un trinomio es un cuadrado perfecto si el primer término y el último son cuadrados perfectos. El término del medio equivale a dos por un factor del primer término y un factor del último término. Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factorízalo. Si no, explica por qué. A. x 2 14x 42 Método 1: Factorizar Factores de 42 Suma 1 y y y y 7 13 Es x 2 14x 42 un trinomio cuadrado perfecto? No Por qué? No hay factores que sumen 14. B. 9 x 2 24x 16 Método 2: Usar el patrón 9 x 2 24x 16 3x 3x 2(3x 4 ) 4 4 El trinomio es un cuadrado perfecto. a 3x, b 4 (3 x) 2 2( 3x )(4) 4 2 Escribe el trinomio como a 2 2ab b 2. ( 3x 4 ) 2 Escríbelo como (a b ) 2. Determina si cada binomio es la resta de dos cuadrados. Si es así, factorízalo. Si no, explica por qué. A. x 2 16 (x x) (4 4 ) El polinomio es la diferencia de dos cuadrados. a x, b 4 (x 4)(x 4 ) Escribe el polinomio como (a b)(a b). Por lo tanto, x 2 16 (x 4 )(x 4 ). B. 9 x 6 17 y 2 Sí Es 9 x 6 un cuadrado perfecto? Es 17 y 2 un cuadrado perfecto? No Es 9 x 6 17 y 2 la resta de dos cuadrados? No Por qué? Porque 17y 2 no es un cuadrado perfecto. 140 Holt Álgebra 1

10 8B Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas 8-5 Cómo factorizar productos especiales Si un trinomio es un cuadrado perfecto, se puede factorizar para determinar las medidas de objetos que usamos en la vida real. Un jardín de forma rectangular tiene un área de (25 x 2 20x 4) pies 2. Las dimensiones del jardín son de alrededor de ax b, donde a y b son números cabales. Halla una expresión para el perímetro del jardín. Luego halla el perímetro cuando x 12. Comprende el problema 1. Cuál es la forma del jardín? un rectángulo 2. Cuál es el área del jardín? (25 x 2 20x 4) pies 2 3. Qué clase de números son a y b? números cabales 4. Qué se te pide que halles? una expresión para el perímetro del jardín y el perímetro cuando x 12 Haz un plan 5. La fórmula para el área del rectángulo es: Área longitud ancho 6. Qué se debe hacer con el trinomio para hallar la longitud y el ancho? factorizarlo Resuelve 7. El trinomio 25 x 2 20x 4 tiene un factor común? No 8. Es 25 x 2 20x 4 un trinomio cuadrado perfecto? Sí Por lo tanto, a 5x y b Cuáles son los factores del trinomio cuadrado perfecto? (5x 2 ) 10. Considerando que la longitud y el ancho del jardín son equivalentes, cuál es la forma real del jardín? un cuadrado 11. La fórmula para el perímetro de un cuadrado es P 4l. a. Qué debe sustituir a la l en la fórmula del perímetro? 5x 2 b. Simplifica 4(5x 2) para hallar una expresión para el perímetro. 20x Evalúa la expresión cuando x 12. Cuál es el perímetro? 248 pies Repasa 13. Con el perímetro del Ejercicio 12, cuál es la longitud de lado del cuadrado? 62 pies pies Usa esta longitud de lado para hallar el área. 14. Evalúa 25 x 2 20x 4 para x 12: 25(12 ) 2 20(12) Son iguales las áreas de los Ejercicios? Sí 141 Holt Álgebra 1

11 8B Listo para seguir? Intervención de destrezas 8-6 Cómo elegir un método de factorización Determinar si un polinomio está completamente factorizado Indica si cada polinomio está completamente factorizado. Si no lo está, factorízalo. A. 4 x 2 2x 6 2(2 x 2 x 3) El máximo común divisor es 2. (2 x 2 x 3) se puede factorizar? Sí 2(2 x 2 x 3) está completamente factorizado? No Factoriza: 2(2x 2 x 3) 2(2x 3 )(x 1 ) B. 42x 14 x 3 14(3x x 3 ) Cuál es el máximo común divisor? 14x El polinomio está completamente factorizado? No Factoriza: 42x 14 x 3 14x( 3 x 2 ) Se puede seguir factorizando el polinomio? No Factorizar mediante métodos múltiples Factoriza completamente el polinomio 6x 3 21x 2 15x. Comprueba tu respuesta. Considera 6 x 3 21 x 2 15x. Cuál es el MCD? 3x Factoriza para hallar el MCD: 3x 2 x 2 7x 5 Cuál es el valor de a? 2 Cuál es el valor de c? 5 Los términos externos los internos 7. Factores de 2 Factores de 5 Externos Internos Completa el binomio: (x 1 )(2x 5 ) Escríbelo como polinomio factorizado: 3x(x 1)(2x 5 ) Comprueba: 3x(x 1)(2x 5) 3x(2 x 2 5x 2x 5) FOIL 3x(2 x 2 7x 5) Combina los términos semejantes. 6x 3 21 x 2 15 x Distribuye 3x. Sí Es éste el polinomio original? 142 Holt Álgebra 1

12 8B Listo para seguir? Prueba 8-5 Cómo factorizar productos especiales Determina si cada trinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factorízalo. Si no, explica por qué. 1. a 2 6a x 2 40x w 2 12w 4 2 Sí; (a 3 ) 2 Sí; (4x 5 ) No; 12w 2(w)(2) 4. 5 y 2 14y x 2 4x h 2 70h 49 5 no es un cuadrado 2 perfecto. Sí; (x 2 ) 2 Sí; (5h 7 ) 7. Un arquitecto diseña ventanas rectangulares con un área de (x 2 22x 121) pies 2. Las dimensiones de las ventanas se expresan como ax b, donde a y b son números cabales. Halla una expresión para el perímetro de las ventanas. Halla el perímetro de una ventana cuando x 3 pies. 4(x 11); 56 pies Determina si cada trinomio es la resta de dos cuadrados. Si es así, factorízalo. Si no, explica por qué. 8. r a a 4 Sí; (r 12)(r 12) 30 no es un cuadrado perfecto. Sí; (1 5 a 2 )(1 5 a 2 ) k 2 9 k a w 4 a 2 Sí; (6k 3 k 3 )(6k 3 k 3 ) Los términos están sumados. Sí; ( w 2 a)( w 2 a) 14. El área de un cuadrado es (49 x 2 28x 4) pulg 2. a. Cuál es la longitud de lado del cuadrado? (7x 2) b. Cuál es el perímetro del cuadrado? 4(7x 2) c. Cuál es la longitud de lado, el perímetro y el área del cuadrado cuando x 4 pulg? 26 pulg; 104 pulg; 676 pulg Cómo elegir un método de factorización Indica si cada polinomio está completamente factorizado. Si no lo está, factorízalo x 2 35x 7 7( x 2 5x 1) x 3 24 x 2 8x(2 x 2 3x) Sí 8 x 2 (2x 3) 143 Holt Álgebra 1

13 8B Listo para seguir? Prueba, (continuación) x 5 16x 4x( x 4 4) a 2 42a 147 3( a 2 14a 49) 4x( x 2 2)( x 2 2) 3(a 7)(a 7) y 3 8 y 2 12y 12 4(2 y 2 3)(y 1) y 2 17y 10 (3y 2)(y 5) Sí Sí Factoriza completamente cada polinomio. Comprueba tu respuesta x 3 24 x 2 36x x 2 y 12x y a 2 a 1 2 4x(x 3 ) 3xy(x 4y) No es factorizable x 3 3x x 2 12x x 5 16x 3x(2x 1)(2x 1) 4(x 4)(x 7) x(x 2)(x 2)( x 2 4) Escribe una expresión para cada situación. Factoriza tu expresión. 27. La diferencia del cuadrado de la longitud de una cañería y ( 7)( 7) 28. El cuadrado de la edad de Catherine más 18 por la edad de Catherine más 81. x x 81 (x 9 ) 29. Tres por la velocidad de un camión al cuadrado menos tres por la velocidad del camión más x 2 3x 18 3(x 3)(x 2) 30. Cuatro por el cuadrado de las cerezas de un árbol menos 11 por la cantidad de cerezas menos x 2 11x 21; no es factorizable 31. Escribe una expresión para el área de la región sombreada. Luego factoriza la expresión. 64 x 2 36 y 2 4(4x 3y)(4x 3y) 8x 9y 4y 8x 144 Holt Álgebra 1

14 8B Listo para seguir? Enriquecimiento Trinomios de cuarto grado Algunas veces es posible escribir un trinomio de cuarto grado, a 4 a 2 b 2 b 4, como la diferencia de dos cuadrados y luego factorizar. Ejemplo: Factoriza 4 a 4 21 a 2 b 2 9 b 4. Paso I Halla las raíces cuadradas del primer y último término. 4 a 4 2 a 2 9 b 4 3 b 2 Paso II Halla el doble del producto de las raíces cuadradas de los términos del Paso I. 2(2 a 2 )(3 b 2 ) 12 a 2 b 2 Paso III Separa el término del medio del trinomio en dos partes. Una parte es la respuesta del Paso II o su opuesto. La otra parte debe ser el opuesto de un cuadrado perfecto. 21 a 2 b 2 12 a 2 b 2 9 a 2 b 2 Paso IV Vuelve a escribir el trinomio como la resta de dos cuadrados y luego factoriza. 4 a 4 21 a 2 b 2 9 b 4 (4 a 4 12 a 2 b 2 9 b 4 ) 9 a 2 b 2 2 a 2 3 b a 2 b 2 [(2 a 2 3 b 2 ) 3ab] [(2 a 2 3 b 2 ) 3ab] (2 a 2 3ab 3 b 2 )(2 a 2 3ab 3 b 2 ) Factoriza cada trinomio d 4 7 d p 4 p x 4 13 x 2 1 (4 d 2 d 1)(4 d 2 d 1) ( p 2 p 1)( p 2 p 1) (2 x 2 3x 1)(2 x 2 3x 1) 4. 4 x 4 9 x 2 y 2 16 y 4 (2 x 2 5xy 4 y 2 )(2x 2 5xy 4 y 2 ) 5. 9r 4 26r 2 s 2 25 s 4 (3 r 2 2rs 5 s 2 )(3r 2 2rs 5 s 2 ) 6. 4 a 4 5 a 2 c 2 25 c 4 (2 a 2 5ac 5 c 2 )(2a 2 5ac 5 c 2 ) 145 Holt Álgebra 1