MODELAMIENTO GEOMÉTRICO DEL CAMBIO DE COORDENADAS UTM CAUSADAS POR MUDANZA DE REFERENCIAL GEODÉSICO. CASO SIRGAS - CHILE

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1 MODELAMIENTO GEOMÉTRICO DEL CAMBIO DE COORDENADAS UTM CAUSADAS POR MUDANZA DE REFERENCIAL GEODÉSICO. CASO SIRGAS - CHILE Geometri Modeling of Coordinate Transformation Between Geodeti Referene Systems in UTM Coordinate System. Case Sirgas - Chile CARLOS MENA FRAU LEONARDO MOLINA PINO YONY ORMAZÁBAL ROJAS YOHANA MORALES HERNÁNDEZ Universidad de Tala, Centro de Geomátia. Avenida Liray s/n. Tala, Chile. [mena, yormazabal, ymorales]@utala.l; lmolinapino@gmail.om RESUMEN Los avanes tenológios de las últimas déadas han permitido determinar ada vez on mayor preisión, las dimensiones, forma y ampo gravitaional de la Tierra. Estas nuevas tenologías y sus métodos de observaión y análisis, admiten el uso de distintos Sistemas Geodésios de Referenia (SGR) que haen posible la desripión de posiión de ualquier punto sobre la superfiie terrestre on preisiones sub-métrias. Atualmente en Chile hay diversos SGR usados en la generaión de produtos artográfios, tales omo el Datum Provisorio Sudameriano de 1956 (PSAD56), el Datum Sudameriano de 1969 (SAD69) y el nuevo Sistema de Referenia Geoéntrio para las Amérias (SIRGAS). Este último, a diferenia de los dos anteriores, es un sistema geoéntrio atual, ompatible en preisión y exatitud on las modernas tenologías de posiionamiento. Atualmente, el Instituto Geográfio Militar de Chile (IGM) promueve la adopión del nuevo sistema SIRGAS e india el modelo y los parámetros ofiiales de transformaión para la artografía naional a esala 1: Con la adopión de SIRGAS, una antidad signifiativa de doumentos artográfios, en pleno uso atualmente, deberán ser transformados o adeuados al nuevo referenial geodésio. Existen diversos métodos y modelos, propuestos en la geodesia, para la transformaión de valores de oordenadas asoiados a un SGR en

2 584 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM... valores de oordenadas asoiados a otro SGR. En el presente trabajo se realiza un análisis del impato del ambio de referenial geodésio SIRGAS en la geometría de los rasgos representados en el sistema de proyeión Universal Transversa de Merator, para el aso de Chile ontinental sudameriano. Posteriormente, se definen modelos y parámetros alternativos al proedimiento lásio de transformaión de oordenadas. Los resultados muestran que los modelos alternativos son efiaes en el aso de Chile. Palabras-lave: Sistema Geodésio de Referenia; SIRGAS; Transformaión de Coordenadas; Sistema de Coordenadas UTM. ABSTRACT Tehnologial advanes in reent deades have allowed determining with inreasing preision, parameters related to size, shape and gravitational field of the Earth. These new tehnologies and methods of observation and analysis, aept the use of different Geodeti Referene Systems (GRS) that enable the desription of position of any point on Earth's surfae with sub-metri preision. Currently in Chile there are several SGR used in the generation of artographi produts, suh as the Provisional South Amerian Datum of 1956 (PSAD56), the South Amerian Datum 1969 (SAD69) and the new Geoentri Referene System for the Amerias (SIRGAS). The latter, unlike the previous two, is a reent geoentri system with preision and auray ompatible with modern positioning tehnologies. Currently in Chile, the Military Geographial Institute (IGM) promotes the adoption of the new system and indiates the model and parameters of transformation to SIRGAS for national mapping at 1:50,000 sale. With the adoption of SIRGAS, a signifiant volume of artographi douments in use nowadays must be transformed or adapted to the new geodeti referene. There are several methods and models proposed in geodesy to hange geodeti oordinate values between different Geodeti Referene Systems. In this paper, a hange impat analysis of geodeti referene SIRGAS in the geometry of the features represented in the Universal Transverse Merator projetion system, in the ase of South Amerian ontinental Chile, was realized. Subsequently, models and parameters are defined as alternatives to onventional proess of oordinate transformation. The results show that alternative models are effiient in the Chile ase. Keywords: Geodeti Referene System; SIRGAS; Coordinate Transformation; UTM Coordinate System. 1. INTRODUCCIÓN En Chile diversos sistemas geodésios de referenia han sido adoptados omo ofiiales. En las últimas ino déadas la red geodésia naional ha sido estableida por dos sistemas lásios loales simultáneamente, Datum Provisorio Sudameriano de 1956 (PSAD56) y Datum Sudameriano 1969 (SAD69). En el mapa base naional esala 1: se ha utilizado PSAD56 entre los 17º30' a los 43º30' de

3 Mena, C. et al. latitud sur, y el Datum SAD69 ha sido empleado desde los 43º30' a los 56º00 de latitud sur, orrespondiente a la zona austral del país. Atualmente, el Instituto Geográfio Militar de Chile (IGM) promueve la adopión del Sistema de Referenia Geoéntrio para las Amérias (SIRGAS) en su realizaión año 2000, époa (IGM, 2008). Con la adopión de SIRGAS en el año 2002, se iniia un periodo de transiión en el ual una gran antidad de doumentos artográfios y bases de datos geográfios tendrán que ser transformados al nuevo referenial geodésio. La oexistenia de diversos sistemas y la implementaión de SIRGAS, omo nuevo referenial geodésio, demanda métodos y parámetros de transformaión que atiendan las diversas neesidades de preisión en el uso partiular de datos georrefereniados. En tanto, el Instituto Geográfio Militar (IGM), organismo responsable por el mapa base de la naión, india un modelo y parámetros para la trasformaión de oordenadas entre los sistemas vigentes, on una preisión nominal de ±5m, para los produtos artográfios derivados del mapa base 1:50.000, publiado por diho organismo. Sin embargo, aún no son divulgados los métodos y parámetros ofiiales para la transformaión entre todos los refereniales geodésios a esalas mayores. En el presente doumento se analiza el impato del ambio de referenia geodésio en la geometría de la superfiie proyetada en el sistema Universal Transversa de Merator, sobre la base del modelo y parámetros divulgados por IGM (2008), para luego presentar dos modelos bidimensionales alternativos para la transformaión de oordenadas. 2. MODELO DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS MOLODENSKY No obstante que la geodesia aporta diversos modelos de transformaión entre sistemas geodésios de referenia (OLIVEIRA, 1998; CRIOLLO et al., 2005), el más utilizado en la atualidad es el modelo de Transformaión de Similaridad (ANCIÃES y OLIVEIRA, 2003). Este modelo de transformaión es onoido también omo modelo de transformaión Conforme, Isogonal, de Helmert (LUGNANI, 1987), o omo modelo de transformaión de Bursa/Wolf (RAPP, 1981). Para el aso de Chile, IGM (2008) india omo modelo de transformaión el modelo de Molodensky, y entrega además, un onjunto de parámetros para transformaiones entre SIRGAS y PSAD56, y entre SIRGAS y SAD69. Cada onjunto de parámetros orresponde a una zona geográfia de Chile (Tabla 1 y 2). El modelo de Molodensky transforma diretamente oordenadas geodésias, dadas en latitud, longitud y altura elipsoidal, por medio de inrementos en la omponente horizontal y vertial, sin neesidad de una onversión intermedia de las oordenadas geodésias al sistema geodésio artesiano. El modelo de transformaión es dado omo sigue (NGA, 2011): 585

4 586 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM... φ2 = φ1 + Δφ λ2 = λ1 + Δλ h2 = h1 + Δh donde, φ 1, λ 1, h 1, son las oordenadas geodésias en el sistema origen S 1 φ 2, λ 2, h 2, son las oordenadas geodésias en el sistema destino S 2 Δφ, Δλ, Δh, son los inrementos dados por: Δφ = ( M + h) 1 [ ΔX sinφ osλ ΔY sinφ sinλ 2 ε sinφ osφ + ΔZ osφ + Δa 2 2 1/ 2 (1 ε sin φ) a a + Δf ( M + N )sinφ osφ] b b (1) (2) Δλ = (( N + h) osφ) 1 [ ΔX sin λ + ΔY os λ] (3) Δh = ΔX osφ osλ + ΔY osφ sin λ ΔZ sinφ Δa(1 ε sin φ) 1/ Δf sin φ N(1 f ) (4) donde, Δφ, Δλ, Δh, son las diferenias de oordenadas en los dos refereniales para un mismo punto, ΔX, ΔY, ΔZ expresan la posiión del origen del sistema S 2 en relaión al sistema S 1, φ, λ, h, son las oordenadas geodésias orrespondiente a latitud, longitud y altura elipsoidal respetivamente, del sistema de oordenadas geodésias de origen, M y N son los radios de urvatura de la elipse meridiana y de la Gran Normal respetivamente, funiones de a, b, є 2, f, que son los parámetros de figura del elipsoide del sistema origen y orresponden respetivamente a los semi-ejes mayor y menor, primera exentriidad del elipsoide al uadrado y ahatamiento del elipsoide, Δa, es la diferenia de la magnitud del semieje mayor del elipsoide del sistema destino, respeto del semi-eje mayor del elipsoide del sistema origen,

5 Mena, C. et al. Δf, es la diferenia de la magnitud del ahatamiento del elipsoide del sistema destino, respeto del ahatamiento del elipsoide del sistema origen. Se observa en las euaiones (1), (2) y (3) que el modelo onsidera paralelos, los sistemas geodésios artesianos involurados, sin diferenias relativas de esala y no onéntrios. De esta forma, en la transformaión son inluidos solamente las tres traslaiones (ΔX, ΔY, ΔZ) del sistema geodésio artesiano y las diferenias de parámetros de figura de los elipsoides, lo que puede ser onsiderado omo una diferenia en esala. Para la apliaión de la transformaión de Molodensky, on el objeto de transformar oordenadas geodésias que representan rasgos del terreno representados en un mapa o arta, en valores de oordenadas asoiados a otro referenial geodésio, es neesario obtener, para ada punto que desribe ada rasgo, los valores de oordenadas (φ, λ, h) en el sistema geodésio orrespondiente. Los términos (φ, λ) son obtenidos diretamente al apliar, a las oordenadas de proyeión de ada punto, las funiones inversas de la proyeión artográfia. El valor h, en general, no está ontenido en la base artográfia, y por tanto, debe ser deduido a partir de otros datos: altitud ortométria (H) y altitud geoidal (N'), en razón que h H + N' (GEMAEL, 1999). Tabla 1 - Parámetros de transformaión de SIRGAS a PSAD56 (IGM, 2008). Zona 1 Zona 2 Zona 3 Intervalo 17 º30'S a 26º00'S Intervalo 26º00'S a 36º00'S Intervalo 36º00'S a 44º00S' ΔX = 302 m ΔX = 328 m ΔX = 352 m ΔY = -272 m ΔY = -340 m ΔY = -403 m ΔZ = 360 m ΔZ = 329 m ΔZ = 287 m Para transformar de PSAD56 a SIRGAS se debe invertir los signos de las translaiones 587 Tabla 2 - Parámetros de transformaión de SIRGAS a SAD69 (IGM, 2008). Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Intervalo 17º30'S a 26º00'S Intervalo 26º00'S a 36º00'S Intervalo 36º00'S a 44º00'S Intervalo 44º00'S a 56º00' ΔX = 59 m ΔX = 64 m ΔX = 72 m ΔX = 79 m ΔY = 11 m ΔY = 0 m ΔY = -10 m ΔY = -13 m ΔZ = 52 m ΔZ = 32 m ΔZ = 32 m ΔZ = 14 m Para transformar de SAD69 a SIRGAS se debe invertir los signos de las translaiones La altitud ortométria para ada rasgo representado en la base artográfia puede ser obtenida a partir de las urvas de nivel en un proeso de interpolaión. El

6 588 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM... valor de la altitud geoidal (N') puede ser obtenido de mapas de altitudes geoidales de la región mapeada. Aunque este proedimiento no presenta ninguna ompliaión desde el punto de vista matemátio, en la prátia si presenta ompliaiones. Por un lado, la antidad de álulos del proeso de transformaión aumenta signifiativamente por uenta del proedimiento de interpolaión, que busa la estimaión del valor H para ada punto que define espaialmente ada rasgo mapeado, y por otro lado, en algunos asos no hay disponibilidad de mapas de altitudes geoidales para determinar el valor N'. Ante la imposibilidad de determinar la omponente altimétria (h) se usa, para efeto de la transformaión, onsiderar la altitud elipsoidal omo igual a ero (h=0), o araterizar el onjunto de datos omo bidimensional. Una evaluaión de estos proedimientos es abordado por Aniães Y Oliveira (2003); Pino y Firkowski (2009). Tabla 3 Parámetros de elipsoides en Sistemas Geodésios de Referenia (IGM, 2008). Sistema Geodésio de Referenia PSAD56 SAD69 elipsoide semieje mayor (a) ahatamiento (f) Internaional 1924 Internaional m 1/ m 1/298, aproximado al valor 1/298,25 SIRGAS GRS m 1/298, SISTEMA DE COORDENADAS UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR El sistema de oordenadas Universal Transversa de Merator (UTM) es un sistema derivado por espeifiaión de la proyeión artográfia Transversa de Merator (TM). El sistema UTM surgió en la déada del 40 y fue desarrollado por la U.S. Army, omo respuesta a la neesidad de una proyeión global para propósitos militares. Los requisitos para la proyeión fueron minimizar la distorsión del valor de los azimut y mantener la distorsión de esala dentro de límites pre-estableidos (SMITH, 1996). La proyeión artográfia Transversa de Merator (TM) es una representaión onforme del elipsoide, y predomina sobre otros tipos de proyeiones artográfias utilizadas, on exepión de las proyeiones onformes utilizadas para la representaión de las zonas polares, para las uales se utiliza la proyeión estereográfia polar (BLACHUT et al., 1979). Las fórmulas para el álulo de oordenadas y de otras antidades de la proyeión TM, pueden ser onsultadas en Snyder (1987), Pearson (1990) y Blahut et al. (1979). En este trabajo serán utilizadas las fórmulas dadas en Blahut et al.

7 Mena, C. et al. (1979). Por razones prátias y en razón de mantener uniformidad en el ontexto del presente artíulo, el eje x será orientado en sentido Este y el eje y en el sentido Norte. Figura 1 - Distorsión de esala para uadrante Sur-Este de un huso UTM Comportamiento de la distorsión de esala m El omportamiento del valor de la distorsión de esala en un huso UTM puede ser observado en la Figura 1. El valor que representa la distorsión de esala aumenta diretamente on la distania al meridiano entral, esto es, un valor de distorsión de esala es de 0,9996 para puntos loalizados en el meridiano entral, y valores mayores para puntos apartados del meridiano entral. Así, en la faja entral del huso UTM, próximo al meridiano entral, el valor de distorsión de esala es menor que 1, y fuera de ella mayor que 1. Por tanto, el huso UTM presenta dos líneas sin distorsión de esala, que orresponde a las líneas límites de diha faja entral. De

8 590 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM... esta forma, y onsiderando que los ambios de referenial geodésio tienen un efeto en los valores de oordenadas, las variaiones en longitud tendrán un efeto mayor en la distorsión de esala, que las variaiones de latitud, y aún mayores en los bordes del huso. Además, variaiones observadas en los valores de longitud geodésia, tienen un efeto mayor en las zonas eranas al euador que variaiones en igual magnitud en zonas australes. Obsérvase en la Figura 1 que el omportamiento tiene una tendenia de variaión paralela al eje entral del huso y por tanto, uando las variaiones en longitud son observadas en su orrespondiente valor en la omponente E UTM, la variaión de la distorsión de esala tiende a ser la onstante para una misma magnitud de variaión E UTM, para ualquier zona equidistante al eje del huso UTM. Para el aso de variaiones en la omponente latitudinal o en la omponente N UTM, el valor de la distorsión de esala tiende a mantenerse, espeialmente en zonas eranas al eje entral del huso. Figura 2 - Convergenia meridiana en el uadrante Sur-Este de un huso UTM.

9 Mena, C. et al. 3.2 Comportamiento de la Convergenia Meridiana El omportamiento del valor de la onvergenia meridiana puede ser observado en la Figura 2. El valor de la onvergenia meridiana, en valor absoluto, aumenta on la latitud y on la diferenia en longitud al meridiano entral, es deir, puntos loalizados en las proximidades de la latitud 0º y en las proximidades del meridiano entral presentan, en valor absoluto, magnitudes de onvergenia meridiana menores al observado en puntos loalizados en latitudes altas y en longitudes extremas del huso. Los menores valores de onvergenia meridiana, en valor absoluto, se ubian en zonas eranas al Euador y al meridiano entral del huso. Considerando que los ambios de referenial geodésio tienen un efeto en los valores de oordenadas, las variaiones en longitud tendrán un efeto mayor, en el valor de onvergenia meridiana, uando éstas se presentan en zonas australes, y menores uando se presentan en zonas eranas al Euador. Por otro lado, las variaiones en la omponente latitudinal tendrán un efeto mayor en la onvergenia meridiana si estas variaiones se presentan en las zonas eranas al Euador y eranas al borde del huso. 4. MÉTODOLOGÍA 4.1 Obtenión de valores de oordenadas para la determinaión del modelo y parámetros de transformaión Para determinar el impato del ambio de referenial geodésio en la geometría de los rasgos representados en el sistema de proyeión UTM, se aplia el modelo y parámetros de transformaión dados por IGM (2008). Luego se analizan las magnitudes de las variaiones de las oordenadas Norte y Este UTM, distorsión de esala y onvergenia meridiana. Este análisis se fundamenta en el heho que un ambio de referenial geodésio produe valores de oordenadas de proyeión distintos a los valores originales, lo que puede ilustrarse omo un desplazamiento aparente del punto observado, y por lo tanto, el punto asume nuevos valores para la distorsión de esala y de onvergenia meridiana. En una segunda etapa son modeladas las variaiones menionadas anteriormente on el auxilio de modelos de transformaión existentes y de araterístias bidimensionales. Finalmente, y on el propósito de validar la apliabilidad de los modelos bidimensionales, son obtenidos los parámetros propios en un proeso de ajuste por el método de los mínimos uadrados y luego son analizadas sus preisiones y valores de residuos. Los datos sintétios son un onjunto de 18 puntos distribuidos a lo largo y anho del territorio de Chile ontinental sudameriano (Tabla 4), tal que, a lo menos uatro puntos estén ontenidos en ada zona de parámetros definidas en IGM (2008). En razón de onsiderar situaiones máximas extremas en relaión a las diferenias en valores de oordenadas transformadas versus oordenadas originales, se aplió los parámetros de transformaión de PSAD56 a SIRGAS para las zonas 1, 2 y 3. Para la zona austral (zona 4) se utilizó los parámetros SAD69 a SIRGAS, en razón de que para la zona austral no existe obertura en PSAD

10 592 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM... Al onjunto de datos sintétios les es apliado el modelo de transformaión y parámetros dados por IGM (2008). El resultado es un onjunto de oordenadas transformadas al nuevo referenial geodésio, las que a su vez son transformadas a oordenadas en el sistema UTM (Tabla 5). El desplazamiento aparente de ada punto evaluado sobre el sistema UTM es de magnitud aproximada a 400m en direión Sur-Oeste (Figura 3), para las zonas 1, 2 y 3. Para la zona 4 la magnitud del desplazamiento aparente de los puntos alanza valores próximos a los 70m. Estos valores, notoriamente menores a los obtenidos en las zonas 1, 2 y 3, tienen expliaión por la mayor proximidad del entro del sistema geodésio de referenia SAD69 on respeto al SIRGAS y un mejor alineamiento de ejes, que el orrespondiente PSAD56, lo que además queda en evidenia en los parámetros de transformaión, uyos valores son menores, en valor absoluto, a 80m. Tabla 4 - Valores de oordenadas geodésias (Longitud λ y Latitud φ) del sistema origen. Valores angulares en grados sexagesimales. ID Huso Zona λ φ Datum 1 18 Z3-73,0-38, Z3-74,0-43, Z3-72,5-43, Z4-75,5-48, Z4-73,0-48, Z1-70,0-20, Z1-68,6-20, Z1-70,0-25, Z1-68,6-25, Z1-70,0-23, Z1-67,5-23, Z2-71,0-30, Z2-70,0-30, Z2-71,5-35, Z2-70,5-35, Z3-71,5-38, Z4-71,0-55, Z4-68,0-55,0 PSAD56 SAD69 PSAD56 SAD69

11 Mena, C. et al. Tabla 5 - Valores de oordenadas UTM en el sistema origen (1), oordenadas UTM en el sistema destino (2) y valor de desplazamiento aparente de los puntos (ds). Valores lineales en metros. ID Este (1) Norte (1) Este (2) Norte (2) ds , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,326 74, , , , ,429 74, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,695 71, , , , ,702 71,797 En uanto a las variaiones del valor de distorsión de esala (Tabla 6) éstas son menores o iguales a 1ppm, dado prinipalmente por la direión del desplazamiento aparente del punto, el ual es levemente ortogonal a la razón de ambio máximo de la distorsión de esala para las zonas 1, 2 y 3. De igual forma, las diferenias del valor de la onvergenia meridiana, no alanza valores mayores a los 7 (0,0019º). Las variaiones de los valores m y C para la zona 4 son pequeñas debido prinipalmente a que los desplazamientos aparentes de los puntos son pequeños (>75m) en relaión a la razón de ambio de ambos parámetros, pese a que los desplazamientos aparentes son relativamente en la misma direión de la razón de ambio máxima. 593

12 594 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM... Figura 3 - Desplazamiento aparente de puntos por ambio de referenial geodésio.

13 Mena, C. et al. Tabla 6 - Valores de distorsión de esala m y onvergenia meridiana C en el sistema origen (1) y en el sistema destino (2) para los puntos utilizados en el análisis. Valores angulares expresados en el sistema sexagesimal. Grados Segundos ID m(1) m(2) m(2)-m(1) C(1) C(2) C(2)-C(1) 1 0, , ,900E-07-1, , , , , ,700E-07-0, , , , , ,150E-06-1, , , , , ,000E+00 0, , , , , ,000E+00-1, , , , , ,800E-07 0, , , , , ,900E-07-0, , , , , ,700E-07 0, , , , , ,800E-07-0, , , , , ,700E-07 0, , , , , ,800E-07-0, , , , , ,000E-07 1, , , , , ,500E-07 0, , , , , ,070E-06 1, , , , , ,300E-07 0, , , , , ,040E-06 1, , , , , ,200E-07 1, , , , , ,100E-07-0, , , Modelamiento del impato geométrio del ambio de referenial geodésio El ambio de sistema geodésio de referenia tiene un impato direto en la geometría de los rasgos representados en el sistema de proyeión UTM, debido a la variaión del valor de las oordenadas geodésias que son variables de la funión que determina las oordenadas en la proyeión de dihos rasgos. Un ambio de valor de oordenadas implia, además, un ambio en las antidades que araterizan la deformaión lineal y orientaión, dados por el módulo de distorsión de esala y por la onvergenia meridiana, respetivamente. El desplazamiento aparente de los puntos y las diferenias observadas en onvergenia meridiana y distorsión de esala en la proyeión pueden ser modelados de la siguiente forma. Sea un punto P sobre un huso ualquiera del

14 596 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM... sistema UTM (Figura 4) y P' la representaión del mismo punto en el sistema UTM para el aso en que sus oordenadas geodésias son transformadas a otro referenial geodésio. Sea C y C' el valor de la onvergenia meridiana en el punto P y P', respetivamente. Además, sea ds un segmento infinitesimal en el punto P y ds' la proyeión del segmento ds posterior al ambio de referenial geodésio. El ambio en los valores de oordenadas del punto P puede ser oneptualizado omo el desplazamiento aparente de punto en el sistema de proyeión, y por lo tanto, modelado omo la traslaión del origen del sistema de referenia artesiano de la proyeión, en el sentido de las absisas (ΔE) y en las ordenadas (ΔN). La variaión de la onvergenia meridiana puede ser oneptualizada omo una rotaión en el punto P, uya magnitud está dada por la diferenia entre la onvergenia meridiana en el punto P y la onvergenia meridiana en el punto P' (C'-C). La diferenia entre la distorsión de esala (m) observada en el punto P y la observada en el punto P', puede ser modelada por medio de un fator de esala uya magnitud es dada por la razón entre los segmentos infinitesimales (ds'/ds). Figura 4 - Desplazamiento aparente de un punto P en un setor de huso UTM, onvergenia meridiana C y segmento infinitesimal ds. Dada una obertura artográfia de alguna zona en estudio, si la obertura es de un tamaño sufiientemente pequeño, y está en una posiión tal que la razón de ambio de la onvergenia meridiana y la razón de ambio de la distorsión de esala pueden ser modelados linealmente, entones, es posible que dihos efetos sean modelados por medio de un modelo de transformaión onforme o de similaridad. Este modelo de transformaión es dado por las siguientes euaiones, que orresponden al modelo de Trasformaión de Similaridad 2D: E N 2 2 E N = Δ E + ( E 1 = Δ N ( E E ) k os θ + ( N 1 E ) k sin θ + ( N 1 1 N ) k sin θ N ) k os θ (05)

15 Mena, C. et al. donde, E 2,N 2 son las oordenadas del punto observadas en el sistema UTM asoiado al referenial geodésio destino; E 1,N 1 son las del punto observados en el sistema UTM asoiado al referenial geodésio origen; ΔE y ΔN son los valores de traslaión del sistema en el eje x e y respetivamente; k es el fator de esala apliado al sistema; y θ es el ángulo de rotaión del sistema. E, N son las oordenadas UTM de un entroide para la región donde ourre la transformaión. Esto es neesario dado que la rotaión θ ourre en el punto P y no en el origen de las oordenadas UTM, pues en aso de apliar la rotaión en el origen de las oordenadas UTM, y debido a la exagerada magnitud de sus valores en omparaión al pequeño valor angular de rotaión, los efetos de diha rotaión generan, en la prátia, solamente traslaiones en el sentido de las oordenadas E y no las rotaiones esperadas. El modelo puede ser linearizado onsiderando kosθ omo un valor a, y ksinθ omo un valor b, quedando la expresión de la siguiente forma: 597 E N 2 2 E N = a( E E ) + b( N 1 = b( E E ) + a( N 1 1 N ) + ΔE 1 N ) + ΔN (6) Por otro lado, si se onsideran las euaiones propias del sistema de proyeión UTM, las variaiones en los valores de oordenadas por ambios de referenial geodésio, pueden ser modeladas por variaiones en los parámetros definitorios del sistema UTM para ada huso. Así, la traslaión ΔE puede ser modelada por la variaión del valor Falso Este (FE), la traslaión ΔN por la variaión del Falso Norte (FN), la rotaión, dada por la variaión de la onvergenia meridiana, puede ser modelada por variaión del valor del meridiano entral del Huso (λ 0 ), finalmente, la variaión de distorsión de esala puede ser modelada por la variaión del valor del fator de esala m 0, impuesto al meridiano entral (λ 0 ). De esta manera, el modelo queda expresado omo sigue: 3 5 E = FE+ m [ a ( λ λ ) + a ( λ λ ) + a ( λ λ ) ] N = FN+ m [ B+ a ( λ λ ) + a ( λ λ ) + a ( λ λ ) ] donde, E 2,N 2 son las oordenadas artesianas bidimensionales del punto en el sistema UTM asoiado al referenial geodésio destino; FE, FN, m 0 y λ 0 son, respetivamente, los parámetros del huso UTM modifiado Falso Este, Falso Norte, Fator de esala y valor de la longitud del meridiano entral; λ es el valor de la longitud del punto asoiado al referenial geodésio origen. Los demás oefiientes son los propios de la proyeión Transversa de Merator. Todos los algoritmos neesarios para realizar los experimentos fueron implementados en el lenguaje Otave (GNU Otave, version 3.2.2), lenguaje de alto nivel orientado al tratamiento de omputo numério (7)

16 598 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM EXPERIMENTOS 5.1 Obtenión de los parámetros propios para ada modelo Para la obtenión de los parámetros en ada modelo fue apliado un ajuste por medio del método paramétrio. El desarrollo ompleto de este método puede ser onsultado en MIKHAIL (1976), GEMAEL (1994), y en DALMOLIN (2004). Dado que los modelos propuestos onstan de uatro parámetros ada uno, tres puntos son sufiientes para resolver el ajuste on dos grados de libertad, puesto que ada punto aporta dos euaiones al sistema. No obstante, para obtener mayor grado de libertad se onsideraron uatro puntos por ada zona de parámetros IGM (Figura 6). Dado que el modelo UTM modifiado no es lineal, los parámetros deben ser obtenidos mediante iteraiones, on iniio en un onjunto de parámetros arbitrarios. Para el aso en estudio se utilizó los valores m, m y 1,0000 para FE, FN, m 0, respetivamente y, dependiendo del huso,-75º ó -69º para λ 0. Los resultados del proeso de ajuste aportaron los parámetros para ada zona y huso UTM, tanto para el modelo de Similaridad omo para la UTM modifiada (Tabla 7 y Tabla 8). La Tabla 9 muestra las diferenias entre los parámetros obtenidos y los valores nominales del huso UTM. Puede observarse que los valores de los parámetros obtenidos para ambos modelos son similares en magnitud y direión para las zonas 1, 2 y 3. La zona 4, tanto para el huso 18 omo para el huso 19, presentaron valores, para la omponente Norte, signifiativamente diferentes en magnitud y direión. Dado que en el modelo de similaridad a = k osθ y b = k sinθ, se dedue entones que las rotaiones son signifiativamente pequeñas, menores a 0,512 segundos, y por tanto el valor del parámetro a es, en la prátia, igual al valor de parámetro de esala k. Esto signifia que el modelo puede ser simplifiado, para el aso en estudio, omo un modelo de similaridad on rotaiones nulas y afeto solamente por translaiones en la omponente E y en la omponente N, y un fator de esala apliado a ambas omponentes. Las preisiones de los parámetros en el modelo de similaridad presentan valores pequeños, menores a 0,43 ppm para los parámetros a y b y sub-métrios para las translaiones ΔE y ΔN. Dentro de éstos, los de mayor magnitud se presentan en la zona 4 on magnitud de 0,515m y 0,620m para el huso 19 y 18 respetivamente. En tanto, para el modelo UTM modifiado, la situaión de las translaiones ΔE y ΔN se presenta en forma inversa on valores mayores para las zonas 1, 2 y 3, y magnitudes menores para la zona 4 (menores a 0,218m). Las preisiones para el fator de esala del meridiano entral son menores a 0,31ppm, y la preisión para los valores de longitud son menores a 0,17 segundos sexagesimales.

17 Mena, C. et al. 599 Tabla 7 - Parámetros obtenidos para la transformaión de similaridad 2D en ada zona y huso. Huso 19 Huso 18 Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 3 Zona 4 Valores de parámetros a 0, , , , , , b -2,70E-07-1,73E-06-2,48E-06 9,40E-07 1,90E-06 3,50E-07 ΔE (metros) -184, , ,191-67, ,375-75,493 ΔN (metros) -324, , ,085 86, ,085 77,895 Preisión de los parámetros a 4,30E-07 3,50E-07 4,40E-07 3,11E-06 3,80E-07 3,40E-06 b 4,30E-07 3,50E-07 4,40E-07 3,11E-06 3,80E-07 3,40E-06 ΔE (metros) 0,124 0,098 0,069 0,515 0,107 0,620 ΔN (metros) 0,124 0,098 0,069 0,515 0,107 0,620 Residuos de los valores de oordenadas ajustadas (metros) E 1-0,172-0,134 0,080-0,777-0,178-0,811 E 2 0,179 0,143-0,016-0,431 0,103-0,738 E 3 0,172 0,133 0,020 0,528 0,184 0,747 E 4-0,179-0,142-0,084 0,680-0,109 0,802 N 1-0,003 0,006-0,024 0,462 0,037-0,371 N 2 0,002-0,007-0,079-0,390-0,028 0,440 N 3-0,001-0,009 0,119-0,358-0,011 0,375 N 4 0,002 0,010-0,016 0,286 0,002-0,444 Preisión de los valores de oordenadas ajustadas (metros) E 1 0,175 0,139 0,090 0,719 0,153 0,892 E 2 0,176 0,137 0,118 0,768 0,149 0,862 E 3 0,175 0,137 0,069 0,658 0,150 0,873 E 4 0,176 0,139 0,092 0,753 0,151 0,879 N 1 0,175 0,139 0,090 0,719 0,153 0,892 N 2 0,176 0,137 0,118 0,768 0,149 0,862 N 3 0,175 0,137 0,069 0,658 0,150 0,873 N 4 0,176 0,139 0,092 0,753 0,151 0,879

18 600 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM... Tabla 8 - Parámetros obtenidos para la UTM modifiada en ada zona y huso. Huso 19 Huso 18 Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 3 Zona 4 Valores de parámetros FE metros , , , , , ,825 FN metros , , , , , ,162 λ 0 grados -68, , , , , , m 0 0, , ,9996 0, , , Preisión de los parámetros FE metros 4,724 2,448 2,549 0,172 1,981 0,168 FN metros 0,769 0,883 1,292 0,218 1,193 0,173 λ 0 seg. 0, , , , , , m 0 0, , , , , , Residuos de los valores de oordenadas ajustadas (metros) E 1-0,172-0,133 0,081-0,013-0,177 0,012 E 2 0,179 0,143-0,012 0,011 0,102-0,010 E 3 0,172 0,133 0,014-0,010 0,184 0,010 E 4-0,179-0,142-0,083 0,012-0,109-0,012 N 1-0,004 0,001-0,020-0,001 0,043 0,001 N 2 0,004-0,001-0,080-0,003-0,031-0,001 N 3 0,001-0,003 0,120 0,001-0,017-0,001 N 4-0,001 0,004-0,020 0,003 0,006 0,001 Preisión de los valores de oordenadas ajustadas (metros) E 1 0,124 0,098 0,063 0,008 0,108 0,008 E 2 0,124 0,097 0,084 0,009 0,105 0,008 E 3 0,124 0,097 0,049 0,008 0,106 0,008 E 4 0,124 0,098 0,065 0,009 0,107 0,008 N 1 0,124 0,098 0,063 0,008 0,108 0,008 N 2 0,124 0,097 0,084 0,009 0,105 0,008 N 3 0,124 0,097 0,049 0,008 0,106 0,008 N 4 0,124 0,098 0,065 0,009 0,107 0,008

19 Mena, C. et al. 601 Tabla 9 - Diferenias entre los parámetros obtenidos y los valores nominales del huso UTM. Huso 19 Huso 18 Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 3 Zona 4 ΔFE metros -180, , ,795-68, ,698-73,175 ΔFN metros -331, , ,745-28, ,007-24,838 Δλ 0 grados 0, , , , , , Δm 0-0, , , , , , Los residuos obtenidos, así omo las preisiones de los valores ajustados, resultaron ser todos sub-métrios. Los puntos ubiados en la zona 4 en el huso 18 y 19 obtuvieron los mayores valores de residuos y desviaiones estándar de valores ajustados en el modelo de similaridad, mientras que en el modelo UTM modifiado estos mismos puntos presentaron magnitudes menores. Además, se observa una estreha semejanza entre los dos modelos para las zonas 1, 2, y 3, on magnitudes en general, del orden de los deímetros para la omponente E y del orden de los entímetros para la omponente N. Nuevamente se observan diferenias en la zona 4 al omparar ambos sistemas. En el modelo de similaridad las magnitudes de los residuos se presentan mayores en la zona 4, mientras que en el modelo UTM modifiado, en esta misma zona, las magnitudes de los residuos resultan ser las menores. En uanto a las preisiones de los valores de oordenadas ajustadas, todas ellas resultan ser sub-métrias. Sus magnitudes siguen la tendenia observada en los residuos, a saber, para el modelo de similaridad los mayores valores se presentan en la zona 4, mientras que en el modelo UTM modifiado, esta misma zona presenta las magnitudes menores. Se destaa que en el modelo UTM modifiado, las magnitudes de las preisiones obtenidas para los valores de oordenadas ajustadas en la zona 4 son inferiores a 0,010m. No obstante las pequeñas magnitudes observadas en los valores de oordenadas ajustadas, se debe advertir que éstas provienen de un ajuste a partir de datos sintétios, los uales son obtenidos por una transformaión uya apliaión entrega valores de oordenadas on preisión de ± 5 metros, y por tanto las oordenadas ajustadas deben ser onsideradas a lo menos on exatitudes iguales a las iniiales del experimento, es deir, ± 5 metros. En general, los modelos evaluados presentan magnitudes de preisiones y de residuos de los valores de oordenadas ajustadas en las zonas 1, 2 y 3. En uanto a las preisiones de los parámetros el modelo de similaridad presenta mejor

20 602 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM... desempeño. Para la zona 4, el modelo UTM modifiado presenta magnitudes menores de valores de preisión y de residuos, omo también los orrespondientes valores de preisión de los parámetros. Dado que la zona 4 está en el intervalo 44º00'S a 56º00'S, esta zona es la que presenta mayor razón de ambio para la onvergenia meridiana omo para la distorsión de esala, en la direión del desplazamiento aparente de los puntos evaluados. Así, el modelo UTM modifiado resulta ser el que mejor se ajusta a diha zona, modelando on efiaia tales araterístia geométrias. Desde el punto de vista del ómputo, la apliaión del modelo UTM modifiado para la transformaión de datos requiere menor esfuerzo, ya que es apliado diretamente a los valores de oordenadas geodésias originales y omo resultado se obtiene los valores de oordenadas en el sistema UTM, asoiados al sistema geodésio de destino. El modelo de similaridad requiere de la definiión de un entroide, y por lo tanto, los valores de oordenadas deben ser referidos a un sistema artesiano intermedio antes de realizar el ajuste. En onseuenia el modelo de similaridad debe ser desrito por los uatro parámetros que lo definen más las oordenadas del entroide utilizado. 6. CONCLUSIONES En el presente trabajo fueron realizados experimentos para evaluar el impato del ambio de referenial geodésio en la geometría de los rasgos representados en el sistema de proyeión UTM, espeífiamente para el aso de Chile ontinental sudameriano, y en el ontexto del nuevo referenial geodésio SIRGAS. Además, fueron evaluados dos modelos bidimensionales para la transformaión de oordenadas al nuevo referenial geodésio. La metodología onsistió en generar un ambio de referenial geodésio a puntos sintétios distribuidos a través del territorio en estudio, según modelo y parámetros ofiiales dados por IGM (2008). A partir de estos resultados se analizó las variaiones en las oordenadas UTM, y sus efetos en la distorsión de esala y en el valor de la onvergenia meridiana. Luego, y a partir de este análisis se homologaron estos efetos a sistemas bidimensionales de transformaión de oordenadas, el modelo de similaridad y el modelo que onsidera la modifiaión de los parámetros definitorios del huso UTM. Finalmente, fueron evaluados los dos modelos bidimensionales mediante un proeso de ajuste por el método paramétrio, utilizando valores de oordenadas referidos al sistema original PSAD56 y SAD69 y valores de oordenadas en el sistema SIRGAS. Los resultados evideniaron que dado el modelo de transformaión IGM (2008), las variaiones de oordenadas entre los sistemas geodésios tienen efetos que pueden ser modelados omo traslaión, rotaión y esalamiento de los rasgos representados en el sistema UTM, y por lo tanto, modelar estas variaiones a través de un sistema bidimensional onforme. La apliaión del ajuste por el método paramétrio entre los valores de oordenadas asoiados a los sistemas geodésios involurados en el estudio y proyetados en el sistema UTM, permitieron validar los modelos bidimensionales propuestos omo satisfatorios, a esalas donde los valores

21 Mena, C. et al. submétrios de residuos y de preisión de valores ajustados no son pereptibles. No obstante, el modelo de similaridad presentó mejor desempeño para las zonas 1, 2 y 3, zonas araterizadas, a diferenia de la zona 4, por presentar una razón de ambio de la onvergenia meridiana y de la distorsión de esala, menos pronuniada. Para la zona 4, donde la razón de ambio de la onvergenia meridiana y de la distorsión de esala es mayor para la direión del desplazamiento aparente de los puntos evaluados, el modelo UTM modifiado resultó ser el que mejor se ajusta a diha zona, modelando on efiaia tales araterístias geométrias. En uanto al esfuerzo omputaional, el modelo UTM modifiado, en omparaión al modelo de similaridad, presenta ventajas debido a que puede ser apliado diretamente a las oordenadas geodésias de origen, on un esfuerzo omputaional menor. Finalmente, abe observar que el disponer de onjuntos de parámetros distintos para ada zona, pudiera generar onflitos en la artiulaión de produtos artográfios por problemas de veindad. Por uestiones de tiempo, este problema no fue abordado por los autores, no obstante, queda propuesto omo ontinuidad de investigaión. 7 BIBLIOGRAFÍA ANCIÃES, C. L. C.; OLIVEIRA, L. C. de. Transformação entre redes geodésias: onsiderações sobre os espaços 3D e 2D. Série em Ciênias Geodésias, v.3, pp , BLACHUT, T. J.; CHRZANOWSKI, A.; SAASTAMOINEN, J. H. Cartografía y Levantamientos Urbanos, New York: Springer-Verlag, p. CRIOLLO, A. R. T.; DALAZOANA, R.; DE FREITAS, S. R. C. O uso de redes neurais artifiiais para melhorar a transformação de oordenadas entre redes geodésias de referênia lássias. In: IV Colóquio Brasileiro de Ciênias Geodésias, 2005, Curitiba. Anais do IV Colóquio Brasileiro de Ciênias Geodésias. Curitiba: CPGCG, v. 1. p DALMOLIN, Q. Ajustamento por Mínimos Quadrados, Segunda Edição. Curitiba: Imprensa Universitária UFPR, p. GEMAEL, C. Introdução à Geodésia Físia. Curitiba: Editora UFPR, p. GEMAEL, C. Introdução ao ajustamento de observações: apliações geodésias. Curitiba: Editora UFPR, p. IGM Instituto Geográfio Militar. Nuevo maro de referenia geodésio. RGN SIRGAS CHILE. 2008, 62 p. LUGNANI, J. B. Introdução à Fototriangulação. Curitiba: Impresso na Imprensa Universitária da UFPR, 1987, 134 p. MIKHAIL, E. M. Observations and least squares. New York: IEP, 1976, 497 p. NGA - National Geospatial-Intelligene Ageny. Coordinate System Analysis, Datum Transformations. Disponible en: < /oordsys/datums/index.html> aeso en 20/09/

22 604 Modelamiento geométrio del ambio de oordenadas UTM... OLIVEIRA, L. C. de. Realizações do Sistema Geodésio Brasileiro Assoiadas ao SAD 69 Uma Proposta Metodológia de Transformação. São Paulo, 1998, 197 p. Tese (Doutorado em Engenharia). Esola Politénia da Universidade de São Paulo. PEARSON, FREDERICK. Map projetions: theory and appliations, CRC Press In., p. PINO, LEONARDO M.; FIRKOWSKI, HENRIQUE, Avaliação de modelos de transformação bidimensional para a ompatibilização de bases artográfias assoiadas a diversos sistemas geodésios de referênia, Boletim de Ciênias Geodésias, UFPR, Curitiba, v. 15, n. 2, RAPP, H. R. Geodésia Geométria, v. 2, Ténias Avanzadas, Departamento de Cienias Geodésias, Universidad Estatal de Ohio, Columbus, p. SMITH, J. R. Introdution to geodesy: the history and onepts of modern geodesy New York: New York: J. Wiley, p. SNYDER, J. Map Projetions A Working Manual, U.S. Geologial Survey Professional Paper 1395, Washington p (Reebido em março de Aeito em outubro de 2012.)