TEORÍA DE AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES Práctica 5 - Simplificación de gramáticas incontextuales

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1 TEORÍA DE AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES Práctica 5 - Simplificación de gramáticas incontextuales 1. Objetivos 2. Representación de los datos en Mathematica 3. Eliminación de símbolos inútiles 3.1. Símbolos generativos 3.2. Símbolos alcanzables 3.3. Símbolos inútiles 4. Eliminación de producciones vacías 5. Eliminación de producciones unitarias 6. Simplificación general de gramáticas 1. Objetivos. La presente práctica presenta unos algoritmos que permiten obtener gramáticas incontextuales (casi) equivalentes a una dada con determinadas propiedades estructurales. La simplificación de gramáticas incontextuales afecta a tres aspectos distintos pero interrelacionados : Los símbolos inútiles de la gramática, que no inciden en la capacidad generativa a la misma y que, por lo tanto, pueden ser eliminados sin variar el lenguaje de la gramática. Las producciones vacías, A -> λ, que como veremos, al ser eliminadas, provocan una transformación en el resto de producciones cuyo efecto es una gramática que define el mismo lenguaje menos λ. Las producciones unitarias, A B que, al igual que en el caso anterior, su eliminación produce una transformación en la gramática, obteniendo, en este caso, una gramática equivalente. Los puntos que seguiremos para abordar las transformaciones anteriores son los siguientes :

2 Formulación de los algoritmos de transformación en cada caso. Integración de los algoritmos anteriores para finalmente obtener gramáticas simplificadas 2. Representación de los datos en Mathematica En una gramática incontextual G=(N,T,P,S) adoptaremos el siguiente convenio, las letras mayúsculas denotaran símbolos auxiliares, el resto de símbolos, excepto y, denotarán símbolos terminales. De este modo, para especificar la gramática basta dar el conjunto de producciones de la misma. Una cadena la representaremos por la lista asociada a sus símbolos (ej. abcd se representa por {a,b,c,d} y, en el caso de que sea la cadena vacía λ, se representará por {}). El conjunto de A-producciones se representará por una lista con dos elementos, el primero de ellos será el propio símbolo A y el segundo será a su vez una lista que contendrá como elementos las listas asociadas a los consecuentes de las producciones. Veamos el siguiente ejemplo se representa por la lista A ABa λ abb {A,{{A,B,a},{},{a,b,B}}} Así, el conjunto de producciones P se representa por la lista de todas las A- producciones. De esta forma, para la gramática se representará como S ab λ Ab A bba S {{S,{{a,b},{},{A,b}}},{A,{{b,b,a},{S}}}} Finalmente la gramática completamente especificada, se establece como una lista con cuatro elementos { N, T, P, S }. Así, en el ejemplo anterior, la gramática completamente especificada sería la lista { {S,A}, {a,b}, {{S,{{a,b},{},{A,b}}},{A,{{b,b,a},{S}}}}, S } 3. Eliminación de símbolos inútiles Símbolos generativos. Los símbolos generativos asociados a una gramática incontextual son aquellos capaces de generar en uno o más pasos de derivación cadenas formadas sólo por símbolos terminales. El objetivo de este primer apartado consiste en detectar los símbolos generativos de una gramática incontextual y eliminar de la misma aquellos símbolos que no los sean. El siguiente algoritmo nos proporciona el esquema de cálculo de los

3 símbolos auxiliares generativos de una gramática incontextual. Algoritmo 1: Cálculo de los símbolos generativos de una gramática Entrada: G=(N,T,P,S) Salida: gen, una lista de los símbolos generativos de la gramática gen={} gen 2 =T Repetir gen = { A N : A x P, x gen * 2 } gen = gen - gen 2 gen 2 = gen gen 2 hasta gen = {} gen=gen 2 - T Actividad 1 Dada una gramática incontextual {N,T,P,S} desarrollar un módulo Mathematica que detecte los símbolos auxiliares que contienen producciones formadas únicamente por símbolos terminales. Actividad 2 Dada una gramática incontextual {N,T,P,S} desarrollar un módulo Mathematica que, basándose en el Algoritmo 1, detecte los símbolos generativos de la gramática. Algoritmo 2: Eliminación de los símbolos no generativos Entrada: G=(N,T,P,S) y gen una lista de los símbolos generativos de G Salida: G1=(N1,T,P1,S) sin símbolos no generativos, excepto posiblemente S. (* Construcción de G1 *) N1 = gen { S } P1 = { A x P : A gen, x (gen T) * }

4 Actividad 3 {N,T,P,S} y la lista de símbolos generativos de la misma gen, proporcione como salida una gramática equivalente sin símbolos generativos de acuerdo con el Algoritmo Símbolos alcanzables. Dada una gramática incontextual, los símbolos alcanzables de la misma son aquellos que aparecen en cualquier derivación que se produce a partir del axioma. El objetivo de este segundo apartado de la práctica es la detección de los símbolos alcanzables de una gramática incontextual. El siguiente algoritmo proporciona un esquema de cálculo de los símbolos alcanzables de una gramática incontextual Algoritmo 3: Cálculo de los símbolos alcanzables Entrada: G=(N,T,P,S) Salida: alc, una lista con los símbolos auxiliares y terminales alcanzables de la gramática alc={s} aux 1 ={S} Repetir aux 2 = { a N T : A aux 1, α,β (N T) * : A α a β P } aux 1 = aux 2 - (alc T) alc = alc aux 2 hasta aux 1 = {} Actividad 4 {N,T,P,S} proporcione como salida una lista alc de los símbolos alcanzables, terminales y auxiliares, de la gramática de entrada Algoritmo 4: Eliminación de los símbolos no alcanzables Entrada: G=(N,T,P,S) y alc una lista de los símbolos alcanzables de G

5 Salida: G1=(N1,T1,P1,S) sin símbolos no alcanzables. (* Construcción de G1 *) N1 = alc N T1 = alc T P1 = { A α P : A N1 } Actividad 5 {N,T,P,S} y una lista de los símbolos alcanzables de la misma, alc, proporcione como salida una gramática equivalente sin símbolos no alcanzables de acuerdo con el algoritmo Símbolos inútiles. La eliminación de los símbolos inútiles de una gramática se basa en la aplicación secuencial de los algoritmos 2 y 4 propuestos anteriormente. Nótese que la aplicación en orden contrario no garantiza en general la completa eliminación de este tipo de símbolos. Ejemplo 1 Sea la gramática G definida por las siguientes producciones S aebc SA A A AbA BB B BBb a CC C acd CbC D bdd AaC E a Ea Resultado del Algoritmo 1 Símbolos generativos : {S,A,B,E} Como resultado del Algoritmo 2 se obtiene la siguiente gramática S SA A A AbA BB B BBb a E a Ea Resultado del Algoritmo 3

6 Símbolos alcanzables : {S,A,B,a,b} Como resultado del Algoritmo 4 se obtiene la gramática S SA A A AbA BB B BBb a Actividad 6 Integrar los módulos desarrollados anteriormente para desarrollar un módulo Mathematica que, tomando como entrada una gramática {N,T,P,S}, proporcione como salida una gramática equivalente sin símbolos inútiles. 4. Eliminación de producciones vacías. Las producciones vacías, A λ, en una gramática sólo son útiles en el caso de generar la cadena vacía. En el resto de derivaciones de una gramática incontextual, este tipo de producciones provocan el efecto de alargar innecesariamente el número de pasos de derivación necesarios para generar cualquier cadena distinta de la vacía. Es por eso, por lo que interesa eliminar el conjunto de producciones vacías de una gramática sin perder su capacidad generativa, con la excepción de la cadena vacía. Para la eliminación de las producciones vacías se debe calcular en primer lugar el conjunto de símbolos anulables, es decir, símbolos que, en uno o más pasos de derivación, son capaces de generar la cadena vacía. El siguiente algoritmo, proporciona un esquema de cálculo de los símbolos anulables de una gramática. Algoritmo 5: Cálculo de los símbolos anulables Entrada: G=(N,T,P,S) Salida: Anulables, una lista con los símbolos anulables de la gramática Anulables={} Repetir aux = { A N - Anulables : x Anulables *, (A x) P } Anulables = Anulables aux hasta aux = {} Actividad 7 {N,T,P,S}, detecte aquellos símbolos auxiliares que tienen la producción vacía (A λ). Actividad 8

7 {N,T,P,S}, detecte los símbolos anulables de la misma. Para ello, siga el esquema de cálculo del algoritmo 5. Sea la sustitución g: (N T) * 2 (N T)* definida como sigue Si x (N T) - Anulables, g(x) = {x} Si x Anulables, g(x) = { x, λ } Por ejemplo si z=aaab y únicamente A es anulable, entonces g(z) = g(a) g(a) g(a) g(b) = {A, λ } { a } { A, λ} { B } = { AaAB, AaB, aab, ab } Definimos para toda cadena z (N T) *, f(z) = g(z) - { λ } Actividad 9 Desarrolle un módulo Mathematica que, tomando como entrada dos listas de símbolos o cadena vacía l y m, proporcione como salida una lista con las cadenas producto de la concatenación de l y m. Por ejemplo, si l = {A,{},B} y m = {a,b} entonces lm = {{A,a}, {A,B},{a}, {B},{B,a},{B,B}} Algoritmo 6: Eliminación de producciones vacías Entrada: G=(N,T,P,S) y Anulables una lista de los símbolos anulables de G Salida: G1=(N,T,P1,S) sin producciones vacías, con L (G1) = L(G) - { λ }. (* Construcción del conjunto P1 *) P1 = { A x : (A z) P, x f(z) } Actividad 10 {N,T,P,S} y una lista de los símbolos anulables de la misma Anulables, proporcione como salida una gramática (casi) equivalente sin producciones vacías. Ejemplo 2 Sea la gramática G definida por las siguientes producciones S SS AaB A aab BB B ab λ

8 Resultado del Algoritmo 5 Anulables = {A,B} Resultado del Algoritmo 6 S SS AaB ab Aa a A aab ab aa a BB B B ab a 5. Eliminación de producciones unitarias. Las producciones unitarias en las gramáticas incontextuales, A B, provocan el efecto de aumentar el número de pasos de derivación en la generación de las cadenas de la misma. Es por ello que su eliminación resulta interesante. Para realizar la eliminación de producciones unitarias, en primer lugar hay que realizar el cálculo de la alcanzabilidad de tales producciones a partir de un símbolo auxiliar dado. El siguiente algoritmo proporciona el esquema de cálculo de aquellos símbolos que se pueden alcanzar a partir de un símbolo auxiliar dado, mediante la utilización de producciones unitarias. Algoritmo 7: Cálculo de los símbolos alcanzables a partir del símbolo A mediante producciones unitarias Entrada: G=(N,T,P,S) y el símbolo A N Salida: C(A), una lista con los símbolos alcanzables a partir de A mediante producciones unitarias C(A)={A} aux 1 ={A} Repetir aux 2 = B aux1 { C N : (B C) P } aux 1 = aux 2 - C(A) C(A) = C(A) aux 1 hasta aux 1 = {} Actividad 11 {N,T,P,S} y un símbolo auxiliar A, proporcione como salida una lista que contenga el conjunto de símbolos C(A). Aplicar en este caso el esquema de cálculo expuesto en el algoritmo 7.

9 Actividad 12 {N,T,P,S}, proporcione como salida una lista que contenga los conjunto de símbolos C (A) para cada símbolo auxiliar A. La lista de salida debe tener el formato C(N)= {{A,C (A)}, {B,C(B)},... }. Algoritmo 8: Eliminación de producciones unitarias Entrada: G=(N,T,P,S) y C(A) para todo símbolo A N Salida: G1=(N,T,P1,S) sin producciones unitarias, con L(G1) = L(G). (* Definimos la función f para todo símbolo auxiliar A, de forma que f (A) = { x : A x P, x no es un único símbolo auxiliar} *) Definimos la función F de modo que F(A) = B C(A) f(b) (* Construcción del conjunto P1 *) P1 = { A x : x F(A) } Actividad 13 {N,T,P,S} y la lista de símbolos alcanzables a partir de cada símbolo auxiliar C(N)= {{A,C(A)}, {B,C(B)}... }, proporcione como salida una gramática equivalente sin producciones unitarias. Ejemplo 3 Sea la gramática G definida por las siguientes producciones S SS ab A A aaa B B ab a Resultado del Algoritmo 7 C(S) = {S,A,B} C(A) = {A,B} C(B) = {B} Resultado del Algoritmo 8 S SS ab aaa a A aaa ab a B ab a

10 6. Simplificación general de gramáticas. Una vez vistos distintos aspectos en cuanto a transformaciones previas de una gramática, nos proponemos abordar un proceso conjunto que permita obtener a partir de una gramática otra equivalente (o casi equivalente) que esté totalmente simplificada, esto es sin símbolos inútiles ni producciones unitarias ni producciones vacías. Para ello proponemos un orden de ejecución de los distintos algoritmos ya formulados. Sea G la gramática de partida 1 Eliminar las producciones vacías de G según el Algoritmo 6 y obtener G1. 2 A partir de G1 aplicar el Algoritmo 8 y obtener G2 que no tendrá ni producciones unitarias ni producciones vacías. 3 A partir de G2 aplicar los Algoritmos 2 y 4 y eliminar los símbolos inútiles de la gramática obteniendo como resultado G3 que estará totalmente simplificada. Ejemplo 4 Sea la gramática G definida por las siguientes producciones S SS CA A baa ac B B ass BC C CC λ Primer paso : Eliminación de producciones vacías Anulables = {C} La gramática resultado es S SS CA A A baa ac a B B ass BC B C CC C Segundo paso : Eliminación de producciones unitarias La gramática resultado es S SS CA baa ac a ass BC A baa ac a ass BC B ass BC C CC

11 Tercer paso : Eliminación de símbolos inútiles y obtención de la gramática simplificada S SS baa a ass A baa a ass Actividad 14 Desarrollar un módulo Mathematica que a partir de una gramática de entrada obtenga otra (casi) equivalente totalmente simplificada. Para ello, integrar los módulos desarrollados en actividades anteriores.

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