1. Representación gráfica de distribuciones.

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1 Individuos y variables Universidad de Puerto Rico ESTA 3041 Héctor D. Torres Aponte 1. Representación gráfica de distribuciones. 1. Tipos de variable. 2. Gráfica de variables categóricas. a) Gráfica de barra. b) Gráfica de pastel. 3. Gráficos para variables cuantitativas a) histograma b) interpretación del histograma c) Diagrama de tallo y hoja d) tallo y hoja VS histograma e) gráficas de tiempo En un estudio la información recolectada sobre cada individuo se le conoce como data. Los individuos pueden ser personas, animales, plantas, etc. Definición 1.1. Una variable es cualquier caracteristica de un individuo. Estas también suelen ser distinta dependiendo el individuo en cuestión. Algunos ejemplos para esto lo son la edad, peso, presión arterial, primer idioma, nacionalidad, etc. Definición 1.2. La distribución de la variable nos indica el valor que esta toma y con que frecuencia ocurre Tipos de variable Definición Una variable categórica es aquella cuyo valor es del tipo categórico, esto es, que indican categorias o son etiquetadas utilizando nombres. variable categórica nominal: son mutuamente excluyentes y no tienen una forma natural de ordenación. Por ejemplo si. o no. variable categórica ordinal: son aquellas que tienen un orden natural. 1

2 Definición Una variable cuantitativa es aquella cuyo valor se puede expresar de forma numérica. variable cuantitativa discreta: es aquella que toman valores enteros o numéricamente fijos. Ejemplo: cantidad de barriles de petroleo producidos en cierto periodo de tiempo. variable cuantitativa continua: también se le conoce como variable de medición. Son aquellas variables con valor numérico ya sea enteros, fracciones, irracionales, etc. Ejempo: el tiempo, la temperatura, etc Métodos para graficar variables categóricas Debido a que en esta sección estaremos trabajando solamente con variables categóricas, las variables se pueden organizar por conveniencia, ya sea por orden alfabético, de mayor a menor, por año o cualquier otra preferencia personal. Diagrama de barras Cada categoria es representada por una barra. La altura de la barra representa la cantidad (en algunos casos el porciento) para cada una de las categorias en particular. Diagrama de Pareto Este diagrama es un diagrama de barra cuyas categorias son ordenadas de mayor frecuencia a menor frecuencia. Diagrama de pastel Cada categoria es representada por una seccion o pedazo del pastel 2

3 Ejemplo 1.1. En el verano del 2000 la compañia Firestone sufrió un ataque publicitario debido a ciertos accidentes ocasionados por desperfectos en su producto causando así 2969 accidentes de tránsito. A continuación se incluyen los datos. Modelo Cantidad Porciento ATX Firehawk Firestone Firestone ATX Firestone Wilderness Radial ATX Wilderness Wilderness AT Wilderness HT total

4 Definición 1.5. El error de redondeo o rounding error. es aquel que ocurre cuando redondeamos los datos a cierta cifra significativa en medio del proceso de analisis. Es por eso que 99.9 % 100 % % 1.3. Métodos para graficar variables continuas Para graficar variables continuas utilizamos los siguientes métodos: Histogramas y Diagramas de tallo y hoja: Estos nos brindan un resumen de una variable sencilla. Son útiles al momento de determinar y entender el patrón de la variabilidad de los datos. Gráficas lineales (series de tiempo): Este tipo de gráfica es utilizada para los estudios de sucesiones como lo es el tiempo. La linea conecta los puntos ayudando a enfatizar los cambios sobre el tiempo. Caso 1.2. Cada mes el Bureau of Labor Statistics (BLS) anuncia las tasas de desempeos del mes anterior. El desempleo juega un papel importante en la economía de un pais y es muy sensitivo cuando se relaciona con la política. Estas tasas de desempleo pueden variar grandemente dependiendo del estado y del tipo de trabajo que se realiza. Para calcular la tasa de desempleo se utiliza la siguiente fórmula: unemployment rate = numer of people unemployed number of people in the labor force A continuación se presentan todas las tasas de desempleo por estado (incluyendo Puerto Rico) para el año State Percent State Percent State Percent Alabama 4.0 Louisiana 5.3 Ohio 3.7 Alaska 6.1 Maine 2.6 Oklahoma 2.6 Arizona 3.3 Maryland 3.3 Oregon 4.0 Arkansas 3.9 Massachusetts 2.0 Pennsylvania 3.8 California 4.3 Michigan 3.4 Puerto Rico 8.9 Colorado 2.1 Minnesota 2.8 Rhode Island 3.2 Connecticut 1.5 Mississippi 4.3 South Carolina 3.3 Delaware 3.3 Missouri 3.2 South Dakota 2.3 Florida 3.2 Montana 4.9 Tennessee 3.8 Georgia 3.0 Nebraska 2.5 Texas 3.4 Hawaii 3.6 Nevada 4.0 Utah 2.7 Idaho 5.0 New Hampshire 2.2 Vermont 2.4 Illinois 4.5 New Jersey 3.5 Virginia 1.9 Indiana 2.7 New Mexico 4.9 Washington 4.9 Iowa 2.5 New York 4.2 West Virginia 5.5 Kansas 3.2 North Carolina 3.6 W isconsin 3.0 Kentucky 3.7 North Dakota 2.7 Wyoming 3.7 Source: Bureau of Labor Statistics. 4

5 Ejemplo 1.3 (Histograma para las tasas de desempleo). Para poder realizar el histograma para los datos de la tabla anterior tenemos que seguir los siguientes pasos: 1. Divida el rango de la data en clases iguales. Vemos que las tasas de desempleo por estado van desde 1.5 % hasta 8.9 %, por lo tanto podemos escoger las siguientes clases: 1.0 % unemployment rate < 2.0 % 2.0 % unemployment rate < 3.0 % 3.0 % unemployment rate < 4.0 %. 8.0 % unemployment rate < 9.0 % Tenemos que asegurarnos que no exista ningún dato el cual pueda ser clasificado en dos clases distintas. 2. Contamos el número de individuos en cada clase: Clase Cantidad 1.0 hasta hasta hasta hasta hasta hasta hasta hasta Dibujamos el histograma. El eje horizontal describe los intervalos de las clases que hemos seleccionado. Podemos seleccionar una escala que cubra un poco mas que nuestro intervalo para asegurar que todos los datos podrán ser representado en nuestro histograma. En este caso seleccionaremos desde 0 hasta 10. Number of states Unemployment rate (a) 5

6 Podemos crear un histograma distinto. Lo único que tenemos que hacer es variar los valores en los intervalos de clases. En la siguiente gráfica observamos que es un histograma utilizando los mismo datos simplemente con distinta clase. Number of states Unemployment rate (b) Interpretación de histograma Hacer gráficas estadisticas no es suficiente cuando se requiere analisar cierto grupos de datos. Esto es solo una herramienta que nos ayuda a interpretar el estilo de data que tenemos. Despues de hacer una gráfica nos tenemos que preguntar que tipo de gráfica tenemos?, que forma tiene?, entre otras cosas. En cualquier gráfica tenemos que mirar el patrón general y las posibles desviaciones a dicho patrón. Ese patrón del histograma lo podemos describir por su forma, centro y esparcimiento. Unas de las desviaciones mas importante que siempre debemos tener en cuenta es lo que se le conoce como valores atípicos o outliers. En las siguientes gráficas se usan dos maneras para describir un histograma. En el primer caso se tiene utilizando lineas rectas desde el tope de cada barra, este método nos brinda exactitud cuando queremos ver cambios entre las clases. En el segundo caso se usa una curva para poder describir el patrón general del histograma. 6

7 Definición 1.6. Los valores atípicos o outliers son observaciones que no están dentro de un rango de acumulación de la data. Siempre tenemos que mirar estos datos e intentar explicar la razón lógica de porque estos valores ocurren. Number of states Outlier Unemployment rate (b) Formas mas comunes de distribución Una distribución es simétrica si los lados izquiero y derecho son aproximadamente simétricos. En otras palabras, aproximadamente es una imagen de espejo. Symmetric distribution Una distribución es sesgada a la derecha si el lado derecho del histograma contiene los valores mas grande del histograma y su vez se extienen mas lejos que el lado izquierdo. De ocurrir lo mismo pero en el lado izquiero entonces se le llama sesgada a la izquierda. 7

8 No todas las distribuciones tienen una forma facil y sencilla de describirlas, en especial esto ocurre cuando tenemos pocos valores. Si esto ocurre se le llama una distribución compleja multimodal. Nota 1.4. La data obtiene su forma por si misma. No intenta forzarla para que tome una forma en particular. Además, es un error pensar que un conjunto de datos de gran tamaño es suficiente para que eventualmente el histograma se convierta en uno simétrico Diagramas de tallo y hoja (Stem plots) Los histogramas no son la única gráfica que se puede hacer al momento de obtener variables cuantitativas. Para un conjunto de datos pequeño, el diagrama de tallo y hoja es una manera rápida de representar y obtener información importante y detallada. Diagrama de tallo y hoja Como hacer este diagrama 1. Separar los datos en tallos los cuales consisten en las cifras mas significativas, ubicados a la izquierda del número. Las hojas consiste en el resto de los números o cifras secundarias ubicadas a la derecha. 8

9 2. Se escriben los tallos en una columna vertical de forma tal que los números en los tallos estén ordenados de menor a mayor. Se dibuja una linea vertical a la derecha de esta columna. 3. Se escriben las hojas a la derecha de cada tallo en forma creciente respecto al tallo. En los histogramas podemos escoger las clases. Sin embargo en este estilo de gráfica la clase ya está dada. Cuando tenemos datos con muchos digítos los datos se reben redondear a unas pocas cifras para al facil manejo de la información. Ejemplo 1.5. Considere que tenemos la siguiente data: 3.468, 2.137, 2.981, 1.095, 4.561, lo podemos redondear y obtener la siguiente lista de datos: 3.5, 2.1, 3.0, 1.1, 4.6, 1.9 Luego de esto, obtenemos el siguiente diagrama: Gráficas de tiempo (time plots) Existen muchas variables que son medidas con respecto al tiempo. Por ejemplo el costo de materiales para procesos de manufactura cada mes o el precio de cierta acción al final del día. Para poder describir estos eventos entonces utilizamos lo que se conoce como gráficas de tiempo. Definición 1.7. La gráfica de tiempo o time plot de cierta variable grafica cada observación con respecto al tiempo que esta es medida. Siempre el tiempo se coloca en el eje horizontal de la gráfica y las medidas se colocan en el jeve vertical. Se conectan todos los puntos para enfatizar el cambio que ocurre con el tiempo. La tendencia en una gráfica de tiempo se considera como la persistencia de los datos, ya sean aumentando o disminuyendo. Un patrón en una serie de tiempo el cual se repite en algún momento se le conoce como una variación temporera. 9

10 Para poder graficar esto solamente necesitamos datos en forma de par ordenado (x, y) donde x es el tiempo donde ocurrio cierto dato y. Por ejemplo: 10