Ondas y Rotaciones. Dinámica de las Rotaciones V
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- Clara Saavedra Rivas
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1 Hoj de Trjo Onds Rotcones Dnámc de ls Rotcones V Jme Felcno Hernández Unversdd Autónom etropoltn - ztplp éco, D. F. de gosto de 0 A. ACTVDAD NDVDUAL. En est Hoj de trjo veremos otro conjunto de prolems con detlle. Nuevmente, de mner ndvdul deen estudrlos prounddd, elorr un lst de duds sore su resolucón. Presentr ests duds l grupo, l udnte l proesor hst resolverls. Ejemplo. L gur muestr un loque de ms rsts de longtudes, c. Clculr l nerc rotconl lrededor de un eje que pse por un de ls esquns se perpendculr l cr grnde del loque. Solucón. Podemos clculr l nerc rotconl emplendo el vlor pr l plc cundo rot con respecto l centro de ms, luego usndo el teorem de los ejes prlelos: h C De cuerdo con l geometrí vemos que h, por lo tnto: ( ( 3( (
2 Hoj de Trjo ( ( 3 Ejemplo. Un stélte de comunccones es un clndro unorme con 0 kg de ms,.8 m de dámetro,.7 m de longtud. Antes de ser lnzdo desde l pltorm del t espcl, se le hce grr rzón de.6 rev/s en torno l eje del clndro. Clculr l energí cnétc de rotcón del stélte, Solucón. Pr clculr l ejergí cnétc de rotcón usmos l órmul EC, con l nerc rotconl de un clndro l velocdd ngulr que se le mprme l stélte ntes de ser lnzdo. Pr un clndro R, por lo tnto R E C R (0kg(.8/ m E C E C kg m / s (.6rev / s Ejemplo 3. Clcule l nerc de rotcón de un regl de un metro, cu ms es de 0.6 Kg. en torno un eje perpendculr l regl que está studo en l mrc de 0 cm. Solucón. Consderemos dos poslddes: un regl que pued ser modeld con un vrll o, con un plc como l del ejemplo.
3 Hoj de Trjo En el prmer cso, un vrll delgd tene un nerc rotconl dd L por. Consderndo el teorem de los ejes prlelos, h donde h 0 cm 0. 0 m. C Por lo tnto, L (0.6kg(m h (0. (0.6kg kg m En el segundo cso, consderemos un plc delgd, cuo ldo es desprecle con respecto l longtud. en este cso (, sí que usndo el teorem de los ejes prlelos, h donde h 0 cm 0. 0 m. C S 0 entonces: ( h ( 0.6kg(m (0.m (0.6kg kg m Ejemplo. L velocdd ngulr de un motor de utomóvl de 70 rev/mn 880 rev/mn en.6 s. Hllr l celercón ngulr en rev/mn. Cuánts revolucones complet el motor durnte este tempo? Solucón. L celercón ngulr estrá dd por t t 880 rev / mn 70 rev / mn (.6s 0( mn/ 60s 3
4 Hoj de Trjo 8.8 rev / mn 0 Por otr prte, semos que φ φ0 t, por lo tnto: φ 0 φ t 880 rev / mn 70 rev / mn (0. mn. rev Ejemplo. L poscón de un punto studo en l perer de un rued en rotcón 3 está descrt por φ t 3t t. A Cuál es l velocdd ngulr en t s en t s? B Cuál es l celercón ngulr promedo en el ntervlo que comenz en t s termn en t s? C Cuál es l celercón ngulr nstntáne l prncpo l nl de este ntervlo de tempo? 3 Solucón. A φ t 3t t es l poscón ngulr, por lo que pr en l velocdd ngulr clculmos l prmer dervd, l segund pr conocer l celercón ngulr: dφ d 3 ( t 3t t 6t 3t Así que en t s 6t 3t 6( 3( t en B En en t s t s t s t 6( 3( 8 8 d dt t t d dt ( 6t 3t 6 6t 6 6t 6 6( ( 6 8 Ejemplo 6. Un ojeto se mueve en el plno XY de modo que Rcost Rsent. Aquí son ls coordends del ojeto, t es el tempo R son constntes. A Elmínese t entre ests ecucones hllr l ecucón de l curv en l que se mueve el ojeto. Cuál es est curv? Cuál es el sgncdo de l constnte? B Derence ls ecucones pr pr hllr ls componentes de l velocdd del cuerpo, v v. Comne v v pr hllr l mgntud
5 Hoj de Trjo dreccón de v r. Descr el movmento del ojeto. C Derence v v con respecto l tempo pr otener l mgntud dreccón de l celercón resultnte. Solucón. A Elevmos l cudrdo Rcost Rsent summos: Sumndo: Rcost R cos t Rsent R sen t Como ( cos t sen t R R cos t R sen t ( cos t sen t R Por lo tnto, el ojeto descre un curv que es un crcunerenc. L constnte dentro del rgumento de l uncón ngulr dee tener unddes del nverso del tempo, por lo tnto es l velocdd ngulr con l cuál se recorre est trector. B d d ( R cost v Rsen( t d d ( Rsent v R cos( t Elevndo l cudrdo ls v v Rsen( t componentes de l velocdd: R cos( t v v R sen ( t R cos ( t Como ( cos t sen t Como l mgntud de l velocdd es: Por lo tnto: Pr clculr l dreccón emplemos l órmul v tn : v tn v v r v tn ( ( v v R r v v v v v R R R cos( t tn Rsen( t cos( t sen( t
6 Hoj de Trjo C dv d ( R sen t R cos( t dv d ( R cos t R sen( t Elevndo l cudrdo ls componentes de l R cos( t R sen( t celercón: R cos ( t R sen ( t Como ( cos t sen t Como l mgntud de l celercón es: Por lo tnto: Pr clculr l dreccón emplemos l órmul tn : tn r ( ( tn R r R R R sen( t tn R cos( t sen( t cos( t Ejemplo 7. Como prte de un nspeccón de mntenmento, se hce que el compresor de un motor de propulsón chorro gre de cuerdo con l grác mostrd. Cuánts revolucones complet el compresor durnte l prue? Solucón. H clrmente tres etps derentes en l grác. Etp A: Velocdd ngulr 0 rev / mn en 0 mn t 3000 rev / mn en mn t L velocdd promedo l clculmos con: Acelercón ngulr 3000 rev / mn 0 rev / mn t t mn 0 mn A promedo ( 3000 rev / mn 6
7 Hoj de Trjo Etp B: Velocdd ngulr 3000 rev / mn en mn t 3000 rev / mn en 3. mn t L velocdd promedo es: Etp C: Velocdd ngulr 3000 rev / mn en 3. mn t 0 rev / mn en t mn L velocdd promedo es: Pr clculr el número de revolucones que d el sstem podemos usr l sguente epresón: Etp A: Etp B: Etp C: El número totl de revolucones que d el sstem es l sum de ls tres etps: ( 0 rev / mn 3000 rev / mn 00 rev / mn A promedo Acelercón ngulr 3000 rev / mn 3000 rev / mn t t 3. mn mn B C 0 rev / mn ( 3000 rev / mn 3000 rev / mn 3000 rev / mn B promedo t Acelercón ngulr 0 rev / mn 3000 rev / mn t mn 3. mn 000 rev / mn ( 3000 rev / mn 0 rev / mn 00 rev / mn C promedo ( t t ( t t promedo (0 0 (00 rev / mn (3000 ( mn 0mn ( mn 0 rev / mn mn 00 rev 00 rev 3000 rev 3000 rev (3000 rev / mn 3. mn mn ( 3. mn rev / mn mn ( 000 rev / mn mn ( mn 3. ( 3000 rev 700 rev 000 rev 000 rev (00 rev / mn mn 3. mn ( 000 rev 0 rev 00 rev Tot 3000 rev 000 rev As( 00 rev 8000 rev De ls cules 00 son en sentdo contrro, es decr por descelercón. 7
8 Hoj de Trjo Ejemplo 8. Encontrr el momento ngulr de l Terr en torno su eje de rotcón, 6 suponendo que se trt de un eser unorme cuo rdo es R m,.98 0 kg. Solucón. Dentro de l promcón consderd, el momento ngulr de l Terr es: L L nerc rotconl pr un eser es R, por lo tnto: R L L 6 ( 0 kg( m.98 L 6 ( 0 kg( m.98 π T Aquí hemos escrto π, donde T es el perodo de rotcón, por lo tnto: T L π 6 (.98 0 kg( m T 6 (.98 0 kg( m kg m s L π / 3600s h h 33 L kg m / s Ejemplo 9. Pruee que pr hcer que un ol de llr ruede sn reslr se dee R golper con un tco, ectmente un ltur de por encm del centro de l ol. Solucón. Consderemos l stucón mostrd en l gur: 8
9 Hoj de Trjo Aplcndo ls condcones del equlro mecánco: Por lo tnto F F m Con respecto l dstnc h tenemos: τ z z Fh R Un condcón pr que l ol ruede sn deslzrse es que: R El sgno negtvo corresponde l hecho de que en el eje un celercón lnel dee ser postv de tl mner que l celercón ngulr se negtv, de cuerdo con el reerencl doptdo. Por lo tnto, s susttumos: Susttuendo F R h F R h B. ACTVDAD NDVDUAL. Entregr un reporte vrtul l correo electrónco del proesor del udnte, contenendo l ntegrcón de los conocmentos construdos en est ctvdd, que consste en: El mp conceptul ndvdul, los elementos que se hn do gregndo en cd punto. El mp conceptul del equpo. Ls respuests personles. c Ls portcones del equpo. 9
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