Resolución de problemas de optimización con ayuda de la calculadora gráfica.

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Adrián Reyes Cáceres
hace 7 años
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Autor: José Manuel Jiménez Cobano Correo: jmjcobano@gmail.com D.N.I.: 14317912-K Palabras Clave: Calculadora gráfica, nuevas tecnologías, matemáticas, problemas, aplicaciones.

1 Autor: José Manuel Jiménez Cobano Correo: D.N.I.: K Palabras Clave: Calculadora gráfica, nuevas tecnologías, matemáticas, problemas, aplicaciones. Resumen Este pequeño artículo, solo trata de mostrar cómo sacar el máximo partido a las nuevas tecnologías, y en particular a las calculadoras gráficas, mediante un ejemplo de resolución de problemas de optimización. Resolución de problemas de optimización con ayuda de la calculadora gráfica. 1. Introducción. Dentro del currículo de Matemáticas en el bachillerato, aparece como uno de los puntos fundamentales el estudio de las derivadas de una función, y sus aplicaciones. Es el estudio de los problemas de optimización, uno de los puntos donde más claramente se ve la utilidad práctica de la derivación de funciones, donde los estudiantes ven sentido práctico a toda la teoría que se les enseña, y que al principio no comprenden.

2 En este sentido, con las nuevas tecnologías es fácil ayudar a la resolución de este tipo de problemas, y a la comprensión de los mismos. Y más concretamente, con la ayuda de las calculadoras gráficas, los estudiantes pueden ver y tocar aquello de lo que se les está hablando, pues ven una representación gráfica de su trabajo. 2. Desarrollo de los contenidos. La teoría de los problemas de optimización es simple, pues a partir de la teoría de la derivación, se tiene que el máximo o el mínimo de una función se encuentran en los ceros de su primera derivada. A partir de ahí, podemos concluir que para resolver este tipo de problemas, es necesario tener claro dos cosas: Conocer las reglas de derivación de una función, por compleja que esta sea. Determinar correctamente la función a optimizar, esto suele ser lo más complicado, pues requiere se mayor abstracción. De esos dos puntos, las nuevas tecnologías puedes ayudarnos de forma muy interesante en la primera, ya que puede resolver derivaciones y ecuaciones, así como representar las funciones, de forma que podamos ver gráficamente, que el extremo de la función coincide exactamente con el cero de la derivada de la función. Toda esta teoría me resulta demasiado extensa para incluirla en este articulo, pero aquel lector que esté interesado existe una gran bibliografía que puede consultarse, como ejemplo, véanse las referencias [1], [2] y [3] de la bibliografía, donde [3] es de un nivel universitario, mientras que [1] y [2] son de nivel de bachillerato. 3. Desarrollo del ejemplo. Para ilustrar este articulo, hemos elegido un problema de optimización, el cual vamos a resolver con ayuda de un emulador de calculadora gráfica, más concretamente la calculadora ClassPad de Casio.

3 En cuanto a la utilización de esta herramienta, evidentemente, no es la única calculadora que ofrece estas prestaciones, y el único software que lo hace. Además, existen distintos cursos formativos, y una gran bibliografía acerca de cómo utilizar esta calculadora, véanse la referencia [5]. El estudio lo dividiremos en dos, la parte analítica, aquella que los estudiantes pueden realizar a mano, pero que con esta calculadora, agilizan los cálculos; y la parte gráfica, donde se ve claramente la coincidencia del extremo de la función con el cero de la derivada de la función. El enunciado del problema es: Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal? 3.1. Desarrollo analítico. Para la realización de este ejercicio, los alumnos, deben de conocer previamente las fórmulas de volumen y superficie lateral de un cilindro. Así, el volumen de un cilindro es: 2 A= 2πr + 2πrh = 2πr ( r + h) utilizar el menor metal posible. V = πr 2 h, y del área lateral,, donde es esta última la que debemos optimizar, para Dado que sabemos que el volumen ha de ser un litro, podemos plantear la siguiente ecuación, 1 = πr 2 h, y despejando una de las dos variables, por ejemplo la h, 1 para evitar las raíces, tenemos: h =. 2 πr A = Si sustituimos este valor de h, en la expresión del área, quedaría: 1 2πr r + πr 2 Veamos las pantallas del cálculo analítico.

4 3.2. Representación gráfica: Ahora veremos cómo estos cálculos los podemos representar en la herramienta gráfica. Puede apreciarse, como el mínimo de la función coincide con el cero de la derivada.

5 Ahora, utilizaremos las herramientas gráficas para el cálculo del extremo del área, y del cero de la derivada. Primeramente veremos el mínimo de la función.

6 Por último, vemos el cero de la función derivada. Como puede apreciarse, el valor de la x es el mismo para la derivada como para la función Actividades propuestas: En cuanto a las actividades propuestas, existe una amplia colección de problemas de optimización, tanto en libros de texto, como en páginas web, por recomendar alguna, veamos esta de donde hemos extraído los siguientes enunciados: 1. Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

7 2. Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo? 3. Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal? 4. Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo. 5. Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima. 6. Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm. 7. Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m 3, su altura 1 m y el coste de su construcción por m 2 es de 50 para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral. 8. Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo. 9. Una hoja de papel debe tener 18 cm 2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel. 10. El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función: B(x)= 1.2x (0.1x) 3 donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.

8 1. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio. 2. El beneficio máximo correspondiente a dicha producción. 11. Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular: 1. La producción actual de la huerta. 2. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más. 3. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más. 4. Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima? 12. Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área. 4. Evaluación: Como toda actividad que se realice en el aula, esta debe ser evaluada, y en este sentido, considero que los criterios de evaluación han de ser los siguientes: Encontrar la función a optimizar. Hallar la derivada y resolver la ecuación resultante, para lo que puede apoyarse en el uso de la calculadora. Discusión razonada de los resultados analíticos, frente a los resultados gráficos. Con este último criterio, lo que realmente buscamos, es que el estudiante sea capaz de comprender que significa un extremo, y porque coincide con el cero de la derivada. 5. Bibliografía. [1]. Matemáticas 1º Bachillerato, Col. La Casa del Saber, Ed. Santillana. [2]. Análisis Matemático, Rey Pastor. [3]. Análisis Matemático, Apostol.

9 [4]. Calculus, Spivak. [5].

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