5 BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO

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1 5 BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 5. INTRODUCCIÓN Las cuacons dsarrolladas n l Capítulo 3 han prmtdo dducr l dsplazamnto volumétrco n funcón dl ángulo, y n conscunca, l caudal nstantáno dsd l punto d vsta tórco habda cunta qu s apoya n la dscrón gométrca d los prfls d las rudas dntadas dl ngranaj. El comportamnto ral d una bomba s un procso dnámco más compljo qu la smpl volucón dl volumn d las cámaras. La prsnca d fugas d fludo ntr los dfrnts componnts qu consttuyn una bomba, la comprsbldad dl fludo y la nrca d las masas d fludo n movmnto modfcan sustancalmnt l comportamnto dfndo n l Capítulo 3 provocando qu l caudal nstantáno ral s apart consdrablmnt dl caudal nstantáno dducdo d forma gométrca. El objtvo d st capítulo s proponr, plantar y analzar l comportamnto ral d la bomba grotor mdant las técncas d modlado y smulacón basadas n parámtros dscrtos. Por varas razons qu s xpondrán a contnuacón, la smulacón s ralzará mdant la técnca d BondGraph y la ntgracón d las cuacons d stado mdant l softwar comrcal -SIM. A partr d los 9 s produc un cambo n la manra d ntndr la rlacón tcnología y softwar. El cambo ha sdo motvado por los usuaros, lo cuals rqurn: (a) La smulacón d sstmas compljos multdscplnars (b) La programacón avanzadas orntadas al objto (c) Softwar para la rsolucón d sstmas dfrncals algbracos (d) La computacón smbólca () Métodos gráfcos avanzados Dbdo a la compljdad dl propo funconamnto fludodnámco d la bomba grotor, s ha d afrontar mdant una modlzacón basada n la smulacón físca. La modlzacón d una smulacón físca pud fundamntars n un procdmnto consstnt n dvdr l sstma n los corrspondnts subsstmas qu ntracconan ntr sí n los nodos d conxón d forma qu xplqun su comportamnto. Cada subsstma ha d prsntar l númro d nvls qu rprsntn l sstma físco d forma qu l nvl nfror stá ntgrado por los lmntos báscos qu s agrupan para formar un subsstma d nvl supror. Fnalmnt, l modlo complto s obtn agrupando los subsstmas. Sgún Bronnk (Bronnk, 999), s dbn cumplr dos condcons para garantzar qu los submodlos san acoplabls:. Los purtos d conxón ntr submodlos dbn star dfndos como pars d varabls. El uso d pars d varabls conjugadas n potnca hac qu las conxons

2 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO san físcas, como por jmplo par-vlocdad y prsón-caudal.. Los submodlos han d star scrtos n stlo dclaratvo, s dcr, stablcndo rlacons y no procdmnto para computar. Esta dscrón tambén s dnomna causal. Los submodlos s han d dscrbr aplcando cuacons d consrvacón, aunqu tambén pud sr ncsaro dscrbr las propdads d los lmntos usados. El sstma d cuacons s obtn a través d la combnacón d las cuacons d los submodlos y d los purtos d conxón. Esto conduc, naturalmnt, a las cuacons dfrncals algbracas (EDAs). La técnca d BondGraph s l únco método qu contmpla l flujo d nrgía, y qu por tanto, s dal para la smulacón d sstmas y componnts olohdráulcos dado qu valora nstantánamnt la volucón tmporal dl producto prsón-caudal n cualqur punto. Est método, acompañado d un bun softwar d ntgracón numérca, prmt afrontar problmas d caráctr no lnal d rlatva compljdad para alcanzar los rtos d la smulacón físca. La técnca d BondGraph prmt añadr compljdad a un modlo mdant la ncorporacón d nuvos lmntos o subsstmas d forma progrsva. Una d las vrtuds d BondGraph s su vrsatldad, porqu prmt modfcar la structura dl sstma d forma rápda y crtra, l cual s muy útl dsd l punto d vsta d dsño. Partndo d sta bas, s posbl tratar un sstma sncllo y rfnarlo progrsvamnt hasta transformarlo n un modlo lo sufcntmnt xacto al sstma consdrado. Tomando n consdracón las caractrístcas dl softwar comrcal dsponbl para smulacón, d la bblografía consultada admás d otras consdracons tangbls, s ha consdrado utlzar l softwar -SIM. -SIM s un programa qu prmt sparar los dfrnts domnos tcnológcos n submodlos ndpndnts. Est paqut d softwar fu dsarrollado n 995 n l Laboratoro d Control d la Unvrsdad d Twnt (Holanda) como sucsor dl paqut TUTSIM. Dspués d un xtnsvo xamn, n Agosto d 995, la vrsón. d CAMAS fu comrcalmnt lbrada bajo l nombr d -SIM, cuya últma vrsón tn orgn n varos prototpos (MA, CAMAS y TUTSIM). -SIM usa varos algortmos d ntgracón avanzada. Prmt crar submodlos y combnarlos para formar un modlo compljo. Utlza l sstma d modlado a través d dagramas d conos, BondGraphs y cuacons, y prmt una ntraccón crrada con MATLAB y SIMULINK. Comprnd cajas d hrramntas para la optmzacón d parámtros, gnracón d códgo ANSI-C, lnalzacón, anmacón gráfca y anmacón 3D. La últma vrsón s - SIM 3.4 con la cual s ha trabajado n la prsnt tss. Las razons qu ndujron a utlzar st programa han sdo las sgunts: -SIM stá basado n BondGraph, l cual s una hrramnta muy ntractva qu proporcona un modlo común para los dfrnts campos d la técnca mdant la rprsntacón gráfca d sus componnts y sus ntrrlacons La vrsatldad d la técnca d BondGraph El dpartamnto tn lcnca para uso dl softwar y xprnca n su uso dsd nco d los 9 Exst otro softwar, AMEsm, qu podría habr sdo tndo n cunta para la smulacón dnámca llvada a cabo n la prsnt tss. AMEsm tambén fundamnta n l método d BondGraph. AMEsm fu dsarrollado por IMAGINE (Mchl Lbrun 987) n 995. AMEsm ha sdo capaz d captalzar los conocmntos mcáncos hdráulcos, así como l modlado y dsño d sstmas compljos. Prvo al dsarrollo d AMEsm, IMAGINE usó para modlar y smular sus studos d consulta usando Advancd Contnuous Smulaton Languag (ACSL). ACSL s una potnt pro no muy ntractva hrramnta ddcada al modlado d sstmas

3 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO dnámcos. En 995, IMAGINE romp la barrra ntr l usuaro d softwar y sus promotors crando AMEsm. Exstn razons qu han llvado al autor d la prsnt tss ha dcdrs por -SIM frnt a AME-sm: Las prstacons d AMEsm no son rqurdas n xplotadas n l prsnt trabajo. El conocmnto d la técnca d BondGraph y d los métodos numércos prmt la cracón propa d todos los modlos y submodlos La xprnca dl dpartamnto con la técnca d BondGraph y l softwar _SIM La possón d lcnca para l uso dl softwar -SIM La posbldad d contrastar ambos softwar habda cunta qu Nrvgna y su qupo d trabajo han logrado con AMEsm n sus smulacons 5. MODELIZACIÓN FLUIDODINÁMICA DE LA BOMBA GEROTOR En st apartado s prsnta la modlzacón fludodnámca qu s va a llvar a cabo d la bomba grotor. La modlzacón s ralza d forma progrsva y la structura s: Part A. Submodlo d una Cámara o Nvl Infror o Nvl Intrmdo o Nvl Supror Part B. Modlo Idal Part C. Modlo Complto 5.3 SUBMODELO DE UNA CÁMARA PARTE A El modlo dl ngranaj d prfls trocodals part dl submodlo d una cámara. El submodlo d una cámara s ha dsarrollado n trs ss: Prmra Fas. S dsarrolla l nvl nfror básco dl submodlo confgurado por los lmntos báscos qu dscrbn l sstma físco d una cámara gnérca dl ngranaj. Sgunda Fas. Sobr l nvl nfror básco, s dsarrollan los conscutvos nvls ntrmdos, n l qu cada nuvo nvl aporta una dscrón más dtallada dl sstma físco d una cámara gnérca dl ngranaj y su ntraccón con los componnts d la bomba. Trcra Fas. El submodlo stá complto y su nvl supror s dsarrollado para l nsamblaj y conxón con l rsto d submodlos y formar l modlo d smulacón fludodnàmca d la bomba grotor. El submodlo d una cámara d BondGraph s cntrará n la modlzacón d una cámara gnérca V k habda cunta qu su prncpo d funconamnto s basa n l prncpo d dsplazamnto volumétrco postvo. Esto sgnfca modlzar a dfrnts nvls l submodlo d la cámara:

4 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO a. Nvl Infror Básco. S modlza la varacón dl volumn d la cámara gnérca V k para un rotacón complta d la ruda dntada xtror dsd la poscón d rfrnca (Fgura 5.) b. Nvls Intrmdos. S modlza la ntraccón d la varacón dl volumn d la cámara gnérca V k con las zonas sífcas y frontras d crculacón dl fludo para un rotacón complta d la ruda dntada xtror dsd la poscón d rfrnca. c. Nvl Supror. S modlza l nsamblaj y conxonado d los submodlos d cada cámara ntr sí. Y y ω = º V (N-)/ P (N-)/ V P χ (N-)/ V (N+)/ P (N+)/ ρ (N-)/ (O P ) (N-)/ ρ (O P ) χ χ V I y O O ρ (O P ) P x x P (N+3)/ V N V (N+3)/ P N V N- Fgura 5.. Poscón y sntdo d rotacón d rfrnca para l studo dl volumn y su varacón dsd la Fgura 3.9 dl Capítulo SUBMODELO DE UNA CÁMARA. NIVEL INFERIOR BÁSICO. El prmr nvl a dsarrollar s l nvl nfror básco dl submodlo d una cámara n BondGraph sndo l objtvo la modlzacón d la varacón dl volumn d la cámara gnérca V k para un rotacón complta d la ruda dntada xtror dsd la poscón d rfrnca (Fgura 5.). El nvl nfror básco dl submodlo d la cámara s mustra n BondGraph 5.. S s concntra l studo n la cámara dnomnada V, los lmntos d BondGraph tnn su corrspondnca n la sgunt Tabla

5 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 3 S_sal_cam S sal_cam MR MR_sal_cam Sf_w Sf TF w_w MTF C camara nt_cam MR MR_nt_cam S_nt_cam BondGraph 5.. BondGraph dl nvl nfror básco d modlzacón dl submodlo d la cámara S Concpto Símbolo Dnom. Varabl Entrada Gnrador d Sf_w Sf Funt Vlocdad vlocdad d d flujo rotacón rotacón ω& Varabl Salda Par motor M Rprsnta Vlocdad d rotacón ruda dntada ntror ω& Rlacón d transmsón TF w_w Transf.. Vlocdad rotacón ω& Par motor M Vlocdad rotacón ω& Par motor M D vlocdad d rotacón ruda dntada ntror ω& a xtrorω& Prncpo Dsplazamnto Volumétrco Prncpo Consrvacón Masa MTF Transf. modulado Nodo Vlocdad rotacón ω& Prsón P C Caudals Q MTF- Q -_sal Caudal Instant. Q C Par motor M Caudal Q C- Transformacón modulada por varacón dl volumn d la cámara rsto al ángulo d gro dvc c. (3.) dα Sumatoro d caudals gual a cro y prsón gual Q _nt- Prsón P C- Prsón n cámara Comprsbldad dl fludo Balanc d Prsons C camara Elmnto Capactvo nt_cam Nodo Caudal Q -C Prsons P S_nt-_nt P _nt- Caudal Q MR_nt-_nt P C Prsón n cámara P C Prsón P _nt-mr_nt Caudal Q MR_nt-_nt Capacdad hdráulca d la cámara Sumatoro d prsons gual a cro y caudal gual

6 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 4 Concpto Símbolo Dnom. Varabl Entrada Caudal a través MR MR_nt_cam Rsstnca Dfrnca d un orfco Modulada Prsón varabl P Balanc d Prsons sal_cam Nodo Prsons P -_sal P _sal-s_sal Caudal Q MR_sal-_sal Varabl Salda Caudal Q MR_nt-_nt Prsón P _sal-mr_sal Caudal Q MR_sal-_sal Rprsnta Rsstnca modulada por la varacón dl ára d la zona d aspracón A za c.( 5. ) Sumatoro d prsons gual a cro y caudal gual Caudal a través d un orfco varabl MR MR_sal_cam Rsstnca Modulada Dfrnca Prsón P Caudal Q MR_sal-_sal Rsstnca modulada por la varacón dl ára d la zona d mpulsón A z c.( 5. ) Prsón n la S Funt Prsón Caudal Condcón d Zona d d sfurzo P nt Q MR_nt-_nt contorno d prsón S_nt_cam Aspracón n la zona d aspracón Prsón n la S_sal_cam Funt Prsón Caudal Condcón d Zona d S d sfurzo P sal Q MR_sal-_sal contorno d prsón Impulsón n la zona d mpulsón Tabla. Corrspondnca físca dl nvl nfror básco dl submodlo d cámara d lmntos BondGraph 5.5 SUBMODELO DE UNA CÁMARA. NIVEL INTERMEDIO DE MODELIZACIÓN DE ÁREAS DE ZONA DE ASPIRACIÓN E IMPULSIÓN El sgunt nvl a dsarrollar dl submodlo d una cámara s l nvl ntrmdo d modlzacón d las áras d la zona d aspracón mpulsón, sndo l prmr nvl supror al nvl nfror básco dl submodlo d una cámara. Est nvl aporta la modlzacón d la ntraccón d la varacón dl volumn d la cámara gnérca V k con las zonas sífcas y frontras d crculacón dl fludo para un rotacón complta d la ruda dntada xtror dsd la poscón d rfrnca. S s concntra d nuvo l studo d BondGraph a la cámara dnomnada V (BondGraph 5.), los lmntos d BondGraph qu modlzan st nvl tnn su corrspondnca n la Tabla. S_sal_cam S angulo varvolum sal_cam MR_sal_cam ara_zona_mp Sf_w Sf TF w_w w MTF C camara nt_cam MR_nt_cam ara_zona_asp S S_nt_cam Volum BondGraph 5.. BondGraph dl nvl ntrmdo d modlzacón d la zona d aspracón mpulsón dl submodlo d la cámara

7 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 5 Cámara V BondGraph nvl ntrmdo d modlzacón d la zona d aspracón mpulsón Modlzacón Elmnto Físco Símbolo Dnomnacón Dscrón ω& Nudo w Vlocdad d rotacón n sntdo contraro a las agujas dl rloj rlatvo d la ruda dntada xtror rsto dl sstma d coordnadas d rfrnca absoluto -Y K K ω dv C dα c. (3.) V ( α ) c. (3.) za z = C A d za c.( 5. ) = C A d z c.( 5.3 ) C camara c.( 5.4 ) A za c.( 5. ) ρ ρ angulo varvolum Volum MR_nt_cam MR_sal_cam C camara ara_zona_asp Funcón matmátca Modlo matmátco Intgracón d la varacón d volumn d la cámara Modlo matmátco Modlo matmátco Capacdad modulada Modlo matmátco Ángulo d gro n sntdo contraro a las agujas dl rloj rlatvo d la ruda dntada xtror rsto dl sstma d coordnadas d rfrnca absoluto -Y para cada vulta Varacón dl volumn d la cámara rsto al ángulo d gro Volumn d la cámara Rsstnca modulada por la varacón d la sccón fctva dl flujo n la zona d aspracón A za c.( 5. ) Rsstnca modulada por la varacón d la sccón fctva dl flujo n la zona d mpulsón A z c.( 5. ) Capacdad hdráulca modulada d la cámara Sccón fctva d la lumbrra qu comunca la cámara con la zona d aspracón A z c.( 5. ) ara_zona_mp Modlo matmátco Sccón fctva d la lumbrra qu comunca la cámara con la zona d mpulsón Tabla. Corrspondnca físca dl nvl ntrmdo d modlzacón d la zona d aspracón mpulsón dl submodlo d la cámara d lmntos BondGraph En l apartado sgunt s van a dfnr los modlos matmátcos d los lmntos d BondGraph dl nvl ntrmdo d modlzacón. 5.6 MODELOS MATEMÁTICOS DE LOS ELEMENTOS DE BONDGRAPH DEL NIVEL INTERMEDIO DE MODELIZACIÓN DE LAS ÁREAS DE LA ZONA DE ASPIRACIÓN E IMPULSIÓN A contnuacón s dsarrollan los modlos matmátcos qu ntgran los lmntos dl BondGraph dl nvl ntrmdo d modlzacón d las áras d la zona d aspracón mpulsón dl submodlo d una cámara gnérca.

8 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO Elmnto ángulo Elmnto angulo Est lmnto stá dfndo por una funcón matmátca qu gnra una funcón n dnt d srra dl ángulo d gro d la ruda dntada xtror a partr d la vlocdad d rotacón. ω = π ω dt & ( 5. ) 8 Modlo Fludodnámco Bomba Grotor (,5 rpm;5 bar) Ángulo [rad] Tmpo [sg] Fgura 5.. Elmnto ángulo 5.6. Elmnto varvolum Elmnto varvolum Est lmnto stá dfndo por la varacón dl volumn n la cámara dv dα C cuacón ( 3. ). -6 Modlo Fludodnámco Bomba Grotor (,5 rpm;5 bar) 5-7 Varacón Volumn [cm3/rad] Tmpo [sg] Fgura 5.3. Elmnto varvolum

9 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO Elmnto MTF Elmnto MTF Est lmnto stá dfndo por la cuacón qu dtrmna l caudal nstantáno d una cámara Q c mdant la cuacón ( 3.9 ). Modlo Fludodnámco Bomba Grotor (,5 rpm;5 bar) 5 Caudal MTF [cm3/sg] Tmpo [sg] Fgura 5.4. Elmnto MTF Elmnto Volum Elmnto Volum Est lmnto stá dfndo por la funcón matmátca qu ntgra la varacón dl volumn d una cámara..6 Modlo Fludodnámco Bomba Grotor (,5 rpm;5 bar).4. Volumn [cm3] Tmpo [sg] Fgura 5.5. Elmnto Volum

10 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO Elmnto MR_nt_cam Elmnto MR_nt_cam Est lmnto stá dfndo por la cuacón qu dtrmna l caudal a través d la lumbrra qu comunca la cámara con la zona d aspracón y s xprsa d la forma, K Q za = C A d MR _ nt _ cam za = K za ρ ( 5. ) dond C D s l cofcnt d dscarga A s l ára dl orfco, sndo n st caso l ára d la zona d aspracón za ρ s la dnsdad dl fludo P s la varacón d prsón ntr la cámara n studo y la cámara antror P 8 Modlo Fludodnámco Bomba Grotor (,5 rpm;5 bar) 7 6 Caudal MR_nt_cam [cm3/sg] Tmpo [sg] Fgura 5.6. Elmnto MR_nt_cam Elmnto MR_sal_cam Elmnto MR_sal_cam Est lmnto stá dfndo por la cuacón qu dtrmna l caudal a través d la lumbrra qu comunca la cámara con la zona d mpulsón y s xprsa d la forma, K Q z = C A d MR _ sal _ cam z = K z ρ ( 5.3 ) dond, z A s l ára dl orfco, sndo n st caso l ára d la zona d mpulsón P s la varacón d prsón ntr la cámara n studo y la cámara postror P

11 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 9 8 Modlo Fludodnámco Bomba Grotor (,5 rpm;5 bar) 7 6 Caudal MR_sal_cam [cm3/sg] Tmpo [sg] Fgura 5.7. Elmnto MR_sal_cam Elmnto C Elmnto C camara Est lmnto stá dfndo por la cuacón qu dtrmna la varacón d la cantdad d fludo como conscunca d la comprsbldad dl fludo, ncluda la varacón gométrca dl volumn d la cámara. P = C C camara = ( ) camara V α β Q dt ( 5.4 ) Elmntos ara_zona_asp y ara_zona_mp Elmntos ara_zona_asp ara_zona_mp Estos lmntos stán dfndos por las cuacons qu dtrmnan la varacón d las sccóns fctvas d las lumbrras qu comuncan la cámara a la zona d aspracón mpulsón (A za, A z ). El dsarrollo d obtncón d stas cuacons s mustra a contnuacón Zonas Esífcas y Frontras d Crculacón d Fludo En un dtrmnado ángulo d la rotacón complta dl conjunto dl ngranaj, la varacón dl volumn d las cámaras cra una zona d aspracón mntras qu n otro dtrmnado ángulo cra una zona d mpulsón. La varacón d volumn d las cámaras stancas pud sr studada n cuatro zonas n una rotacón complta dl ngranaj dnomnadas zonas sífcas d fludo (Fgura 5.8). Zona Aspracón. En sta zona, las cámaras stancas van aumntando su suprfc a mdda qu la poscón d los puntos d contacto varía dbdo a la rotacón dl conjunto dl

12 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO ngranaj. Est aumnto d su ára, y n conscunca su volumn, cra una dprsón qu produc la ntrada dl fludo d trabajo haca la cámara, llnándola. Zona Impulsón. En sta zona, las cámaras stancas van dsmnuyndo su suprfc a mdda qu la poscón d los puntos d contacto varía dbdo a la rotacón dl conjunto dl ngranaj. Esta dsmnucón d su ára y n conscunca su volumn, da lugar a un dsplazamnto volumétrco dl fludo, vacándola. Zona Ára Máxma. En sta zona, las cámaras alcanzan su suprfc máxma gnrada por la poscón d los puntos d contacto n la rotacón dl conjunto dl ngranaj. Cuando s alcanza la poscón d ára máxma, y dbdo a la poscón d las lumbrras, no s produc n aspracón n mpulsón d fludo d trabajo qudando la cámara compltamnt aslada. Zona Ára Mínma. En sta zona, las cámaras alcanzan su suprfc mínma gnrada por la poscón d los puntos d contacto n la rotacón dl conjunto dl ngranaj. Cuando s alcanza la poscón d ára mínma, y dbdo a la poscón d las lumbrras, no s produc n aspracón n mpulsón d fludo d trabajo qudando la cámara compltamnt aslada. Foto 5.. Ranuras y cavdads sobr la carcasa d la bomba zona ára mínma zona mpulsón salda zona mpulsón a O O zona aspracón P P válvula lmtadora d prsón ntrada zona aspracón va d rcrculacón zona ára máxma Fgura 5.8. Zonas sífcas y frontras d crculacón d fludo

13 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO Las cuatro zonas sífcas d fludo qudan dfndas tórcamnt por la gomtría y la cnmátca dl ngran dl conjunto dl ngranaj. Constructvamnt, las cuatro zonas qudan afctadas, por las ranuras y cavdads mcanzadas n la carcasa d la bomba. Estas ranuras y cavdads forman part d colctors d las zonas d aspracón mpulsón. Por un lado, la zona d aspracón stá formada por una ranura mcanzada sobr la carcasa, d gomtría tal qu concta todas las cámaras qu n s momnto s ncuntrn ntr las zonas d ára mínma y máxma. Por otro lado, la zona d mpulsón stá formada por una ranura mcanzada sobr la carcasa, d gomtría tal qu concta todas las cámaras qu n s momnto s ncuntrn ntr las zonas d ára máxma y mínma. El llnado y vacado d las cámaras s llva a cabo mdant las ranuras mcanzadas sobr la carcasa. La dfncón gométrca d las cuatro zonas s dtrmna mdant cuatro frontras, dnomnadas frontras d crculacón d fludo, marcada por los dos puntos d contacto d ára máxma y los dos puntos d contacto dl ára mínma n una rotacón complta dl conjunto dl ngranaj. Para una mjor comprsón d su funconamnto, s partrá d la cámara d máxma ára qu s ncuntra aslada ntr las zonas d aspracón mpulsón (Fgura 5.8). Los puntos d contacto qu hacn stanca la cámara n su poscón d máxma ára s dnomnan P para l qu aísla la cámara d la zona d aspracón y P para l qu aísla la cámara d la zona d mpulsón. Las frontras d crculacón d fludo s dfnn partndo d la zona d ára máxma sgundo la scunca sgunt (Fgura 5.9), Zona Ára Máxma. La cámara qu prsnta l ára máxma stá aslada d la zona d aspracón por l punto d contacto P y d la zona d mpulsón por l punto d contacto P rprsntado n la Fgura 5.9(a). Frontra Inco Impulsón. Cuando l punto d contacto qu aísla la cámara d la zona d mpulsón P cruza sta frontra dbdo a la rotacón dl conjunto dl ngranaj, la cámara dja d star aslada ntr la zona d mpulsón y aspracón. En st momnto, la cámara mpza a star xpusta a la zona d mpulsón d manra qu su ára stá stuada ntr la zona d mpulsón y la zona d ára máxma. S cra una sccón d flujo rstrngdo para l vacado d la cámara dbdo a la frontra d nco d mpulsón, rprsntado n la Fgura 5.9(b). 3 Zona Impulsón. Cuando l punto d contacto P alcanza la frontra d nco d mpulsón dbdo a la rotacón dl conjunto dl ngranaj, toda la cámara s ncuntra compltamnt xpusta a la zona d mpulsón para su vacado dbdo a la dsmnucón dl volumn qu va sufrndo la cámara n la rotacón dl conjunto dl ngranaj, rprsntada n la Fgura 5.9(c). Esta stuacón s prolonga hasta qu l punto d contacto P alcanza la frontra d fn d mpulsón f rprsntada n la Fgura 5.9(d). 4 Frontra Fn Impulsón f. Cuando l punto d contacto P cruza sta frontra dbdo a la rotacón dl conjunto dl ngranaj, la cámara dja d star compltamnt xpusta a la zona d mpulsón. En st momnto, la cámara mpza a star xpusta ntr la zona d mpulsón y zona d ára mínma. S cra una sccón d flujo rstrngdo para l vacado d la cámara dbdo a la frontra d fn d mpulsón f, rprsntado n la Fgura 5.9(). 5 Zona Ára Mínma. Cuando l punto d contacto P s stúa sobr la frontra d fn d mpulsón f y l punto d contacto P s stúa sobr la frontra d nco d aspracón a, n st momnto la cámara stá aslada y prsnta l ára mínma, rprsntada n la Fgura 5.9(f). 6 Frontra Inco Aspracón a. Cuando l punto d contacto qu aísla la cámara d la zona d aspracón P cruza sta frontra dbdo a la rotacón dl conjunto dl ngranaj, la cámara dja d star aslada ntr la zona d aspracón mpulsón. En st momnto, la cámara mpza a star xpusta a la zona d aspracón d manra qu su ára stá stuada ntr la zona d aspracón y la zona d ára mínma. S cra una sccón d flujo

14 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO rstrngdo para l llnado d la cámara dbdo a la frontra d nco d aspracón a, como s rprsnta n la Fgura 5.9(g). (a) (b) (c) a f a f a f O O O O O O P P P P P P P (d) () (f) P f f a a P P P a P f O O O O O O (g) (h) () P P a f P a f a f P O O O O O O P (j) (a) P a f a f O O O O P P P P Fgura 5.9. Scunca d xposcón dl ára d la cámara rsto las zonas sífcas y frontras d crculacón dl fludo 7 Zona Aspracón. Cuando l punto d contacto P alcanza la frontra d nco d aspracón a dbdo a la rotacón dl conjunto dl ngranaj, toda la cámara s ncuntra compltamnt xpusta a la zona d aspracón para su llnado dbdo al aumnto dl volumn qu va sufrndo la cámara n la rotacón dl conjunto dl ngranaj, rprsntada

15 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 3 n la Fgura 5.9(h). Esta stuacón s prolonga hasta qu l punto d contacto P alcanza la frontra d fn d aspracón rprsntada n la Fgura 5.9(). 8 Frontra Fn Aspracón. Cuando l punto d contacto P cruza sta frontra dbdo a la rotacón dl conjunto dl ngranaj, la cámara dja d star compltamnt xpusta a la zona d aspracón. En st momnto, la cámara mpza a star xpusta ntr la zona d aspracón y la zona d ára máxma. S cra una sccón d flujo rstrngdo para l llnado d la cámara dbdo a la frontra d fn d aspracón, como s rprsnta n la Fgura 5.9(j). 9 Zona Ára Máxma. Cuando l punto d contacto P s stúa sobr la frontra d fn d aspracón y l punto d contacto P s stúa sobr la frontra d nco d mpulsón, n st momnto la cámara stá aslada y prsnta l ára máxma, rprsntada n la Fgura 5.9(a). En st punto, s ha compltado una rotacón complta dl ngranaj y mpza l cclo d nuvo volvndo al punto Puntos d Contacto y Ángulos d Zona Dspués d comprndr la xposcón dl ára d las cámaras a las zonas sífcas y frontras d crculacón dl fludo, s ncsaro dfnrlas gométrcamnt mdant sus ángulos d rfrnca, dnomnados ángulos d zona χ z y rprsntados n la Fgura 5.. zona ára mínma χ mn P a P f a f zona mpulsón O Y χ f lna d contacto χ π a O cntrada n O zona aspracón P P χ π χ χ max zona ára máxma Fgura 5.. Gomtría d los ángulos d zona Los ángulos d zona s dfnn como los ángulos corrspondnts ntr los puntos d contacto d zona P z, formados por la ntrsccón nt las frontras d crculacón dl fludo y la lína d contacto cntrada n O, y l j dl sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O. Así pus, xstn cuatro ángulos y puntos d contacto d zona. P z para z =. Punto d contacto d zona formado por la ntrsccón ntr la frontra d nco d mpulsón y la lína d contacto cntrada n O. χ z para z =. Ángulo d zona formado ntr l punto d contacto d zona P y l j

16 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 4 dl sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O. P z para z = f. Punto d contacto d zona formado por la ntrsccón ntr la frontra d fn d mpulsón y la lína d contacto cntrada n O. χ z para z = f. Ángulo d zona formado ntr l punto d contacto d zona P f y l j dl sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O. P z para z = a. Punto d contacto d zona formado por la ntrsccón ntr la frontra d nco d aspracón y la lína d contacto cntrada n O. π-χ z para z = a. Ángulo d zona formado ntr l punto d contacto d zona P a y l j dl sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O tomado n rfrnca postva. P z para z =. Punto d contacto d zona formado por la ntrsccón ntr la frontra d fn d aspracón y la lína d contacto cntrada n O. π-χ z para z =. Ángulo d zona formado ntr l punto d contacto d zona P y l j dl sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O tomado n rfrnca postva. Admás, s dfn l ángulo d ntrvalo d zona d ára máxma, dnomnado χ max, y l ángulo d ntrvalo d zona d ára mínma, dnomnado χ mn Dstancas y Ángulos d Ranura Los ángulos d zona s calculan a partr d los puntos d contacto d zona y qudan dfndos dsd l cntro d la ruda dntada xtror O. Sn mbargo, dsd l punto d vsta d dsño y construccón d la bomba, las dstancas d ranura y r y ángulos d ranura δ r dfnn las zonas sífcas y frontras d crculacón d fludo y qudan dfndos dsd l cntro d la ruda dntada ntror O. El motvo s la conxón dl j motor qu trasmt l par motor a la ruda dntada ntror, grando todo l dsño d la bomba n su cntro. Los ángulos d ranura s mustran n la Fgura 5.. El cntro d la ruda dntada ntror s concdnt con l cntro d la carcasa d la bomba. Exstn dos dstancas d ranura y dos ángulos d ranura, δ r para r =. Ángulo d ranura dfndo ntr la frontra d crculacón dl fludo cntrada n O y l j dl sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O y r para r = f. Dstanca d ranura formada por la dstanca prpndcular ntr las línas parallas d frontra d crculacón dl fludo f cntrada n O y l j dl sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O. y r para r = a. Dstanca d ranura formada por la dstanca prpndcular ntr las línas parallas d frontra d crculacón dl fludo a cntrada n O y l j dl sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O. δ r para r =. Ángulo d ranura dfndo ntr la frontra d crculacón dl fludo cntrada n O y l j dl sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O Las dstancas y ángulos d ranura qudan dfndos por l dsño d las zonas sífcas y frontras d crculacón dl fludo. D sta forma son datos gométrcos conocdos.

17 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 5 a y f zona mpulsón cntro ruda dntada ntror cntro caraca y tapa bomba O OY zona aspracón δ δ Fgura 5.. Gomtría d los ángulos d ranura Cálculo d los Ángulos d Zona Conocdas las dstancas y ángulos d ranura, y habda cunta qu l ángulo d cálculo d punto d contacto α, l ángulo d zona χ y l ángulo d ranura δ s ncuntran rlaconados mplíctamnt, hay qu rcurrr a un procso tratvo qu s dsarrolla a contnuacón. Cálculo dl ángulo d zona χ [cntrado n O ] mdant l ángulo d ranura δ [cntrado n O ] S asgna un prmr valor al ángulo d cálculo d punto d contacto d zona P, α = = P δ S aplca la cuacón d lína d contacto, x y m = S ( α ) = R cosα ( R cosα ± r ) S ( α ) = R snα ( R snα ) r + R ± r R m m cosα ( 5.5 ) con r sgno postvo y cntrada n l sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O, para α, y valuar las coordnadas dl punto d contacto d zona P, ( ( ) ( ) x = P = P = P α = P 3 S buscan las coordnadas dl punto d contacto d zona rsto l cntro d la ruda dntada ntror O sobr l sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O, ( x Y = P, y Y = ) rprsntado n la Fgura 5., P

18 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 6 Y lna d contacto cntrada n O y =P = y Y=P O O x =P x Y=P χ P δ obtnéndos, Fgura 5.. Coordnadas dl punto d contacto d zona P x y Y = P Y = P ( δ ) = x = P ( α P ) = + ( δ ) = tan( δ )( x ( δ )) Y = P ( 5.6 ) 4 Sa ε un rror acptabl. S, a. ( δ ) y ( α ) > ε y Y = P = P = P s asgna un nuvo ángulo d cálculo d punto d contacto α =P d forma quα = P = α = P, y s rpt d nuvo l cálculo rgrsando al punto b. ( δ ) y ( α ) < ε y s fnalza l cálculo sndo los valors d los últmos Y = P = P = P ángulos d cálculo d punto d contacto α, y d zona χ los valors dfntvos. Pasar al punto 5. 5 Los ángulos son, α χ = P = α ( α ) = P = P y = arctan x = P = P ( α ) = P ( α ) = P + aπ dond a = s a = s a = s ( x ) y ( y ) = P = P ( x < ) = P ( x > ) y ( y < ) = P = P ( 5.7 ) Cálculo dl ángulo d zona χ [cntrado n O ] mdant l ángulo d ranura δ [cntrado n O ] S asgna un prmr valor al ángulo d cálculo d punto d contacto d zona P, α = δ = P S aplca la cuacón ( 5.5 ) d lína d contacto, calculando las coordnadas dl punto d

19 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 7 contacto d zona P, ( ( α ), y ( ) x = P = P = P α = P 3 S buscan las coordnadas dl punto d contacto d zona rsto l cntro d la ruda dntada ntror O sobr l sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O, ( x Y = P, y Y = ) rprsntado n la Fgura 5.3, P obtnéndos, x y Y = P Y = P ( π δ ) = x = P ( α P ) = + ( π δ ) = tan( π δ )( x ( π δ ) Y = P ( 5.8 ) 4 Sa ε un rror acptabl. S, a. ( π δ ) y ( α ) > ε y Y = P = P = P s asgna un nuvo ángulo d cálculo d punto d contacto α =P d forma qu α = P = α = P, y s rpt d nuvo l cálculo rgrsando al punto b. ( π δ ) y ( α ) < ε y s fnalza l cálculo sndo los valors d los Y = P = P = P últmos ángulos d cálculo d punto d contacto α, y d zona χ los valors dfntvos. Pasar al punto 5. Y x Y=P x =P lna d contacto cntrada n O = y =P y Y=P O O π χ P π δ Fgura 5.3. Coordnadas dl punto d contacto d zona P 5 Los ángulos son, α χ = P = α ( α ) = P = P y = arctan x = P = P ( α ) = P ( α ) = P + aπ dond a = s a = s a = s ( x ) y ( y ) = P = P ( x < ) = P ( x > ) y ( y < ) = P = P ( 5.9 )

20 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 8 Cálculo d los ángulos d zona χ f y χ a [cntrados n O ] mdant las dstancas d ranura y f y y a [parallos a ] S asgna un prmr valor al ángulo d cálculo d punto d contacto d zona P f, α =P y f otro para P a, α =Pa S aplca la cuacón ( 5.5 ) d lína d contacto, calculando las coordnadas dl punto d α, y, y las coordnadas dl punto contacto contacto d zona P f, ( ( ) ( ) x = Pf = Pf = P α f = Pf d zona P a, ( ( ) y ( ) x = P = P = P α = P 3 Sa ε un rror acptabl. S, a. ( α ) > ε a f y = Pf = Pf α,, rprsntados n la Fgura 5.4 a a a y s asgna un nuvo ángulo d cálculo d punto d contacto α =P f d forma qu α = P = α f = P, y s rpt d nuvo l cálculo rgrsando al f punto b. ( α ) > ε y s asgna un nuvo ángulo d cálculo d punto d contacto a y = Pa = Pa α =P a d forma qu α = P = α a = P, y s rpt d nuvo l cálculo rgrsando al a punto c. ( α ) < ε y s fnalza l cálculo sndo l valor dl últmo ángulo d f y = Pf = Pf cálculo d punto d contacto α, l valor dfntvo. Pasar al punto 4. d. ( α ) < ε y a y = Pa = P s fnalza l cálculo sndo l valor dl últmo ángulo d a cálculo d punto d contacto α, l valor dfntvo. Pasar al punto 4. lna d contacto cntrada n O Y P f P a y =P = y f y =P = y a f a O O Fgura 5.4. Coordnadas d los puntos d contacto d zona P f y P a

21 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 9 4 Los ángulos son, α α χ χ = Pf = Pa f a = α = α ( α ) = Pf ( α ) = Pa = Pf = Pa y = arctan x y = arctan x = Pf = Pf = Pa = Pa ( α ) = P ( α ) f = Pf ( α ) = Pa ( α ) = Pa + aπ dond + aπ dond a = s a = s a = s a = s a = s a = s ( x ) y ( y ) = P = P ( x < ) = P ( x > ) y ( y < ) = P = P ( x ) y ( y ) = P = P ( x < ) = P ( x > ) y ( y < ) f f a = Pa f a f f a = Pa ( 5. ) Cálculo d la Varacón dl Ára. Análss Intgral-Drvatvo El análss ntgral-drvatvo para l cálculo d la varacón dl ára sgu los msmos prncpos al análss ntgral-drvatvo d la varacón dl volumn dsarrollado n l Capítulo 3. Sn mbargo, la dfrnca radcará n los límts d ntgracón dbdo a qu l ára s ncuntra rstrngda n dtrmnados ntrvalos d una rotacón complta dl conjunto dl ngranaj, como ya ha sdo xpusto antrormnt. D st modo, y tnndo n cunta la Fgura 5., xstn dos ntrvalos dtrmnados por l ángulo d ntrvalo d zona d ára máxma, dnomnado χ max, y l ángulo d ntrvalo d zona d ára mínma, dnomnado χ mn, dond l ára d la cámara s ncontrará total o parcalmnt rstrngda. Concntrándos l studo n la cámara con ára A y volumn V, l procdmnto d cálculo s déntco al dsarrollado n l Apartado 3.5.., xcptuando la rstrccón qu sufr la varacón dl ára cuyo cálculo s llva a cabo con la modfcacón d los límts d ntgracón. Partndo dl punto dl procdmnto d cálculo dl volumn V, la cuacón d ntgracón dl ára s la cuacón ( 3.9 ), χ χ A, = [ ( )] d [, j (, j )], j dond, j, j, j ρ χ χ ρ χ χ χ = χ + χ χ χ ( 3.9 ) χ χ A, = [ ρ ( χ )] dχ [ ρ, j ( χ, j )] χ, j dond χ, j = χ, j+ χ, j χ χ y d la cuacón ( 3.6 ) s obtn la varacón dl ára d la prmra cámara smplmnt lmnando l H spsor dl ngranaj d la cuacón, V ( α ) = H ( A A ) = H χ ρ ( χ ) χ,, [ ] dχ H [ ρ ( χ )] dχ ( 3.6 ) χ χ El cálculo d la varacón dl ára s basa n las áras rstrngdas cradas por las zonas sífcas y frontras d crculacón d fludo. Para nclur su nflunca n l procdmnto d cálculo, s han d dfnr los límts d ntgracón d las cuacons antrors, dstacando (sobr la Fgura 5.5), P y P. Puntos d contacto qu hacn stanca la cámara n su poscón d máxma ára, dond P aísla la cámara d la zona d aspracón y P aísla la cámara d la zona d mpulsón. α y α. Ángulos d los puntos sngulars qu son cntros d los arcos crculars para

22 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 3 valuar los puntos d contacto P y P rsto al j d abcsas dl sstma d rfrnca π absoluta -Y cntrado n O, dond α = α + α = α + Z χ y χ. Ángulos d los puntos d contacto P y P rsto al j d abcsas dl sstma d rfrnca absoluta -Y cntrado n O. ρ (χ). Radovctor qu barr l ára ntr los puntos d contacto P y P n funcón dl ángulo χ bajo l prfl d la ruda dntada xtror ρ (χ). Radovctor qu barr l ára ntr los puntos d contacto P y P n funcón dl ángulo χ bajo l prfl d la ruda dntada ntror χ,j (ω ). Ángulo para todos los puntos j (x r,j (ω ),y r,j (ω )) dl prfl d la ruda dntada ntror para l ángulo d gro ω d la ruda dntada ntror. χ,j (ω ). Ángulo para todos los puntos j (x r,j (ω ),y r,j (ω )) dl prfl d la ruda dntada xtror para l ángulo d gro ω d la ruda dntada xtror. Y S ω = 8º P S P α ρ (O P ) R V α ρ( χ) dχ ρ (O P ) P P S O O χ χ R α Fgura 5.5. Dfncón d nomnclatura dsd la Fgura 3. dl Capítulo 3 Y a contnuacón s dfnn nuva trmnología y obsrvando la Fgura 5.9, α =P y α =P. Ángulos d cálculo d punto d contacto d zona P para los puntos d contacto P y P rstvamnt, dond α α =P f y α =Pf = P = α = P α = α = P. Ángulos d cálculo d punto d contacto d zona P f para los puntos d contacto P y P rstvamnt, dond α α =P a y α = Pa = P = α f = P α f = α = P f. Ángulos d cálculo d punto d contacto d zona P a para los puntos d contacto P y P rstvamnt, dond α π Z = P = α a = P α a = α = Pa π Z π Z

23 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 3 α =P y α =P. Ángulos d cálculo d punto d contacto d zona P para los puntos d contacto P y P rstvamnt, dond α = P = α = P α = α = P π Z D sta forma, la cuacón ( 3.6 ) rsulta, para la varacón d la sccón fctva d la lumbrra qu comunca la cámara con la zona d aspracón A za, A za ( α ) = ( α ) ( ) χ α [ ρ( χ )] dχ [ ( )] ( ) ρ χ a α = P a χ a ( α = P a ) χ ( α ) ( ) χ α [ ρ( χ )] dχ [ ( )] ( ) ρ χ d χ α χ ( α ) ( α = ) ( = ) P χ α P [ ρ( χ )] dχ [ ( )] ( ) ρ χ α χ ( α ) χ χ χ χ dχ χ α s dχ α α = Pa α = P α < α α < α = Pa < α = P < α = P = Pa ( 5. ) y para la varacón d la sccón fctva d la lumbrra qu comunca la cámara con la zona d mpulsón A z, A z ( α ) = ( α ) ( ) χ α [ ρ( χ )] dχ [ ( )] ( ) ρ χ α = ( ) P χ α = P χ ( α ) ( ) χ α [ ρ( χ )] dχ [ ( )] ( ) ρ χ d χ α χ ( α ) f ( α = P f ) f ( = P ) χ α [ ( )] f ρ χ dχ [ ( )] ( ) ρ χ α χ ( α ) χ χ χ χ dχ χ α s dχ α α = P α = Pf α < α α < α = P < α = Pf < α = Pf = P ( 5. ) En la Fgura 5.6 s mustra las varacons d las sccons fctvas d las lumbrras qu comuncan la cámara con la zona d aspracón mpulsón..6 Modlo Fludodnámco Bomba Grotor (,5 rpm;5 bar).6 Modlo Fludodnámco Bomba Grotor (,5 rpm;5 bar) Ara_zona_asp [cm].8.6 Ara_zona_mp [cm] Tmpo [sg] Tmpo [sg] Fgura 5.6. Elmnto ara_zona_asp (zqurda) y lmnto ara_zona_mp (drcha) 5.7 MODELO FLUIDODINÁMICO DE LA BOMBA GEROTOR. NIVEL SUPERIOR DE ENSAMBLAJE Y CONEIONADO ENTRE CÁMARAS Y CARCASA El últmo nvl a dsarrollar dl submodlo d una cámara s l nvl supror d nsamblaj y conxonado ntr cámaras. El prsnt nvl supror s l últmo nvl dl submodlo d una cámara. Est nvl aporta nuvos lmntos d BondGraph qu prmtn sr conxonados con otros lmntos fura dl submodlo d la cámara, d forma qu s nsambln todas las cámaras a través d los nvls suprors d cada submodlo d cámara. Estos nuvos lmntos susttuyn a antrors lmntos y ocupan su poscón n l submodlo.

24 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 3 El nvl supror d BondGraph s mustra n BondGraph 5.3. S s concntra l studo d BondGraph a la cámara dnomnada V, los lmntos d BondGraph qu modlzan st nvl tnn su corrspondnca n la Tabla 3: s_sal angulo varvolum sal MR_sal_cam ara_zona_mp sf_w TF w_w w MTF C camara nt MR_nt_cam ara_zona_asp s_nt Volum BondGraph 5.3. BondGraph d nvl supror d modlzacón dl submodlo d cámara Nvl Intrmdo Sf_w S Sf S_nt S_sal S Nvl Supror sf_w s_nt s_sal Dnom. Funt d flujo xtror d ntrada al submodlo Funt d sfurzo xtror d ntrada al submodlo Funt d sfurzo xtror d salda dl submodlo Varabl Entrada Vlocdad rotacón ω& Prsón P nt Prsón P sal Varabl Salda Par motor M Caudal Q MR_nt-_nt Caudal Q MR_sal-_sal Condcón d Contorno qu rprsnta Vlocdad d rotacón ruda dntada ntror ω& común a todas las cámaras Prsón n la zona d aspracón común a todas las cámaras Prsón n la zona d mpulsón común a todas las cámaras Tabla 3. Corrspondnca físca dl nvl supror d modlzacón dl submodlo d la cámara d lmntos BondGraph Llgados a st punto, todos los nvls dl submodlo d una cámara gnérca han sdo dfndos. Los nvls suprors d los submodlos d las cámaras han d sr conxonados ntr sí, tantos como cámaras d qu stá compusto l ngranaj d prfls trocodals para compltar l modlo d smulacón fludodnàmca d la bomba grotor. Tnndo prsnt la gomtría dl ngranaj d prfls trocodals (Fgura 5.) y la gomtría d la carcasa (Fgura 5.8), los lmntos d BondGraph qu modlzan la fludodnàmca d la bomba grotor s prsnta n BondGraph 5.4.

25 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 33 s_zona_mp S R_zona_mpR zona_mp C c_zona_mp zona_mp camara4 camara3 camara5 R_j R camara sf_w Sf camara6 TF w_w w camara camara7 camara9 camara8 c_zona_aspc zona_asp zona_asp R R_zona_asp S s_zona_asp BondGraph 5.4. Modlo fludodnámco d la bomba grotor El modlo d BondGraph prsnta 9 submodlos d cámara conxonados ntr sí por su nvl supror n los lmntos dscrtos n la Tabla 3. El númro d cámaras corrspond con l númro d lóbulos/dnts (Z) d la ruda dntada xtror. El rsto d lmntos dl modlo tnn una corrspondnca físca dscrta n la Tabla 4. Concpto Símbolo Dnom. Varabl Entrada Gnrador d sf_w Sf Funt Vlocdad vlocdad d d flujo rotacón rotacón ω& Vlocdad d rotacón Rsstnca mcánca Prsón n la zona d aspracón w Nodo Vlocdad rotacón ω& Par motor M R_j Rsstnca Vlocdad R rotacón ω& S s_zona_asp Funt d sfurzo Prsón P zona_asp Varabl Salda Par motor M Vlocdad rotacón ω& Dfrnca d momntos M Pérdda d momnto M f Caudal Q MR_zona_asp- _zona_asp Rprsnta Vlocdad d rotacón ruda dntada ntror ω& Sumatoro d momntos gual a cro y vlocdad gual Prdda d momnto por frccón mcánca Condcón d contorno d prsón n la zona d aspracón

26 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 34 Balanc d prsons n la zona d aspracón zona_asp Nodo Caudal Q MR_zona_asp- _zona_asp Prsons P S_zona_asp- Caudal Q MR_zona_asp- _zona_asp Prsón P _zona_asp- Sumatoro d prsons gual a cro y caudal gual _zona_asp P _zona_asp- MR_zona_asp Caudal a través d un orfco n la zona d aspracón Prncpo Consrvacón Masa n la zona d aspracón _zona_asp R R_zona_as Rsstnca Dfrnca Prsón P zona_asp Nodo Caudals Q _zona_asp- Z _zona_asp Q j _ camara j= Prsón P C_zona_asp- Caudal Q MR_zona_asp- _zona_asp Caudal Q _zona_asp- C_zona_asp Prsons P _zona_asp- Rsstnca d ntrada a la zona d aspracón Sumatoro d caudals gual a cro y prsón gual Comprsbldad dl fludo n la zona d aspracón Prsón n la zona d mpulsón Balanc d prsons n la zona d mpulsón c_zona_asp C s_zona_mp S zona_m Elmnto Capactvo Funt d sfurzo Nodo _zona_asp Caudal Q _zona_asp- C_zona_asp Prsón P zona_mp Caudal Q MR_zona_mp- _zona_mp Z _zona_asp P j _ camara j= Prsón P C_zona_asp- _zona_asp Caudal Q MR_zona_mp- _zona_mp Caudal Q MR_zona_mp- _zona_mp Capacdad hdráulca d la zona d aspracón Condcón d contorno d prsón n la zona d mpulsón Sumatoro d prsons gual a cro y caudal gual Caudal a través d un orfco n la zona d mpulsón Prncpo Consrvacón Masa n la zona d mpulsón Prsons P S_zona_mp- _zona_mp P _zona_mp- _zona_mp R_zona_mp R Rsstnca Dfrnca Prsón P zona_mp Nodo Caudals Q _zona_mp- Z _zona_mp Q j _ camara j= Prsón P C_zona_mp- _zona_mp Prsón P _zona_mp- MR_zona_mp Caudal Q MR_zona_mp- _zona_mp Caudal Q _zona_mp- C_zona_mp Prsons P _zona_mp- _zona_mp Z P j _ camara j= Prsón P C_zona_mp- Rsstnca d ntrada a la zona d mpulsón Sumatoro d caudals gual a cro y prsón gual Comprsbldad C c_zona_m Elmnto Caudal Capacdad dl fludo n la Capactvo Q _zona_mp- hdráulca d la zona zona d mpulsón C_zona_mp _zona_mp d mpulsón Tabla 4. Corrspondnca físca dl modlo fludodnámco d la bomba grotor por lmntos BondGraph

27 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 35 6 Modlo Fludodnámco Bomba Grotor (,5 rpm;5 bar) 4 Caudal Impulsado [cm3/sg] Tmpo [sg] Fgura 5.7. Smulacón dl caudal mpulsado por la bomba grotor dl modlo fludodnámco para vlocdad dl gro d la ruda dntada ntror d,5 rpm y prsón d mpulsón 5 bar 5.8 MODELO DE CAUDALES DE FUGAS PARTE B Para compltar l modlo fludodnámco d la bomba grotor s ha d ntroducr los fnómnos fludomcáncos corrspondnts a las fugas d fludo. A contnuacón, s xpon la nclusón d los caudals d fugas d fludo n l modlo d smulacón fludodnàmca d la bomba grotor. Los caudals d fugas s prsntan dbdo a las tolrancas y movmntos rlatvos ntr pzas y a los gradnts d prsón. Con rlacón a las tolrancas cab dcr qu, por una part, son ncsaras ya qu s no xstran las rudas no podrían grar, y por otra part, son nvtabls habda cunta d los procsos d brcacón. El fnómno d las fugas tn fcto prncpalmnt n la capacdad volumétrca d la bomba ndrctamnt n las pulsacons d caudal traducdas postrormnt n pulsacons d prsón. Por tanto, dbn sr tndas n cunta y prdcdlas con tanta prcsón como sa posbl. Los caudals d fugas s manfstan n dvrsas zonas d la bomba como: Caudal d fugas ntr los prfls trocodals durant l ngran (Q f,pt ). El caudal d fugas s produc a través dl hulgo ntr los dnts d los prfls trocodals d las rudas dntadas dbdo al gradnt d prsón ntr las cámaras y a su movmnto rlatvo (Fgura 5.9). Caudal d fugas ntr las caras latrals d las rudas dntadas y l curpo d la bomba (Q f,c ). El caudal d fugas s produc a través dl hulgo ntr las caras d las rudas dntadas y l curpo d la bomba dbdo al gradnt d prsón ntr las cámaras y su movmnto rlatvo producndo arrastr d fludo (Fgura 5.9 y Fgura 5.3). Caudal d fugas ntr las caras latrals d las rudas dntadas y l curpo d la bomba drcto a tanqu (Q f,dt ). El caudal d fugas s producn a través dl hulgo ntr las caras latrals d las rudas dntadas y l curpo d la bomba drcto a tanqu (Fgura 5.44). Caudal d fugas ntr l spsor dl ngranaj y l curpo d la bomba (Q f, ). El caudal d fugas s produc a través dl hulgo ntr l spsor dl ngranaj y l curpo d la bomba (Fgura 5.45).

28 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 36 Q f,dt Q f,pt Qf,c Q f,dt Q f,c Q f, Fgura 5.8. Caudals d fugas 5.8. Modlo d Caudal d Fugas ntr los Prfls Trocodals durant l Engran Para la smulacón d las fugas d fludo ntr los dnts durant l ngran s ncsaro dsarrollar una sr d modlos parcals qu prmtn: El cálculo dl ángulo d rtardo dl contacto dbdo a la tolranca d funconamnto El cálculo dl mínmo hulgo ntr prfls Análss d las volucons dl ángulo d rtardo dl contacto y dl hulgo ntr prfls Y por últmo l cálculo dl flujo d fludo por una ranura d sccón varabl dbdo aun gradnt d prsón y a la prsnca d un movmnto rlatvo ntr prfls trocodals A contnuacón s prsntan una sr d subapartados dond s xponn stos cálculos. Como s apunto antrormnt, los prfls trocodals d las rudas dntadas prdn su contacto contnuo dfndo por la lína d puntos d contacto y pasan a prsntar un hulgo no nulo ntr llos. A fctos d cálculo s ha smulado st hulgo ncrmntando l dámtro ntror d la ruda dntada xtror (D ), como pud obsrvars n la Fgura 5.. Así, n la poscón d rfrnca para l studo dl volumn y su varacón (ω = ), y comparando con la Fgura 5., los dos prfls trocodals no compartn nngún punto d contacto. Ahora, suponndo qu los cntros d ambas rudas dntadas prmancn fjos n la rotacón, la ruda dntada ntror pud y dbrá grar un pquño ángulo ±dϕ ants d stablcr contacto + con la ruda dntada xtror n los puntos P o P. Est ángulo s dnomna ángulo d rtardo dl contacto (Fgura 5.).

29 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 37 D sta forma los prfls trocodals d la rudas dntadas prsntarán un jugo d contacto dbdo un hulgo no nulo ntr llos. El ángulo d rtardo dl contacto dbrá sr valuado. O O Q f,c Qf,pt Q f,c Fgura 5.9. Caudal d fugas ntr los prfls trocodals durant l ngran D P S3 P S L 3 L L P S P - ω = º P S4 L 4 O O L tolranca P S O O dϕ P S5 L 5 P S6 L 6 P S7 L 7 P S8 P + Fgura 5.. Hulgo ntr las rudas dntadas dl ngranaj d prfl trocodal Mtodología d Cálculo dl Ángulo d Rtardo dl Contacto S consdra un punto gnérco dl prfl trocodal d la ruda dntada ntror dnomnado P x α, y α cntradas n O y qu pud sr valuado mdant la cuacón d coordnadas ( ( ) ( ) g g ( 3.94 ). Cuando la ruda dntada rota sobr su cntro O, l punto P s dsplazará sgundo la α = O P qu s xprsa como, R crcunfrnca d rado ( ) g

30 .. 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 38 R ( α ) [ x ( α )] + [ y ( α )] En sta rotacón, l punto d ntrsccón ( x y ) rado ( ) = O P g R g = ( 5.3 ) g g P,, cntrado n O, ntr la crcunfrnca d α y l arco crcular d rado S cntrado n P sj qu forma l prfl dl dnt d la ruda dntada xtror pud sr localzado rsolvndo l sstma d cuacons d las dos crcunfrncas (Fgura 5.): [ x R cos( ω + j α )] + [ y R sn( ω + j α )] ( x + ) + y = R ( α ) g = S j =, K, Z ( 5.4 ) π dond s la xcntrcdad, α =, j s cntro P sj dl arco crcular d rado S dond s va Z a buscar la ntrsccón y R s l rado gnrador gual a la dstanca O P s modfcado dbdo a la tolranca o hulgo n la poscón d rfrnca (Fgura 5.) y s dtrmna mdant la xprsón: D + tolranca ω R = D = ( R S ) ( = ) + S ( 5.5 ) O O R ( α g ) = O P P (x ( α g),y ( αg)) dϕ P (x,y ) S PS6 Fgura 5.. Análss dl ángulo d rtardo dl contacto Ahora s posbl calcular la dstanca xstnt ntr los dos puntos P y P dsd l cntro d la ruda dntada ntror O d forma, P P [ x ( x ) ] + [ y y ] = ( 5.6 ) Sn mbargo, no s conocdo a pror l punto P qu proporcona l punto d contacto P. Por tanto, s dbrán tomar los puntos ( x ( α ), y ( α ) qu forman l prfl d la ruda dntada g g * ntror hasta localzar l punto P P * * = mn P P. El punto P srá l punto d P qu cumpla ( )

31 .. 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 39 R contacto l cual s dsplazará sobr la crcunfrnca d rado ( ) g α = O P y tocará n l punto P dl arco d crcunfrnca d rado S d la ruda dntada xtror. Fnalmnt, l ángulo d rtardo dl contacto podrá sr valuado como, dϕ ( ω ) = P P R * arcsn ( 5.7 ) ( α ) g Llgados a st punto y obsrvando la cuacón ( 5.7 ), s pud vrfcar qu cuando la ruda dntada xtror ocupa una poscón dfrnt a la poscón d rfrnca dfnda n la Fgura 5. dbdo a un ángulo d gro ω, s producrá un nuvo y dstnto ángulo d rtardo dl P x, y son funcón d d: contacto. En fcto, las coordnadas dl punto ( ) El ángulo d gro d la ruda dntada xtror (ω ). En prsnca d hulgo ntr las rudas dntadas y n una poscón gnérca d rotacón d la ruda dntada xtror ω, la ruda dntada ntror rotará l ángulo d gro d la rlacón d transmsón más l ángulo d rtardo dl contacto ω = ω + dϕ( ω ), dond s ncontrarán n l punto d contacto. El arco d crcunfrnca qu dfn l dnt d la ruda dntada xtror n studo (j). En prsnca d hulgo ntr las rudas dntadas y n una poscón gnérca d rotacón d la ruda dntada xtror ω, dbrá localzars n qu arco d crcunfrnca d cntro P sj qu dfn l dnt d la ruda dntada xtror j s producrá l contacto (Fgura 5.) Mtodología d Cálculo dl Mínmo Hulgo ntr Prfls Habda cunta qu xst un hulgo no nulo ntr ambas rudas dntadas, y por tanto un jugo d contacto, s ncsaro ralzar l studo d como varía l hulgo ntr los dnts d los prfls trocodals. Así, s dfnn dos puntos gnércos P hmn, (prtncnt al prfl d la ruda dntada xtror) y P hmn, (prtncnt al prfl d la ruda dntada ntror) n una poscón gnérca d rotacón d la ruda dntada xtror ω y l corrspondnt l ángulo d gro d la ruda dntada ntror ω = ω + dϕ( ω ) (Fgura 5.). S s traza la tangnt corrspondnt al prfl d cada ruda n los dos puntos dfndos, la dstanca ntr prfls srá mínma cuando ambas tangnts san parallas ntrs sí. La dstanca mínma corrspondrá a la dstanca P P. h mn, h mn, ω = º P hmn, P S P hmn, S h mn O O Fgura 5.. Análss dl hulgo mínmo ntr prfls

32 5. BOMBAS DE ENGRANAJES CON PERFILES TROCOIDALES. ANÁLISIS FLUIDODINÁMICO 4 Ahora bn, y al gual qu sucdía para l cálculo dl ángulo d rtardo dl contacto, stos puntos no son conocdos a pror. S dbría valuar las tangnts a través d todos los puntos d los prfls qu forman ambas rudas dntadas a través d la varacón d las coordnadas d P hmn, y P hmn,. Sn mbargo, s pud constatar qu cuando ambas tangnts son parallas y prsnta l hulgo mínmo, la lína ortogonal a ambas tangnts parallas pasa a través d los P hmn, y P hmn, y tambén ntrcpta los cntros d las curvaturas d ambos prfls. En partcular, para la ruda dntada xtror sto mplca la concdnca con l cntro P s dl arco d crcunfrnca d rado S. D sta forma, s pud obtnr l hulgo mínmo valuando las dstancas P, dond sólo l punto P hmn, va varando sobr l prfl, como, Ph mn, s P h mn, P s = x π π R cos sn ω + j + y R ω + j j =, K, Z ( 5.8 ) Z Z Y calcular l hulgo mínmo como, h mn ( ) mn( P P ) S = h mn, ω ( 5.9 ) Tomando una par d dnts d ambas rudas dntadas a partr d la poscón d rfrnca y rptndo l procso para una rotacón complta d la ruda dntada xtror, s posbl obtnr la volucón dl hulgo mínmo ntr los dos prfls trocodals Cálculo d la Evolucón dl Ángulo d Rtardo dl Contacto Para llgar a obtnr la volucón dl hulgo mínmo ntr los dos prfls trocodals d ambas rudas para una rotacón complta dl ngranaj xtror, prmramnt s dbn dtrmna la volucón dl ángulo d rtardo para una rotacón complta dl ngranaj xtror. Partndo d la mtodología d cálculo dl ángulo d rtardo dl contacto dscrta antrormnt, l procso d cálculo s:. Conocda la tolranca o hulgo para la poscón d rfrnca, s part d la poscón d rfrnca ya conocda d la Fgura 5. dond ω =.. S toma un ángulo d gro d la ruda dntada xtror ω y l corrspondnt ángulo d gro d la ruda dntada ntror d la rlacón d transmsón 3. S dtrmnan todas la coordnadas d los puntos x ( ) y ( ω ) s ω r ω,, r, mdant la cuacón ( 3.99 ) qu forman l prfl d la ruda dntada ntror para l ángulo d gro ω 4. S toma l arco d crcunfrnca d cntro P sj qu dfn l dnt d la ruda dntada xtror j = y ntoncs, R 4.. S calcula la crcunfrnca d rado ( ) g cada coordnada P ( x ( ) y ( α ) 4.. S calculan las coordnadas ( x y ) g g α = O P mdant la cuacón ( 5.3 ) para α, qu dfnn l prfl d la ruda dntada ntror P, mdant la cuacón ( 5.4 ) qu dfnn l prfl dl dnt d la ruda dntada xtror 4.3. S calculan la dstancas P P mdant la cuacón ( 5.6 ) 4.4. S busca la dstanca mínma P P mn( P P ) * = y su corrspondnt R ( α ) g