Clase práctica 3: Consecuencia Lógica

Transcripción

1 Clase práctica 3: Consecuencia Lógica (by Laski) Primer Cuatrimestre 2014 Repaso de la teórica Decimos que una valuación v satisface a una fórmula P si v(p ) = 1, y que satisface a un conjunto de fórmulas Γ si satisface a todas sus fórmulas, es decir ( Q Γ) v(q) = 1. Decimos que un conjunto de fórmulas Γ es satisfacible (también llamado satisfactible) si existe una valuación que lo satisfaga (chocolate por la noticia). Adivinen cómo se dice cuando no es satisfacible... Por último, decimos que una fórmula P es consecuencia lógica de un subconjunto de fórmulas Γ si toda valuación v que satisface a Γ también satisface a P. Es decir, si ( v V al / ( Q Γ v(q) = 1)) v(p ) = 1. Notación Si P es consecuencia lógica de Γ podemos escribir Γ P (se puede leer también Gamma fuerza la validez de P si quieren ponerle una traducción al simbolito). También vamos a usar Con (Γ) para denotar al conjunto de fórmulas que son consecuencia lógica de Γ. Es decir, Con(Γ) = {P Form Γ P }. Proposición 1 Toda fórmula de un conjunto de fórmulas es consecuencia lógica del conjunto. Es decir, ( P Γ) Γ P. Por la definición que dijimos recién, una valuación v satisface a Γ si y solo si satisface a todas sus fórmulas. Dado un P Γ, v satisface a P por esto mismo. Usando la definición de consecuencia lógica llegamos a lo que queríamos. 1

2 Fácil, no? Por eso ni lo llamé ejercicio. Ahora sí... Ejercicio 1 (Referencia: item a del ejercicio 2 de la práctica 3) Probar que si Γ es satisfacible y Γ Γ entonces Γ es satisfacible. Como Γ es satisfacible, tenemos al menos una valuación v que lo satisface. Supongamos que v Γ. Es decir, que hay alguna fórmula P Γ tal que v no la satisface (formalmente, P Γ /v(p ) = 0). Como Γ Γ sabemos P Γ. Pero como habíamos dicho que v satisface a Γ, v tiene que satisfacer a P (por definición de satisfacer a un conjunto de fórmulas). Pero es absurdo que v satisfaga y no satisfaga a P al mismo tiempo. Ejercicio 2 (Referencia: item a del ejercicio 5 de la práctica 3) Probar que Con( ) es el conjunto de las tautologías. Necesitamos buscar las fórmulas que valgan para cualquier valuación que satisfaga al conjunto vacío. Cuáles son esas valuaciones? Como la definición de satisfacer a un conjunto implica satisfacer a todas las fórmulas del conjunto, podemos asumir que cualquier valuación satisface al conjunto vacío (porque no hay fórmulas que satisfacer). Más formalmente, todo v satisface a porque ( P ) v(p ) = 1. Entonces necesitamos las fórmulas que valen para cualquier valuación, es decir, {P Form ( v V al) v(p ) = 1}. Pero esa es precisamente la definición de tautología =). Ejercicio 3 Probar que las tautologías pertenecen a Con(Γ) para cualquier Γ. Ejercicio. Ejercicio 4 Probar si v V al satisface a Γ entonces también satisface a Con(Γ). Ejercicio. 2

3 Ejercicio 5 Probar que si v V al satisface a Γ y a Σ entonces satisface a Γ Σ. Queremos probar que ( f Γ Σ) v f. Si una fórmula f está en Γ Σ entonces f Γ o f Σ (o ambos). Pero como v satisface a todas las fórmulas de Γ y de Σ (porque por hipótesis satisface a ambos conjuntos) entonces v f. Ejercicio 6 Probar que Con(Γ) es el conjunto de todas las fórmulas Γ es insatisfacible. ) Supongamos que Con(Γ) es el conjunto de todas las fórmulas. Queremos ver que Γ es insatisfacible. Por definición de Con(Γ), una valuación que satisfaga Γ debe satisfacer a todas las fórmulas en Con(Γ). Pero como Con(Γ) = Form, Con(Γ) incluye, entre otras, a las contradicciones. Y ninguna valuación satisface a las contradicciones (porque esa es su definición). Luego, Γ es insatisfacible. ) Un conjunto es insatisfacible si no tiene ninguna valuación que lo satisfaga. Recordemos que una fórmula P sea consecuencia lógica de un conjunto Γ, tiene que pasar que ( v V al / ( Q Γ v(q) = 1)) v(p ) = 1. Pero como no hay valuaciones que cumplan satisfacer al conjunto, entonces la definición es cierta para cualquier P. Luego, las consecuencias de Γ son todas las fórmulas. Corolario Si Con(Γ) para algún Γ Form tiene una contradicción, entonces Γ es insatisfacible (y por lo tanto Con(Γ) = Form). Usando ) de la demostración anterior sale directamente. Ejercicio de parcial Sean q 0, q 1,... variables proposicionales (no necesariamente distintas entre sí, no necesariamente todas las variables), y sean Γ 0 = q 0 3

4 Γ n+1 = Con(Γ n { q n q n+1 }) Probar que i=1γ i no es trivial (no es vacío ni todas las fórmulas). Vamos por partes. Primero veamos qué onda esta definición. Parece difícil, pero desmenuzándola un poco vemos que no lo es tanto. Viéndolo de cerca notamos que cada nuevo conjunto q n+1 se define como las consecuencias de el conjunto anterior agregándole q n q n+1 (entre comillas para que se note que son las consecuencias de todo lo que está entre comillas). Hagamos un paso recursivo a ver si lo vemos bien (recordemos que Γ 0 = q 0 ). Γ 1 = Con(Γ 0 { q 0 q 1 }) = Con({q 0, q 0 q 1 }}) Γ 1 es entonces las consecuencias de {q 0, q 0 q 1 }. Detengámonos un poco ahora y veamos qué queremos probar. Queremos ver que una unión de conjuntos de fórmulas es no vacía y que no tiene a todas las fórmulas. Llamemos Γ (sin subíndice) a esa unión de todos los Γ i con i de 1 a infinito. Veamos primero que Γ no es vacío. Como vimos antes, toda fórmula es consecuencia lógica de un conjunto que la contiene. Entonces {q 0, q 0 q 1 } q 0. Como Γ 1 es Con({q 0, q 0 q 1 }), entonces q 0 Γ 1 y por lo tanto q 0 Γ (pues Γ es unión de conjuntos entre los cuales está Γ 1 ). Probamos que Γ. Veamos ahora que Γ Form. En particular, vamos a probar que Γ no tiene a las contradicciones. Como Γ es la unión de muchos conjuntos, necesitamos ver que ninguno de ellos las tiene. Si probamos eso terminamos, porque probamos que Γ nunca va a tener una contradicción. Y cómo probamos algo sobre una lista de cosas definida recursivamente? Adivinaron, inducción. Vamos a hacer inducción en el índice de los Γ n. Para cada uno de ellos queremos probar que no tiene contradicciones. Pero como vimos, para probar que un Con(Σ) con Σ Form no tiene contradicciones alcanza con probar que Σ es satisfacible (contrarrecíproco del corolario que vimos recién). Si llamamos Σ n al conjunto generador de cada Γ n (es decir, Γ n 1 { q n 1 q n }, sin el Con) alcanza con probar que Σ n es satisfacible para probar que Γ n no tiene contradicciones. 4

5 Para eso hay que dar una valuación que satisfaga a cada uno. No hace falta que sea la misma para todos, pero en este caso casualmente lo es: vamos a ver que v(x) = 1 x V ar (la valuación que hace verdaderas a todas las variables proposicionales) satisface a todos los Σ n. Caso base: v satisface a Σ 1 Recordemos que Γ 1 = Con({q 0, q 0 q 1 }}), es decir que Σ 1 = ({q 0, q 0 q 1 }}). Podemos ver fácilmente que para el v que elegimos v(q 0 ) = 1 y v( q 0 q 1 ) = 1. Entonces Σ 1 es satisfacible y el conjunto de sus consecuencias (Γ 1 ) no tiene contradicciones. Caso inductivo: v satisface a Σ n v satisface a Σ n+1 Hipótesis inductiva: v satisface a Σ n = Γ n 1 { q n 1 q n }. Es decir, Γ n no tiene contradicciones. Queremos ver que Γ n+1 = Con(Γ n { q n q n+1 }) no tiene contradicciones, o sea que v satisface a Σ n+1 = Γ n { q n q n+1 }. Por hipótesis inductiva, v satisface a Σ n. Como ya probamos (en realidad lo tienen que probar, pero no es difícil), si una valuación satisface a Σ n satisface también a Con(Σ n ). Es decir, v satisface Γ n. Otra cosa que sí probamos es que si una valuación satisface a un conjunto Π y también a otro conjunto entonces satisface a Π. Entonces para que v satisfaga a Γ n { q n q n+1 } solo nos falta probar que satisface a { q n q n+1 }. Pero eso también es fácil porque v(q n+1 ) = 1. Probamos entonces que v satisface a Σ n+1, es decir que Γ n+1 no tiene contradicciones. Entonces por inducción ningún Γ i tiene contradicciones y por ende Γ tampoco, como queríamos. 5