Algunas consideraciones sobre los efectos en bienestar de contratos con Costos de Administración Variables en los Seguros Ordinarios de Vida

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1 Algunas consideraciones sobre los efectos en bienestar de contratos con Costos de Administración Variables en los Seguros Ordinarios de Vida Fernando Solís Soberón Emma Izquierdo Ortega Diciembre 1992 Serie Documentos de Trabajo Documento de Trabajo No. 14

2 Índice 1. Determinación de la Prima de Tarifa en un Seguro Ordinario de Vida 2 2. Procedimiento de Cálculo de Reservas 6 3. Análisis de la Diferencia entre los Beneficios Observados y Esperados de la Aseguradora 7 4. Contrato con Gasto de Administración Variable 9 5. Conclusiones 11 Notas 12 Bibliografía 13

3 Algunas consideraciones sobre los efectos en bienestar de contratos con Costos de Administración Variables en los Seguros Ordinarios de Vida Fernando Solís Soberón Emma Izquierdo Ortega En los seguros de vida, como en cualquier otro tipo de seguro, las empresas, enfrentan costos de adquisición, de siniestralidad y de administración al ofrecer el servicio de protección. El costo de adquisición se estructura principalmente por las comisiones pagadas a los agentes de seguros por su intermediación, y se determina como un porcentaje de la prima directa. El costo de siniestralidad depende del numero de siniestros ocurridos y de la severidad de los mismos. El costo de administración está en función de los costos necesarios para la operación del seguro como son, por ejemplo, las remuneraciones de los empleados y el costo de mantenimiento de las instalaciones de la institución. De los costos anteriormente descritos, el único que no presenta un carácter aleatorio para la empresa, al momento de fijar la prima del seguro, es el de adquisición. Tanto el costo de siniestralidad como el de operación, deben estimarse para determinar el precio del servicio. El costo de siniestralidad se estima en base a una tabla de mortalidad, que consiste en probabilidades de muerte para individuos típicos a lo largo de una vida, y a la suma asegurada que se contrate. Asimismo, la prima neta de riesgo se determina bajo el principio de prima nivelada, que consiste en un pago uniforme durante el periodo del contrato, con el propósito de que el incremento observado en la probabilidad de muerte conforme envejece el asegurado, no se traduzca en un incremento sostenido en el costo del seguro. En la literatura actuarial, el costo de operación se estima, en general, mediante un recargo proporcional a la prima de tarifa. Sin embargo, calcular el costo de esta forma puede llevar a errores significativos, puesto que este costo se mantiene en el tiempo al ser un porcentaje de la prima nivelada. Alternativamente, el costo de administración se puede determinar conforme a su comportamiento esperado, por ejemplo, en base a la inflación esperada. De esta forma, si se esperase un costo de operación creciente en el tiempo, para determinar una prima de tarifa constante, tendría que procederse de manera similar a la determinación del costo esperado de siniestralidad para fijar el costo nivelado a cobrar durante el periodo de vigencia del contrato. El problema que presenta el procedimiento anterior, es que debe estimarse un costo de administración para varios años en el futuro, por lo que en periodos de inestabilidad de precios, como los que presentó la economía mexicana en la década pasada, puede traer como consecuencia insuficiencia de primas si los costos observados son mayores a los proyectados. 1 Por otra parte, el costo de administración puede cobrarse al asegurado de forma no nivelada, es decir, mediante ajustes periódicos a la prima. De esta forma, la parte de la prima relacionada a los gastos de mortalidad y adquisición correspondería a la propuesta en la base técnica original, y la parte relacionada a los gastos de administración se ajustaría conforme al 1

4 cambio en los mismos, por ejemplo, de acuerdo a la inflación observada durante el periodo inmediato anterior. Tal procedimiento elimina el riesgo de insuficiencia de prima por errores en el pronóstico de inflación para las aseguradoras. Sin embargo, éste tiene repercusiones en el bienestar de los asegurados, pues al momento de contratar el seguro no conocen con certidumbre cual será la prima que deberán pagar durante la vigencia del contrato. En este trabajo se analiza un modelo de competencia perfecta que permite determinar la prima para contratos con gasto de administración nivelado y variable. Se establece cual debe ser el nivel óptimo de reservas, y se presentan algunas consideraciones generales sobre el bienestar de las aseguradoras y los asegurados bajo los distintos contratos. Para lo anterior, el trabajo se estructura de la siguiente manera: en la primera sección se presenta un modelo con gastos de operación nivelados. En la segunda se especifica el procedimiento de cálculo de la reserva técnica. En la tercera se analiza la diferencia entre los beneficios esperados y los que realmente presenta una empresa. En la cuarta se describe el seguro con gasto variable, y en la última se resumen las principales conclusiones. 1. Determinación de la Prima de Tarifa en un Seguro Ordinario de Vida. Un seguro ordinario de vida es un contrato que cubre el riesgo de muerte, mediante el cual un asegurado garantiza una suma asegurada a sus beneficiarios en caso de fallecimiento. El periodo de cobertura puede ser de varios años, mientras el asegurado este con vida, y los pagos se realizan, generalmente, cada año. 2,3 Estos pagos constituyen una parte importante de los ingresos de las instituciones de seguros; por lo que éstas los determinan con el propósito de maximizar sus beneficios. Sin embargo, el precio de sus productos no es la única variable de su elección que influye en la determinación de sus utilidades, sino también la variedad y calidad de los servicios que ofrecen. En el análisis que a continuación se presenta, se supondrá que las empresas enfrentan un mercado perfectamente competitivo. Es decir, que no tienen poder de mercado para fijar sus tarifas, y que pueden vender todas las pólizas que deseen al precio de equilibrio. Asimismo, se supondrá que las aseguradoras son neutrales al riesgo. 4 A continuación se comenta sobre la estructura del costo de operación y del costo de siniestralidad. Al ser el costo de adquisición un porcentaje de la prima de tarifa, es conveniente suponer, sin perder generalidad, que este porcentaje es igual a cero. Estructura del Costo de Operación Dado que nuestro objetivo es determinar los efectos en bienestar de contratos con costo de administración nivelado y variable, resulta conveniente suponer que la función producción presenta rendimientos constantes a escala para cualquier número que se expida de pólizas, que la suma asegurada de todos los contratos es la misma e igual a uno, y que la empresa incurre en el costo de operación al inicio del periodo. 2

5 De acuerdo a lo anterior, el costo total que enfrenta una empresa en el periodo la venta de Q t pólizas, puede expresarse de la siguiente manera: t + τ, t+ τ C por (1) donde: c = al costo unitario de administrar la póliza entre los periodos t + τ y t +τ + 1 t+τ La secuencia del costo unitario puede comportarse de diversas maneras en el tiempo. Para simplificar el análisis se asumirá que este costo varía únicamente por la tasa de inflación, π t + τ : Mediante iteraciones sucesivas, la expresión anterior puede reescribirse como sigue: (2) Al momento de vender una póliza, con un periodo de maduración de N+1 periodos, la empresa no conoce los costos de operación que enfrentará de t+1 a t+n. La incertidumbre proviene, por una parte, de que la empresa no sabe cuantos individuos sobrevivirán año con año; y por otra, porque desconoce cual será la inflación que ocurrirá. Por lo que respecta a la estimación sobre el número de individuos que sobrevivirán cada periodo, las empresas en base a su experiencia pasada, utilizan una tabla de mortalidad, que resume las probabilidades de muerte para individuos de diferentes edades. En base a esta tabla, puede pronosticarse la probabilidad de que un individuo, de edad x en el periodo t e sobreviva τ periodos más, τ p,, de la siguiente manera: x t (3) (4) (5) donde: l e x t+ τ, es el número esperado de individuos vivos en el periodo t + τ, de edad exacta x en el periodo t De acuerdo a lo anterior, el costo de operación que la empresa espera enfrentar en el periodo t +τ, dado el costo de operación observado en t puede expresarse de la siguiente manera: 3

6 (6) (7) donde: = a la inflación que se espera, en el periodo t para el periodo t + τ = es el costo que se espera, en el periodo t para el periodo t + τ Estructura del costo de siniestralidad La aseguradora paga la suma asegurada si el contratante fallece, por lo que el costo de siniestralidad que ésta espera enfrentar depende de la suma asegurada y de la probabilidad de muerte del asegurado. La probabilidad de morir en el periodo t + τ, para un individuo de edad exacta x en el periodo t, es igual a lo siguiente: Esta probabilidad es igual al costo esperado por concepto de mortalidad, dado que se ha supuesto que la suma asegurada es igual a uno. (8) Determinación de los Beneficios Esperados para la Empresa Los ingresos de la empresa provienen del pago de una prima constante en el tiempo por parte de los asegurados. La prima de tarifa se denotará como P, lo que nos permite expresar el valor presente de los beneficios esperados para un contrato de N+1 periodos, π e t+ N + 1, como sigue: donde: (9) (10) = es la tasa de interés nominal esperada en el periodo t para el periodo t + τ 4

7 El primer término en (9), se refiere al valor presente esperado de los ingresos por prima menos los gastos de operación esperados. El segundo término representa el gasto esperado por la indemnización a los beneficiarios en caso de que muera el asegurado. Dado el supuesto de competencia perfecta, en un equilibrio estacionario, el valor presente de los beneficiarios debe ser igual a cero. Por consiguiente, de (9) puede obtenerse la prima de equilibrio: resulta conveniente definir a C y a P N de la siguiente manera: (11) (12) De acuerdo a lo anterior podemos reescribir a la prima de equilibrio como sigue: (13) El valor de P* corresponde a lo que en la literatura actuarial se conoce como prima de tarifa nivelada más recargos, que se determina bajo el principio de equivalencia, que establece que el valor presente de los ingresos esperados sea igual al valor presente de las obligaciones. De acuerdo a (12), P N corresponde a lo que comúnmente se denomina prima neta de riesgo, y representa los ingresos con los que debe contar la empresa para hacer frente a los costos esperados de mortalidad. Asimismo, de (13) se desprende que C equivale a los ingresos necesarios para sufragar los gastos esperados por concepto de administración del negocio. Una vez que se ha determinado el precio nivelado que se cobrará a los individuos de edad exacta x, la empresa debe constituir provisiones cuando la prima excede los costos de mortalidad y de operación, para sufragar los mismos cuando la prima sea menor a los egresos. Es decir, dado que los ingresos por concepto de primas son constantes en el tiempo, y el costo por mortalidad es creciente y el de administración, generalmente, también lo es, las empresas 5

8 deben mantener recursos para hacer frente a sus compromisos esperados en cualquier momento. A continuación se presenta la manera óptima de constitución de reservas que deben seguir las instituciones de seguros. 2. Procedimiento de Cálculo de Reservas Con el supuesto de que el costo de operación crece en el tiempo, al ritmo de la inflación, y dado que la probabilidad de muerte se incrementa en el tiempo, el cobrar una prima nivelada trae como consecuencia, como ya se ha señalado, que en los primeros años del negocio ésta sea superior al costo total e inferior en los últimos, como se muestra en la siguiente gráfica. Gráfica 1 Prima Nivelada Por lo anterior, las compañías constituyen provisiones, denominadas reservas matemáticas. Sea la reserva con la que espera contar la aseguradora en el periodo t + τ. De la discusión anterior se desprende que la reserva debe determinarse de la siguiente manera: donde: (14) Es decir, la reserva con la que se espera contar en el periodo t + debe ser igual a la reserva con la que se inicia el periodo, llevada a valor futuro, más las primas ingresadas en el periodo, menos los costos que se espera enfrentar en el mismo. τ 6

9 Por consiguiente, como puede apreciarse en (13), en la medida en que la prima sea superior a los gastos del periodo, la reserva aumentará en el tiempo y en caso contrario diminuirá. Mediante iteraciones sucesivas de (14) la reserva esperada puede expresarse de la siguiente manera: Como puede observarse en (15), debe constituirse la reserva no solo tomando en consideración la prima neta de riesgo nivelada, sino también el recargo nivelado para el costo de administración. El hacerlo de otra manera, no permitiría garantizar que los recursos sean suficientes, en todo momento, para hacer frente a los compromisos establecidos en la póliza. 5 Hasta ahora, se ha comentado sobre las decisiones de las empresas, en cuanto a que reservas constituir y se ha encontrado el precio en un equilibrio perfectamente competitivo, dadas las expectativas de las compañías respecto a la inflación, el tipo de interés y la mortalidad. Sin embargo, debe señalarse que los beneficios observados de las instituciones pueden diferir de los esperados, si las expectativas de las empresas difieren de la realización de las variables aleatorias mencionadas. A continuación se comenta sobre las posibles consecuencias de los errores de estimación en los beneficios de las aseguradoras. (15) (16) 3. Análisis de la Diferencia Entre los Beneficios Observados y Esperados de la Aseguradora. Para establecer la diferencia entre los beneficios esperados y los observados, resulta conveniente expresar a los mismos en valor futuro, en el periodo t+n+1 donde finaliza el contrato. Sea los beneficios esperados y observados, respectivamente, para el periodo t+n+1 Utilizando (9), estos beneficios pueden escribirse como sigue. 6 (17) Restando a (18) la expresión en (17), se obtiene lo siguiente: (18) 7

10 Como puede observarse, los beneficios observados diferirán de los esperados si la reserva en el periodo t+n es diferente de la que se esperaba tener en el periodo, o bien, si la tasa de interés y/o la mortalidad entre el periodo t+n y t+n+1 es diferente de lo pronosticado por la empresa. La reserva constituida en cualquier periodo de tiempo, puede ser distinta de la esperada debido a una o más de las siguientes razones: porque la frecuencia de muerte no coincide con la estimada en la tabla de mortalidad; porque el interés esperado sea distinto al observado; o porque el costo de operación difiera del esperado, que con los supuestos de trabajo equivale a que la inflación esperada no coincida con la ocurrida. Para minimizar el riesgo de que los beneficios sean negativos, las empresas, con la autorización de las autoridades regulatorias, establecen sus primas utilizando el denominado "interés técnico". Esta tasa de interés es sumamente conservadora 7, por lo que el producto financiero obtenido por las instituciones siempre es superior al necesario para garantizar la suficiencia de la prima. Asimismo, las tablas de mortalidad utilizadas por las aseguradoras están diseñadas con márgenes de seguridad que les permiten minimizar el riesgo de enfrentar una frecuencia de mortalidad mayor a la utilizada en la determinación de la prima. De esta forma, la posibilidad de que una empresa presente una pérdida se reduce a que la inflación observada rebase a la estimada de manera tal que los costos de operación en exceso no puedan sufragarse con el producto financiero y con el margen de mortalidad: 8 En la discusión que sigue se supondrá que tanto el producto financiero esperado como la mortalidad esperada siempre son iguales a los ocurridos 9. Con esto, centraremos el análisis al efecto de la inflación en los beneficios de las empresas. Con estos supuestos podemos reescribir a (19) de la siguiente manera: (19) De acuerdo a la expresión anterior, los beneficios serán negativos siempre que la reserva constituida en el periodo t+n sea menor a la estimada. De (14) podemos deducir que esta diferencia es igual a lo siguiente: (20) Es decir, la reserva observada será mayor, menor, o igual a la esperada dependiendo de si el costo de operación proyectado es mayor, menor, o igual al ocurrido. De (3), puede deducirse que la diferencia en estos costos es igual a lo siguiente: (21) (22) 8

11 De acuerdo a la expresión anterior, los beneficios de las empresas dependerán de la diferencia entre el producto de los factores de inflación esperados y observados. 4. Contrato con Gasto de Administración Variable Un contrato con gastos de administración variable es aquel en el que la prima neta de riesgo se determina de forma nivelada como en la ecuación (12), y el costo de administración de acuerdo a la inflación observada el periodo inmediato anterior, como se indica a continuación: Con este contrato, los beneficios de las empresas no son aleatorios por errores de pronóstico en los costos de operación. Es decir, no se presenta la posibilidad de que las reservas sean insuficientes en algún momento del tiempo, por un excesivo gasto operativo. 10,11 Es importante considerar el grado de aversión al riesgo de las aseguradoras para determinar la utilidad de obtendrían de ofrecer un contrato con gastos variables, como el anteriormente descrito. De ser las empresas neutrales al riesgo, como se asumió en la primera sección, este contrato no tendría beneficio alguno para las mismas. Es decir, las compañías de seguros preferirán ofrecer el seguro con prima variable en el tiempo, sólo si presentan aversión al riesgo. Cabe señalar que de presentar aversión al riesgo las instituciones de seguros, la prima de equilibrio sería distinta a la de (11). En este caso, se rompería la equivalencia en el cálculo de la prima que sugiere la teoría económica y el utilizado por los actuarios en las compañías de seguros. El comentario anterior debe interpretarse con cuidado, dado que los actuarios recargan la prima neta de riesgo con márgenes de seguridad y utilizan un interés técnico conservador al determinar la prima, con el propósito de eliminar en la medida de lo posible la insuficiencia de la misma. Es de esperarse que actúen también de manera conservadora respecto al costo de administración y recarguen el mismo en los contratos con prima de tarifa nivelada. De cualquier manera, sin modelar la determinación de la prima cuando las empresas presentan aversión al riesgo, es difícil precisar qué tanto puede diferir la prima determinada actuarialmente, con la que resultaría en un equilibrio perfectamente competitivo. 12 Lo que si puede afirmarse, es que las empresas adversas al riesgo preferirán un contrato con gastos de administración variables a un contrato con gasto nivelado, si la prima se determina actuarialmente como en (11). (23) Para mostrar lo anterior, definiremos a como la función de utilidad de las aseguradoras respecto al valor de sus beneficios en el periodo t+n+1. Asumiremos que esta función es cóncava, para permitir aversión al riesgo por parte de estos agentes. De esta forma, definiendo a como los beneficios en el periodo t+n+1 que obtiene una empresa con un 9

12 contrato con gastos de administración variables y utilizando la desigualdad de Jensen 13, tenemos lo siguiente: Es decir, el nivel de utilidad que alcanzarían con el gasto de operación variable, respeto al nivelado, sería superior. Asimismo, puede afirmarse que la diferencia en este nivel de utilidad será mayor mientras mayor aversión al riesgo presenten las empresas y mayor varianza exista en su pronóstico de inflación. Sin embargo, desde el punto de vista de los asegurados, el contrato con gastos variables no es determinista, dado que al momento de adquirir el seguro desconocen su costo para años subsecuentes. Por consiguiente, un contrato con gastos de administración variables transfiere el riesgo de error en el pronóstico de inflación de las aseguradoras a los asegurados. Al ser los asegurados adversos al riesgo, el contrato con gasto de administración variable debe traer consigo un menor nivel de bienestar, ceteris paribus La única forma en que el contrato descrito en (23), podría resultar en un nivel de bienestar mayor o igual para el asegurado, respecto al que obtiene con el contrato con gasto de operación nivelado, sería que el valor futuro de las primas pagadas de acuerdo a (23) fuese menor a la que resultaría de aplicar un recargo de seguridad a (11) para disminuir el riesgo de que el gasto de operación observado sea mayor al esperado 14 ; de tal forma que el incremento en el excedente del consumidor más que compensará la pérdida en bienestar por enfrentar incertidumbre en el precio del seguro a lo largo de su vigencia. Es de esperarse que la posibilidad de que el contrato con gastos variables traiga consigo un mayor nivel de bienestar, tanto para el asegurado como para la aseguradora será mayor, mientras mayor inestabilidad macroeconómica presente el país, pues mayor sería la varianza de la distribución de probabilidad de la inflación. 10

13 5. Conclusiones En este documento, se analizó la determinación de la prima nivelada de equilibrio para un modelo de competencia perfecta bajo el supuesto de que las instituciones de seguros son neutrales al riesgo, tanto para gastos de administración nivelados como variables en el tiempo. Se mostró que la prima de tarifa coincide con la que determinan los actuarios para las compañías de seguros, bajo el principio de equivalencia. Por otro lado, se encontró que de ser el gasto de administración nivelado, la reserva matemática debería considerar no sólo la mortalidad, sino también los costos de operación. En este tipo de contratos los beneficios de las empresas pueden diferir de los esperados por las siguientes razones: por mortalidad diferente a la prevista en la tabla de mortalidad y por diferencias entre las realizaciones de tasa de interés y costos de operación respecto a sus valores esperados. En épocas de inestabilidad macroeconómica la posibilidad de error en el pronóstico de inflación aumenta, por lo que las empresas prefieren, en estas circunstancias, contratos con gastos de administración variables en el tiempo. Este tipo de contrato, a pesar de transferir la incertidumbre respecto a la inflación al asegurado, puede reducir el precio del seguro, dado que las empresas aplican recargos de seguridad para disminuir el error de pronóstico. Por consiguiente, en épocas inflacionarias puede resultar mutuamente beneficioso para ambos agentes, la adopción de contratos con gasto de administración variable. 11

14 Notas 1. Cabe señalar que a pesar de que los costos observados sean mayores a los proyectados, las primas suficientes, de resultar la mortalidad menor a la esperada y/o si el producto financiero es mayor al pronosticado. 2. Desde el punto de vista técnico actuarial, se considera que el asegurado esta cubierto hasta el límite de la tabla de mortalidad, que puede ser una edad de 100 a 110 años, al cabo de los cuales si éste permanece con vida, se le paga el seguro. 3. El seguro ordinario de vida de pagos limitados, consiste en un contrato en el que el asegurado realiza pagos durante un período de tiempo menor al de la vigencia del seguro. 4. Este último supuesto simplifica considerablemente el análisis, y permite encontrar un equilibrio en el que la prima del seguro coincide con la que se determina para este tipo de seguros en la literatura actuarial. Para un análisis en el que las empresas son adversas al riesgo y en el que el seguro tiene vigencia de un solo período, véase Borch (1990). 5. Sobre este punto, es importante destacar que la regulación actual del seguro de vida únicamente contempla la constitución de reservas para los gastos de mortalidad, a diferencia de lo que se establece en la denominada reserva de riesgos en curso para las operaciones de Daños y Accidentes y Enfermedades. 6. Dada la construcción de la prima P *, el valor de t e t+ N + 1 es igual a cero. 7. La tasa de interés técnico fluctúa entre 4.5 y 8%, dependiendo tanto del plan contratado, como de la fecha de registro. 8. De ser mayor el producto financiero más el margen de mortalidad al costo de operación, la empresa estará en posibilidades de transferir el excedente al asegurado vía dividendos, o mantener el beneficio extranormal. 9. El supuesto de que el producto financiero sea igual al ocurrido es difícil de conciliar con el hecho de que el costo de operación proyectado no coincida necesariamente con el ocurrido, dado que ambos dependen de la inflación esperada. Sin embargo, considerar las variaciones en los beneficios provenientes de diferencias entre las tasas de interés nominales ocurridas y esperadas, complica significativamente el desarrollo del modelo, sin modificar las conclusiones 10. Debe señalarse que este resultado depende del supuesto de que los gastos de administración se pagan al principio del período. En caso contrario, la incertidumbre prevalecería con el contrato descrito en (23). 11. Dado que los costos de operación se pagan al principio del período, y bajo el supuesto de que estos costos se ven afectados únicamente por el índice general de precios, el cobrar una prima distinta a (23), traería como consecuencia un sobreprecio "no justificado", mediante el cual la aseguradora podría compensarse por mortalidad extraordinaria, reducido producto financiero o ineficiencia operativa, a expensas de los asegurados. 12. Borch (1990) ha mostrado que, la determinación de la prima en un equilibrio perfectamente competitivo se asemeja a la determinación del precio de un activo financiero. De esta forma, bajo ciertos supuestos, puede modelarse la prima de equilibrio utilizando algún modelo de cartera como podría ser el modelo CAPM, ampliamente utilizado para explicar el rendimiento de acciones cotizadas en bolsa. 13. Vease Mood (1974) pág El recargo de seguridad para hacer frente a desviaciones respecto al valor esperado de la inflación, será mayor mientras mayor varianza presente la función de distribución del índice general de precios. 12

15 Bibliografía Borsch K. (1990) "Economics of insurance", North Holland. González G. J. (1968) "Elementos de Cálculo Actuarial", 4ta. Edición, Ediciones Macchi, Buenos Aires. Jordan C. W. (1952) "Life Contingencies", Society of Actuaries, Chicago. Magee J. H. (1964) "El Seguro de Vida", Unión Hispano-Americana, México. Mood A.M., Graybill F.A,. Boes D.C. (1974): "Introduction to the Theory of Statistics", Third edition, Mc Graw Hill, Inc. 13

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