4Soluciones a las actividades de cada epígrafe

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1 PÁGINA 64 Pág. 1 En esta unidad vas a revisar algunas técnicas y razonamientos que se utilizan en la resolución de situaciones cotidianas. Es decir, vas a fijar procedimientos que tienen una aplicación inmediata en problemas a los que nos enfrentamos todos los días. Y ahí radica su importancia: vas a trabajar con matemáticas prácticas; matemáticas para la vida. 1 Qué cantidad, de entrada, debe pagar un cliente que compre el ordenador? Qué cantidad pagará en cada una de las doce mensualidades pendientes? Entrada: 25% de 960 = = 240 Mensualidades: Faltan por pagar = 720. Cada mensualidad ascenderá a 720 = Un cliente ha pagado 80 de entrada por la compra de un televisor. Cuál era el precio del aparato? 80 es el 25% del precio del televisor. Por tanto, el precio total será 80 : 0,25 = 20. Cuál es el precio de un equipo de sonido, si cada una de las doce mensualidades aplazadas asciende a 9? Cada mensualidad es 1 de del precio total; es decir, 1 = 1 del precio total Si 1 del precio son 9, entonces el equipo de sonido cuesta 9 16 = PÁGINA 65 1 Una sandía de,4 kg ha costado 2,21. Cuánto costará otra sandía de 4,8 kg? A más kilos de sandía, más dinero El precio de la sandía es directamente A menos kilos de sandía, menos dinero proporcional a su peso. PESO (kg) PRECIO ( ),4 2,21 4,8,4 4,8 Una sandía de 4,8 kg costará,12. = 2,21 8 = 4,8 2,21 =,12,4

2 2 Si cada día gasto,60, mis ahorros durarán 15 días. Cuánto durarían si gastase 4,50 diarios? A más gasto diario, menos días durarán los ahorros; a menos gasto diario, más días durarán los ahorros. La duración del dinero ahorrado es inversamente proporcional al gasto diario de ellos. Pág. 2 GASTO DIARIO DÍAS QUE DURAN, ,50 Gastando 4,50 al día, los ahorros durarían 12 días.,6 4,5,6 15 = 8 = = ,5 Un hortelano tiene agua almacenada en su pilón para regar un campo de dos hectáreas durante tres días. Cuánto le duraría el agua si decidiera regar solamente 1,2 ha? A más hectáreas, menos días A menos hectáreas, más días El número de días para regar un campo con una cantidad fija de agua es inversamente proporcional al número de hectáreas del campo. N- o DE HECTÁREAS N- o DE DÍAS 2 1,2 2 1,2 2 = 8 = = 5 1,2 El agua le duraría 5 días si decidiese regar 1,2 ha. 4 En el comedor del colegio se han consumido 12 barras de pan durante tres días. Si una barra cuesta 0,5, qué presupuesto debe destinar el administrador del comedor para la compra de pan cada semana? A más días, más barras de pan se consumen A menos días, menos barras de pan se consumen El número de días es directamente proporcional al número de barras de pan consumidas. Consideramos que, durante una semana, solo 5 días se abre el comedor del colegio. N- o DE DÍAS BARRAS DE PAN 12 5 En una semana se consumirán 220 barras de pan. Presupuesto = 220 0,5 = 77 a la semana = 8 = = 220

3 5 Ricardo compra en la pescadería tres cuartos de kilo de calamares a 8,60 /kg y una pescadilla de 650 gramos a 6,20 /kg. Cuánto le devolverán si paga con un billete de 20 euros? Calamares A más peso, más precio A menos peso, menos precio El precio de un producto es directamente proporcional al peso que tenga. Pág. PESO (kg) PRECIO ( ) 1 8,60 /4 = 0,75 8 = 8,60 0,75 = 6,45 Pescadilla PESO (kg) PRECIO ( ) 1 6,20 0,650 TOTAL PAGADO = 6,45 + 4,0 = 10,48 8 = 6,20 0,650 = 4,0 Pagando con un billete de 20, le devolverán 9,52. PÁGINA 66 1 Una empresa ha cobrado 0 por el alquiler de una máquina cortacésped durante 5 días. Cuánto recibirá por el alquiler de dos cortacésped durante 4 días? El número de máquinas cortacésped y el número de días son directamente proporcionales al coste del alquiler. N- o DE MÁQUINAS N- o DE DÍAS COSTE ( ) = = = 8 La empresa ha cobrado 48 por el alquiler de 2 máquinas durante 4 días.

4 2 Con un caño que arroja un caudal de medio litro por segundo, se llena un camión cisterna en horas. Qué caudal debería proporcionar el caño para llenar dos cisternas a la hora? El número de cisternas que se llenan es directamente proporcional al caudal. El tiempo que tarda en llenarse una cisterna es inversamente proporcional al caudal. P. INVERSA Pág. 4 N- o DE CISTERNAS TIEMPO (h) CAUDAL (l/s) 1 0, ,5 = 8 8 = 2 0,5 = 1 Para llenar dos cisternas en una hora, es necesario un caudal de l/s. Una pieza de tela de 2,80 m por 1,20 m cuesta 42. Cuál será la longitud de otra pieza de la misma tela que mide 0,80 m de ancha y cuesta 16,50? El precio de la tela es directamente proporcional a su longitud. El ancho es inversamente proporcional a la longitud. P. INVERSA ANCHO (cm) PRECIO ( ) LONGITUD (cm) , ,5 280 = 8 8 = ,5 280 = La longitud de la pieza ha de ser de 1,65 m. 4 Un pintor ha cobrado 480 por cuatro jornadas de 8 horas. Cuánto cobrarán dos pintores por tres jornadas de 10 horas? El número de pintores que trabajan y el número de jornadas trabajadas son directamente proporcionales al sueldo cobrado. N- o DE PINTORES JORNADAS SUELDO = = 720 trabajando jornadas de 8 h Por jornadas de 1 h cobrarían = Por jornadas de 10 h cobrarían = 900. Dos pintores por tres jornadas de 10 h cobrarían = 8

5 5 Un taller de reprografía, trabajando 8 horas al día, ha obtenido un beneficio de en 12 días. Qué beneficio obtendrá en los próimos 10 días si aumenta la jornada laboral en una hora diaria? El número de horas trabajadas diariamente y el número de días trabajados son directamente proporcionales al beneficio. Pág. 5 HORAS/DÍA N- o DE DÍAS BENEFICIO ( ) = = = 8 Trabajando 9 h/día, en los próimos 10 días se obtendrá un beneficio de Un coche consume 6,5 litros de gasolina cada kilómetros. Si la gasolina está a 0,82 el litro, cuál será el presupuesto para el combustible de un viaje de 480 km? El consumo de gasolina es directamente proporcional a la distancia recorrida. CONSUMO (l ) 6,5 480 DISTANCIA (km) 6,5 480 = 8 = = 1,2 l 480 El presupuesto es directamente proporcional al número de litros: 1,2 0,82 = 25,58 Para un viaje de 480 km, el presupuesto es de 25,58. 6, PÁGINA 67 1 Tres socios pusieron 2, y 6 millones, respectivamente, para crear una empresa. a) Cómo se repartirán las ganancias? b)si las ganancias del primer año fueron de , cuánto corresponderá a cada uno? a) En total pusieron = 11 millones. Por tanto, el socio que puso 2 millones se llevará millones,, y el que puso 6 millones, b) Primer socio: = Segundo socio: = Tercer socio: = de las ganancias; el que puso

6 2 Es lo mismo repartir en partes proporcionales a 2, y 4 que repartir en partes proporcionales a 6, 9 y 12? Justifica tu respuesta comparando las fracciones correspondientes al reparto en cada clase. 2,, 4, = 9 8 2,, 9 9 6, 9, 12, = , 9, Como 2 = 6, = 9 y 4 = 12, sí es lo mismo Pág. 6 Dos hermanas compran cinco juegos de toallas por 175. Una se queda con tres juegos, y la otra, con dos. Cuánto debe pagar cada una? Cinco juegos de toallas cuestan 175. Cada juego de toallas cuesta 175 = 5. 5 La cantidad pagada por cada hermana será: La primera 8 5 = 105 La segunda = 70 4 Tres amigas que comparten piso reciben una factura de la compañía eléctrica por un importe de 62,40. Amelia llegó al piso hace 60 días; Laura, 20 días después, y Cristina solo lleva en la casa 20 días. Cuánto debe pagar cada una? Amelia lleva en el piso 60 días Laura lleva en el piso 40 días Cristina lleva en el piso 20 días 62,4 120 = 0,52 por día El pago de la factura se hará como sigue: Amelia ,52 = 1,20 Laura ,52 = 20,80 Cristina ,52 = 10,40 Se divide el importe de la factura entre el número total de días = 120 PÁGINA 68 1 Si mezclamos 12 kg de café de 12,40 /kg con 8 kg de café de 7,40 /kg, cuál será el precio de la mezcla? CANTIDAD PRECIO COSTE CAFÉ A 12 kg 12,40 /kg 12 12,40 = 148,8 CAFÉ B 9 kg 7,40 /kg 8 7,40 = 59,2 MEZCLA 20 kg 208 COSTE TOTAL Precio de la mezcla = = 208 = 10,40 /kg CANTIDAD TOTAL 20 kg

7 2 Si mezclamos un lingote de 500 g con un 80% de oro con otro lingote de g con un 95% de oro, qué proporción de oro habrá en el lingote resultante? Pág. 7 El lingote resultante pesará 500 g g = g. En el primer lingote hay 0,8 500 = g de oro. En el segundo lingote hay 0, = g de oro. Por tanto, en el lingote resultante hay = g de oro. La proporción de oro en el lingote final será: = 0, ,5% Un barril contiene 1 hl de vino de alta graduación, cotizado a,60 /l. Para rebajar el grado alcohólico se le añaden 20 litros de agua. Cuál es ahora el precio del vino? Tenemos + 20 = 120 l de vino aguado. Suponiendo que el agua es gratis, el precio total de la mezcla será el mismo que el del vino; es decir:,60 = 60. Por tanto, el precio del vino aguado será: l = /l 4 Un litro de agua pesa 999,2 g, y un litro de alcohol, 794,7 g. Cuál es el peso de un litro de la disolución obtenida al mezclar l de agua con 7 l de alcohol? En total, tenemos 10 l de mezcla. Los l de agua pesan 999,2 = 2 997,6 g. Los 7 l de alcohol pesan 7 794,7 = 5 562,9 g. La mezcla, en total, pesa 2 997, ,9 = 8 560,5 g. Por tanto, el peso por litro de la disolución será: 8 560,5 g 10 l = 856,05 g/l

8 5 Un joyero quiere fundir un lingote de 2 kg de oro de ley 0,85 con otro lingote de 1,5 kg de oro y cuya ley es 0,9. Cuál es la ley del lingote resultante? (La ley de una aleación es el cociente entre el peso del metal precioso y el peso total de la aleación). Pág. 8 El lingote resultante pesará 2 + 1,5 =,5 kg. El primer lingote contiene 0,85 2 = 1,7 kg de oro. El segundo lingote contiene 0,9 1,5 = 1,5 kg de oro. Por tanto, el lingote resultante contiene 1,7 + 1,5 =,05 kg de oro. La ley del lingote final será:,05,5 0,87 PÁGINA 69 1 Un coche va a 120 km/h y un camión a 90 km/h. a) Si el coche sigue al camión a 75 km de distancia, cuánto tardará en alcanzarlo? b)si están a 504 km y se dirigen uno hacia el otro, cuánto tardarán en cruzarse? a) El coche se aproima al camión a una velocidad de = 0 km/h. Por tanto, en salvar los 75 km que les separan, tardará: 75 = 2,5 h. 0 b) Ahora, el coche y el camión se aproiman a = 210 km/h. Por tanto, tardarán en cruzarse: 504 = 2,4 h Un tren que avanza a una velocidad de 70 km/h lleva una ventaja de 90 km a otro tren que avanza por una vía paralela a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda el segundo en alcanzar al primero y la distancia recorrida hasta lograrlo. Ambos trenes se aproiman a una velocidad de = 40 km/h. Como les separan 90 km, el segundo tren tardará 90 = 2,25 h en alcanzar al primero. 40 El segundo tren habrá circulado 2,25 h a 110 km/h; es decir, habrá recorrido 2, = 247,5 km hasta alcanzar al primer tren.

9 Dos manantiales vierten sus aguas en un depósito de 45 litros de capacidad. Si el caudal del primero es de 50 l/min, y el del segundo, 40 l/min, cuánto tiempo tardarán en llenar el depósito? Pág. 9 El caudal de los dos manantiales juntos será de = 90 l/min. En llenar 45 l, los dos manantiales juntos invertirán:,8 min 4 Una balsa contiene l de agua para riego. Se abren simultáneamente el desagüe de la balsa, que emite 60 l/min, y un grifo que alimenta a la balsa con 140 l/min. Cuánto tarda la balsa en vaciarse? La balsa se vacía a razón de = 220 l/min. En vaciar los l de la balsa se tardará: = 10 min = 2 h 10 min PÁGINA 70 1 Calcula: a) El 2% de 500. b)el 86% de 60. c) El 11% de d)el 140% de 900. e) El 150% de 98. f) El 400% de 740. a) = 160 b) = 51,6 c) = 440 d) = e) = 597 f) = Calcula el tanto por ciento que representa: a) 192 respecto de 800. b) 0800 respecto de c) 44 respecto de d) respecto de e) 495 respecto de 900. f) respecto de 520. a) 192 = 24% b) = 88% c) 44 = 5% d) = 120% e) 495 = 55% f) = 50%

10 Dos hermanos compran un balón que cuesta 42. El mayor paga el 60%. Qué porcentaje paga el pequeño? Cuánto supone este porcentaje? Si el mayor paga el 60%, el pequeño paga el 40%. 40% de 42 = 0,4 42 = 16,8 El pequeño paga 16,80. Pág Elena tenía en su cuenta y ha adquirido un televisor por 750. Qué porcentaje de sus ahorros ha gastado? De un total de 5 000, se han gastado 750 ; cuánto se ha gastado de cada? TOTAL PARTE Se ha gastado el 15% de sus ahorros = = 750 = Alejandro quiere comprar una bicicleta que cuesta 60. Su padre se compromete a pagar el 50%, y su abuela, el 0%. Cuánto pagará Alejandro? Alejandro pagará el % 50% 0% = 20% de 60 : 0,2 60 = 72 8 Alejandro pagará 72. PÁGINA 71 6 En una tienda de informática han subido todos los productos un 7%. Un ordenador valía 840 ; una impresora, 80, y un escáner, 60. Cuánto valen ahora? Ordenador: = 898,80 Impresora: = 85,60 Escaner: = 64,20 7 En un pantano había hm de agua. En el último semestre ha disminuido un 5%. Cuánta agua hay ahora? Si ha disminuido un 5%, en el pantano queda un 65% de hm : = hm

11 8 Hace un año compré un coche que me costó Si lo vendiera ahora, me darían un 5% menos de su valor inicial. Cuál es el precio actual del coche? Si ahora vale un 5% menos, quiere decir que vale un 65% de : = Pág Un fontanero cobra 15 por hora en horario normal, y un 18% más si se le llama fuera de horario. A cuánto subirá la factura para un arreglo que le ha eigido dos horas y media de trabajo en la mañana de un domingo? Fuera de horario cobraría % de 15 euros por hora, es decir: 118% de 15 = 1,18 15 = 17,7 por hora Como trabaja 2 h y media, cobrará: 2,5 17,7 = 44,25 Cobrará 44,25. PÁGINA Un comerciante poco honesto, antes de anunciar unas rebajas del 40% aumenta el 40% el precio de referencia de los artículos, creyendo que, de esa forma, las cosas quedarán igual. Sin embargo, sí hay un cierto descuento. a) Cuál es el verdadero descuento? b)si un traje valía 550, cuál será su valor en cada paso del proceso? a) Aumento del 40% 8 Índice de variación: 1,4 A este aumento, se le aplica un descuento del 40% 8 8 Índice de variación: 0,6 1,4 = 0,84 Por tanto, se ha aplicado una rebaja total del 16%. b) Tras la primera subida: 550 1,4 = Tras la rebaja del 40%: 770 0,6 = Unas acciones suben un 18%. Después, bajan un 15% y suben un 20%. Cuál es la variación total, epresada en porcentaje, del precio de dichas acciones? Subida del 18% (1,18) 8 Bajada del 15% (0,85) 8 Subida del 20% (1,2) Índice de variación total = 1,18 0,85 1,2 = 1,206 Por tanto, las acciones han subido un 20,6%. 12 Un pueblo tenía habitantes. Su población aumentó un 18% y, después, un 25%. Cuántos habitantes tiene ahora? ,18 1,25 = habitantes.

12 PÁGINA 7 Pág Un banco paga el 6% anual por el dinero depositado. Un inversor pone Al cabo de un año deja el dinero y los intereses y añade otros Cuánto dinero le darán al acabar otro año? Tras el primer año, tendrá: ,06 = Tras añadir , tendrá: = Al acabar otro año, tendrá: ,06 = Cuánto producen durante 6 meses al 4% anual? 6 meses es medio año. Un 4% anual significa un 2% semestral: = 20 producen en 6 meses. Se depositan al %. Al acabar el año, se saca todo el dinero, se añaden 820 y se deposita todo en otro banco al 5%. Cuánto dinero hay al final de otro año? Tras el primer año: ,0 = Se añaden 820 : = Tras el segundo año: ,05 = Cuánto producen durante 8 meses al 6% anual? 8 meses son 8 de año. Un 6% anual significa 8 6 = 4% en 8 meses Por tanto, producen ,04 = 40 en 8 meses. PÁGINA 74 5 Un inversor coloca al 4,8% anual durante 5 años. Cuánto tendrá al final de ese periodo? Tendrá (1,048) ,15. 6 En cuánto se transforman durante 5 años al 4,8% anual, si los periodos de capitalización son mensuales? 4,8 : 12 = 0,4. Un 4,8% anual significa un 0,4% mensual. Como en 5 años hay 5 12 = 60 meses: C F = (1,004) ,8

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