1. Experimentos aleatorios

Transcripción

1 1. Eperimentos aleatorios La eperimentación es útil porque si se supone que llevamos a cabo ciertos eperimentos bajo condiciones esencialmente idénticas se llegará a los mismos resultados. En estas circunstancias, se tiene la capacidad de controlar el valor de las variables que afectan el resultado del eperimento Sin embargo, en algunos eperimentos, no somos capaces de indagar o controlar el valor de determinadas variables, de manera que el resultado cambiará de un eperimento a otro, a pesar de que a mayoría de las condiciones son las mismas. Estos eperimentos se describen como aleatorios.

2 Eperimentos aleatorios Ejemplos 1. Lanzar una moneda Resultado: sello (S) o cara (C), es decir elementos de conjunto {S,C} 2. Lanzar un dado Resultado: {1,2,3,4,5,6} 3. Lanzar dos veces una moneda Resultado: {CC,CS,SC,SS } 4. Si un eperimento consiste en medir la vida útil de focos producidos por una compañía, entonces el resultado del eperimento es el tiempo t que se encuentre en algún intervalo, por ejemplo 0 t 4000 Donde suponemos que ningún foco dura más de 4000 horas.

3 2. Espacio de la muestra Espacio muestra: Un conjunto S que consta de todos los resultados posibles de un eperimento aleatorio se llama espacio muestral. Punto muestral: Cada resultado de un eperimento aleatorio se conoce como punto muestral.

4 Espacio de la muestra Con frecuencia habrá más de un espacio muestral que puede describir los resultados de eperimento, pero generalmente habrá o que provee la mayor información Eperimento: Lanzar un dado 1. Espacio muestral 1: {1,2,3,4,5,6} 2. Espacio muestral 2: {par, impar}

5 Un espacio muestral puede ser Espacio de la muestra Finito: Si tiene un número finito de puntos Infinito contable: Si tiene tantos puntos como los números naturales 1,2,3,..., Espacio muestral discreto Infinito no contable: Si tiene tantos puntos como los números en el intervalo 0 1 Espacio muestral no discreto

6 3. Eventos Un evento es un subconjunto A del espacio muestral S, es decir un subconjunto de resultados posibles. Si el resultado de un eperimento es un elemento de A, entonces se dice que el evento A ocurrió. Un evento que consta de un punto sencillo de S se denomina con frecuencia un evento simple o elemental.

7 Eventos Ejemplo: Eperimento: Lanzar una moneda 2 veces El evento de que sólo resulte una cara es el subconjunto del espacio muestral que consta de los puntos (0,1) y (1,0) (0,1) (1,1) (0,0) (1,0)

8 Eventos Como eventos particulares tenemos: S el cual es el evento cierto o seguro, dado que un elemento de S debe ocurrir. El conunto vacío, que se denomina el evento imposible, porque un elemento de nunca puede ocurrir.

9 Eventos Usando operaciones de conjunto sobre eventos en S, podemos obtener otros eventos en S. Si A y B son eventos, entonces 1. A B es el evento A o B o ambos. A B 2. es el evento A y B. se denomina la intersección de A y B. A 3. es el evento no A. A se denomina complemento de A A B A B 4. es el evento A pero no B. En particular A S A

10 Eventos Si los conjuntos que corresponden a los eventos A y B son disjuntos, es decir, A B, decimos que los eventos son mutuamente ecluyentes. A B Decimos que una colección de eventos A 1, A 2,...A 3 es mutuamente ecluyente si cada par en la colección es mutuamente ecluyente.

11 Ejemplo Eventos Eperimento: Lanzar dos veces una moneda A B es el evento al menos ocurre una cara y el evento el segundo lanzamiento es un sello. A={CS, SC, CC} B={CS, SS} AUB { CS, SC, CC, SS} S A B {CS} A' { SS} A B { CS, CC}

12 4. Concepto de Probabilidad En cualquier eperimento aleatorio hay siempre incertidumbre sobre si ocurrirá un evento en particular. Como medida de la oportunidad o probabilidad, con que esperamos que ocurra cierto evento, es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Si estamos seguros que tal evento ocurrirá decimos que tiene 100% de probabilidad o 1, pero si estamos seguros que el evento no ocurrirá decimos que su probabilidad es cero.

13 Concepto de Probabilidad Cálculo de la probabilidad de un evento. 1. Enfoque clásico Si un evento puede ocurrir en h maneras diferentes de un número total de n maneras posibles, todos ellos son igualmente posibles. La probabilidad de un evento es h/n 2. Enfoque frecuentista Si después de n repeticiones de un eperimento, donde n es muy grande, se observa que un evento ocurre h veces entonces. La probabilidad de un evento es h/n

14 Concepto de Probabilidad Tanto el enfoque clásico como el enfoque frecuentista presentan serios inconvenientes. Las frases Igualmente posibles Número grande son vagas. Debido a estos los matemáticos se han regido por el enfoque aiomático de la probabilidad

15 Concepto de Probabilidad Aiomas de probabilidad Supongamos que se tiene un espacio muestral S. Para cada evento A en la clase C de eventos, asociamos un número real P(A). P se denomina la función de probabilidad P(A) se denomina la probabilidad del evento A, si se cumplen los siguientes aiomas:

16 Concepto de Probabilidad Aiomas de probabilidad Aioma 1. Para cada evento A en la clase C, P(A) 0 Aioma 2. Aioma 3. Para el evento cierto o seguro S en la clase C, P(S) 1 Para cualquier número de eventos mutuamente ecluyentes A 1, A 2,... en la clase C, P ( A1 A2 1 A2 ) P( A ) P( )

17 5. Asignación de Probabilidades Si un espacio muestral S consta de un número finito de resultados a 1, a 2,...,a n, entonces P( A ) P( A2 ) P( A 1 n ) 1 (1)

18 Asignación de probabilidades Si se supone que eisten probabilidades iguales para todos los eventos sencillos, entonces h P( A k ) k 1,2,, n n y si A es un evento cualquiera compuesto de h eventos sencillos, tenemos h P( A) n

19 6. Teoremas de Probabilidad Teorema 1: Si es el conjunto vacío, entonces P( ) 0 Teorema 2: P( A') 1 P( A) Teorema 3: P( A B) P( A) P( B) P( A B)

20 Teorema 6: Si entonces Teoremas de probabilidad Teorema 5: Si, donde son eventos mutuamente ecluyentes, entonces ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C B A P C B P C A P B A P C P B P A P C B A P A n A A A 2 1 n A A A,, 2, 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 n A P A P A P A P B A ) ( ) ( B P A P Teorema 4:

21 7. Probabilidad condicional Sean A y B dos eventos tal que P(A) 0 Probabilidad condicional P( B A) Es la probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A. P( B A) P( A B) P( A) Puesto que se sabe que A ocurrió, éste se convierte en el nuevo espacio muestral reemplazando al original S.

22 8. Teoremas de probabilidad condicional La probabilidad condicional satisface las propiedades correspondientes a probabilidades 1. 0 P( AB) 1 2. P( S B) 1 3. P ( A1 A2 1 2 B B) P( A B) P( A )

23 9. Eventos independientes Si P( B A) P( B), es decir que la probabilidad de que ocurra B no está afectada por la ocurrencia o no de A, entonces se dice que A y B son eventos independientes. Esto equivale a P( A B) P( A) P( B) (2) Inversamente si se cumple (2), entonces A y B son eventos independientes.

24 10. Análisis combinatorio Cuando no es posible realizar el conteo directo para obtener las probabilidades, el uso del análisis combinatorio puede ser útil. Si los conjuntos A, A, 1 2 A k tienen respectivamente, n 1,n 2,...,n k elementos, entonces eisten n n formas de seleccionar primero un elemento de A 1, seleccionar después un elemento de A 2... y finalmente seleccionar un elemento de A k. 1 2 n k

25 Diagramas de árbol Análisis combinatorio En eperimentos simples, puede resultar útil un diagrama de árbol en la enumeración de un espacio de muestreo. Ejemplo: Ep: Lanzar tres veces una moneda. El conjunto de posibles resultados pudo haberse obtenido siguiendo todos los recorridos en el siguiente diagrama de árbol. C S C S C S C S C S C S C S

26 Análisis combinatorio Principio de multiplicación Si los conjuntos n, n, 2, 1 n k A, 1 A, 2 A k elementos, entonces eisten n 1 n 2 tienen respectivamente, formas de seleccionar primero un elemento de A 1, seleccionar después un elemento de A 2... y finalmente seleccionar un elemento de A k. n k

27 Análisis combinatorio Permutaciones Suponga que eisten n objetos diferentes y se quieren ordenar r de estos objetos en línea. Puesto que eisten n maneras de escoger el primer objetos, n-1 maneras de escoger el segundo objetos,..., y finalmente n-r+1 maneras de escoger el r-ésimo elemento, a partir del principio multiplicativo, se deduce que el número de arreglos diferentes o permutaciones, está dado por P r n( n 1) ( n 2) ( n r n 11.1 Donde se observa que el producto tiene r factores. 1)

28 Análisis combinatorio Permutaciones En el caso particular donde r=n, se obtiene: n P r el cual se llama n factorial. n( n 1) ( n 2) 1 n! La ecuación 11.1 se puede escribir en términos de factorial como n P r ( n n! r)! Por la ecuación 11.2, si r=n entonces 0!=1, lo cual se tomará como definición.

29 Análisis combinatorio Permutaciones Suponga que un conjunto consta de n objetos de los cuales n 1 son de un tipo (es decir que no se pueden distinguir entre si), n 2 son de otro tipo,, n k son de un k-ésimo tipo, tal que n=n 1 +n 2 + +n k. Entonces el número de permutaciones diferentes del objeto es n P r n! n n!! n 1 2 k!

30 Análisis combinatorio Permutaciones Ejemplo: El número de permutaciones de 11 letras de la palabra MISSISSIPPI, las cuales constan de 1 M, 4 I, 4 S y 2 P, es 11! 1!4!4!2! 34650

31 Análisis combinatorio Combinaciones En una permutación nos interesa el orden de los objetos. Por ejemplo abc es una permutación diferente de bca. Sin embargo en muchos problemas sólo es de interés la selección de los objetos sin tener en cuenta el orden Este tipo de selecciones reciben el nombre de combinaciones. Por ejemplo abc y bca son la misma combinación.

32 Análisis combinatorio Combinaciones El número total de combinaciones de r objetos seleccionados entre n se denota por ( n ) r n C r n! r!( n r )! La cual también puede escribirse como n Pr ncr r! Es fácil mostrar que n C r n C n r

33 Coeficientes binomiales Análisis combinatorio ( ) n Los números con frecuencia se llaman r coeficientes binomiales porque provienen de la epansión binomial n ( 1 ) ( 2 ) ( n ) (+y) n = n n + n-1 n y + n-2 y y n Ejemplo: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) (+y) 4 = y + 2 y y y 4 ( y ) y 6 y 4y y

34 11. Teorema de Bayes Teorema Suponga que A, A, 1 2 A n son eventos mutuamente ecluyentes cuya unión es el espacio muestral S, es decir que debe de ocurrir uno de los eventos. Si A es un evento cualquiera entonces P( A k A) P( A n j 1 k P( A ) P( A A j k ) ) P( A A j )

35 1. Variables aleatorias Supongamos que a cada punto del espacio muestral le asignamos un número real. Entonces se tiene definida una función en este espacio muestral. S X R Esta función recibe el nombre de Variable Aleatoria o Estocástica O más precisamente Función Aleatoria o Estocástica Y usualmente se denota con una letra mayúscula como X o Y

36 Variables aleatorias Ejemplo: Ep. Lanzar una moneda dos veces al aire. Espacio muestral S={CC, SS,SC,SS} Definir la variable aleatoria X que describa el número de caras que pueden salir Punto muestral CC CS SC SS X Se debe observar que muchas otras variables aleatorias pueden definirse en este mismo espacio muestral.

37 Variables aleatorias Una variable aleatoria que toma un número finito o contable infinito de valores se llama variable aleatoria discreta Una variable aleatoria que toma un número de valores infinito no contable se llama variable aleatoria no discreta

38 2. Distribuciones de probabilidad discreta Sea X una variable aleatoria discreta, y supongamos que los posibles valores que ésta puede asumir están dados por S 1, 2, X 3,, R Supongamos también que estos valores se asumen con probabilidades dadas por P( X Donde k f ( ) k ) 1, 2, 0 f ( ) k f() se denomina Función de probabilidad o Distribución de probabilidad

39 Distribuciones de probabilidad discreta Función (o distribución) de probabilidad En general f() es una función de probabilidad o distribución de probabilidad si 1. f ( ) 0 2. f ( ) 1 Donde la suma en 2 toma todos los valores posibles de.

40 Distribuciones de probabilidad discreta Ejemplo: Encuentre la función de probabilidad correspondiente a la variable aleatoria X definida como sigue: Punto muestral CC CS SC SS X Tenemos que P(CC) = P(CS) = P(SC) = P(SS) = Entonces P( X P( X P( X 0 ) P( SS ) ) P( CS SC ) P( CS ) P( SC ) 2 ) P( CC ) f() ¼ ½ ¼

41 3. Funciones de distribución para variables aleatorias La función de distribución acumulada o de manera breve la función de distribución, para una variable aleatoria X está definida por F( ) P( X ) donde es un número real cualquiera, es decir,

42 Funciones de distribución para variables aleatorias Propiedades de F() 1. F() es una función no decreciente, es decir F( ) F( y ) si y 2. lim F( ) 0; lim F( ) 1; 3. F() es continua por la derecha, es decir lim F( h ) F( ) h 0

43 4. F() para variables aleatorias discretas La función de distribución para una variable aleatoria discreta X puede obtenerse a partir de su función de probabilidad notando que, F( ) P( X ) u f (u ) (, ) donde la suma sustituye todos los valores u tomados por X para la cual u

44 F() para variables aleatorias discretas Si X toma solamente un número finito de valores 1, 2,, n, entonces la función de distribución está dada por ) ( f ) ( f ) ( f ) ( f ) ( f ) F( n n

45 F() para variables aleatorias discretas Ejemplo a) Encuentre la función de distribución de la variable aleatoria del ejemplo anterior b) Elabore su gráfica

46 F() para variables aleatorias discretas Observaciones: 1. Las magnitudes de los saltos en 0, 1,2, son ¼, ½, ¼ que son precisamente las probabilidades de f(). Este hecho permite obtener la función de probabilidad a partir de la función de distribución. 2. Debido a la apariencia de la gráfica calculada, ésta se denomina con frecuencia función escalonada o función paso. El valor de la función en un entero se obtiene a partir del paso más grande 3. A medida que avanzamos de izquierda a derecha, la función de distribución permanece igual o aumenta tomando valores entre 0 y 1. Debido a esto se dice que F() es una función monótonamente creciente.

47 F() para variables aleatorias discretas A partir de la observación anterior y de las propiedades de la función de distribución, es claro que la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta puede obtenerse a partir de la función de distribución, notando que f ( ) F( ) u lim F( u )

48 5. Variable aleatorias continuas Se dice que una variable aleatoria no discreta X es continua, si su función de distribución se puede representar como F( ) P( X ) f (u )du (- ) donde la función f() tiene las siguientes propiedades 1. f ( ) 0 2. f ( )d 1

49 Variable aleatorias continuas A partir de lo anterior se deduce que si X es una variable aleatoria continua, entonces la probabilidad de que X tome cualquier valor particular es cero, mientras que la probabilidad de intervalo de que X se encuentre entre dos valores diferentes por ejemplo a y b, está dada por P( a b ) b a f ( )d Cualquier función f() que satisfaga las propiedades anteriores 1 y 2 se denominará función de densidad. Las probabilidades requeridas se obtendrán a partir de la ecuación previa

50 Variable aleatorias continuas La probabilidad de que X esté entre dada por: y está P ( X ) f ( u) du Si es pequeño, tenemos aproimadamente que: P ( X ) f ( )

51 6. Interpretaciones gráficas Función de densidad f() Si f() es la función de densidad de la variable aleatoria X, entonces: 1. y=f() se puede representar por medio de una curva f() 2. Dado que f () 0, la curva no puede caer por debajo del eje 3. El área completa limitada por la curva y el eje bebe ser igual a 1 4. Geométricamente la probabilidad de que X se encuentre entre a y b, se representa por el área sombreada a b

52 Interpretaciones gráficas Función de distribución F() 1. F()= P( X ) puede ser representada por una curva como se muestra en la figura. F() 2. F() es una función monótona decreciente que se incrementa de 0 a 1.