Incertidumbre. Dr. Jesús Antonio González Bernal

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1 Incertidumbre Universidad Politécnica de Puebla Dr. Jesús Antonio González Bernal

2 Introducción In which we see what an agent should do when not all is crystal clear. R&N, pg 462 2

3 Introducción Sea la acción A t = salir al aeropuerto t minutos antes del vuelo t Me llevará el agente A t al aeropuerto a tiempo? Posibles problemas Ambiente parcialmente observable (estado del camino, planes de otros choferes, etc.) Sensores ruidosos (reportes del tráfico) Incertidumbre en la salida de las acciones (ponchadura, etc.) Muy complejo modelar y predecir el tráfico Un método puramente lógico podría Riesgo a falsedad d A 25 me llevara ahí a tiempo, ó Llevar a conclusiones muy débiles para la toma de decisiones A 25 me llevará ahí a tiempo si no hay un accidente en el puente y no llueve y no sufro ponchaduras, etc (A 1440 podría razonablemente llevarme a tiempo pero tendría que pasar la noche en el aeropuerto ) 3

4 Métodos para Manejar Incertidumbre Default o lógica no monotónica (asumir ) Asumir que mi carro no tiene una llanta ponchada Asumir que A 25 trabaja a menos que haya evidencia contradictoria Problemas: Es razonable lo que asumimos?, Cómo manejamos las contradicciones? Reglas con problemas por resolver A AtAirportOnTime Sprinkler 0.99 WetGrass WetGrass 0.7 Rain Problemas con la combinación: Sprinkler causa Lluvia? Probabilidad Dada la evidencia, A 25 me llevará a tiempo con probabilidad

5 Probabilidad Las afirmaciones probabilísticas resumen los efectos de Pereza: fallar en enumerar todas las excepciones, cuantificadores, etc. Ignorancia: falta de hechos relevantes, condiciones iniciales, etc. Probabilidad Subjetiva o Bayesiana: Probabilidades relacionan proposiciones a nuestro propio estado de conocimiento P(A 25 no se reportan accidentes) = 0.06 No son afirmaciones con tendencia probabilística en la situación actual Se pueden aprender a partir de la experiencia de situaciones similares Probabilidades de proposiciones cambian con nueva evidencia P(A 25 no reporte accidentes, 5:00am) = 0.15 Análogo a estatus de entailment lógico KB, de no es verdad 5

6 Tomando Decisiones bajo Incertidumbre Suponga que creemos lo siguiente: P(A 25 me lleva a tiempo ) 0.04 P(A( 90 me lleva a tiempo ) 0.70 P(A 120 me lleva a tiempo ) 0.95 P(A 1440 me lleva a tiempo ) Qué acción elegir? Depende de mis preferencias entre perder el vuelo vs comer en el aeropuerto, etc. Teoría de Utilidad Se utiliza para representar e inferir preferencias Teoría de Decisiones = Teoría de Utilidad + Teoría de Probabilidad 6

7 Introducción a la Probabilidad Iniciamos con un conjunto, el espacio de muestra i.e., 6 posibles tiradas de un dado es un punto de muestra / posible mundo / evento atómico Un espacio de probabilidad o modelo de probabilidad es un espacio de muestra con una asignación P( ) para cada tal que: Un evento A es un subconjunto de 7

8 Variables Aleatorias Una variable aleatoria (va) (v.a.) es una función de un conjunto de puntos a un rango, i.e., los reales o booleanos ie i.e., P(heads) = 0.5, 05 Odd(1) = true P induce una distribución de probabilidad para cada v.a. X: 8

9 Proposiciones Pensar en una proposición p como un evento (conjunto de puntos muestra) donde la proposición es true Dadas las variables aleatorias booleanas A y B: Evento a = conjunto de puntos muestra donde A(w) = true Evento a = conjunto de puntos de muestra A(w) = false Evento a b = puntos donde A(w) = true y B(w) = true En aplicaciones de IA es común que los puntos de muestra estén definidos por los valores de un conjunto de variables aleatorias, i.e. el espacio de muestra es el producto cartesiano de los rangos de las variables Con variables booleanas, punto de muestra = modelo de lógica proposicional Proposición = disyunción de eventos atómicos en el cual es verdad 9

10 Porqué usar Probabilidades? Las definiciones implican que ciertos eventos relacionados lógicamente deben relacionar probabilidades 10

11 Sintaxis para Proposiciones Variables aleatorias Proposicionales o Booleanas i.e. Caries( tengo una caries?) Caries = true es una proposición, también se escribe como Caries Variables aleatorias discretas (finitas ó infinitas) i.e., Clima es uno de (soleado, lluvioso, nublado, nevado) Clima = lluvioso es una proposición Los valores deben ser exhaustivos y mutuamente excluyentes Variables aleatorias continuas (acotadas o no acotadas) i.e.temp < 21.6 ó 20.0 < Temp <

12 Probabilidad a-priori Probabilidades a-priori o incondicionales de proposiciones p i.e. P(Cavidad = true) = 0.1 y P(Clima = soleado) = 0.72 Corresponden a una creencia a-priori para la llegada de nueva evidencia Distribución de probabilidad da valores a las posibles asignaciones: P(Clima) = {0.72, 0.1, 0.08, 0.1) (normalizados, i.e., suman 1) Distribución de probabilidad conjunta para un conjunto de v.a. da la probabilidad de cada evento atómico sobre esas v.a. (i.e. en cada punto de muestra) P(Clima, Caries) = una matriz de 4 x 2 valores Cd Cada pregunta sobre un dominio ii se puede responder con la ditib distribución ió de probabilidad bbilidd porque cada evento es una suma de sus puntos de muestra 12

13 Probabilidad Condicional Probabilidades condicionales o posteriores i.e., P(caries dolor-dientes) = 0.8 i.e., dado que dolor-dientes es todo lo que se NO Si dolor-dientes dientes entonces 80% posibilidad de caries Notación para distribuciones condicionales: P(caries dolor-dientes) = vector de 2 elementos de vectores de 2 elementos Si sabemos más, i.e., caries también esta dado, d entonces P(caries dolor-dientes, caries) = 1 Nota: la creencia menos específica sigue siendo válida después de que llega más evidencia, i pero no siempre es útil La nueva evidencia puede ser irrelevante, permitiendo simplificar P(caries dolor-dientes, CA-gana) = P(caries dolor-dientes) = 0.8 Esta clase de inferencia, afectada por conocimiento del dominio, es muy importante 13

14 Probabilidad Condicional Definición de probabilidad condicional Regla del producto permite una alternativa ti Aplica una versión general para distribuciones completas: Se ve como ecuaciones de 4 x 2, no multip. Matrices Regla de la cadena se deriva aplicando sucesivamente regla del producto 14

15 Inferencia por Enumeración Iniciar con la distribución conjunta Para cualquier proposición, la suma de los eventos atómicos en que es verdadera: 15

16 Inferencia por Enumeración Iniciar con la distribución conjunta: Para cada proposición, la suma de los eventos atómicos en que es verdadera: 16

17 Inferencia por Enumeración Iniciar con la distribución conjunta Para cada proposición, la suma de los eventos atómicos en que es verdadera: 17

18 Inferencia por Enumeración Se inicia con la distribución de probabilidad conjunta También se pueden calcular probabilidades condicionales 18

19 Normalización El denominador se puede ver como una constante de normalización para que P(Cavity toothache) sume 1 19

20 Independencia A y B son independientes iff 32 entradas se reducen a 12 Independencia absoluta poderosa pero rara Dominio de dentista muy grande, cientos de variables, ninguna de ellas es independiente. qué hacemos? 20

21 Independencia Condicional P(dolor-diente diente, caries, identificar) tiene = 7 entradas indep. Si tengo caries, la prob. de que la prueba lo identifique no depende de si tengo un dolor de dientes La misma independencia se sostiene si no tengo la caries Identificar es condicionalmente independiente de dolordientes dada caries Equivalencias 21

22 Independencia Condicional Se escriben distribuciones conjuntas completas usando la regla de la cadena i.e = 5 números indep. (ecuaciones 1 y 2 quitan 2) En la mayoría de los casos, usar indep. cond. Reduce el tamaño de la representación de la distribución disjunta de exponencial en n a lineal en n. Independencia condicional es nuestra forma más básica y robusta de conocimiento acerca de ambientes con incertidumbre 22

23 Regla de Bayes Regla del producto O en forma de distribución Útil para asignar probabilidad diagnóstica a partir de probabilidad causal I.e. sea M meningitis, S sea torcedura de cuello Nota: probabilidad posterior de meningitis es todavía muy pequeña 23

24 Regla de Bayes e Independencia Condicional Este es un ejemplo de un modelo naive Bayes El número total de parámetros es lineal en n 24

25 25 Mundo del Wumpus

26 Especificando el modelo de probabilidad La distribución conjunta completa es Aplicando regla del producto Se hace así para obtener P(Efecto Causa) Primer término: 1 si pozos son adyacentes a brizas, 0 de otra manera Segundo término: pozos son acomodados aleatoriamente, probabilidad de 0.2 por cuadro para n pozos 26

27 Observaciones y queries Conocemos los siguientes hechos El query es Se define Desconocido = P ij que no son P 1,3 y Conocido Para inferencia por enumeración tenemos Crece exponencialmente con el número de cuadros 27

28 Usando Independencia Condicional Idea básica: las observaciones son condicionalmente independientes de otros cuadros escondidos dados los cuadrados a vecinos escondidosos Manipular el query a una forma donde se pueda usar esto 28

29 29 Usando Independencia Condicional

30 30 Usando Independencia Condicional

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