Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva

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1 Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid. Áre encerrd por un curv Índice de contenido El prolem del cálculo del áre...2 Propieddes de l integrl definid...3 Teorem fundmentl del cálculo integrl. Regl de Brrow...7 Ejemplo de cálculo de áre...9

2 Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin 2/0 El prolem del cálculo del áre El cálculo integrl tuvo su origen en l resolución l pregunt sore el áre de un superficie limitd por curvs. Cundo el recinto cotdo es un polígono de ldos rectos, usmos fórmuls ien conocids: áre de un triángulo, de un rectángulo, etc. Pero cundo no tenemos un polígono, sino funciones que se cortn, el sunto se complic. L función f ( x) encierr un áre A con eje OX y rects verticles x =2, x=4 Si f (x) es positiv en el intervlo [,], l integrl f (x)dx recie el nomre el áre encerrd por l curv de f (x) con el eje OX entre los límites de integrción x= y x=. Áre= f ( x)dx Si f (x) es negtiv en el intervlo [, ], el vlor soluto de l integrl f (x )dx coincide con el áre encerrd por l curv de entre los límites de integrción x= y x=. f (x) con el eje OX Áre= f (x)dx= f ( x)dx L expresión f (x)dx se denomin integrl definid de f (x) en [,].

3 Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin 3/0 Propieddes de l integrl definid Se f (x) un función continu en el intervlo cerrdo [,] y c [,]. L integrl definid con límite inferior y límite superior cumple: c f (x)dx= f (x)dx+ c f ( x)dx Es decir: si c está entre los límites y podemos romper l integrl definid como sum de dos integrles. Si f (x) es positiv en el intervlo [, ], l integrl definid f (x)dx coincide con el áre encerrd por l curv de f (x) con el eje OX entre los límites de integrción x= y x=. f (x )dx coincide con áre encerrd por f ( x ), eje OX y límites de integrción Ojo! Pr poder plicr est propiedd es fundmentl que l función esté por encim del eje de sciss. Si está por dejo deemos plicr el vlor soluto pr otener un vlor positivo del áre. Si f (x) es negtiv en el intervlo [, ], el vlor soluto de l integrl definid f (x)dx coincide con el áre encerrd por l curv de OX entre los límites de integrción x= y x=. f (x) con el eje

4 Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin 4/0 f ( x) dx coincide con áre encerrd por f ( x ), eje OX y límites de integrción Si los extremos del intervlo [, ] coinciden ==> = considerd es cero: ==> el áre de l región f (x)dx=0 Si cmimos el orden de los límites de integrción, l integrl definid cmi de signo: f (x)dx= f (x)dx L integrl definid de l sum de funciones f (x) y g ( x) es l sum de ls integrles definids: ( f (x)+ g(x))dx= f ( x)dx+ g( x)dx L integrl del producto de k R por l función l integrl de f (x) : f (x) es igul l producto de k R por k f (x)dx=k f ( x)dx

5 Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin 5/0 Si f (x) y g( x) son dos funciones positivs en el intervlo [, ], tles que f (x) g( x), x [,] (es decir, l gráfic de f (x) siempre permnece por encim de l gráfic de g( x) ), se cumple: f (x )dx g ( x)dx Es decir, el áre encerrd por por g( x) sore el eje OX. f (x) sore el eje OX es myor que el áre encerrd Por lo generl, dmitiremos que tod función f ( x) continu en [, ] es integrle en [, ] (no vmos demostrr est firmción). Y tmién dmitiremos que f (x ) posee un vlor c [, ] que stisfce l siguiente relción conocid como Teorem de l medi (que tmpoco vmos demostrr): f (x )dx= f (c)( ) L interpretción geométric del Teorem de l medi nos dice que existe un vlor c [, ] tl que el áre del rectángulo cuy se mide y cuy ltur mide f (c) es igul l áre del recinto cuy medid nos d l integrl definid. Teorem de l medi

6 Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin 6/0 Trs ests propieddes de l integrl definid, l pregunt que se nos plnte es stnte evidente: Cómo demonios clculo numéricmente f (x)dx? Existe un definición forml de integrl definid, nálog ls que vimos en su dí pr el concepto de límite, de continuidd o de derivilidd. En est ocsión no vmos desrrollr est definición forml, sino que vmos centrrnos en un método más directo y práctico pr los prolems que suelen presentrse nivel de Bchillerto. Este método práctico necesit que definmos el Teorem fundmentl del cálculo integrl y l conocid como regl de Brrow. Pues ello vmos!!!!

7 Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin 7/0 Teorem fundmentl del cálculo integrl. Regl de Brrow Teorem fundmentl del cálculo integrl Si f ( x) es un función positiv y continu en [, ], l función definid por x A( x)= f ( x)dx es un primitiv de f ( x) en [, ] y cumple A ' (x)= f (x), x [,]. A( x) coincide con el vlor del áre encerrd por l curv f (x) con el eje OX y los límites de integrción, x. Este teorem no lo vmos demostrr, pero sí desrrollremos lguns de sus conclusiones o corolrios principles. x L expresión l integrl definid como f (x)dx se conoce como integrl definid de f (x). Si x= definimos f (x)dx. El vlor del áre f (x)dx depende de l form de l curv generd por f (x) y del intervlo [, ]. Es decir, el resultdo finl no depende de l vrile x. En l definición del teorem fundmentl del cálculo integrl hemos considerdo <. Si tuviérmos < se define l siguiente iguldd: f (x)dx= f (x)dx Si en un integrl definid se intercmin los límites de integrción, l integrl definid cmi de signo. Si <, llmremos límite de integrción inferior l vlor y límite de integrción superior l vlor. Regl o Corolrio de Brrow Se f (x) un función continu en [, ] y se F ( x) un primitiv de f (x ) en [,]. Entonces se cumple: f (x)dx=[f (x)] =F () F ()

8 Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin 8/0 Demostrción: Si integrl, semos que existe en [,]. f (x) es continu en [, ], por el teorem fundmentl del cálculo x A( x)= f ( x)dx y que A( x) es un primitiv de f (x) Es decir: A ' (x)= f (x), x [,]. Y el vlor A( x) nos inform del áre encerrd, como y semos. Si F ( x) es primitiv de f (x) ==> F ' (x)= f ( x). Por lo tnto, tenemos dos primitivs de f (x). L primitiv F ( x) y l primitiv A( x) que nos inform del áre encerrd. Ams primitivs se distinguen en solo un constnte. A( x)=f (x)+ constnte Pr x= A( )=F ()+ constnte. Recordmos que x A( x)= f ( x)dx. Por ls propieddes de l integrl definid: A( x=)=a()= A( x)=f (x) F () f ( x)dx=0 0=F ()+ constnte constnte= F () Est iguldd se cumple pr culquier vlor x [, ]. En prticulr pr x= : A( x=)= A()=F () F (). Y de l definición de integrl definid: x A( x)= Igulndo los dos resultdos otenidos pr f ( x)dx A()= f ( x)dx. A() demostrmos el corolrio de Brrow. f (x)dx=f () F ()

9 Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin 9/0 Ejemplo de cálculo de áre Otener el áre encerrd por f ( x)=ln( x) con el eje de sciss en el intervlo [ 0,5]. Al representr gráficmente l curv, vemos que prte de l curv está por dejo del eje de sciss y prte por encim. Y el corte con el eje OX se produce en x=. El áre totl A uscd será (según notción de l gráfic superior): A= A + A 2 A Áre desde x = 0 hst x= A = ln( x)dx 0 5 A 2 Áre desde x= hst x=5 A 2 = ln(x)dx Por lo tnto, deemos otener un primitiv de en cd trmo de áre definid. f (x)=ln( x) y plicr l regl de Brrow ln (x)dx=x ln(x) x+c Donde hemos plicdo el método de integrción por prtes.

10 Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin 0/0 Al sustituir en l integrl definid no es necesrio que usemos l constnte C, y que ést cncel l plicr l regl de Brrow. A = ln( x)dx= [x ln( x) x] = [( ln() ) ( 0 ln ( 0 ) 0 )] A 2 = ln(x)dx=[ x ln( x) x] 5 =[(5 ln (5) 5) ( ln() )] Opermos (recuerd que el logritmo de un cociente es l diferenci del logritmo del numerdor menos el logritmo del denomindor). A = [(0 ) ( 0 ln (0) 0 )]= 0 ln(0) 0 = ln(0) A 2 =[(5 ln(5) 5)+]=5 ln(5) 4 Por lo tnto: A= A + A 2 A= 9 0 ln (0)+5 ln(5) 4= ln(0)+5 ln(5) A 4,72 u2 0

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