Fascículo. Matemáticas Financieras. Semestre 3

Transcripción

1 Fascículo 4 1 Fiacieras

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3 Tabla de coteido Págia Itroducció 1 Coceptos previos 1 Mapa coceptual fascículo 4 2 Logros 2 Series uiformes o aualidades 3 Geeralidades 3 Aualidad vecida 4 Valor futuro 5 Valor presete 7 Aualidad aticipada 12 Valor futuro 12 Valor presete 13 Aualidad diferida 15 Actividad de trabajo colaborativo 18 Resume 18 Bibliografía recomedada 19 Nexo 19 Seguimieto al autoapredizaje 21 Créditos: 3 Tipo de asigatura: Teórico Práctica

4 Copyright 2008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Uiversidad Abierta y a Distacia, Educació a Través de Escearios Múltiples Bogotá, D.C. Prohibida la reproducció total o parcial si autorizació por escrito del Presidete de la Fudació. La redacció de este fascículo estuvo a cargo de CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA Tutor Programa Admiistració de Empresas Sede Bogotá, D.C. Revisió de estilo y forma; ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacioal de Material Educativo. Diseño gráfico y diagramació a cargo de SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS Impreso e: GRÁFICAS SAN MARTÍN Calle 61A No Tels.: Bogotá, D.C., Octubre de 2009.

5 1 Itroducció U tema fudametal de las Fiacieras básicas es el que se deriva de trasaccioes dode iterviee varias sumas de diero. Detro de estas operacioes surge elemetos que permite abreviar las relacioes cuado estas sumas so iguales y se da e los mismos itervalos de tiempo. La mayoría de créditos comerciales, tarjetas de crédito, cuotas de ahorro programado, etre otras, so aplicacioes cocretas que será abordadas e este fascículo. Para ello, se aalizará diferetes variacioes e los plazos, tasas de iterés e itecioes de cosolidar iformació e diferetes mometos de la serie de pagos. La gestió fiaciera requiere u adecuado maejo de estas operacioes, que está a la orde del día tato e el plao persoal como orgaizacioal. Coceptos previos El estudiate deberá compreder y aplicar coceptos de Iterés Compuesto dode se icluye las relacioes existetes e las tasas de iterés y costrucció de ecuacioes de valores equivaletes.

6 Mapa coceptual fascículo 4 A partir del Iterés Compuesto Se geera operacioes de Series Fijas o Aualidades detro de las cuales se preseta Aualidades Vecidas Aualidades Aticipadas co alguas variates e Aualidades Diferidas Logros Al fializar el estudio del presete fascículo, el estudiate estará e capacidad de: Iterpretar y propoer solucioes a problemas complejos dode iterviee pagos iguales a igual itervalo de tiempo y co diferetes tasas de iterés. Argumetar la pertiecia e el uso y costrucció de ecuacioes y gráficas de tiempo y valor para la resolució de problemas de aualidades. Evaluar el alcace del desarrollo de competecias e el maejo de series fijas, como codició para gestioar co suficiecia créditos fiacieros y otras operacioes a plazos. Recoocer las operacioes crediticias e las formas expresadas mediate series fijas y sus variacioes frete a los plazos, tasas y mometos de pago. 2

7 Series uiformes o aualidades Se cooce como Series Uiformes, aquellos pagos de igual valor que ocurre a itervalos iguales de tiempo. Comercialmete es comú llamarles aualidades, auque su práctica o ecesariamete respode a períodos de año y su periodicidad puede ser mesual, bimesual, trimestral, semestral, etre otros. Por ejemplo, las cuotas fijas de u crédito bacario, el cao de arredamieto de u local comercial, los pagos semestrales de primas, etc., ocurre e períodos diferetes (meores) al año. E este fascículo se aalizará diferetes clases de aualidades, calculado sobre cada ua de ellas su Valor Presete y su Valor Futuro, así como las precisioes de maejo a que haya lugar. Geeralidades Para cosiderar que u cojuto de pagos (igresos o egresos) sea ua aualidad, y se pueda utilizar las fórmulas abreviadas que se ha costruido para estos fies, se requiere tres codicioes: que los pagos tega el mismo valor, que se ecuetre a itervalos iguales de tiempo y que para todos ellos opere ua sola tasa de iterés. Es abudate la clasificació de las aualidades: respecto del mometo de iicio de los pagos se ecuetra las aualidades ciertas, e las que el iicio y fi de los pagos se realiza e fechas determiadas; y cotigetes, cuado se requiera del cumplimieto de ua codició o suceso para el iicio, cuya fecha se descooce. Detro de las alterativas de Aualidades Ciertas, las más comues y sobre las cuales se cetrará la ateció e este fascículo so: Aualidades Vecidas: e las que los pagos se realiza al fial del período. 3

8 Aualidades Aticipadas: e las que los pagos se realiza al pricipio del período. Aualidades Diferidas: e las que trascurre u determiado úmero de períodos (período de gracia) ates de iiciar la serie de pagos. Para ua mejor compresió de las Series Uiformes o Aualidades, se utilizará la siguiete otació: VP = Valor Presete de la aualidad VF = Valor Futuro de la aualidad R = Reta o Catidad Uiforme Periódica: Es el valor de cada pago i = Tasa de Iterés = Número de Pagos Periódicos Aualidad Vecida De acuerdo co la clasificació plateada, se abordará el aálisis de ua aualidad cierta, vecida y si diferir el iicio de los pagos. Sobre la aualidad es posible calcular al meos dos mometos de cosolidació de todos sus valores: al pricipio de la serie de pagos (Valor Presete de la Aualidad) y al fi de la serie de pagos (Valor Futuro). Es muy importate teer e cueta estas reglas de ubicació de los resultados de la aualidad: El Valor Presete de ua aualidad vecida se ubica u período ates del primer pago. El Valor Futuro de ua aualidad vecida se ubica justo e el último pago. 4

9 Valor Futuro Es el valor que resulta de la suma de todos los motos compuestos de los pagos, acumulados al fial de la serie, utilizado para ello fórmulas de valor futuro a Iterés Compuesto. La fórmula de Valor Futuro para ua aualidad vecida es: (1 i) VF R i 1 (Fórmula 4.1) Ejemplo 1 Si al fial de cada trimestre se realiza depósitos e u fodo por valor de $ durate 4 períodos y se pacta ua tasa de redimieto del 2% trimestral, Cuáto tedrá acumulado al fial? Los datos e el caso que se aaliza so: R = $ i = 0,02 trimestral = 4 X Figura 4.1 Represetació gráfica de la aualidad Ejemplo Obsérvese e la figura 4.1 que el Valor Futuro de la aualidad coicide co el mometo del último pago, tal como se expresó e las reglas de ubicació de ua Aualidad Vecida. Se calcula el Valor Futuro de la aualidad, para lo cual se traslada todos los depósitos al fial del cuarto trimestre, de acuerdo co la fórmula 4.1, así: 5

10 VF (1 i) R i 1 4 (1 0,02) 1 = * 0,02 VF = ,60 Respuesta: El valor acumulado al fial de los depósitos (Valor Futuro) es de $ Ahora se explicará el comportamieto de la aualidad, calculado el valor futuro de cada Reta (R) por separado. Se trata de VF = R1 (Valor Futuro durate 3 trimestres) + R2 (Valor Futuro durate 2 trimestres) + R3 (Valor Futuro durate 1 trimestres) + R4 VF = (1+0,02) (1+0,02) (1+0,02) VF = , VF = , VF = ,60 Este resultado cofirma que el valor acumulado al fial de los depósitos (Valor Futuro) es de $ Otro caso frecuete e el tratamieto de aualidades, se da cuado se descooce el valor de los pagos o Retas (R), tal como sucede e el siguiete caso: 6 Ejemplo 2 Se debe cacelar ua obligació por valor de $ co vecimieto e 6 meses. Para completar esta suma, el Gerete cosidera coveiete realizar ua cosigació igual cada mes vecido, e ua cueta de ahorros que recooce itereses a la tasa del 0,3% mesual. Cuál es el valor por el que se ha de realizar cada depósito?

11 Los datos e el caso que se aaliza so: VF = $ i = 0,003 mesual = X X Figura 4.2 Represetació gráfica de la aualidad Ejemplo 2. X X X X E este ejemplo se cooce el Valor Futuro (VF) de la Aualidad, pero se requiere establecer la Reta (R); por esta razó se debe despejar esta variable e la fórmula 4.1, que quedaría así: (1 i) R VF i R = , (1 0,003) 1 = ,003 Respuesta: El valor de cada depósito (R) debe ser de $ Valor Presete Es el valor que resulta de la suma de todos los valores presetes de los pagos, descotados al iicio de la serie, utilizado para ello fórmulas de Valor Presete a Iterés Compuesto. La fórmula de Valor Presete para ua aualidad vecida es: 1 (1 i) VP R i (Fórmula 4.2) Ejemplo 3 Cuál era el valor de cotado del televisor, si fue egociado por 8 cuotas mesuales de y la tasa de fiaciació que se aplicó fue del 2,5% mesual? 7

12 Los datos e el caso que se aaliza so: R = $ i = 0,025 mesual = X Figura 4.3 Represetació gráfica de la aualidad Ejemplo 3. Obsérvese e la figura 4.3 que el Valor Presete de la aualidad se ubica u período ates del primer pago, tal como se expresó e las reglas de ubicació de ua Aualidad Vecida. Se calcula el Valor Presete de la aualidad, para lo cual se traslada todos los depósitos al iicio de la trasacció, de acuerdo co la fórmula 4.2, así: 1 (1 i) VP R i VP = , (1 0,025) = * 0,025 Respuesta: El valor del televisor para pago de cotado (Valor Presete) era de $ Tal vez uo de los usos más frecuetes de las aualidades es el pago de las cuotas de u crédito cuado éste se otorga co modalidad de cuota fija. Siempre se preseta ecesidades de recursos y basta co coocer la tasa de iterés que cobra el baco para hacer las simulacioes que correspode y establecer el valor de los pagos (R). Observe el siguiete ejemplo: 8

13 Ejemplo 4 La empresa requiere u crédito por valor de $ para adquirir ua maquiaria. La tasa de fiaciació del baco está e el 2,2% mesual. El Gerete desea saber cuál es el valor de los pagos si se plaea cacelar el crédito e: A. 36 meses B. 48 meses C. 60 meses Solució A. Los datos e esta alterativa so: VP = $ i = 0,022 mesual = 36 meses E este ejemplo se cooce el Valor Presete (VP) de la Aualidad, pero se requiere establecer la Reta (R); por esta razó se debe despejar esta variable e la fórmula 4.2, así: 1 (1 i) R VP i R = , (1 0,022) = * 0,022 Respuesta A: El valor de las cuotas a 36 meses es de $ Solució B. Los datos e esta alterativa so: VP = $ i = 0,022 mesual = 48 meses 1 (1 i) R VP i R = , (1 0,022) = * 0,022 Respuesta B: El valor de las cuotas a 48 meses es de $

14 Solució C. Los datos e esta alterativa so: VP = $ i = 0,022 mesual = 60 meses 1 (1 i) R VP i R = , (1 0,022) = * 0,022 Respuesta C: El valor de las cuotas a 60 meses es de $ Ejemplo 5 Respecto de la iformació obteida e el ejemplo aterior, el Gerete desea coocer el valor de las cuotas si solamete le cocede el crédito por $ , e cada uo de los tres plazos. a. 36 meses b. 48 meses c. 60 meses Solució D. Los datos e esta alterativa so: VP = $ i = 0,022 mesual = 36 meses 1 (1 i) R VP i R = , (1 0,022) = * 0,022 Respuesta D: El valor de las cuotas por $ a 36 meses es de $ Solució E. Los datos e esta alterativa so: VP = $ i = 0,022 mesual = 48 meses 1 (1 i) R VP i R = , (1 0,022) = * 0,022 10

15 Respuesta E: El valor de las cuotas por $ a 48 meses es de $ Solució F. Los datos e esta alterativa so: VP = $ i = 0,022 mesual = 60 meses 1 (1 i) R VP i R = , (1 0,022) = * 0,022 Respuesta F: El valor de las cuotas por $ a 60 meses es de $ A cotiuació se preseta u resume de las fórmulas utilizadas e aualidades vecidas: Valor Presete (VP) y Valor Futuro (VF); co el despeje de variable Reta (R) e cada ua de ellas. Valor Presete Reta e Valor Presete Valor Futuro Reta e Valor Futuro Tabla 4.1 Resume de fórmulas: Aualidades Vecidas 1 (1 i) VP R i 1 (1 i) R VP i (1 i) VF R i (1 i) R VF i Evalúe la ecesidad de solicitar u crédito persoal y formule u ejemplo dode cosidere al meos dos motos del crédito, dos tasas de iterés y dos plazos diferetes. Halle el valor de las cuotas para cada uo de los casos y socialícelo. 11

16 Aualidad Aticipada E este tema se aalizará los pormeores de ua aualidad cierta, aticipada y si diferir el iicio de los pagos. Se calculará el Valor Presete (VP) y el Valor Futuro (VF) de las series de pagos. U ejemplo de estas aualidades so: los pagos de arredamieto de ua vivieda o de u local comercial, los pagos por pesió e el colegio, etc. Es muy importate teer e cueta estas reglas de ubicació de los resultados de la aualidad aticipada: El Valor Presete de ua aualidad aticipada se ubica justo e el primer pago. El Valor Futuro de ua aualidad aticipada se ubica u período después del último pago. Valor Futuro La fórmula de Valor Futuro para ua aualidad aticipada es: Ejemplo 6 (1 i) 1 VF R i i 1 (Fórmula 4.3) Hoy primero de eero iicio u ahorro, cosigado $ cada mes y durate 12 meses. El baco promete pagar ua tasa del 1% mesual. Cuáto diero tedré e mi cueta el 31 de diciembre? Los datos e el caso que se aaliza so: R = $ i = 0,01 mesual = 12 X 01-Ee 01-Feb 01-Mar 01-Abr 01-May 01-Ju 01-Jul 01-Ago 01-Sep 01-Oct 01-Nov 01-Dic 31-Dic Figura 4.4 Represetació gráfica de la aualidad Ejemplo 6. 12

17 Obsérvese e la figura 4.4 que los pagos iicia al pricipio del primer período. Además ótese que el Valor Futuro (VF) se ubica u período después del último pago, tal como se expresó e las reglas de ubicació de ua Aualidad Aticipada. Se calcula el Valor Futuro (VF) de la aualidad, para lo cual se traslada todos los depósitos al fial del año, de acuerdo co la fórmula 4.3, así: (1 i) 1 VF R i i 1 VF = ,86 (1 0,01) 0,01 1 = * 1 0,01 12 Respuesta: El valor acumulado al fial del año (Valor Futuro) es de $ E caso de requerirse el cálculo de la Reta (R), a partir del Valor Futuro (VF) e ua aualidad aticipada, se debe despejar la fórmula 4.3, así: Valor Presete R ( 1 VF i) 1 i i 1 La fórmula de Valor Presete (VP) para ua aualidad aticipada es: Ejemplo 7 VP 1 (1 i) R i 1 i (Fórmula 4.4) Adquiero u computador de última geeració. La forma de pago que se aucia es: Tres pagos mesuales de $ , el primero al cierre del egocio. La tasa de fiaciació que aplica la empresa es del 2,4% mesual. Cuál es el valor de cotado? 13

18 Los datos e el caso que se aaliza so: R = $ i = 0,024 mesual = 3 meses X Figura 4.5 Represetació gráfica de la aualidad Ejemplo 7. Obsérvese e la figura 4.5 que los pagos iicia al pricipio del primer período. Además ótese que el Valor Presete (VP) coicide justo co el primer pago, tal como se expresó e las reglas de ubicació de ua Aualidad Aticipada. Vale precisar que el pago que se idica e el período cero (0), correspode al pago del primer período, sólo que se realizó e forma aticipada. Igualmete ocurre co el pago 2, que correspode al segudo período, pero visualmete se aprecia e el período 1. Se calcula el Valor Presete de la aualidad, para lo cual se traslada todos los depósitos al pricipio de la serie, de acuerdo co la fórmula 4.4, así: 1 (1 i) VP R i VP = ,32 1 i 1 (1 0,024) 0,024 3 = * 1 0,024 Respuesta: El valor de cotado (Valor Presete) es de $ E caso de requerirse el cálculo de la Reta (R), a partir del Valor Presete (VP) e ua aualidad aticipada, se debe despejar la fórmula 4.4, así: R VP 1 (1 i) i 1 i 14

19 A cotiuació se preseta u resume de las fórmulas utilizadas e aualidades aticipadas: Valor Presete (VP) y Valor Futuro (VF); co el despeje de variable Reta (R) e cada ua de ellas. 1 (1 i) i VP R 1 (1 i) i i 1 (1 i) 1 VF R i i 1 VF R (1 i) 1 i i 1 Valor Presete VP R 1 i Reta e Valor Presete Valor Futuro Reta e Valor Futuro Tabla 4.2 Resume de fórmulas: Aualidades Aticipadas 4.2 Idague e qué otros casos se preseta feómeos de aualidades aticipadas y formule tres problemas. Socialícelos co el tutor para evaluar la cosistecia de sus plateamietos. Aualidad Diferida E este tema se tratará aspectos de ua aualidad cierta y diferida. Este tipo de operacioes es frecuete, sobretodo e la práctica de los créditos bacarios, cuado el objeto social del egocio requiere de u tiempo prudecial para empezar a liberar flujos de caja co los que se ha de amortizar la deuda. Es comú llamarle período de gracia al tiempo e el que o se realiza amortizacioes al saldo del crédito. Es importate mecioar que durate el período de gracia, si bie o se paga itereses, estos se debe determiar; de tal maera que cuado se iicia co el pla de pagos, el valor de las cuotas se calcula sobre la suma de diero más los itereses. 15

20 Por lo demás, las fórmulas que se utiliza so las mismas que para las aualidades vecidas o aticipadas (de acuerdo co el caso), sólo que hay que trasladar alguos resultados co las fórmulas de Iterés Compuesto para calcular sus equivalecias. Ejemplo 8 Para el motaje de ua empresa de cofeccioes, se tramita u crédito bacario por valor de $ El baco cocede u período de gracia de u año, durate el cual o se realizará aboos al capital de la deuda, i pagos de itereses. Al térmio del primer año, el crédito será cacelado mediate pagos semestrales vecidos e u plazo de 4 años. La tasa de iterés pactada es del 11% semestral. Cuál es el valor de los pagos? Se tiee u ejemplo clásico de u crédito e el que el sistema fiaciero le otorga al empresario u plazo prudecial para que la ueva uidad de egocio iicie actividades y pueda cumplir co los pagos coveidos. Se resolverá este problema e dos pasos: primero, se determiará el valor de los $ u año después (al térmio del período de gracia). Segudo, co esta suma acumulada se calculará el valor de los pagos semestrales durate 4 años. Veamos la gráfica que represeta la operació: $ X Período de gracia Período de pago del crédito Figura 4.6 Represetació gráfica de la aualidad Ejemplo 8. R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 Pagos semestrales (Retas) Primer Paso: Se calcula el valor de los $ u año después, co la fórmula de Valor Futuro (F) a Iterés Compuesto, así: F = P(1+i) = (1+0,11) 2 =

21 De esta maera se obtiee la suma co la cual se ha de establecer el valor de los pagos del crédito. Para efectos de este uevo cálculo, los $ se cosidera el Valor Presete (VP) de la aualidad vecida. Así las cosas, se calcula los 8 pagos semestrales: 1 (1 i) R VP i R , (1 0,11) = ,11 Respuesta: El valor de cada uo de los 8 pagos semestrales es de $ E ocasioes, durate el período de gracia, se calcula y se cacela los itereses geerados por la suma iicial del crédito e cada período. De esta maera, cuado se iicia los pagos, estos se determia sobre el valor del desembolso del crédito, ya que los itereses se ha cacelado oportuamete e cada período. Otra forma de platear ua solució al problema aterior, es costruyedo ua ecuació de valores equivaletes dode se traslade el valor del crédito u año adelate y esa suma se covierta e el Valor Presete de la aualidad para el cálculo de los pagos, así: R ( *(1 0,11) R , (1 0,11) ) 0,11 Co este resultado se cofirma el valor de las cuotas que es de $ , e ua sola ecuació. 8 17

22 E grupos de tres estudiates, realice ua cosulta e etidades y establezca al meos dos trasaccioes e las cuales se otorgue períodos de gracia. Co esta iformació formule dos casos y resuélvalos. Socialice las respuestas co el tutor. Ua de las expresioes más frecuetes e las trasaccioes, es la de u cojuto de pagos iguales que se preseta a igual itervalo de tiempo y para los cuales aplica ua tasa de iterés. Este es precisamete el cocepto de Serie Uiforme o Aualidad. So aualidades: los pagos de arredamieto, los pagos de u crédito, las cosigacioes periódicas iguales de u ahorro programado, etc. Si se cooce la fecha de iicio y fi de los pagos, la aualidad se deomia cierta ; pero además puede darse dos variates: que los pagos se realice al pricipio o al fial de cada período, e cuyo caso se deomiará Aualidad Aticipada o Aualidad Vecida, respectivamete. Además, si los pagos iicia después de u período e el que se cocede u plazo si amortizació (período de gracia) la Aualidad se deomia Diferida. Esta puede ser vecida o aticipada. Las operacioes cosiste e determiar el Valor Presete (valores descotados al pricipio de la serie de pagos) o el Valor Futuro (motos de los pagos acumulados al fial de la serie), utilizado para ello los esquemas de trabajo de Iterés Compuesto. Tambié es usual calcular el valor de los pagos iguales que se deomia Reta (R). 18

23 AYRES, Frak.. Primera edició. México D.F.: Mc Graw Hill, BACA CURREA, Guillermo. Matemática fiaciera. Tercera edició. Bogotá D.C.: Fodo Educativo Paamericao, (Texto guía). CANOVAS, Roberto. : fudametos y aplicacioes. Primera edició. Mexico: Trillas, 2004 CISSELL, Robert.. Seguda edició. México D.F.: CECSA, (Texto guía). DÍAZ, Alfredo.. Seguda edició. México D.F.: Mc Graw Hill, GARCÍA, Jaime. Fiacieras co ecuacioes de diferecia fiita. Cuarta Edició. Bogotá D.C.: Pearso Educació de Colombia Ltda, (Texto guía). PORTUS, Licoyá. Fiacieras. Cuarta edició. Bogotá D.C.: Mc Graw Hill, SANCHEZ, Jorge E. Maual de matemáticas. Seguda edició. Bogotá D.C.: Ecoe Edicioes, E el Fascículo 5 se aalizará las operacioes de gradietes, como u complemeto de las aualidades que tiee aplicació e diversas relacioes. 19

24 20

25 Seguimieto al autoapredizaje Fiacieras - Nombre Apellidos Fecha: Ciudad Semestre: Resuelva las siguietes pregutas, de las cuales las tres primeras so de selecció múltiple co úica respuesta, co el fi de evaluar su proceso de autoapredizaje: 1. U crédito que debía ser cacelado mediate 12 pagos mesuales aticipados de $ , requiere ser rediseñado para cacelarlo mediate 24 pagos mesuales vecidos. La tasa que cobra el baco es del 24,5% E.A.- El juego de fórmulas que debo aplicar para establecer el valor de la ueva Reta es: 1 (1 i) i A. VP R 1 i 1 (1 i) R VP i 1 (1 i) B. VP R i (1 i) R VF i 1 (1 i) 1 C. VF R i VF R (1 i) 1 i i 1 (1 i) 1 VF R i i 1 D. y y y y 21

26 R VP 1 (1 i) i 1 i 2. Ua deuda que debía ser cacelada hoy, por valor de $ , se ha coveido pagarla e tres cuotas iguales vecidas a 1, 2 y 3 meses. La tasa de iterés pactada es del 2% mesual. La ecuació para hallar el valor de cada uo de los pagos es: 1 (1 i) A. VP R i 1 (1 i) B. R VP i (1 i) 1 C. VF R i (1 i) 1 D. R VF i 3. La respuesta del ejercicio aterior es: A. $ B. $ C. $ D. $ Se ha adquirido u lote de terreo co el siguiete pla de pagos: Ua cuota iicial de $ y 6 pagos trimestrales de $ Si la fiaciació fue del 28% efectivo aual Cuál es el valor de cotado del imueble? 5. Se ecesita completar $ detro de 3 años. E este propósito se realiza depósitos mesuales iguales e u fodo que ofrece ua tasa de iterés del 12% efectivo aual. Al termiar el segudo año la etidad fiaciera decide hacer u recoocimieto y le icremeta la tasa al 13% efectivo aual. Cuál es el valor de los pagos, ates y después del cambio de tasa? 22