Figura 1.1 Definición de componentes de tensiones internas.

Transcripción

1 . ELEMENTOS DE TENSORES CARTESIANOS. Inroduccón: Para descrbr endades o varables físcas se requere de valores o componenes. El número de componenes necesaras deermna la nauraleza ensoral de la varable. Es así como en algunas de ellas basa una sola componene, caso en que las varables se denomnan escalares. Eemplos de esas candades son la masa de un cuerpo, la dsanca enre dos punos, la emperaura, la energía, ec. Hay oras varables que requeren valores para quedar defndas, correspondendo ésos a las componenes en un ssema coordenado del espaco rdmensonal. Se les denomna vecores y como eemplos ípcos se pueden menconar el desplazameno, d, la velocdad, v, y la aceleracón, a, de un puno de un cuerpo, con,,. Sn embargo las varables escalares y vecorales no basan para descrbr odas las endades físcas, pues algunas de ellas, como veremos, requeren 9 componenes, con lo cual es necesaro usar índces (, por eemplo), en que ano como oman valores,,. Así, es equvalene a una marz de elemenos. La necesdad de descrbr candades físcas con 9 parámeros fue planeada por Vogh al esudar las propedades de crsales. Para ello defnó el ensor de ensones σ, de donde provene la palabra ensor usada para denomnar genércamene ese po de candades. Para comprender por qué son necesaros 9 parámeros para defnr el esado ensonal en un puno de un cuerpo, consdérese el cuerpo en equlbro represenado en la fgura (a). En la fgura (b) se muesra el cuerpo que queda a la zquerda al secconar el cuerpo aneror por un plano paralelo al plano coordenado (,), que conenga al puno P. Para manener el equlbro de ese rozo del cuerpo prmvo, es necesaro aplcar fuerzas dsrbudas en la superfce plana. Sobre una superfce muy pequeña A que conenga al puno P, se puede consderar una fuerza unforme por undad de superfce, σ, cuya resulane será Aσ (el subíndce ndca que es un plano cuya normal ene la dreccón del ee coordenado, menras es el índce lbre que defne las componenes del vecor. (a) P F F F4 F (b) F F Α P σ Α Fgura. Defncón de componenes de ensones nernas. Vog, W. Theoresche Suden über de Elascäsverhälnsse der Krysalle. Abh. Ges. Wss. Göngen, 4 (887).

2 En gual forma, s se cora el cuerpo sucesvamene por planos cuyas normales engan las dreccones de los ees y, se defnrán ensones σ y σ, respecvamene. Consderando ahora las res dreccones, se concluye que se necesan 9 componenes para descrbr el esado ensonal del puno: componenes para cada uno de los vecores de ensones correspondenes a los planos paralelos a los planos coordenados. Pero Descrben oalmene el esados ensonal esas nueve componenes? Qué ocurre s secconamos el cuerpo por un plano de dreccón cualquera, que conenga el puno P?. La ensón correspondene será un nuevo vecor, con sus componenes. Habrá enonces nfnas componenes del ensor?. La respuesa es no, pues, por equlbro, las componenes para un plano cualquera pueden epresarse en funcón de las 9 componenes de las dreccones coordenadas. En efeco, como se verá más adelane, s el plano es al que su normal ene cosenos drecores ν, las componenes de ensón en esa dreccón esán dadas por: σ ν ν σ (.) donde σ son las componenes de ensón para las dreccones coordenadas en un ssema caresano rorogonal. Generalzando la dea de candades ensorales, es posble agrupar las candades escalares, vecorales y ensorales propamene ales bao un solo concepo, defnendo ensores de dsno orden. El orden corresponderá al número de índces requerdo para defnr la candad físca. Así, los escalares pasan a ser ensores de orden, los vecores ensores de orden, y los ensores propamene ales, ensores de orden. Por eensón, es posble defnr maemácamene ensores de orden o de un orden cualquera n.. Homogenedad dmensonal y ensoral de las leyes físcas. Las leyes físcas, epresadas como una relacón enre candades físcas que nervenen en un fenómeno, para que engan valdez unversal deben cumplr con dos condcones esencales: a) Ser ndependenes del ssema de undades de medcón y b) ser ndependenes del ssema espacal de referenca. Así, la ley de Newon F ma, que relacona la aceleracón a de una parícula de masa m someda a una fuerza F, es ndependene del ssema de undades de medcón ulzado, sea ése MKS, SI o anglosaón. Se dce enonces que las relacones físcas deben ser dmensonalmene homogéneas. La relacón F ma, es de po escalar, pero s se consderan los vecores aceleracón, a, y fuerza F, la ley oma la forma F m a, en la cual nervenen las componenes de los vecores en un ssema coordenado de referenca. Esas componenes camban de valor s se camba el ssema de referenca, no así la ley físca, que ha sdo formulada ndependenemene de ése. Las componenes de los vecores deben cambar, enonces, de al forma que la ley F m a sga sendo válda. Ello ocurre s las componenes de los vecores sasfacen la ley de ransformacón de coordenadas que se verá más adelane.

3 En la msma forma, una ley físca en que nervengan candades ensorales (σ, + f, por eemplo) debe ser válda para cualquer ssema de referenca. Se defne enonces una ley de ransformacón para candades ensorales al que la relacón físca connúa sendo válda al cambar el ssema de referenca. Se dce en ese caso que la relacón físca es ensoralmene homogénea. Eso consuye el fundameno de la defncón de las candades ensorales, como candades epresadas en componenes que sasfacen una cera ley de ransformacón de coordenadas.. Leyes de ransformacón de ensores. Marz de roacón. Supongamos que las candades físcas han sdo defndas respeco a un ssema de referenca caresano (,,) y se quere obener sus componenes para un nuevo ssema caresano (,, ). S la candad es un escalar, o ensor de orden, su valor no será alerado por la ransformacón. S la candad en un vecor, la ley de ransformacón es la que se formulará a connuacón. θ ' ' a a v v v ' a ' Fgura. Roacón del ssema coordenado. Elemenos de la marz de roacón a Se defne como marz de roacón a, del nuevo ssema (,, ) respeco al ssema prmvo (,,), a una marz de cuyas componenes son los cosenos drecores de los nuevos ees con respeco al ssema prmvo, vale decr, a cos θ, donde θ es el ángulo que forma el nuevo ee con el anguo ee. En la fgura. se muesra θ, por eemplo. Un vecor v esará defndo por ya sea las componenes v en el ssema prmvo o v en el ssema nuevo. Para obener las componenes en el nuevo ssema basa proyecar el vecor sobre los nuevos ees, lo cual se logra mulplcandolo escalarmene por los vecores unaros que represenan a los nuevos ees, vale decr, por los vecores cuyos elemenos son los cosenos drecores de ésos. Así, la nueva componene del vecor (v ) esará dada por: ' v av a v (.) Se ha usado aquí la noacón de Ensen, que dce; S en un monomo hay índces guales, el sgnfcado es la suma de los érmnos resulanes de dar a esos índces los valores,,.

4 La relacón (.) represena la ley de ransformacón de un vecor. La relacón nversa, es decr, los valores de las componenes en el ssema orgnal en funcón de las componenes nuevas es, evdenemene: ' v a v (.) pueso que la roacón nversa queda defnda por la marz ranspuesa, a (los ángulos enre los ees son los msmos, pero el ángulo que anes llamábamos, por eemplo, θ, ahora se llama θ )..4 Propedades de la marz de roacón Dado que los nuevos ees son ambén orogonales enre s, el produco escalar de dos líneas de la marz de roacón será nulo s se raa de líneas dferenes, o unaro s es la msma línea, vale decr: s a k a k δ ( δ de Kronecker) s (.4) Lo aneror sgnfca que la nversa de la marz de roacón es su ranspuesa..5 Ley de ransformacón de un ensor de orden Para el caso de un ensor,, se defne la sguene ley de ransformacón de coordenadas ' a a (.5) k l kl (doble sumaora sobre k y sobre l, de acuerdo a la convencón de Ensen). Una candad será enonces un ensor s se ransforma según la ley (.5). Como la marz de roacón de la ransformacón nversa es la ranspuesa, las componenes prmvas en funcón de las nuevas serán: a a ' (.6) k l kl Por eensón, un ensor de cualquer orden será aquél en que sus componenes obedecen la sguene ley de ransformacón de coordenadas ' k... a a a (.7) α β γ αβγ.6 Invaranca del produco escalar Sean dos vecores u, v. Se defne el produco escalar como: p u v (.8) 4

5 Usando la ley de ransformacón de un vecor, se obene p' a u a v δ u v p (.9) k k l l kl k l Luego, el produco escalar es nvarane para una roacón de coordenadas..7 Produco vecoral : símbolo de permuacón Para ceras operacones ensorales es convenene defnr el llamado símbolo de permuacón., s cualquer índce esá repedo e k, s (k) es permuacó n par de () (.), s (k) es permuacó nmpar de() Medane ese símbolo, dados dos vecores u, v k el produco vecoral queda defndo por : p e u v (.) k k En forma desarrollada:.8 Invaraca de la forma blneal p u v u v p u v u v (.) p u v u v Dados un ensor y dos vecores, y, se defne la forma blneal F como: F y (.) Esa epresón es lneal en y en y, y es nvarane para un ransformacón de coordenadas. En efeco, al enconrarnos en el nuevo ssema de referenca la epresón (.) oma la forma: ' ' ' ' y F (.4) pero usando las leyes de ransformacón de vecores y ensores se ene: F ' a a a a y (.5) k l kl m m n n y aprovechando las propedades de la marz de roacón, fnalmene se obene: F ' y F (.6) mn m n 5

6 Es mporane desacar que la manera de defnr la ransformacón de vecores y ensores hace que la forma blneal sea nvarable. A la nversa s, y son vecores y se mpone la condcón que la forma blneal y sea nvarane para cambos de ssemas coordenado, enonces es un ensor y debe sasfacer la ley de ransformacón de coordenadas (.6)..9 Tensores smércos y anmércos Un ensor es smérco s. En ese caso hay sólo 6 componenes dferenes. La mayoría de los ensores que se verán más adelane son smércos, como el ensor de ensones σ y el ensor de deformacones de Cauchy ε, por eemplo. Ellos presenan una sere de caraceríscas parculares que se esudarán luego. Al hacer una ransformacón de coordenadas la smería se conserva, pues: ' a a a a ' (.7) k l kl k l lk Por ora pare, un ensor es anmérco s -. Ese po de ensores ene sólo componenes dferenes, ya que los érmnos de la dagonal prncpal deben ser nulos para que se cumpla la condcón de anmería. Como un ensor anmérco requere de sólo componenes dferenes, es posble defnr el sguene vecor equvalene. e (.8) k k es decr: (.9) La relacón nversa es: e (.) k k o ben (.) Defnendo en esa forma el vecor equvalene al ensor anmérco, su aplcacón sobre un vecor v da por resulado el produco vecoral. En efeco q v e v e kkv produco vecoral enre k y v. k k 6

7 . Propedades de los ensores smércos.. Forma cuadráca. Represenacón gráfca de un ensor smérco S en la forma b-lneal de un ensor los vecores, y (.) se consdera dos veces el msmo vecor, y se oma en cuena la smería del ensor ( ), enonces se obene la forma cuadráca + F ( + ) (.) F, Fgura. Represenacón gráfca de un ensor. Consderando un espaco caresano r-orogonal en el cual las componenes de son las coordenadas de un puno, enonces la epresón (.) represena una cuádrca cenrada en el orgen. Dadas las componenes del ensor y un valor de F, la superfce es únca (fgura.). Al hacer una roacón de ees, como la epresón (.) debe conservar su valor, las componenes debe ransformarse de acuerdo a la ley de cambo de ssemas coordenados de un ensor. F La gradene de F es F, (nueva noacón para dervada parcal), es normal a la superfce de la cuádrca. Su epresón en érmnos de las componenes del ensor y del vecor poscón del puno de la superfce es F, (.).. Dreccones y valores prncpales El vecor F,, que es normal a la superfce, formará en general un ángulo dferene de con el vecor poscón del puno. Sn embargo, esen dreccones especales para las cuales ambos vecores son colneales. Esas dreccones se denomnan prncpales. 7

8 Maemácamene la epresón aneror oma la forma F, λ λδ (.4) donde λ es un escalar de valor arbraro. Junando los érmnos en un solo membro, la epresón (.4) se puede poner como ( λδ ) (.5) - Las solucones del ssema de ecuacones homogéneas (.5) corresponden a las dreccones prncpales buscadas. Los valores correspondenes de λ son los valores prncpales y se obenen de la condcón para la esenca de solucones no nulas, vale decr, el deermnane del ssema de ecuacones gual a cero (ecuacón caracerísca del ensor). λ δ λ + λ I λ I + I (.6) donde I raza del ensor (.7a) I + + ( + )( + ) ( + ) (.7b) I ek k (.7c) A cada uno de los valores prncpales λ, raíces de la ecuacón (.6), le corresponde una dreccón prncpal... Propedades de las dreccones prncpales La ecuacón caracerísca es un polnomo cúbco. Habrá, en consecuenca, a lo menos una raíz real. Su pongamos que ella sea λ y que hacemos una roacón de coordenadas de al manera que el ee del ssema coordenado esé en la dreccón prncpal. La forma del ensor para ese ssema de ees es (.8) λ En general, las dreccones de los ees y no serán prncpales. Hacendo ahora una roacón de ees en orno a en un ángulo θ, como se muesra en la fgura (.4), la marz de roacón correspondene será: 8

9 ', ' θ θ ' Fgura.4 Dreccones prncpales a cosθ senθ senθ cosθ (.8) Aplcando la ley de ransformacón del ensor (.5), se obenen las nuevas componenes del ensor cos θ + senθ cosθ + sen θ ' sm sen θ senθ cosθ + ( )senθ cosθ + (cos θ sen θ ) cos θ λ (.9) Es convenene epresar (.9) en funcón del ángulo doble, a ravés de las relacones sen θ ( cos θ ) (.a) cos θ ( + cos θ ) (.b) senθ cosθ sen θ (.c) con lo cual el ensor oma la forma ' ( + ) + ( sm )cos θ + senθ ( + cos θ ) ( ( )senθ )cos θ senθ (.) λ Una nueva dreccón prncpal es aquélla en que el nuevo érmno de fuera de la dagonal prncpal,, se anula. Ello ocurre cuando el ángulo de roacón del ssema coordenado cumple la relacón 9

10 an θ (.) La ecuacón (.) ene solucones θ + nπ, es decr, solucones que dferen en 9º enre s. Se puede conclur enonces que el problema de deermnar las dreccones prncpales de un ensor ene res solucones perpendculares enre s. Además, la F cuádrca correspondene es un elpsode de sem-ees, pues los valores λ prncpales son reales. Sea λ, es decr, la forma canónca de. Enonces las nvaranes del ensor son I I I (.)..4 Círculo de Mohr. Oo Mohr propuso represenar gráfcamene la ransformacón b-dmensonal aneror + y de medane un círculo con cenro en el ee de las abscsas a una dsanca ( ) rado ), como se muesra en la fgura (.5). ( Los punos del círculo dan los valores de las componenes del ensor b-dmensonal. Las nuevas componenes, luego de una roacón de ees en un ángulo θ, se obenen movéndose sobre el círculo en un ángulo gual a θ. Los punos de cruce del círculo con el ee de las abscsas corresponden a las dreccones prncpales y dan los valores prncpales λ y λ. Puede verse que ésos corresponden a los valores mámos y mínmo de los elemenos de la dagonal del ensor. En efeco ' OC + OD ( + ) + r cos( θ θ ) ( + ) + r cosθ cos θ + rsenθ ( + ) + ( ) cos θ + senθ senθ (.4) (r rado del círculo) ' BD r sen ( θ θ ) rsenθ θ ( ) senθ cos cos θ r cosθ senθ (.5) Mohr, Oo, Thechnsche Mechank, Berlín, 95.

11 A' (, ) B' ( ', ' ) O λ θ C r θ D θ ο λ ( ) B ', ', ( ) A, ( + ) ( ) Fgura.5 Círculo de Mohr..5 Dreccones prncpales como aquéllas en que los elemenos de la dagonal oman valores eremos. El problema de dreccones prncpales puede ambén planearse como la obencón de las dreccones para las cuales los elemenos de la dagonal prncpal del ensor oman valores eremos. En oras palabras, supongamos que se quere obener una componene de la dagonal prncpal del ensor para una nueva dreccón coordenada dada por el vecor unaro ( δ ). Las componenes de corresponden a los érmnos de la marz de roacón del nuevo ee correspondene (sea el nuevo ee k), ya que es unaro. Enonces la nueva componene de la dagonal vale: ' (sn suma sobre ) (.6) kk Se desea obener los valores de para que kk sea mámo o mínmo bao la condcón δ. Eso es equvalene, usando los mulplcadores de Lagrange, a obener el mámo o mínmo del problema modfcado F(, λ ) λ( δ ), sn condcones (.7) Esas dreccones corresponden a aquellas en que k

12 F λδ (.8a) F λ δ (.8b) las cuales conducen al problema de valores prncpales (.5). En resumen, en las dreccones prncpales los elemenos de la dagonal prncpal oman valores eremos.