Guía para el docente Geometría Criterios de Congruencia. Guía del docente

Transcripción

1 Guía del docente Descripción curricular: - Nivel: 1.º medio - Sector: Matemática - Unidad temática: - Palabras claves: triángulos, proporcionalidad, congruencia, criterios de congruencia, ángulo, lado, L.L.L, L.A.L, A.L.A, L.L.A - Contenidos curriculares: - Analizar aspectos cuantitativos y relaciones geométricas presentes en la vida cotidiana y en el mundo de las ciencias. - Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la proporcionalidad, del lenguaje algebraico inicial y de la congruencia de figuras planas. - Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas. - Resolver problemas seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo-error; analizar la pertinencia de los datos y soluciones. - Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas; analizar invariantes relativas a desplazamientos y cambios de ubicación utilizando el dibujo geométrico - Contenidos relacionados: - 1.º Medio: Congruencia de dos figuras planas. Criterios de congruencia de triángulos. Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos, ángulos y triángulos. 1

2 Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y - 2.º Medio: circunferencia, relacionadas con congruencia. Semejanza de figuras planas. Criterios de semejanza. Dibujo a escala en diversos contextos. Distinción entre hipótesis y tesis. Organización lógica de los argumentos. Planteo y resolución de problemas relativos a trazos proporcionales. Análisis de los datos y de la factibilidad de las soluciones. Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en triángulos, cuadriláteros y circunferencia, como aplicación del teorema de Thales. Relación entre paralelismo, semejanza y la proporcionalidad - 3.º Medio: entre trazos. Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad en el triángulo rectángulo. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos. Análisis y pertinencia de las soluciones. Uso de calculadora científica para apoyar la resolución de problemas. Comentario histórico sobre los números que determinan - 4.º Medio: tríos pitagóricos. Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos geométricos. 2

3 - Aprendizajes esperados: - Analizan los datos necesarios y suficientes para construir un triángulo y lo relacionan con los criterios de congruencia de triángulos. - Componen y descomponen figuras geométricas; analizan congruencia entre sus lados y ángulos. - Resuelven problemas que involucran congruencia de trazos, ángulos y triángulos. - Conjeturan y demuestran propiedades en triángulos, cuadriláteros y circunferencia por medio de congruencia de triángulos. - Conocen algunos antecedentes acerca del aporte de Euclides a la geometría. Aprendizajes esperados de esta actividad: - Dados dos triángulos, reconocen las medidas de sus lados correspondientes. - Dados dos triángulos, reconocen las medidas de sus ángulos correspondientes. - Analizan si los lados correspondientes de dos triángulos dados son congruentes entre sí. - Analizan si los ángulos correspondientes de dos triángulos dados son congruentes entre sí. - Justifican por qué los lados correspondientes entre dos triángulos son congruentes. - Justifican por qué los lados correspondientes entre dos triángulos son congruentes. - Examinan qué criterio se aplica para validar la congruencia entre triángulos. - Deducen la medida de un lado o de un ángulo de un triángulo, tras asegurar que es congruente con otro triángulo. 3

4 - Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las actividades de organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, mediante contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro. - Desarrollan actitudes de rigor y perseverancia. - Desarrollan actitudes orientadas al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. Recursos digitales asociados de - Ficha 6: Criterios de congruencia - Animación digital: Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo. Esta animación complementa y profundiza la actividad propuesta más adelante. Actividades propuestas para este tema: Para este tema proponemos la actividad Un puente resiste mejor con triángulos congruentes?, referente al uso de criterios de congruencia de triángulos. ACTIVIDAD: Un puente resiste mejor con triángulos congruentes? 1. Mapa de contenidos tratados Duración: 1 hora pedagógica 4

5 2. Desarrollo de la actividad: Un puente resiste mejor con triángulos congruentes? Paso 1 Como actividad de motivación e introducción lea el siguiente texto a sus alumnos: Un puente es una construcción en la que intervienen ciencia y arte. Los ingenieros usan las ciencias (entre ellas la matemática) para asegurarse de que los puentes puedan soportar el peso de vehículos y transeúntes. Los arquitectos trabajan con los ingenieros y usan sus talentos artísticos y conocimientos estructurales para construir puentes que sean no solo resistentes y funcionales sino también agradables a la vista. Tanto la resistencia como la estética se ven perfeccionadas por el uso de una propiedad llamada simetría. Un puente simétrico es aquel formado por muchos triángulos dispuestos en pares. Para cada triángulo de un lado del puente, hay un triángulo correspondiente en el lado opuesto; un triángulo congruente, dirían los matemáticos. Pida a sus estudiantes que respondan la pregunta inicial, fundamentando siempre su respuesta con ejemplos. Se recomienda ir escribiendo en la pizarra una síntesis de lo que ellos van diciendo. Paso 2 Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible en el portal Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la actividad. Las respuestas aparecen en azul. 5

6 1) En la Figura 1, las medidas de los lados de los triángulos están expresadas en pulgadas ( ). Entonces: a) Cuáles son las medidas de los lados del triángulo de la izquierda? 30 ; 40 y 50 b) Cuáles son las medidas de los lados del triángulo de la derecha? 30 ; 40 y 50 c) Los lados correspondientes son congruentes? Explica. d) Qué criterio nos asegura que estos triángulos son congruentes? El criterio L.L.L. e) Siendo que todos los lados correspondientes son congruentes, qué nos ayudaría a entender que <A y <B tienen medidas iguales? Siempre ocurre que en los polígonos congruentes, todos los elementos correspondientes tienen medidas iguales, o sea, son congruentes. f) Cómo se comprobaría que <A es congruente con <B? Midiendo <A y <B con un transportador. 2) En la Figura 2, las medidas de los lados de los triángulos están expresadas en pulgadas ( ). Entonces: a) Cuáles son las medidas de los lados del triángulo de la izquierda? 30 y 40 b) Cuáles son las medidas de los lados del triángulo de la derecha? 30 y 40 c) Cuál es la medida del <A? 90º d) Cuál es la medida del <B? 90º 6

7 e) Los lados correspondientes son congruentes? Explica. f) Los ángulos correspondientes son congruentes? Explica. Guía para el docente g) Qué criterio nos asegura que estos triángulos son congruentes? El criterio L.A.L. 3) En la Figura 3, las medidas de los lados de los triángulos están expresadas en pulgadas ( ). Entonces: a) Cuánto mide uno de los lados del triángulo de la izquierda? 50 b) Cuánto mide uno de los lados del triángulo de la derecha? 50 c) Estos lados son congruentes? Explica. d) Cuáles son las medidas conocidas de los ángulos del triángulo de la izquierda? 50º y 80º e) Cuáles son las medidas conocidas de los ángulos del triángulo de la derecha? 50º y 80º f) Los ángulos correspondientes son congruentes? Explica. g) Qué criterio nos asegura que estos triángulos son congruentes? El criterio A.L.A. h) Cuál es la medida del <A? 50º i) Cuál es la medida del <B? 50º 7

8 4) En la Figura 4, las medidas de los lados de los triángulos están expresadas en pulgadas ( ). Entonces: a) Cuánto miden los lados del triángulo de la izquierda? 50 y 60 b) Cuánto miden los lados del triángulo de la derecha? 50 y 60 c) Estos lados son congruentes? Explica. d) Cuánto mide el ángulo dado en el triángulo de la izquierda? 80º e) Cuánto mide el ángulo dado en el triángulo de la derecha? 80º f) Los ángulos correspondientes son congruentes? Explica. g) Qué criterio nos asegura que estos triángulos son congruentes? El criterio L.L.A. Si los triángulos sombreados son isósceles de base 60 y ángulo del vértice 80º: h) Cuánto mide el otro lado? 50 i) Cuánto miden los ángulos basales? 50º cada ángulo basal. 8

9 Paso 3 Concluya la actividad volviendo a la pregunta inicial: Un puente resiste mejor con triángulos congruentes? Pida a sus estudiantes que respondan. Un puente que tiene en su estructura triángulos congruentes es más resistente que un puente que tiene triángulos diferentes. Ello porque las fuerzas (de empuje) se distribuyen con más uniformidad. Analicen los resultados obtenidos y refuerce los aprendizajes que presentan más problemas. Para profundizar en el tema los estudiantes pueden ver la animación sobre los segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo (teorema de Euclides referido a la altura) que se encuentra disponible en el portal cuyo nombre es Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo. 9