Circuitos de Corriente. Alterna. Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática

Transcripción

1 Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática ircuitos de orriente - Tensión y corriente alterna. Funciones sinusoidales. Valores medio y eficaz. - Relación tensión corriente en los elementos de un circuito. Representación vectorial. Agustín Álvarez Marquina Alterna Departamento de Arquitectura y Tecnología de Sistemas Informáticos Universidad Politécnica de Madrid

2 Tensión y corriente alterna Introducción. En este capítulo se va a estudiar la respuesta de los circuitos lineales en régimen permanente sinusoidal (RPS). as fuentes de excitación tienen forma sinusoidal. Se puede considerar que llevan funcionando un tiempo suficiente como para que el circuito esté en régimen permanente. Debe transcurrir un tiempo de funcionamiento hasta que la respuesta del circuito es debida exclusivamente a la excitación de los generadores sinusoidales.» as bobinas y condensadores son elementos capaces de almacenar energía. 2

3 Introducción. Tensión y corriente alterna as funciones sinusoidales constituyen la forma de excitación más importante en los circuitos eléctricos. Ejemplos: a energía eléctrica que llega a nuestras casas lo hace en la forma de una función sinusoidal. En los sistemas de comunicaciones las señales portadoras son también sinusoides. Pero además, en muchos otros casos las señales que aparecen pueden representarse como una combinación de funciones sinusoidales: El movimiento de los planetas, la vibración de una cuerda, la propagación de la luz o del sonido, el movimiento de las mareas, etc. 3

4 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Representación de las funciones sinusoidales. as funciones sinusoidales están acotadas al rango [-1, +1] y se repiten cada t2π/ω segundos (o equivalentemente cada ωt 2π radianes). x( t) sen( ωt) y( t) cos( ωt) 1 sen(ωt).5 cos(ωt) 2π/ω 3π/2ω π/ω π/2ω π/2ω π/ω 3π/2ω 2π/ω t Figura. Representación de las funciones sinusoidales sen(ωt) y cos(ωt) 4

5 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Representación de las funciones sinusoidales. Podemos comprobar que ambas funciones son realmente la misma pero desplazada en el tiempo: cos( ω t) sen( ωt + π / 2) sen( ωt) cos( ωt π / 2) Es decir, el coseno está adelantado (ocurre antes), π/2 radianes (π/2ω segundos) respecto al seno. 5

6 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Expresión general de una función sinusoidal. x( t) Asen( ω t + ϕ) y( t) Bcos( ω t + φ) donde A, B : valor de pico o valor máximo de la función. ω : pulsación o frecuencia angular en rad/s. t: variable independiente (tiempo en s). φ, ϕ : fase inicial en radianes. (ωt+φ), (ωt+ϕ): fases instantáneas en radianes. 6

7 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Diferencia de fases entre dos funciones sinusoidales. Decimos que la función x(t)sen(ωt+φ 1 ) está adelantada (ocurre antes) respecto de la función y(t)sen(ωt+φ 2 ) cuando la diferencia entre las fases de x(t) e y(t) está comprendida entre y π. Si la diferencia de fases obtenida es un valor entre -π y, entonces es la función y(t) la que está adelantada respecto a x(t). En el caso de que la diferencia de fases que obtengamos sea superior a π (o inferior a -π), bastará con restar (o sumar) a esa diferencia de fases un número entero de veces 2π de modo que esa diferencia esté comprendida entre -π y π. 7

8 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Simetría de las funciones sinusoidales. Si nos desplazamos ωtπ radianes en cualquiera de las funciones sen(ωt) y cos(ωt), aparece esa misma función invertida. Este hecho se refleja en las siguientes igualdades: sen( ωt ± π ) sen( ωt) cos( ωt ± π ) cos( ωt) 8

9 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Propiedades de periodicidad. as funciones sinusoidales tienen una propiedad muy importante: son funciones periódicas. Si se desplaza la función un cierto valor de la variable independiente, se vuelve a observar exactamente la misma función. De forma general podemos decir que la función yf(t) es periódica de periodo T si: f ( t) f ( t + nt ) t y n entero 9

10 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Periodo de una señal T. Es el desplazamiento en el tiempo que debemos realizar para observar los mismos valores de la señal. Al menor valor positivo de T que cumple la condición anterior se le denomina periodo fundamental. En el caso de las funciones sinusoidales tendremos: Acos( ωt + ϕ) Acos ωt + ϕ + 2π ω( t + T ) + ϕ 2π ωt ( ω( t + T ) + ϕ) T 2π ω ( s) 1

11 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Frecuencia de una señal f. Es el número de veces por segundo que se repite la función. Es la inversa del periodo y se mide en ciclos por segundo (hercios o Hz). f 1 T ( Hz)» Es habitual referirse a la pulsación ω como frecuencia, si bien, en sentido estricto, la pulsación se mide en radianes por segundo y la frecuencia en hercios. 1 ω» Relación: ω2πf f T 2π 11

12 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Valor medio una señal y(t)a sen(ωt+φ). y 1 T T y( t) dt y Valor eficaz de una señal y(t)a sen(ωt+φ). y ef 2 1 T T [ y( t) ] 2 dt y ef A 2 12

13 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. orriente y tensión sinusoidales. Uno de los casos más frecuentes que nos podemos encontrar en un circuito lineal es aquél en el que los generadores tienen una expresión sinusoidal. En este caso, lo más habitual será caracterizarlos a través de su pulsación ω (rad/s), además de por el valor de la amplitud de la tensión o corriente que proporcionen y de la fase de la señal que estén generando. Sabemos que la pulsación y la frecuencia están relacionadas de la siguiente forma: ω 2πf 13

14 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. orriente y tensión sinusoidales. Por tanto, la expresión de una tensión o corriente de tipo sinusoidal será: v( t) Vsen( ω t + ϕ) i( t) Isen( ω t + ϕ) Donde V e I son los valores máximos de la tensión y de la corriente, ω es la pulsación del generador y φ es la fase.» En este ejemplo hemos utilizado la función seno, pero podríamos haber empleado la función coseno, ya que como acabamos de ver ambas son la misma función desplazada π/2 radianes (9º). 14

15 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Otras propiedades de las funciones sinusoidales. as funciones sinusoidales tienen además otras dos propiedades que van a facilitar el estudio de los circuitos lineales:» Tanto la derivada como la integral de una función sinusoidal son otra función sinusoidal de la misma frecuencia.» a suma de dos funciones sinusoidales de la misma frecuencia es otra función sinusoidal de igual frecuencia. 15

16 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Integración de una función sinusoidal. El efecto que se produce al integrar una función sinusoidal es el de dividirla por la pulsación ω y desfasarla un ángulo φ-π/2 radianes. sen( ωt) dt cos( ωt) dt 1 ω 1 ω 1 ω ( cos( ωt) ) sen( ωt π / 2) 1 ω ( sen( ωt) ) cos( ωt π / 2) 16

17 Tensión y corriente alterna Funciones sinusoidales. Diferenciación de una función sinusoidal. El efecto que se produce al derivar una función sinusoidal es multiplicarla por la pulsación ω y desfasarla un ángulo φπ/2 radianes. dsen( ωt) dt d cos( ωt) dt ω cos( ωt) ωsen t ωsen( ωt) ωcos t ( ω + π / 2) ( ω + π / 2) 17

18 Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna ircuito puramente resistivo. onsideremos que la tensión de la fuente es: v t) Aplicando las leyes de Kirchhoff v R Por la ley de Ohm, la tensión en la resistencia será: Por tanto: Siendo: V ( v t) cosωt V ( cosωt vr V v R ir i cosωt I cosωt R R i( t) I I V R cosωt V I R vr + i(t) V R + v R - 18

19 Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna ircuito puramente resistivo. Representación gráfica v R (t) Diagrama vectorial V I π 2ω 3π 2ω π ω 2π ω t I ωt i(t) V v R (t) ω a corriente y la tensión están en fase. 19

20 Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna ircuito puramente capacitivo. Tomamos: Sabemos que: v( t) V cosωt 1 v q( t) Derivando respecto al tiempo: dv 1 dq dt dt i( t) dv dt Donde: v v V + i(t) + v - 2

21 Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna ircuito puramente capacitivo. a corriente que se establecerá en el circuito será: d i( t) t dt Por tanto: ( V cosω t) ωv senωt ωv cos( ω + / 2) π i( t) I cos( ω t + π / 2) Definiremos como reactancia capacitiva a: X V I 1 ω V V I X V + i(t) + v - 21

22 Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna ircuito puramente capacitivo. Representación gráfica v (t) Diagrama vectorial V I ω I ωt+π/2 π 3π 2ω 2ω t ωt π 2π i(t) ω ω V I X v v (t) a corriente se adelanta π/2 respecto a la tensión (o la tensión se retrasa π/2 respecto a la corriente). 22

23 Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna ircuito puramente inductivo. Tomamos: En todo momento se cumplirá: v a relación entre la corriente y la tensión en una inductancia es: Integrando: v v V di v dt t) V ( t cosωt 1 v dt 1 i( t) V cos( ωt cosωt ) dt di V + i(t) + v - 23

24 Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna ircuito puramente inductivo. i V V t) sen( ωt) cos( ωt ω ω ( Finalmente: π i( t) I cos( ωt π / 2) / 2) Definiremos como reactancia inductiva a: X V I ω V + i(t) + v V V I X - 24

25 Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna ircuito puramente inductivo. Representación gráfica v (t) Diagrama vectorial V I π 3π 2ω 2ω t π 2π ω ω i(t) ω ωt ωt-π/2 V I X v v (t) I a corriente se retrasa π/2 respecto a la tensión (o la tensión se adelanta π/2 respecto a la corriente). 25

26 ircuito R. Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna Tomamos: a corriente que se establecerá en el circuito tendrá la forma de: i( t) I cos( ωt θ ) as tensiones que provocará esta corriente en los elementos pasivos será: + v R - En la resistencia:» donde: v( t) V cosωt v R ir I R cos( ωt ) v R v R I R θ V + i(t) R + v - - v + 26

27 ircuito R. Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna En la inductancia: di( t) v v I X cos( ω t θ + π / 2) dt I» donde: En la capacidad:» donde: v X 1 v i( t) dt I v X v I X cos( ωt θ / 2) π Observando el circuito, sabemos que en todo momento se deberá de cumplir: v v + v + v R 27

28 ircuito R. Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna Diagrama vectorial. V I X θ ω ωt I V I R ωt-θ I (X X ) I X v -v V I X 28

29 ircuito R. Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna Si la anterior suma de tensiones la realizamos por medio del diagrama vectorial, podemos destacar un triángulo rectángulo: I Z θ V I R Donde X es la reactancia del circuito: X X + X I (X X ) I X 1 ω ω Si X> predomina el carácter inductivo (X >X ) Si X< predomina el carácter capacitivo (X <X ) X 29

30 ircuito R. Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna Definamos como impedancia del circuito a: V Z V I IZ Triángulo de la impedancia: θ es el ángulo que se retrasa la corriente del circuito respecto a la tensión de la fuente. tgθ X R Z θ R X V X R (X X ) X 1 ω ω R 2 Z R + X 2 R Z cosθ X X X Zsenθ 3

31 Notación compleja Un número complejo se puede representar de las siguientes formas: Forma algebraica: Forma trigonométrica: A ˆ ρ cosθ + jρsenθ ρ cosθ + Forma polar: Forma exponencial: Siendo j ρ tg θ b a a + b A ˆ a + Â ρ θ A ˆ ρe jθ jb Eje imaginario j θ a ρ ( jsenθ ) b Eje real 31

32 Fórmulas de Euler: Notación compleja θ e j cosθ + jsenθ θ e j cosθ jsenθ Para el caso de θπ/2 e j π 2 + j e jπ 2 j Eje imaginario j θ a ρ b Eje real 32

33 Notación compleja Para trabajar numéricamente con los circuitos de corriente alterna se utiliza la notación exponencial compleja. Razones: Derivar una función exponencial equivale a la misma exponencial multiplicada por jω (adelantar 9º). Integrar una función exponencial equivale a la misma exponencial dividida por jω (retrasar 9º). 33

34 Notación compleja Transformación de las expresiones de tensiones y corrientes a notación exponencial compleja. Notación real Notación exponencial compleja Notación fasorial v V cosωt jω t jωt jº jº vˆ Ve Ve e V V º Ve ˆ i I cos( ωt θ ) jωt jθ iˆ jθ º I e e I I θ Ie ˆ v R IR cos( ωt θ ) jωt jθ vˆ I Re e Riˆ Zˆ iˆ R R Vˆ R jθ I Re RI θ RIˆ v X I cos( ω t θ + π 2) vˆ X jωt jθ + jπ 2 I e e e jx iˆ + Zˆ iˆ Vˆ jx jθ I e jx I θ jx Iˆ v X I cos( ωt θ π 2) vˆ X jωt jθ jπ 2 I e e e jx iˆ Zˆ iˆ Vˆ jx jθ I e jx I θ jx Iˆ V ef V 2 ; I ef I 2 34

35 Impedancia compleja Se define como: Vˆ v V V Z ˆ ˆ º θ º Z θ º Iˆ iˆ I θ º I Por tanto: Zˆ Siendo: ( cosθ + jsen ) R + jx jθ Ze Z θ R Z cosθ X Z senθ Ze jθ 35

36 Impedancia compleja Por tanto: Zˆ R + jx jx Zˆ R + Zˆ + Zˆ i Zˆ i donde: Zˆ R R Zˆ Zˆ jx jx jω j 1 ω 36