unidad 10 Cuerpos geométricos

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Juan José Acosta de la Cruz
hace 7 años
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1 unidad 10 Cuerpos geométricos Poliedros. Características Página 1 Poliedro es un cuerpo cerrado limitado por caras planas que son polígonos. Aristas son los lados de las caras. Cada dos caras contiguas comparten una arista. Vértices. Son los vértices de las caras. En cada vértice concurren tres o más caras. Algunos ejemplos son: caras laterales vértice altura apotema PRISMA RECTO PIRÁMIDE base TRONCO DE PIRÁMIDE actividades 1 Dibuja un tronco de pirámide de base triangular. Señala sus caras, vértices y aristas.

2 unidad 10 Cuerpos geométricos Cuerpos de revolución. Características Página 2 Entre las figuras del espacio que deben ser estudiadas, ocupan un lugar importante los cuerpos de revolución: cilindros, conos, esferas eje generatriz altura r bases radio altura g h r g altura g R bases CILINDRO CONO TRONCO DE CONO altura h radio r 2 radio r R bases h r 1 ESFERA CASQUETE ESFÉRICO ZONA ESFÉRICA actividades 2 Qué cuerpo de revolución se genera al hacer girar este trapecio rectángulo sobre el eje E? Dibújalo en tu cuaderno e identifica sus elementos fundamentales. E

3 unidad 10 Cuerpos geométricos Superficie esférica y superficie del cilindro que la contiene Página 1 Deseamos demostrar que la superficie de una esfera es igual a la superficie lateral del cilindro que la contiene. Para ello, vamos a descomponer la superficie de la esfera en muchísimos rectángulos, pequeñísimos, tan pequeños que puedan considerarse rectángulos planos. Si consideramos que a la superficie esférica le corresponde la superficie lateral del cilindro que la envuelve, qué le corresponderá a unos de esos pequeñísimos rectángulos? Pero, retrocediendo un paso, cómo se corresponden los puntos de la esfera con los del cilindro? Fácil de averiguar: proyectamos cada punto de la esfera, desde el eje, mediante rectas perpendiculares a este. eje Así pues, vamos a estudiar la relación entre uno de esos rectángulos tomados en la esfera y su proyección sobre el cilindro. Suponemos que las dimensiones del rectángulo inicial son b, base, y a, altura. b a RECTÁNGULO b a Cuáles serán las dimensiones del rectángulo que resulta al proyectarlo sobre el cilindro?

4 unidad 10 Cuerpos geométricos Superficie esférica y superficie del cilindro que la contiene Página 2 Tomemos, en concreto, un rectángulo situado en el paralelo que se encuentra 60 por encima del círculo de tangencia. Aquí lo vemos de perfil, y apreciamos su altura a. R/2 R a R Al proyectarlo sobre el cilindro, esa altura se queda reducida a la mitad. Y qué ocurre con la base del rectángulo? Para verlo, miramos la figura desde arriba: 2b b R/2 R Puesto que el radio del círculo sobre el que está situada la base del rectángulo es la mitad del radio del cilindro, la base de longitud b se proyecta en un segmento de longitud 2b. Por tanto: ESFERA CILINDRO a Área = a b b a 2 Área = a b 2b Y si el rectángulo está en otras posiciones ocurre algo similar: La altura se reduce dividiéndose por un cierto número k y la base aumenta multiplicándose por ese mismo número k. Así, el área se mantiene. De esta forma se demuestra no solo que el área de la esfera es igual a la del cilindro, sino que el área de cualquier figura dibujada sobre la esfera es igual al área de la correspondiente figura proyectada sobre el cilindro.

5 3. Desarrollo de los cinco poliedros regulares Pág. 1 de 5

6 3. Desarrollo de los cinco poliedros regulares Pág. 2 de 5

7 3. Desarrollo de los cinco poliedros regulares Pág. 3 de 5

8 3. Desarrollo de los cinco poliedros regulares Pág. 4 de 5

9 3. Desarrollo de los cinco poliedros regulares Pág. 5 de 5

10 unidad 10 Cuerpos geométricos Por qué solo hay cinco poliedros regulares? Página 1 Solo hay cinco poliedros regulares: TETRAEDRO CUBO o HEXAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO 4 caras, triángulos 6 caras, cuadrados 8 caras, triángulos 12 caras, pentágonos 20 caras, triángulos Por qué solo hay cinco y no más o menos? Recordemos que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos y si en todos sus vértices concurren el mismo número de caras. Como parece lógico, es imposible formar un poliedro con solo dos triángulos en cada vértice. Sin embargo, sí puede hacerse con tres triángulos: 3 TRIÁNGULOS en cada vértice TETRAEDRO Y con cuatro triángulos por vértice? También: 4 TRIÁNGULOS OCTAEDRO

11 unidad 10 Cuerpos geométricos Por qué solo hay cinco poliedros regulares? Página 2 Se puede conseguir otro poliedro regular con cinco triángulos por vértice: 5 TRIÁNGULOS Y qué ocurre con seis triángulos? ICOSAEDRO 6 TRIÁNGULOS No, con seis triángulos equiláteros no podemos salir del plano y, por tanto, no podemos formar un vértice de poliedro. Como ya hemos acabado con los triángulos, pasemos a los cuadrados. Servirán dos cuadrados por vértice? No. Y con tres cuadrados, podemos formar un poliedro? CON TRES CUADRADOS EN CADA VÉRTICE CUBO

12 unidad 10 Cuerpos geométricos Por qué solo hay cinco poliedros regulares? Página 3 Por el mismo motivo que con seis triángulos, no se puede formar un poliedro con cuatro cuadrados. Es el turno de los pentágonos. A estas alturas ya sabemos que con dos por vértice es imposible, pero, qué pasa con tres? CON TRES PENTÁGONOS EN CADA VÉRTICE DODECAEDRO Con cuatro pentágonos ya no hay forma de colocarlos para que coincidan sobre un vértice. Ya tenemos nuestros cinco poliedros regulares. Por qué no puede haber más? Ahora le tocaría el turno a los hexágonos. Por el mismo motivo que antes, con dos es imposible. Y con tres? Con tres llenamos el plano, por lo que nunca formaremos un poliedro. Esta es la razón por la que solo hay cinco poliedros regulares.

13 5. Desarrollo de un prisma y de un antiprisma Pág. 1 de 2

14 5. Desarrollo de un prisma y de un antiprisma Pág. 2 de 2

15 6. Desarrollo del cuboctaedro y del icosidodecaedro Pág. 1 de 2 CUBO CUBOCTAEDRO OCTAEDRO 6 caras cuadradas 6 caras cuadradas 8 caras triangulare s 8 vértices de orden 3 8 caras triangulare s 6 vértices de orden 4

16 6. Desarrollo del cuboctaedro y del icosidodecaedro Pág. 2 de 2 DODECAEDRO ICOSIDODECAEDRO ICOSAEDRO 12 caras pentagonales 12 caras pentagonales 20 caras triangulare s 20 vértices de orden 3 20 caras triangulares 12 vértices de orden 5

17 7. Desarrollo de los cinco poliedros regulares truncados Pág. 1 de 5 TETRAEDRO TRONCO TETRAEDRO 4 caras triangulares 4 caras hexagonales 4 vértices de orden 3 4 caras triangulare s

18 7. Desarrollo de los cinco poliedros regulares truncados Pág. 2 de 5 CUBO TRONCOCUBO 6 caras cuadradas 6 caras octogonales 8 vértices de orden 3 8 caras triangulare s

19 7. Desarrollo de los cinco poliedros regulares truncados Pág. 3 de 5 OCTAEDRO TRONCOCTAEDRO 8 caras triangulares 8 caras hexagonales 6 vértices de orden 4 6 caras cuadradas

20 7. Desarrollo de los cinco poliedros regulares truncados Pág. 4 de 5 DODECAEDRO TRONCODODECAEDRO 12 caras pentagonales 12 caras decagonales 20 vértices de orden 3 20 caras triangulare s

21 7. Desarrollo de los cinco poliedros regulares truncados Pág. 5 de 5 ICOSAEDRO TRONCOICOSAEDRO 20 caras triangulares 20 caras hexagonales 12 vértices de orden 5 12 caras pentagonales

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