CÁLCULO DE LA ESPERANZA DE VIDA ACTIVA DE UN TRABAJADOR: NOTA METODOLÓGICA*

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1 CÁLCULO DE LA ESPERANZA DE VIDA ACTIVA DE UN TRABAJADOR: NOTA METODOLÓGICA* JUAN CARLOS LERDA"" Centro Latinoaericano de Deografía I. INTRODUCCIÓN 1. En una tabla de vida activa (TVA), 1 se definen corrienteente dos funciones relacionadas con la duración edia de los años que un individuo pasa en actividad: a) la esperanza de vida "potencialente" activa a la edad x: (ea) x b) la esperanza de vida activa de un trabajador a la edad x: ea x 2. En la priera, se distribuye el tiepo vivido en actividad desde x hasta el final de la vida por los integrantes de una cohorte hipotética entre el total de los sobrevivientes a dicha edad, sin distinguir su condición de activo o inactivo. De anera siilar, en la segunda, se distribuye el iso tiepo vivido entre los que llegan con vida a x en calidad de activos. En consecuencia, cabe esperar se verifique: 3. Si se siboliza con: (ea) x <ea x (1) l x = sobrevivientes a la edad exacta x, de una cohorte inicial de l 0 personas, y a x = proporción de personas activas a la edad exacta x, entonces: f x = l x a x (2) representa el núero de "sobrevivientes activos" a la edad exacta x. w Así: T: = f x (3) * Preparado para las III Jornadas de Mateática Aplicada a la Econoía, organizadas por el Instituto de Mateática y Estadística de la Facultad de Ciencias Econóicas de la Universidad Nacional de Córdoba, Argentina. Se reproduce con la autorización de CELADE y de la universidad citada. ** Agradezco a los profesores J. C. Elizaga, A. N. Ortega, J. Sooza y A. M. Conning de CELADE sus coentarios y sugerencias al presente trabajo. Sin ebargo, cualquier error debe acreditarse a la responsabilidad del autor. 1 En este artículo se hará referencia exclusiva a una TVA para hobres. 304

2 LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 305 Indica el tiepo vivido en actividad por los sobrevivientes a la edad exacta x hasta el final de la vida (x w). 4. Con los eleentos anteriores quedan definidas las esperanzas de vida encionadas : (ea) x (4) ; (5) 5. Al parecer, la relación (5) es de una validez tan general coo la (4), o coo la ás conocida: T 1 o. K = ^- (6) esperanza de vida a la edad x, definida en una tabla de ortalidad convencional. 6. Sin ebargo, el hecho de que la función: a x presente un áxio en x =, introduce un eleento extraño en el planteo general en que se apoyan las expresiones (4) y (6), el que quizá podría sintetizarse por la idea: relacionar ediante cociente dos funciones onótonas decrecientes. 7. En efecto, en el caso de la esperanza de vida activa de un trabajador, la idea anterior sólo tiene vigencia en un deterinado trao de edades activas, puesto que la función: t x> tabién presenta un valor extreo en las proxiidades de x. Ti 8. Así puede decirse que la relación, sólo es adecuada para el cálculo de la vida edia activa de un trabajador con edad x ^ ra. 9. Por el contrario, el uso de la expresión (5) conduce invariableente a una sobrestiación del verdadero nivel de la: ea x, si la edad a que se refiere está coprendida entre el líite izquierdo del período de vida activa (x = A) y aquella en que la función-actividad a x, alcanza su áxio absoluto (x = ). 10. El objeto de este artículo es precisaente: a) Explicar el origen del sesgo, e ilustrarlo con un ejeplo sencillo. b) presentar una deducción de la fórula corregida para calcular: ea w, cuando : A< x <. c) intentar un estudio analítico que perita identificar la relación existente entre la fórula sesgada y la corregida, a fin de descoponer el error de anera conveniente para el análisis. 11. Finalente, cabe destacar que el problea central aquí considerado no es nuevo en el capo deográfico o actuarial. Tal vez por ello, ha pasado a forar parte de una corte de teas que pueden ser tratados sin dificultad, cuando se dispone de una dosis razonable de

3 306 DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V :3, 1971 intuición y experiencia. Esta nota ha sido escrita en el sincero convenciiento de que no es éste el caso ás habitual, cuando el interesado es alguien que tiene su prier contacto con la TVA O siilares. A ellos está destinada. II. ORIGEN DEL SESGO 12. Aceptando que a x es una función continua y derivable hasta de segundo orden por lo enos en el doinio: D(A, L) existe suficiente evidencia epírica coo para suponer que se verifican las siguientes relaciones: 2 a ' x > 0 P a r a ^ < x < ra (7) da : a' x 0 para x = ra ( 8 ) a' < 0 para ra < x < L (9) donde A y L representan las edades líite izquierda y derecha del período de la vida en que generalente se da la participación en la fuerza de trabajo Por otra parte, ientras la función l x puede considerarse un odelo de variación conjunta de ortalidad y actividad según edad, la función a x> constituye un odelo descriptivo de la variación en los niveles de participación econóica exclusivaente. De esta anera, las relaciones (7) y (9) indican la existencia de ingresos a la actividad y retiros profesionales, respectivaente. 14. Es precisaente el hecho de que la participación no alcanza su áxio nivel en A, sino que varía gradualente increentándose desde a A = 0 hasta que en ra llega a su valor extreo {a ), lo que, unido al procediiento de cálculo, hace que los resultados obtenidos a partir de (5) resultan sobrestiados, cuando: A < x < ra. 15. Coo se ha visto antes, la función T x resulta de acuular el tiepo vivido en actividad por los sobrevivientes de la cohorte inicial, desde la edad x hasta el final de la vida (supuesto que L = w). Ocurre entonces que para una edad cualquiera A < x < ra, al hacer el cociente: (5) 2 En el Censo General de Población argentino, en 1960, el valor investigado de A fue de 14 años; resultó de aproxiadaente 35 años y L no se definió. En el año de 1970, la PEA fue definida a partir de A = 10, no habiéndose dado instrucción respecto a L. No se dispone aún de inforación para estiar. 3 Fuerza de trabajo, población econóicaente activa (PEA) y ano de obra, se usan aquí coo sinónios.

4 LERDA : ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 307 encontraos en el nuerador no sólo el tiepo vivido desde x en adelante por quienes ya son activos a tal edad, sino tabién los años-hobre pasados en la PEA por aquellos que se incorporan a la fuerza de trabajo en edades coprendidas entre x y. 16. Lo señalado en la últia parte del párrafo anterior, constituye justaente la clave de la explicación: en la operación (5) se está distribuyendo un tiepo vivido en actividad, superior al que constituye la experiencia real de los supervivientes activos en x. La consecuencia inediata es la anticipada sobr'estiación del verdadero nivel de la o ea x. 17. Al parecer, la anera ás siple de ilustrar las consideraciones que anteceden consiste en colocarse en el supuesto de ausencia de ortalidad, para el estudio de la experiencia de participación en la actividad de un individuo en D(A,L). En tal caso: L o T x x l x a x x a x ea x = = = (10) l v x Q-x &x lo que conviene descoponer en dos suandos: L C j a x L f ^ j a x y al aplicar el teorea del valor edio en el cálculo integral : L a n (-x)+ i a x (12) donde: *<v<ra. 18. El exaen de la relación (11) nos indica que estaos frente a una sua de dos esperanzas de vida activa: una, teporaria e inediata por ( x) años y la otra, diferida por igual período, en abos casos, a partir de x. 19. Al transforar la relación anterior en la (12), surge claraente que la esperanza teporaria, tal coo se expresa, representa una sobr estiación del núero áxio de años que un individuo puede vivir en el intervalo (x,). En efecto, al usar el teorea del valor edio en circunstancias en que a x es creciente, se verifica: >1 (13) 20. Sin ebargo, ientras el coponente teporario refleja a siple vista el sesgo encionado, no es tan evidente lo que ocurre con el

5 308 DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971 coponente diferido. Reiterando la aplicación del teorea del valor edio, resulta: L - ( - x ) + (L-) (14) donde: < 5 < L. 21. Puede notarse que a s es invariante respecto ai,y depende exclusivaente de la fora analítica de la función-actividad en el intervalo (, L). Adeás, a partir de lo indicado en (9), se deduce que: a >a 8 >a L = 0 (15) 22. Atendiendo a lo señalado en el párrafo 12, siepre es posible identificar en un punto x = r, coprendido entre A y ra para el que se verifica: a r = a s (16) y a partir del cual surgen tres casos en que conviene analizar la relación (14): i) A < x < r iplica: >i; >i de lo cual se infiere que abos coponentes resulten sobrestiados puesto que al colocarnos en el supuesto de ausencia de ortalidad biológicaente lo áxio que se puede esperar que viva una persona es (ra x) y (L ra), respectivaente. En este caso y en los que resta considerar, debe tenerse presente que para la función a x están vigentes las características enunciadas en el párrafo 12, es decir, que el tiepo vivido en actividad es inferior al tiepo vivido en cualquier condición: activo o inactivo. Una excepción a esto últio se daría en el caso de que a partir de una cierta edad, la función-actividad fuera constante e igual a la unidad. ii) x r iplica: > 1 ; = 1 de donde tabién se deduce que los dos coponentes se encuentran sobrestiados. Puesto que entre x y ra, el núero áxio de años que se puede vivir en ( x), el hecho de encontrarse aplificado por un coeficiente superior a la unidad uestra claraente la existencia de un sesgo. Respecto al segundo térino de la relación (14), adite una reflexión seejante, aunque no del todo evidente, por el

6 LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 309 hecho de que el coeficiente aja x es igual a la unidad. Sin ebargo, surge la evidencia del sesgo al recordar que en el intervalo (,L), se verifica a' x < 0, lo cual equivale a decir que la participación no es del 100 % y, en consecuencia, el tiepo vivido en actividad es inferior al tiepo total vivido. iii) r < x < ra iplica: > i; < i puesto que el coeficiente del intervalo correspondiente a la vida edia activa teporaria es, una vez ás, superior a la unidad, no queda lugar a dudas acerca de la existencia de sobr estiación pero a siple vista no podría decirse que ocurre lo iso con el coponente diferido, dado que para éste figura un factor enor que la unidad. Para estudiar este caso, conviene tener presente la relación que liga la esperanza de vida a la edad x, teporaria por n años, la probabilidad de supervivencia entre x y x+n con la esperanza a la edad x-{-n, en una tabla de ortalidad convencional: y extenderla al capo de la TVA :. o o ni ^x npx ' ^X + 11 x/ea x = -xpx eo ( 1 7 ) lo que es lícito hacer en vista de que el trao de edades considerado es aquel en que a! < 0. En razón de que el exaen precedente se apoya en el supuesto de que - x p x = 1 para cualquier valor de x en D(A,L), se deduce que: L i o o a x Ó* a s, r x -Jea x - ea x - = (L ni) De lo anterior se desprende que el nivel correcto del coponente diferido se alcanza sólo cuando en el planteo de la relación (14) la variable edad toa su líite ra. 23. A fin de ilustrar nuéricaente las condiciones anteriores se presenta un ejeplo cuyos supuestos de trabajo serán discutidos una vez expuestos. Ellos son: a) ortalidad y retiros profesionales nulos, en D(A, L). x A b) función-actividad a x = a ; en D(A, ra). A 24. Al interpretar la función: l x de una TVA coo un odelo des-

7 310 DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971 criptivo del nivel y estructura de la participación en la actividad econóica, según edad, se está indicando iplícitaente la existencia de tres factores "deterinantes": nivel y distribución por edad de la ortalidad, ingreso a la actividad y retiros profesionales. 25. Según el esquea anterior, dada una coposición por edades de la participación, su nivel se ve disinuido por efectos del prier y tercer factor, ientras que el segundo tiende a increentarlo, al enos, en un cierto trao de edades (A,). 26. Puesto que de acuerdo con lo señalado en el párrafo 15, la sobrestiación se origina en la inclusión en el nuerador de (5) del tiepo vivido en actividad por quienes se incorporan a la PEA con posterioridad a la edad x a que se refiere la estiación y antes de cuplir ra años, la consideración de que la ortalidad y los retiros son nulos no afecta la corrección del razonaiento sino en el sentido de exagerar la iportancia del sesgo. 27. En relación a la hipótesis b), puede decirse que si bien no corresponde perfectaente a la experiencia corriente, tapoco odifica el sentido de la proposición a verificar. 28. En caso de que se quisiera tener una ejor aproxiación, si no a la fora real del fenóeno, cuando enos a la que "se suele suponer que tiene", podría hacerse una de las siguientes hipótesis alternativas: i) a' x > 0; a" < 0 para A < x < ii) a' > 0; i cc \ > o a" < 0 para A < x < b para b < x < donde: x = b representa el punto en el que a x cabia de curvatura. 29. Si lo real fuera i), con el supuesto aquí adoptado, se estaría subestiando la verdadera iportancia del sesgo. En el caso de que ii) represente la situación correcta, no es fácil adelantar el resultado. Sin ebargo, existe alguna evidencia epírica en el sentido de que la edad a la que se produce el punto de inflexión conserva con una relación del tipo: h < ra + A r~ en cuyo caso aunque analíticaente no constituye condición suficiente podría esperarse que el efecto proedio, en D(A,), sería del tipo indicado en i). 30. De lo anterior se desprende que la introducción de los supuestos encionados no representa ninguna restricción y, por el contrario, su extrea sencillez contribuye a facilitar el trataiento así coo a destacar la dirección del sesgo. 31. Si se identifican los paráetros del supuesto b) párrafo 23

8 LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 311 con valores corrientes, se puede dar fora nuérica al odelo propuesto, obteniéndose el cuadro 1. Cuadro 1 ESTIMACIÓN DE LA ESPERANZA DE VIDA ACTIVA DE UN TRABAJADOR MEDIANTE LA RELACIÓN (5) X a 4 x ix 5 L x *x x 15! _ , En dicho párrafo : A = 15; ra = 35 ; L = w = 70; LOO. 32. Un exaen rápido de los valores tabulados en particular los de la últia coluna perite concluir que la hipótesis que se viene dicutiendo queda apliaente verificada. Así, al usar T^/ll para edaedades inferiores a los 35 años, se encuentran niveles de la estiación que son, incluso, superiores a las correspondientes esperanzas de vida biológicas. Tal es el caso de ea x, para x = 20, 25, 30, sin contar x = 15, en que un análisis continuo deterinaría un líite infinito positivo. 33. La observación del cuadro encionado perite coprobar, en el contexto de los supuestos elegidos, que la relación (5) es correcta cuando x ra. La verificación de este hecho es independiente de las hipótesis del presente ejeplo y tiene sustentación teórica en lo señalado en el párrafo Puede agregarse a los anteriores coentarios que la función ñl x ha sido tabulada bajo el supuesto de una variación lineal de la función-actividad. En virtud de los supuestos del odelo la fórula de integración nuérica utilizada: 5L X = 2.5 (l x + t x + ) arroja los isos resultados que los que se pueden obtener con una expresión ligeraente ás refinada: 5L X = 0.5 ( 5 L X + 5L X a x + 2.5) 35. Finalente, cabe reiterar que la introducción en el análisis de valores positivos de ortalidad y retiros se traduciría en una disinución de la iportancia del sesgo; sin ebargo, el sentido de éste se antendría invariable, por las razones adelantadas en el párrafo 14. ( a)x a x

9 312 DEMOGRAFIA Y ECONOMIA V:3, Una vez explicado e ilustrado el origen y dirección del sesgo, se dedicará la sección siguiente a presentar una deducción de la fórula corregida. III. FÓRMULA CORREGIDA 37. Coo se indicó en la introducción, el reconociiento de la necesidad de introducir una corrección en la relación (5) para A < x < no es nueva. Diversos autores recogen esta idea en sus trabajos, aunque, tal vez por aquello de que se trata de un problea obvio, no presentan al usuario una deducción que la justifique Siguiendo las ideas presentadas en la relación (11) y por analogía con la definición de e Xf de una tabla de ortalidad convencional, en la que se verifica: donde: x-\-n 0, 0 o = In^x + Jtx (18) $ / /ir T T l, 0 X X W, " /V X X 1 X + fl, * n\ I n^x = = 7 ( 1 9 > (esperanza de vida a la edad x, teporaria * & '-x por n años) w f J 1 /ir T n/^x = = (20) ^x ^x (esperanza de vida a la edad x, diferida es posible escribir: por n años) <M* = I-x^x + -xieo-x ( 2 1 ) en que, de anera siilar: 1 a /i T a T a / -*ea x = = (22) lx (esperanza de vida activa de un trabajador a la edad x, teporaria por (ra x) años) L 11 CP. «TZ % /ea, = = (23 ) ^X (esperanza de vida activa de un trabajador a la edad x, diferida por (ra x) años) 4 En este sentido puede consultarse, entre otros, a S. L. Wolfbein, "The Length of Working Life", Poputation Studies, diciebre de 1949, p. 291, y Naciones Unidas, ST/SOA/Serie A/43, Cap. I, p. 24.

10 LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA La expresión (21) resulta conveniente con fines de análisis y facilita la derivación de la fórula corregida. 40. Respecto al prier suando (/ -. x ea x ): en razón de que uno de los supuestos básicos que corrienteente se hacen para la construcción de una TVA es el de que no existe ortalidad diferencial por edad entre activos e inactivos, resulta copatible con ello decir que la esperanza de vida activa teporaria en un trao de edades en el que la única fuente de eliinación la constituye la ortalidad biológica debe ser igual a la esperanza de vida teporaria, en el iso intervalo, de un eleento genérico de la población. Es decir, que debe verificarse: 1 x&q-x / x^x (24) 41. Respecto al segundo suando { - x /ea x ): puesto que este indicador se encuentra referido a un intervalo de edades para el que se supone que no existen ingresos y en el que sólo se producen salidas de la actividad (por uerte o retiro profesional), no existe restricción a que el iso sea tratado coo una esperanza de vida diferida, correspondiente a una tabla de ortalidad convencional. De lo anterior y por analogía con la relación (17), se puede escribir: x/^x xpx ' & a (25) 42. Reuniendo los eleentos anteriores, puede escribirse la relación (21) coo: o tabién, en su fora operacional: - I-xK + -xpx ' <^ (26) ^ = T T 1 T a l + "17 ' ~T 43. Es de observar que en la deducción anterior no se ha hecho intervenir explícitaente ningún eleento que vincule los ingresos a la actividad con la solución del problea. En lo que resta de esta sección se procura ligar abos aspectos. 44. Anteriorente párrafos 14 y 15 se ha destacado el hecho de que la relación (5) constituye una sobrestiación del verdadero nivel de la ea x, cuando A<x<, en razón de que con tal operación se distribuye un tiepo vivido en actividad, superior a la experiencia real de participación, por parte de quienes son sobrevivientes activos a la edad x. Dicho de anera uy general: no existe correspondencia entre nuerador (7^) y denoinador (f x ). 45. La eliinación del sesgo vendrá entonces siguiendo este caino a partir de alguna transforación que haga copatible la relación entre abos eleentos. 46. Un procediiento general de resolución consistiría en calcular ( 2 7 )

11 314 DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971 el tiepo vivido en actividad a lo largo del intervalo (x, ), suponiendo la vigencia de una tasa constante, a, que por la naturaleza del problea debe cuplir con: 0 < a ^ De acuerdo con lo anterior, el tiepo vivido en actividad que ahora resulta será: L Tx x^x T x & ' ^x &X + l x d.x (28) el que corresponde distribuir entre los sobrevivientes activos "esperados" en x: f x ^ C L ' l x (29) 48. Haciendo el cociente entre las relaciones (28) y (29) se obtiene la fora general: rj-> O rji rj-i * T 1 la. = = + -^L. üí_. JLÜL (30) r; h a l f 49. Al coparar la expresión anterior con la relación (17), se puede observar que sólo coincide en caso de que se haya elegido: a = a ; en caso contrario, se estaría introduciendo un sesgo en el coponente diferido y por extensión en la estiación de ea x que sería por defecto o por exceso, según fuesen los valores particulares de a y a. 50. De lo anterior se deduce que la tasa constante a elegir no puede ser arbitraria coo se supone al principio, sino que debe ser la correspondiente al punto para el que la función-actividad presenta su áxio. 51. En cuanto a la idea de incorporar una tasa de actividad constante, puede interpretarse en el sentido de que en cada edad A<^<, ya se encuentran incorporados a la actividad todos aquellos que alguna vez lo harán y llegan con vida a ra. Su fundaentación proviene de la encionada necesidad de copatibilizar nuerador y denoinador, pudiéndose foralizar a partir de la relación (24) la que puede escribirse coo: S l x a x ^X ' &x y usando el teorea del valor edio en el cálculo integral se llega a f l w - = X (24 bis) ^x a x - $l a = Sl 9 d* (31) donde a vt fue definido anteriorente. 52. De lo visto se desprende que la verificación de la relación (24) supuesto básico en la construcción de la TVA ientras no se conozca

12 LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 315 realente el patrón de ortalidad de los activos está sujeto a la condición : a v =1 (32) y, en consecuencia, a que la función-actividad se coporte coo una constante en el intervalo de edades (A,), independienteente de la fora analítica del: l x. 53. Qué ocurre si - x q x = 0? En tal caso, la relación (27) se reduce a: rl ea x (ra - x) H (33) t lo que perite ver su ecaniso lógico: los (ra x) años del prier suando resultan del supuesto adoptado y en virtud del iso, un sobreviviente activo a la edad x se hace "acreedor" al 100 % de lo que corresponde a los trabajadores que llegan con vida a ra. Coo puede observarse, bajo condiciones reales de ortalidad, tal "crédito", varía en proporción directa a la probabilidad de sobrevivencia en el período. 54. Finalente, vinculando la fórula corregida relación (27) con el ejeplo presentado en la priera sección, es claro que en virtud de los supuestos elegidos aquélla se reduce a: ea x = 70-x (34) pudiéndose ahora coparar los resultados de la estiación sesgada y la corregida. (Véase el cuadro 2.) Cuadro 2 ESPERANZA DE VIDA ACTIVA DE UN TRABAJADOR, PARA: 15 < x ^ 35, ESTIMACIÓN SESGADA Y CORREGIDA, ERRORES ABSOLUTOS Y RELATIVOS Edad Estiación sesgada relación (5) Estiación corre; jida relación (27) 6 I Error Absoluto Relativo(%) [34) ,, 35-o Observando el cuadro 2, pueden hacerse por lo enos dos breves coentarios de interés. En prier lugar, que la relación (27) describe correctaente las características del odelo exainado. En segundo lugar, cabe hacer resaltar que la sobrestiación provocada por el uso de la relación (5) es sisteática para toda edad inferior a los 35 años, pero que decrece con la edad al parecer de acuerdo con una ley hiperbólica.

13 316 DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971 IV. RELACIÓN ENTRE LA FÓRMULA SESGADA Y LA CORREGIDA. DESCOMPOSI CIÓN DEL ERROR 56. A fin de generalizar las ideas que condujeron a la relación (14), es posible escribir: S C ÍC ílt = = + (35) l x ^x L% y aplicando el teorea del valor edio en el cálculo integral a la vez que se hacen algunas transforaciones, se arriba a una fora general de la fórula sesgada: Tai Q>v Ta* T CL l T -j... _ (36) f x a x l x a x l f donde a v ha sido definido antes. 57. Coparando la expresión anterior con la relación (27), queda claro que aquélla contiene a ésta coo un caso particular. Tal circunstancia se verifica cuando: CL X y d lo que puede interpretarse en el sentido, ya adelantado, de que la participación áxia se presenta desde el inicio del período de la vida activa. Este artificio algebraico, necesario para resolver el sesgo y que fuera aceptado al coentar la relación (30), iplica suponer que la incorporación a la actividad no es un proceso ás o enos gradual entre A y f sino un fenóeno que se da siultánea y totalente en A. 58. Llaando "factores de distorsión" a: f(x) = ; g(x) = se verifica: lí f(x) = + OC ; lí f(x) = 1 x-> A x -> lí g(x) = + OO ; lí g(x) = 1 x-> A x -> de donde se concluye que, efectivaente, el sesgo varía hiperbólicaente en el intervalo (A, ), según se anticipara en los coentarios al cuadro Puesto que en realidad: a x <a v <a t se verifica que f(x) <g(x), de donde se infiere que la distorsión total puede ser descopuesta en dos partes, cuya iportancia absoluta y relativa difieren.

14 LERDA : ESPERANZA DE VIDA ACTIVA En relación con el error vinculado al coponente teporario, puede decirse que es de enor peso relativo que el asociado con el exponente diferido. En cuanto al valor absoluto, cabe esperar una relación del iso tipo que la encionada, si los líites de la vida activa se fijan en 15 y 70 años, respectivaente, variando ra alrededor de los 35 años. 61. Con los eleentos de análisis presentados, es posible intentar un sencillo ejeplo nuérico, con el objeto de edir la iportancia de f(x) y g(x). Para tal fin, se ha considerado la inforación provista por el cuadro Atendiendo en prier lugar al error asociado con la esperanza de vida activa teporaria de un trabajador, se obtienen las cifras del cuadro 3. Cuadro 3 ANÁLISIS NUMÉRICO DEL ERROR PROVENIENTE DE F(X), SEGÚN EDAD x, v v x f(x) 20, , v ,35 ^ , = Estiación /-x 68 * 1 1,, ' Error respecto al valor corregígo (corregida) (en años) Absoluto Relativo 1 U) " (en años) (f(x)-1) 100 f (sesgada) (en años) 20, , ) i , De anera siilar es posible construir el cuadro 4. Cuadro 4 ANÁLISIS NUMÉRICO DEL ERROR PROVENIENTE DE G(X) a X g(x) p -x x l a ea = T a / l a ' 20, , = Estiación -x/ea* Error respecto al valor corregido Absoluto Relativo 0 0 ro-x P x. e a x g(x) -x P x. e a x (en años) (g(x) - 1) , ,35 (corregida) (en años) (sesg (en años) , Al exainar las cifras de los cuadros 3 y 4 es posible reconocer que:

15 318 DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971 i) al usar T*/ Zapara el cálculo de la &a xi cuando A < x < ra, se llega invariableente a una sobrestiación de su verdadero nivel que afecta a sus dos coponentes de anera distinta. ti) la iportancia del error que se coete en tales circunstancias tanto en térinos absolutos coo relativos es ayor en el coponente diferido que en el teporario. iii) la evaluación del sesgo es decreciente con la edad, según una ley hiperbólica, para abos coponentes. 65. Cabe observar, coo control, que la sua de los valores correspondientes a los errores absolutos, en los cuadros 3 y 4, coincide con las cifras relacionadas a la estiación sesgada que figura en los cuadros 1 y Finalente, una últia observación en relación con los errores relativos por edad originados en los "factores de distorsión" f(x) y g(x). Sisteáticaente se encuentra que este últio es el doble del priero. Ello es consecuencia del supuesto cobinado de linealidad en la variación de la función-actividad y de constancia en l xt lo que peritió usar en fora exacta: a v = 0.5 (a w + a ) y que reeplazando oportunaente, verifica: g(x) - 1 _ a a -a a _ V. RESUMEN Y. 1. En una tabla de vida activa (TVA), se tabulan corrienteente los valores correspondientes a la función bioeconóica "esperanza de vida activa de un trabajador". 2. Definiendo los líites de edad dentro de los cuales se da la participación en la población econóicaente activa (PEA), coo A y L, existe un punto ra para el cual las tasas de actividad por edad presentan un áxio. 3. La existencia de un valor extreo coo el indicado puede interpretarse en el sentido de que antes de tal edad no se ha copletado aún el proceso de incorporación a la fuerza de trabajo por parte de los integrantes de la generación hipotética que se representan en la TVA. Por tal otivo, al estiar el nivel de: ea x, para: A<;c<ra, ediante la relación: en el nuerador se encuentra, por una parte, el tiepo vivido en actividad desde x en adelante, por quienes son sobrevivientes activos

16 LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 319 a tal edad y, adeás el correspondiente a todo individuo que se incorpora a la PEA entre x y. 4. En virtud de que este últio nada tiene que ver con la experiencia de participación en la fuerza de trabajo de quienes foran el conjunto f x, se presenta una falta de correspondencia entre nuerador y denoinador cuyo resultado es provocar una sobrestiación del verdadero nivel del indicador. 5. En consecuencia, para tabular la función esperanza de vida activa de un trabajador, deberán utilizarse dos fórulas distintas según el trao de edades que se considere: Si A<ix<jn\ ea x + Si ra<[*<l: ea x