Métodos de Integración I n d i c e

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Métodos de Integración I n d i c e"

Transcripción

1 Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles

2 Introducción. En est sección, y con l yud del Teorem Fundmentl del Cálculo, desrrollremos ls principles técnics de Integrción que nos permitirán encontrr ls integrles indefinids de un clse muy mpli de funciones. En cd uno de los métodos de integrción, se presentn ejemplos típicos que vn desde los csos más simples, pero ilustrtivos, que nos permiten llegr de mner grdul hst los que tienen un myor grdo de dificultd. estudiremos los principles métodos de integrción, consistiendo todos ellos en reducir l integrl buscd un integrl y conocid, como por ejemplo un de ls de l tbl, ó bien reducirl un integrl más sencill. Regresr l índice

3 El Método de Cmbio de Vrible. ntes de ver l fórmul de cmbio de vrible, resolveremos lgunos ejercicios sencillos que nos llevrán de mner nturl l menciond fórmul. Tomemos l primer fórmul de l tbl de integrles del cpítulo nterior: α α d k α si α prtir de ést podemos encontrr integrles como d k, d k k k, etc. Sin embrgo, si l vrible no prece de mner sencill en l función integrr, podemos firmr que d k? L respuest es NO, pues l derivr el ldo derecho no obtenemos el integrndo d d lo correcto serí o bien d k

4 d k nálogmente podemos firmr que cos cos d k? De nuevo l respuest es NO, pues l derivr el ldo derecho no obtenemos el integrndo lo correcto serí d d En el cálculo de ests dos integrles cos sencos cos sen cos d k d k cos sen cos d k como un vrinte de l fórmul α α d k α si α dvertimos que si l vrible se reemplz por un función u, pr que l integrl se clcule sustituyendo u por, en el integrndo debe precer u' multiplicndo u α, es decir [ u ] α u' d [ u ] α α En generl, si prtimos de un integrl conocid k si α f d g k y cmbimos l vrible por l función derivble u, tl que u' es continu, obtenemos L FORMUL DE CMBIO DE VRIBLE

5 f [ u ] u' d g[ u ] k Podemos comprobr fácilmente su vlidez, derivndo el ldo derecho d d [ g[ u ] k] g' [ u ] u' f [ u ] u' este último pso utilizndo el hecho de que g es un primitiv pr f. Si en l fórmul nterior escribimos u u y u'd du, l fórmul de cmbio de vrible nos quedrí como: f u du g u k En todos los ejemplos que veremos continución, trtremos de reducir el grdo de dificultd de l integrl medinte un cmbio de vrible, de tl mner que l integrl resultnte se más fácil de integrr ó que se un integrl conocid. Pr que l fórmul de cmbio de vrible teng posibiliddes de éito, debemos identificr en el integrndo un función u y u', su derivd. Ejemplo. Encuentre d Solución. En este cso sencillo podemos observr que est integrl "se prece" lo cul nos sugiere tomr el cmbio de vrible u - u du, u - du d d /du Sustituyendo en l integrl, u u d u du / u du c c c coincidiendo con el resultdo nterior. Ejemplo. Encuentre cos sen d

6 Solución. En este cso podemos observr que est integrl "se prece" nos sugiere tomr el cmbio de vrible u cos u du, lo cul u cos du -sen d sen d -du Sustituyendo en l integrl, u sen d u du cos cos u du c c coincidiendo con el resultdo nterior. ln Ejemplo. Encuentre d Solución. dvertimos l presenci de l función ln y su derivd /, lo cul nos sugiere tomr el cmbio de vrible: Sustituyendo en l integrl, u ln du d/ ln d u du su vez est integrl tendrí que resolverse por cmbio de vrible, tomndo w u-, como se hizo en el ejemplo, obteniendo: ln u ln d u du c c Sin embrgo pr evitr tomr dos o más cmbios de vrible, debemos perctrnos de que lo importnte es que prece l epresión / que es l derivd de ln, que tmbién lo es de ln-, slvo constntes. Más precismente, podemos tomr el cmbio de vrible: y l sustituir en l integrl originl: u ln- du d/, ò bien d/ du/, ln u d u du c ln c

7 Observción: De lo nterior podemos concluir que el cmbio de vrible procede cundo en el integrndo prece un función u y su derivd multiplicd por un constnte. demás que l integrl de l vrible u se posible resolverl. Ejemplo. Encuentre 6 7 d Solución. En este cso prece l función u - 7 y su derivd -7 6 multiplicd por l constnte -/7, precisndo: u - 7 du -7 6 d Como en l integrl tenemos que sustituir 6 d, du -7 6 d 6 6 d du 7 d du 7 / 6 7 u / 7 / d u du c u c c, 7 7 / 7 7 sí pues d c, 7 Nótese que un vez identificdo el cmbio de vrible u, vemos que l integrl por resolver es u du, es decir, resolver nuestr integrl d 6 7 se reduce resolver u du medinte el citdo cmbio de vrible ó en otrs plbrs nuestr integrl de l vrible es similr u du Eisten otrs situciones en que el cmbio de vrible no es tn evidente en términos de l función u y su derivd, por lo cul tenemos que echr l vist delnte y ver que función fácil de integrr es similr nuestr función. Ejemplo. Encuentre 6 d Solución. En un primer vist no dvertimos l presenci de un función u y su derivd, y que l derivd de 6 6 y en el integrndo no prece sino. No debemos

8 perder de vist que l hcer un cmbio de vrible es por que nuestr integrl es similr ó se puede reducir otr fácil de resolver. Si pensmos que d será el nuevo diferencil, entonces u tendrí que ser, es decir u du d como se ve l epresr l integrl de l siguiente mner: du d rctnu c rctn c u Ejemplo 6. Encuentre 9 8 d Solución. En nlogí l ejemplo nterior, podemos decir que est integrl se reduce du du, y que si tommos el cmbio de vrible u 9 8, ó equivlentemente u u du d, es decir d /du, y sustituyendo: 9 8 d du u rcsen u c rcsen c Podemos utilizr el método de cmbio de vrible pr encontrr ls integrles de lguns funciones conocids Ejemplo 7. Encuentre d tn Solución. sen tn d cos d u cos du -sen sen du d lnu c lncos c cos u Como -lncos ln - lncos ln/cos lnsec Podemos epresr

9 tn d ln sec C nálogmente cot d ln sen C d Ejemplo 8. Encuentre 9 du Solución. Debemos poder reducir est integrl u por l similitud de ls epresiones. medinte un cmbio de vrible, Primermente vemos que en el denomindor l vrible l cudrdo est sumd, lo cul nos sugiere fctorizr el 9 pr tener lgo similr, es decir: d d 9 9 d 9 / 9 / y esto nos sugiere tomr el cmbio de vrible u / du d/ d d du 9 9 / 9 u rctn u c rctn / c En generl podemos deducir l fórmul que englob todo este tipo de integrles. d Ejemplo 9. Encuentre Solución. En nlogí l problem nterior: d y tomndo el cmbio de vrible u / y por lo tnto du /d d

10 es decir: d d du u rctnu c rctn c d rctn c I reserv de probrlo más delnte, ceptremos l siguiente fórmul: d ln c II y probremos lo siguiente: d Ls integrles de l form b c II medinte cmbio de vrible., con 0, se reducen ls fórmuls I ó El procedimiento consistirá en completr trinomio cudrdo perfecto y tomr el cmbio de vrible decudo. d Ejemplo 0. Encuentre 0 Solución. Completemos el trinomio cudrdo perfecto. 0 [ 6 ] [ ] [ ] [ - ] sustituimos en l integrl e identificmos con l fórmul II d d d 0 ln c

11 es decir d ln 0 8 c Obsérvese que no import cul se el trinomio cudrdo, l completrlo nuestr integrl siempre se reducirá un de ls dos fórmuls. Un vez visto lo nterior, veremos un procedimiento que nos permitirá clculr integrles de l form B b c d con 0 d Ejemplo. Encuentre Solución. Por supuesto que el tipo más sencillo de este tipo de integrles es cundo en el numerdor prece l derivd del término cudrático del denomindor. 6 d ln c Prtiremos de est función y modificremos el numerdor pr obtener un epresión fácil de integrr d d d d d L primer de ls integrles y está resuelt y l segund se resuelve con el procedimiento descrito en el ejemplo nterior. [ / /] [ / /9 /-/9] [ / /9] En consecuenci : d d rctn 9 c

12 d ln rctn c 6 Regresr l índice El método de Integrción por prtes Este método nos permitirá resolver integrles de funciones que pueden epresrse como un producto de un función por l derivd de otr. Más precismente, deduciremos l fórmul de integrción por prtes prtir de l regl pr derivr un producto de dos funciones. integrndo en mbos ldos obtenemos: y despejndo l segund integrl: [fg]' f 'g fg' [ fg ] ' d f 'g d f g' d f g f 'g d f g' d f g f f g' 'g obtenemos finlmente l FORMUL DE INTEGRCIÓN POR PRTES. continución veremos en lgunos ejemplos como utilizr est fórmul. Ejemplo. Encuentre cos d d d Solución. Con el fin de utilizr l fórmul nterior, tomremos f y g' cos, es decir el integrndo cos f g' f f ' g ' cos g sen

13 cos d sen sen d sen cos c Observe que tmbién hubiérmos podido hcer l siguiente elección de f y g': f cos g ' f ' -sen g / sólo que l función por integrr en el ldo derecho tiene un myor grdo de dificultd pr resolverse que l originl. cos d cos sen d NOTCIÓN. Con el fin de ser congruentes con l notción utilizd en l myorí de los libros del mercdo, le llmremos u f y v g y en consecuenci du f 'd sí como du g 'd. Con est nuev notción resolveremos los siguientes ejercicios. Ejemplo. Encuentre e d Solución. Utilizremos el siguiente cudro u du d v e dv e d obsérvese que con est notción, en vez de tomr g' e, tommos su diferencil dv e k d y nálogmente con f, permitiendo que un prte del integrndo se u y el resto se dv. e d e e d e e c En estos primeros dos ejemplos, un decud elección de u y dv nos llev en un solo pso resolver nuestr integrl reduciéndol un integrl más fácil de resolver. Eisten otrs situciones, como se verá en los siguientes ejemplos, en que si bien l integrl del ldo derecho tiene un menor grdo de dificultd, no es un integrl inmedit, requiere de un nuevo proceso de integrción por prtes ó resolverl por cmbio de vrible, ó lgún otro procedimiento.

14 Ejemplo. Encuentre e d Solución. Utilizremos el siguiente cudro u du d v e dv e d e d e e d l integrl del ldo derecho se resuelve por prtes Ejemplo, obteniendo: e d e e e c Observción: L elección u e, dv d nos llev un integrl con un myor grdo de dificultd. Ejemplo. Encuentre rctn d Solución. Utilizremos el siguiente cudro u rctn d du v dv d rctn d rctn d En este cso, l integrl del ldo derecho se resuelve por un cmbio de vrible, obteniendo: y en consecuenci: d d ln c rctn d rctn ln c

15 Ejemplo. Encuentre sen d Solución. Utilizremos el siguiente cudro u sen du cos d v -cos dv sen d sen d sen cos cos d sen cos cos d L integrl del ldo derecho, l precer tiene el mismo grdo de dificultd que l integrl originl, incluso es de l mism nturlez que l originl, lo que nos sugiere utilizr de nuevo el método de integrción por prtes u cos du -sen d v sen dv cos d cos d sen cos sen d sen cos sen d que l sustituirse nos d: sen d sen cos cos d sen cos sen cos obteniendo l identidd sen d sen cos sen cos sen d sen d en l que si dejmos en el ldo izquierdo ls integrles, obtenemos 0 0, que no nos yud encontrr el vlor de nuestr integrl. L lterntiv en este cso es utilizr l identidd trigonométric sen cos inmeditmente después de l primer integrción por prtes. sen d sen cos cos d sen cos sen d

16 d sen cos sen sen d. Si bien nos vuelve precer l mism integrl, est vez prece con distinto signo, lo que nos permite despejrl, es decir si dejmos del ldo izquierdo ls integrles, obtendremos: O bien sen d sen cos. sen cos sen d c. Ejemplo 6. Encuentre e sen d Solución. Utilizremos el siguiente cudro u e du e d v -cos dv sen d e sen d e cos e cos De nuevo como en el ejemplo nterior, l integrl del ldo derecho es de l mism nturlez y del mismo grdo de dificultd, por lo que podrímos intentr utilizr de nuevo el método de integrción por prtes. u e du e d v sen dv cos d e cos d e sen e sen d Sustituyendo, obtenemos:

17 e sen d e cos e cos e sen e cos e sen de donde podemos despej l integrl e sen d e sen e cos e sen y en consecuenci e sen d e sen e cos e sen e e sen d cos c continución bordremos unos ejemplos en que, debido l grn cntidd de posibiliddes debe tenerse un criterio preciso pr decidir sobre l elección de u y dv. Ejemplo 7. Encuentre e d Solución. En este tipo de funciones integrr, hy muchs mners de epresr l integrndo como un producto: u, dv e d ; u, dv e d ; u, dv e d ; u, dv e d ; u e d, dv d, etc. Cuál de ests opciones elegir? Lo primero que debemos hcer es segurrnos que en nuestr elección, dv se un función fácil de integrr. Si eminmos con detlle ls opciones, sólo l opción u, dv e vrible: d cumple con esto y que dv es fácil integrr por un simple cmbio de v e d e d e c sí pues el cudro pr l integrción por prtes será: u v e du d dv e d

18 e d e e d e e c Ejemplo 8. Encuentre 6 d 9 Solución. Con un criterio similr l del cso nterior, tommos l siguiente elección: u v 6 du d dv 6 d donde v dv 6 d 6 d d 6 6 d d 6 6 c sí pues: 9 6 d 6 6 c 67 Regresr l índice

19 Integrles de funciones trigonométrics continución veremos lguns regls pr integrr cierto tipo de funciones trigonométrics, que posteriormente se utilizrán en el método de sustitución trigonométric. n n I. Potencis de senos y cosenos sen d cos d Pr resolver este tipo de integrles, considerremos dos csos: Si n es impr, es decir n k, fctorizmos el integrndo, por ejemplo sen n d sen k d sen k sen d Utilizmos l identidd sen cos y tommos el cmbio de vrible u cos. De mner nálog en el cso de ls potencis del coseno, tomndo el cmbio de vrible u sen. b Si n es pr, es decir n k, fctorizmos el integrndo, por ejemplo ó en el cso del coseno y utilizmos ls identiddes trigonométrics: Ejemplo. Resolver Solución: sen n sen k sen k cos n cos k cos k cos cos cos sen d sen sen d sen ó sen d cos sen d

20 se u cos, entonces du -sen, y l sustituir en l integrl obtenemos: u cos sen d cos sen d u du u c cos c Ejemplo. Resolver Solución: cos d cos d cos cos d sen cos d se u sen, entonces du cos, y l sustituir en l integrl obtenemos: u u sen sen d u du cos u u du u c sen c Ejemplo. Resolver sen d Solución: cos sen d sen d d cos cos d cos d d cos d II. Productos de potencis de senos y cosenos sen m cos n d. Si m y n son pres, utilizremos ls identiddes: cos cos cos sen b Si m ó n es impr, utilizremos l identidd sen cos y II. Productos de potencis de tngentes y secntes tn m sec n d. Si n es pr, utilizmos l identidd: sec tn.

21 b Si m es impr, utilizmos l identidd: tn sec -. c Si n es impr y m pr usmos lgún otro método como por ejemplo integrción por prtes. Regresr l índice El Método de Sustitución Trigonométric Este método, el cul es un cso especil de cmbio de vrible, nos permitirá integrr cierto tipo de funciones lgebrics cuys integrles indefinids son funciones trigonométrics, como por ejemplo nuestr conocid fórmul: d rcsen c l cul "resolveremos" con el fin de motivr el uso del método. Observe que si tommos el cmbio de vrible senθ donde -π/ < θ < π/ pues - < < y en consecuenci d cosθ dθ y sen θ cos θ cosθ cosθ pues cosθ > 0 en el intervlo -π/<θ<π/ Sustituyendo en términos de θ, obtenemos un integrl en l vrible θ, l cul resolvemos fácilmente y del cmbio de vrible l epresmos en términos de. d dθ cosθ cosθ dθ θ c rcsen c Como podemos precir, l bordr este tipo de integrles siempre tendremos que resolver un integrl trigonométric, como ls que se resolvieron en l sección nterior. Primer cso. Si en el integrndo prece un rdicl de l form vrible tommos el cmbio de

22 senθ, con > 0. Como se preció nteriormente, l vrición de en el intervlo -, se corresponde con l vrición de θ en el intervlo -π/, π/ En este primer cso l epresión del rdicl en términos de θ será: sen θ sen θ cos θ cosθ cosθ est últim iguldd pues cosθ > 0 en el intervlo -π/, π/ Tmbién del cmbio de vrible obtenemos el vlor de θ rcsen, pues l función invers de f sen se encuentr definid precismente en el intervlo -, y con vlores en -π/, π/. Ejemplo. Encuentre el áre del círculo de rdio. Solución. L ecución de l circunferenci de rdio y centro en le origen es: cuy gráfic es: y - Evidentemente est gráfic no corresponde un función, pero podemos restringirnos l intervlo [0, ], clculr el áre bjo l grfic y multiplicrl por pr obtener el áre desed.

23 L función de l figur l obtenemos despejndo y en términos de, en l ecución de l circunferenci: y sí pues el áre buscd será: 0 d Primermente encontrremos d En est integrl, tommos el cmbio de vrible trigonométrico senθ por lo cul d cosθ dθ y cosθ. sustituyendo en l integrl originl, en términos de l nuev vrible θ, e integrndo, obtenemos: d cosθ cosθ dθ cos θ dθ θ senθ cosθ c Del cmbio de vrible senθ obtenemos que senθ /, es decir, θ rcsen/. simismo del cmbio de vrible, podemos construir el triángulo: θ

24 En este cso prticulr senθ / y cosθ. sí pues l integrl resuelt en términos de l vrible θ, l epresmos en términos de l vrible originl,. d θ senθ cosθ c rcsenθ c Clculemos hor l integrl definid d rcsenθ c 0 d rcsen 0 rcsen0 0 rcsen π / π y finlmente el áre será: d π 0 d Ejemplo. Encuentre 9 Solución. Tomemos el cmbio de vrible trigonométrico: senθ por lo cul d cosθ dθ y 9 cosθ. sustituyendo en l integrl originl, en términos de l nuev vrible θ, e integrndo, obtenemos: d 9 cosθ dθ senθ cosθ dθ senθ cscθdθ ln cscθ cotθ c Del cmbio de vrible senθ obtenemos que senθ /, y, podemos construir el triángulo: θ 9

25 prtir del cul podemos encontrr culquier función trigonométric de θ. En este cso prticulr cscθ / y cotθ 9. sí pues l integrl resuelt en términos de l vrible θ, l epresmos en términos de l vrible originl,. d 9 ln cscθ cotθ c ln 9 c d 9 ln 9 c d Ejemplo. Encuentre 6 Solución. Tomemos el cmbio de vrible trigonométrico: senθ por lo cul d cosθ dθ y 6 cosθ. sustituyendo en l integrl originl, en términos de l nuev vrible θ, e integrndo, obtenemos: d 6 senθ cosθ dθ cosθ senθ dθ cosθ c Del cmbio de vrible senθ obtenemos que senθ /, y, podemos construir el triángulo: θ 6

26 Y prtir de él clculr cosθ 6. sí pues l integrl resuelt en términos de l vrible θ, l epresmos en términos de l vrible originl,. d c 6 6 cosθ c 6 c Observción: Est integrl puede resolverse tmbién con un sencillo cmbio de vrible lgebrico u 6 -. Compruebe este resultdo como ejercicio. Ejemplo. Encuentre d 9 Solución. Nótese que pr verlo como un integrl del primer cso, debemos hcer un cmbio de vrible ó sencillmente fctorizr el 9 en el rdicl: 9 9 / 9 / 9. continución tommos el cmbio de vrible: senθ por lo cul d cosθ dθ y / 9 cosθ. sustituyendo en l integrl originl, obtenemos: d 9 senθ cosθ dθ cosθ 8 8 sen θ dθ 8 8 cos θ cosθ c Del cmbio de vrible triángulo: senθ, obtenemos que senθ, y podemos construir el θ 9

27 Y prtir de él, clculr cosθ Finlmente: 9. d 8 8 c cos θ cosθ c Segundo cso. Si en el integrndo prece un rdicl de l form vrible tommos el cmbio de tnθ, con > 0. En este tipo de rdicles l vrición de es en tod l rect rel, rzón por l cul se tom l tngente, l cul vrí tiene est mism vrición en el intervlo -π/, π/ En este segundo cso l epresión del rdicl en términos de θ será: tn θ tn θ sec θ secθ secθ y l igul que en el cso nterior como cosθ > 0 en el intervlo -π/, π/, tmbién lo será secθ. Tmbién del cmbio de vrible obtenemos el vlor de θ rctn. Pues l invers de l función f tn se encuentr definid en todos los reles y con vlores en -π/, π/ Ejemplo. Encuentre d Solución. Tommos el cmbio de vrible: tnθ por lo cul d sec θ dθ y secθ. sustituyendo en l integrl originl, obtenemos:

28 d secθ sec θ dθ sec θ dθ secθ tnθ ln secθ tnθ c Del cmbio de vrible triángulo: tnθ, obtenemos que tnθ, y podemos construir el θ Y prtir de él clculr secθ obtenemos: y tnθ, que l sustituir en l integrl d c secθ tnθ ln secθ tnθ ln c En generl el método de sustitución trigonométric se utiliz cundo prece un rdicl de ls forms señlds en los csos, lo cul no signific que debe precer solo elevdo l potenci. En el siguiente ejemplo clculremos un integrl en l que el rdicl prece elevdo l cubo. d Ejemplo 6. Encuentre Solución. Tommos el cmbio de vrible: tnθ por lo cul d sec θ dθ sustituyendo en l integrl originl, obtenemos: y sec θ. Del cmbio de vrible d sec θ dθ cosθ dθ senθ c sec θ tnθ, podemos construir el triángulo:

29 prtir del cul clculmos senθ θ. d senθ c c continución encontrremos l integrl de un función en l que no prece eplícitmente el rdicl. Ejemplo 7. Encuentre d Solución. Obsérvese que el integrndo lo podemos epresr como Tommos el cmbio de vrible: tnθ por lo cul d sec θ dθ sustituyendo en l integrl originl, obtenemos: d sec d θ θ d cos sec θ y sec θ. θdθ θ senθcosθ c Del cmbio de vrible tnθ, construimos el triángulo: θ prtir del cul clculmos senθ Obteniendo finlmente: y cosθ.

30 d θ senθ cosθ c rctn c Tercer cso. Si en el integrndo prece un rdicl de l form vrible secθ, con > 0. tommos el cmbio de En este tipo de rdicles l vrición de es en -, -,, rzón por l cul se tom secθ, l cul tiene est mism vrición en 0, π/ π/, π, justmente donde l función secnte tiene invers. En este tercer cso l epresión del rdicl en términos de θ será: sec θ sec θ tn θ tnθ solmente que en este dominio, l tngente tom vlores positivos y negtivos, por lo que no podemos quitr impunemente el vlor bsoluto. Pr resolver este conflicto, sociremos ls vriciones de y de θ, de l siguiente mner: > k 0 < θ < π/ < - π < θ < π/ siendo l función tngente, positiv en estos intervlos pr poder tomr tnθ tomremos el vlor de θ de l siguiente mner: θ rc sec si > θ π rcsec si <

31 d Como ejercicio, encuentre. 9 Regresr l índice El Método de ls Frcciones Prciles Este método nos permitirá integrr ciert clse de funciones rcionles cociente de polinomios mner de ilustrción consideremos l siguiente integrl:. d. Obsérvese que difícilmente podrímos bordrl con lguno de los métodos que disponemos. Procederemos efectundo l división de los polinomios: Posteriormente plicmos el lgoritmo de l división y obtenemos: - 9 Pr obtener en el ldo izquierdo de l iguldd l función que queremos integrr, dividimos en mbos ldos entre - :

32 9 descomponiendo de est mner nuestr frcción "complicd" en un sum de frcciones "sencills" ls que llmremos frcciones prciles, ls cules son fáciles de integrr. 9 d d d 9ln c P En generl si queremos integrr un cociente de polinomios en el que el grdo de P Q es myor o igul l grdo de Q, procederemos como en el cso nterior, plicndo el lgoritmo de l división q Q P r Donde r 0 ó grd r < grd Q Dividiendo entre Q, obtenemos: P Q q r P Q r q Q en donde l integrl buscd, P d q d Q r d Q con gr r < gr Q se reduce clculr l integrl de un polinomio q y l integrl de un función rcionl en l cul el numerdos tiene grdo menos que el denomindor. continución describiremos vrios csos de descomposición de frcciones rcionles en ls cules el polinomio del numerdor tiene grdo menor que el denomindor como un sum de frcciones prciles ls cules son fáciles de integrr. Primer cso.

33 [Q tiene tods sus ríces reles y distints] Cundo l fctorizción del polinomio Q es en fctores lineles y distintos, es decir: Q n, hcemos l siguiente descomposición: n n Q P... donde,,,... n son constntes reles. Nótese que un vez efectud l descomposición, l integrción es inmedit pues: c d k k k ln y por lo tnto: d d d d d Q P n n... c d Q P n ln... ln ln ln Ejemplo. Clculr 6 d Solución: En este ejemplo Q L descomposición en frcciones prciles serí: 6 B, en l que bstrá determinr ls dos constntes y B pr poder encontrr nuestr integrl. Procederemos l determinción de ls constntes, efectundo l sum del ldo derecho: 6 B B B B B,

34 Observmos que l primer y l últim frcción son igules y tienen el mismo denomindor, por lo que sus numerdores forzosmente son igules, es decir: o bien B B- 0 B B- de donde obtenemos el siguiente sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits: que resolviéndolo nos qued B 0 B - B 0 B - 8B por lo que B /8, y sustituyendo en l primer ecución, -B -/8. Un vez determinds nuestrs constntes y B, ls sustituimos en l descomposición inicil, obteniendo: quedndo finlmente l integrción: B /8 /8 6, d /8 / 8 d d ln ln c o bien, utilizndo ls propieddes de los logritmos: d ln 6 8 c Observción: Est integrl es un cso prticulr de l fórmul presentd sin demostrción en el método de cmbio de vrible

35 du u u ln u c l cul puede hor probrse con el método de frcciones prciles como un ejercicio. Ejemplo. Clculr d Solución: En este ejemplo, Q L descomposición en frcciones prciles serí: B, y siguiendo el procedimiento del ejemplo nterior B B B B, igulndo coeficientes, obtenemos el sistem: B -B que l resolverlo nos d: B -B 8 7 obteniendo el vlor de 7/8. Pr encontrr B, l despejmos en l primer ecución B - - 7/8 /8 sí pues, l descomposición en frcciones prciles es: 7 /8 /8,

36 y nuestr integrl: 7 / 8 / 8 7 d d d ln ln c 8 8 Observción: En cd uno de los csos de este método se firm que se puede dr un descomposición en frcciones prciles, lo cul es un resultdo del álgebr y que por lo tnto deberí probrse lgebricmente, y que podrí surgir l dud de que en un de ests descomposiciones se produjer un sistem de ecuciones sin solución. No dremos quí l demostrción pero veremos que por lo menos en el primer cso siempre será posible encontrr ls constntes, es decir los sistems resultntes si tendrán solución. Otro método pr determinr ls constntes: Trtemos de "despejr" l constnte de l descomposición desed: Multiplicmos en mbos ldos de l ecución por - B obteniendo: B despejmos l constnte B evlumos en y obtenemos 7/8 Obsérvese que estos psos pr determinr se pueden comprimir en uno solo: Determinndo ls constntes por otro método: De l epresión descomponer en frcciones prciles, se elimin del denomindor el fctor linel correspondiente est constnte y finlmente se evlú en el punto donde este fctor elimindo se nul. Es decir evludo en, resultndo 7/8.

37 Similrmente pr obtener el vlor de B, multiplicmos en mbos ldos de l ecución originl por, despejmos B y evlumos en -, obteniendo: B evludo en - B /8. Ejemplo. Clculr 6 8 d Solución: En este ejemplo, Q L descomposición en frcciones prciles serí: B C, siendo los vlores de ls constntes: evludo en 0 /8 B evludo en B /8 sí pues C evludo en C -/ 6 8 d 8 d 8 d d es decir: d ln ln ln c Segundo cso.

38 [Q tiene tods sus ríces reles pero puede hber repetids] Cundo l fctorizción del polinomio Q es en fctores lineles no necesrimente distintos, es decir: m m m m Q... n Por cd fctor linel precerán tnts frcciones prciles como multiplicidd teng este fctor, por ejemplo pr el fctor - k mk hbrá m k frcciones prciles: n k k mk... k m k donde,,,... mk son constntes reles. De nuevo como en el cso nterior l integrción de ls frcciones prciles es sencill y se reduce clculr integrles de l form: d ls cules, pr n >, se resuelven por un sencillo cmbio de vrible. n Ejemplo. Clculr 8 d Solución: En este ejemplo, Q - -. L descomposición en frcciones prciles serí: 8 B C l desrrollr e igulr los polinomios del numerdor, como en los ejemplos nteriores, obtendremos ls constntes de resolver un sistem de tres ecuciones con tres incógnits. Si observmos con detlle l iguldd nterior nos dremos cuent que l constnte B no puede determinrse por el método "corto", pero sí ls otrs dos, es decir del sistem de tres por tres y hbremos determindo dos de ls incógnits y de culquier de ls ecuciones en que prezc B l despejmos. 8 evludo en 0 nos d

39 C 8 evludo en nos d C 7 Efectundo ls operciones y fctorizndo y, tenemos:... 8 C B B C B igulndo los coeficientes de los numerdores, obtenemos el siguiente sistem de ecuciones: B B C 8 Como sólo flt determinr l constnte B, l despejmos de l primer ecución, obteniendo B -. Sustituyendo e integrndo: d d d d 7 8 c d 7 ln ln 8 Ejemplo. Clculr d 6 8 Solución: En este ejemplo, Q Q L descomposición en frcciones prciles serí: 8 F E D C B Por el método corto podemos fácilmente encontrr que B 8, D 7/ y F 9/.

40 Pr determinr el resto de ls constntes tenemos que plnter el sistem de ecuciones: 8 C B F E D conduciéndonos l siguiente sistem de 6 ecuciones con 6 incógnits C E 0 B - C D E F C D - E F 0 -B C D - E F 0 B 8 Como y tenemos los vlores, B 8, D 7/ y F 9/, sustituyéndolos en ls primers dos ecuciones, encontrremos los vlores de C y E resolviendo el sistem: C E - -C E - cuy solución es C / y E -/. El vlor de l integrl, entonces será: c d 9 ln ln 8 ln 8 6 Tercer cso. [Q tiene ríces complejs distints] Cundo en l fctorizción del polinomio Q precen fctores cudráticos de l form b c con b - c < 0

41 cd uno de estos fctores le corresponderá un frcción prcil de l form B donde y B son constntes reles. b c Ejemplo 6. Clculr d Solución: En este ejemplo, Q Con b - c -0-6 < 0 L descomposición en frcciones prciles serí: el sistem resolver: B C B C y l solución: /, B -/ y C / B 0 C d d d d d ln d d 0 d ln ln 0 ln ln rctn c 0

42 Curto cso. [Q tiene ríces complejs repetids] Cundo en l fctorizción del polinomio Q precen fctores cudráticos repetidos de l form b c n con b - c < 0 cd uno de estos fctores le corresponderán n frcciones prciles de l form B B b c b c... n B n b c n donde k y B k son constntes reles pr k,... n. Ejemplo 7. Clculr d Solución: En este ejemplo, Q Con b - c < 0 L descomposición en frcciones prciles serí: B C D B B C D plnteándose el sistem de ecuciones: 0 B C 0 B D 0 Con solución 0, B, C 0 y D - sí pues l integrl

43 d d d donde l primer integrl es l invers de l tngente y l segund se resuelve medinte el segundo cso de sustitución trigonométric. Regresr l índice

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

Cálculo Integral. Métodos de integración

Cálculo Integral. Métodos de integración Unidd Métodos de integrción álculo Integrl Métodos de integrción Universidd iert y Distnci de Méico Unidd Métodos de integrción Índice UNIDD MÉTODOS DE INTEGRIÓN Propósito de l unidd ompetenci especíic

Más detalles

ECUACIONES (4º ESO Op B)

ECUACIONES (4º ESO Op B) ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos.- + + 1 ( +

Más detalles

CAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable 3.2. Integración por partes 3.2.1. Producto de un polinomio por una

CAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable 3.2. Integración por partes 3.2.1. Producto de un polinomio por una CAPÍTULO. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN.. Integrción por cmbio de vrible.. Integrción por prtes... Producto de un polinomio por un eponencil... Producto de un polinomio por un seno o un coseno... Producto

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

10.- Teoremas de Adición.

10.- Teoremas de Adición. Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics.

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters...... Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio........ 4 Concepto

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g). 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

Cálculo de primitivas

Cálculo de primitivas Cálculo de primitivs Cmbio de vrible Cálculo de primitivs Utilizremos l notción f (x) pr denotr un primitiv de l función f. Además, busndo del lenguje, menudo hblremos de integrl de l función cundo deberímos

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos Coordinción de Mtemátic I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semn 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril Complementos Contenidos Clse 1: Funciones trigonométrics. Clse : Funciones sinusoidles y ecuciones trigonométrics.

Más detalles

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3.

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3. Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús MATEMÁTICAS I / º Bchillerto C y T LOGARTIMOS Logritmos El ritmo de un número, m, positivo, en bse, positiv y distint de uno, es el eponente l que hy que elevr l

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Myo de 2015 Operciones Básics con Frcciones Número

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

1. Introducción a las integrales indefinidas o primitivas

1. Introducción a las integrales indefinidas o primitivas Tem 6. Integrles. Introducción ls integrles indefinids o primitivs En Mtemátics, un observción rzonble es que cundo se define un operción que proporcion unos resultdos prtir de unos dtos, se puede plnter

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015 Conjuntos Numéricos ) Los Números

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Unidad 1: Números reales.

Unidad 1: Números reales. Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie CURSOSO CURSOSO MATEMÁTICASESPECIALESCAD MóduloIV: Continuiddyderivbilidd MTeresUleciGrcí RobertoCnogrMcKenzie DeprtmentodeMtemáticsFundmentles FcultddeCiencis Curso de Mtemátics Especiles Introducción

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas: ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un

Más detalles

Definición: Dada una función f(x), diremos que la función F(x) es una función primitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que:

Definición: Dada una función f(x), diremos que la función F(x) es una función primitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que: TEM : L INTEGRL INDEFINID.- Integrl indeinid. Deiniciones..- Propieddes de l integrl indeinid..- Integrles inmedits..- Métodos de integrción..- Integrl indeinid. Deiniciones Deinición: Dd un unción, diremos

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato

Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato Mnul de teorí: Álgebr Mtemátic Bchillerto Relizdo por José Pblo Flores Zúñig Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin Contenido: ) Álgebr. Fctorizción. Simplificción de epresiones lgebrics. Ecuciones Álgebr:

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

Matemática DETERMINANTES. Introducción:

Matemática DETERMINANTES. Introducción: Mtemátic Introducción: DETERMINANTES Clculndo el determinnte de un mtriz se puede determinr l cntidd de soluciones que tiene un sistem de ecuciones lineles de igul número de ecuciones que de incógnits.

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0 Ecuciones cudrátics con un incógnit Sen, 1 y los tres números nturles consecutivos uscdos. El prolem nos indic que ( 1 ) ( ) 365 Un número con misterio! El número 365 tiene l crcterístic de ser l sum de

Más detalles

REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES UNIDAD V.- PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIO N Productos Notbles ( (b ( (d (e ( REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES Un producto notble (multiplicción es quel que se puede obtener su resultdo sin necesidd

Más detalles

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Llmmos correspondenci entre dos conjuntos A B culquier form de signr lgunos o todos los elementos de A otros elementos de

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA . DOMINIO inio de o cmpo de eistenci de es el conjunto de vlores pr los que está deinid l unción, es decir, el conjunto de vlores que tom l vrible independiente. Se denot por. { R / y R con y } OBTENCIÓN

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS

UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS Tem 4 UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS 1. ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función rítmic ritmos 4. Ecuciones eponenciles rítmics 2. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS RECOLECTADOS EN LA RED. (MATEMÁTICA I ADMINISTRACIÓN) INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO INTERVALOS DESIGUALDADES INECUACIONES INTERVALOS EN LA RECTA REAL Ddos dos números culesquier y b, tles que

Más detalles

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1 M A T E M Á T I C A S Números Reles Enteros Rcionles Positivos Negtivos Nturles (,,,4,5,6... α) Primos (,,5,7,,,7) Pres (... 4,-,0,,4,6,..., ) Impres ( -...,-,-,0,,,5,..., ) Dígitos ( 0,,,,4,5,6,7,8,9

Más detalles

Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma

Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma Función eponencil: Hst el momento solo hemos trbjdo con funciones reles de l form f( ) = P( ) donde P ( ) es un polinomio f ( ) = donde y es un vrible, entre otros pero hor vmos trbjr con funciones donde

Más detalles

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006 Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis

Más detalles

FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL

FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) -FUNCION LOGARITMO NATURAL Definición propieddes L funcion logritmo nturl de un numero positivo se not ln su dominio es el conjunto de los números reles positivos

Más detalles

MATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS

MATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS LOGARITMOS Unidd 4 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS. ÍNDICE. Introducción. Potencis funciones eponenciles.

Más detalles

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS L.C. y Mtro. Frncisco Jvier Cruz Ariz L.C. y Mtro. Frncisco Jvier Cruz Ariz TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Un mner de simplificr los dtos es usr un tbl de frecuenci

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si:

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: .- CONTINUIDAD TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continu en si: Lim f( ) f( ) Pr que un función se continu en un punto se h de cumplir: º f ( ) D º Lim

Más detalles

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de

Más detalles

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8 Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8 Cuál

Más detalles

TEMA 1 EL NÚMERO REAL

TEMA 1 EL NÚMERO REAL Tem El número rel Ejercicios resueltos Mtemátics B º ESO TEMA EL NÚMERO REAL CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO : Clsific los siguientes números como 0 ; ;,...; 7; ; ; ; 7, = 0,8

Más detalles

OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES OPERACIONES CON RADICALES RAÍCES Y RADICALES L ríz n-ésim de un número, representd por n, es un operción sore que d como resultdo un número tl que n. Si n es pr, h dos resultdos posiles: positivo negtivo:,

Más detalles

CAPÍTULO. La derivada

CAPÍTULO. La derivada CAPÍTULO 5 L derivd 5. L derivd de un función A continución trtremos uno de los concetos fundmentles del cálculo, que es el de l derivd. Este conceto es un ite que está estrecmente ligdo l rect tngente,

Más detalles

Unidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales

Unidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales Tem. istems de Ecuciones Unidd. istems de ecuciones lineles. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de sistems

Más detalles

Tema 3. DETERMINANTES

Tema 3. DETERMINANTES Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de

Más detalles

Definición de la función logaritmo natural.

Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se sbe que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles