Métodos de cuadratura y energía para resolver problemas de frontera

Transcripción

1 Métodos de cuadratura y energía para resolver problemas de frontera Alfonso Castro 1 El método de cuadratura Comenzamos explicando cómo obtener información acerca de soluciones de ecuaciones de la forma: u (t)+f(λ, u(t)) =, t [, ] (1) u() = u()) = () λ R, usando cuadratura. Por cuadratura entenderemos el análisis de (1) a través de observar que si (1) se multiplica por u (t) entonces esta ecuación, queda recida a una ecuación cuadrática de primer orden. En efecto, multiplicando (1) por u (t) tenemos: donde F (λ, x) = x f(λ, s). Es decir, ( u ) (t) + (F (λ, u(t)) =, (3) (u ) + F (λ, u) = C, (4) donde C es independiente de t. La ecuación (4) es en efecto una forma de conservación de energía. Si la ecuación (1), sujeta a condiciones iniciales, tiene unicidad de soluciones (por ejemplo cuando f es localmente Lipschitziana en la segunda variable), vemos que las soluciones de (1) son simétricas con respecto a sus puntos crticos. Es decir: Lema 1. Supongamos que la ecuación (1) sujeta a condiciones iniciales tiene solución única. Si u(t) es solución y u (τ) = entonces u(t + τ) = u(τ t) para todo t R Proof. Sean v(t) = u(t + τ), y w(t) = u(t τ). Fácilmente vemos que v, w son soluciones de (1) (nótese que sólo intervienen las derivadas de orden par y que 1

2 f no depende de t). Como v() = w() = u(τ), y v () = u (τ) = w () =, obtenemos que v, w satisfacen la misma condición inicial. Luego por unicidad de soluciones v(t) = u(t + τ) = w(t) = u(t τ), esto prueba el lema. Aún cuando el problema de valor inicial no tenga una única solución, si se conoce una solución en un intervalo (a, b) y u (a) = u (b) = entonces simétrizando alrededor de a y de b se puede generar una solución de (1) en R. A continuación usaremos las anteriores observaciones para entender la estructura de las soluciones del problema (1)-() cuando λ > y f positiva. También las usaremos en el caso en que f es superlineal para cada λ R para probar que el problema (1)-() tiene infinitas soluciones (ver Teorema 1.4). Soluciones positivas En esta sección consideramos el caso en que el término no lineal es positivo. Demostraremos: Lema. Si f(λ, t) para todo λ > y todo t R y f es continua entonces: a) Las soluciones de (1)-() o son positivas en (, ) o son idnticamente nulas. b) Si u, v son soluciones de (1)-() y u( ) > v( ) entonces u(t) > v(t) para todo t (, ). c) Además si u v entonces F (u( )) F (v( )). Demostración. Sean G : [, ] [, ] R definida por: G(s, t) = { t( s), si s t, s( t), si t s (5) Un cálculo elemental demuestra que (1)-() es equivalente a u(t) = G(s, t)f(λ, u(s)), para todo t [, ]. (6) Como el integrando en (6) es no negativo vemos que u(t) para todo t [, ]. Ya que, para cada t [, ], G(., t) es positiva en (, ) obtenemos que si u(τ) = para algún τ [, ] entonces f(λ, u(s)) = para todo s (, ). Luego u(t) = para todo t (, ), lo que demuestra a). Sea τ punto crítico de u. De (4) tenemos: (u (t)) = F (λ, u(τ)) F (λ, u(t)), para todo t [, ]. En particular u () = u (1) = F (λ, u(τ)), donde τ es tal que u(τ) = max{u(t); t [, ]}. Si F (u(τ) =, vemos que u, luego u. Pero si F (u(τ)), tenemos que tanto u como v(t) = u( t) satisfacen: u (t) = (F (λ, u(τ)) F (λ, u(t))), u() = en [, τ 1 ), (7)

3 v (t) = (F (λ, v(τ)) F (λ, v(t))), v() = en [, τ ), (8) donde τ 1 = sup{t; u(t) < u(τ)}, τ = inf{t; u(t) u(τ)}. Ya que el lado derecho de las ecuaciones (7)-(8) es el mismo y es localmente Lipschitziano en [, u(τ)), por el teorema de unicidad de soluciones para problemas de valor inicial tenemos: u(t) = v(t) = u( t) en [, τ 1 ), τ 1 = τ. Ahora si τ τ 1, se puede demostrar que u(τ 1 ) = u(τ ) = u(t) (Ejercicio). Luego u(t) = u( t) también [τ 1, τ ], es decir, tenemos: Si u satisface (1)-() entonces: ( ) u = max{u(t); t [, ]} y u(t) = u( t). (9) Es decir u es simétrico con respecto a. Sean u, v dos soluciones de (1)-() tales que u( ) > v( ). De (4) tenemos: v(t) F (λ, u( )) F (λ, u) = t t [, τ 1 ] (1) dv F (λ, v( )) F (λ, v) = t t [, τ ] (11) Ya que F es creciente en la segunda variable de las igualdades (1)-(11) obtenemos: u(t) = v(t) para todo t si y sólo si F (λ, u( )) = F (λ, v( )). (1) Adems si F (λ, u( )) > F (λ, v( )) entonces u(t) > v(t) para todo t (, ), esto demuestra las partes b) y c). Ahora podemos demostrar: Teorema 1. Sean g : R R continua y positiva y f(λ, u) = λg(u). Si g(u) lim u u = entonces existe λ > tal que para < λ < λ el problema (1)-() tiene por lo menos dos soluciones, y para λ = λ por lo menos una solución. Si u, v satisfacen (1)-() y u( ) < v( ) entonces u(t) < v(t) para todo t (, ). Si además g es convexa, para λ (, λ ), el problema (1)-() tiene exactamente dos soluciones y para λ = λ una única solución. Proof. Como toda solución de (1)-() es positiva en (, ) y posee un único punto crtico en, necesariamente una tal solución es creciente en (, ). Luego de (4) concluimos: u = C λg(u), en [, ] (13) 3

4 donde G(u) = u g(s). Como u ( ) =, u = λ ( G(ρ) G(u(t)) ), t [, ] (14) donde ρ = u( ) = max{u(t), t [, ]. Luego: En particular = t λ (15) = λ. (16) Recíprocamente, supongamos que la pareja (ρ, λ) satisface (16). Sea H(t, u) = t λ + u. (17) Como H u para u >, por teorema de la función implícita decimos que H(u, t) = define a u como función de t con u() =, u( ) = ρ, además u es creciente y se obtiene (13). En particular u satisface (1) y u ( ) =. Luego u() =, es decir u es solución al problema (1)-(). Concluimos que (16) es condición necesaria y suficiente para que (1)-() tenga solución. Para completar la demostración de Teorema 1 basta con hallar el gráfico de la función λ = ( Para esto observamos que lim ρ ) = (γ(ρ)). (18) = (19) lim = () ρ Las demostraciones de (19)-() se dejan como ejercicio al lector. Para demostrar (19) usamos que g() > y para demostrar () usamos que: g(u) lim u u =. De la continuidad de γ (demuéstrese!) y de (19)-() se dece que si λ = (max{(σ(ρ) ; ρ (, )} entonces (1)-() tiene por lo menos dos soluciones cuando < λ < λ y por lo menos una solución cuando λ < λ. 4

5 Demostramos ahora que las soluciones positivas de (1)-() están ordenadas. Más exactamente: Si u( ) < v( ) entonces u(t) < v(t) para todo t (, ). En efecto, de (15) tenemos t = t = v(t) G(u( )) G(s), para todo t (, ). (1) G(v( )) G(s), para todo t (, ). () Como G(u( ) < G(v( ) (g es positiva!), vemos que le integrando (1) es menor, para cada s, que el integrando en (). Luego u(t) < v(t) para todo t (, ). Supongamos, finalmente, que g es convexa. Si (1)-() tiene tres soluciones u, v, w; de la afirmación anterior podemos suponer que u < v < w en (, ). Si z = v u y σ = w u obtenemos z + λh(t)z =, z > en (, ), z() = z() = σ + λk(t)σ =, σ > en (, ), σ() = σ() =, donde h(t) = g(v(t)) g(u(t)) v(t) u(t) y k(t) = g(w(t)) g(u(t)) w(t) u(t) Por la convexidad de g obtenemos que h < k en (, ), esto contradice el teorema de comparación de Sturm-Liouville (entre dos ceros de z debe haber un cero de σ). Esto completa la demostracin del teorema 1. 3 Soluciones Oscilatorias Consideramos ahora la existencia de soluciones, no necesariamente positivas, para el problema superlineal donde α R, y f : R R es continua y satisface u + f(u) = α t [, ], (3) u() = u() =, (4) f(u) lim u u = (5) Ya que las soluciones de (3) son simétricas con respecto de sus puntos críticos (Véase Lema 1 de sección anerior), para hallar una solución de (3)-(4) basta 5

6 encontrar una solución de (3) que sea positiva en (, a), negativa en (a, (a+ b)) y tal que /((a + b)) sea un entero positivo k. Es decir tenemos: b = a + k para algún entero positivo k. (6) Sean F (u) = u f(s), ρ = u(a), q = u(b). Siguiendo el análisis que conjo a (7) vemos que u = (F (ρ) αρ F (u) + αu) en [, a], (7) u = (F (q) αq F (u) + αu) en [a, a + b]. (8) Luego: t = F (ρ) αρ F (u) + αu), t [, a]. (9) (t a) =, t [a, a + b]. (3) F (q) αq F (u) + αu) Ya que u es sim trica respecto de a, calculando la derivada de u en a, usando (1.3)-(1.31) tenemos: F (q) αq = F (ρ) αρ. (31) Ahora podemos demostrar: Teorema. Si f satisface (5) entonces para cada α R existe un entero positivo K = K(α) tal que para todo k K el problema (3)-(4) tiene una solución con k máximos locales. En particular, para cada α el problema (3)- (4) tiene infinitas soluciones. Proof. Dado α R definimos H(s) = F (s) αs. Por (5) vemos que H (s) < para s < suficicentemente grande y H(s) cuando s. Por consiguiente vemos que existe A tal que: H(s) H(q) si q A y s (q, ). (3) Igualmente vemos que H(s) cuando s y que H > en vecindad de +. En particular vemos que existe A 1 tal que H > en el intervalo [A 1, ), y H(s) H(ρ) si ρ A 1 y s (, ρ), y (33) H(s) H(A). (34) Sea Q la inversa de H restringida a (, A]. Para ρ > A 1 definimos γ(ρ) = H(ρ) H(s) 6 q H(q) H(s) (35)

7 donde q = Q(H(ρ)). Un cálculo elemental (véase (1)), demuestra que γ(ρ) cuando ρ. Sea K el menor entero mayor que max{γ(ρ); ρ A. Por 1} teorema del valor intermedio para cada k K existe ρ k tal que Ahora definimos γ(ρ k ) = k. (36) a = k H(ρk ) H(s), b = qk H(qk ) H(s) donde q k = Q(H(ρ k )). Volviendo a (1.7) observamos que para t [, a] la frmula: u H(ρk ) H(s) = t (37) define a u como función de t. Derivando luego con respecto a t vemos que u satisface (3) en [, a]. Usando que u es simétrica con respecto de a vemos que u satisface (3) en [, a]. De igual manera vemos que: H(ρk ) H(u) = (t a) define una solucin de (1.15) en [a, a + b], que u(a) =, u (a + b) =, esto concluye demostracin del Teorema. 7