MÉTODO DE LAS SERIES DE TAYLOR PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALES
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- Encarnación Ramos Cárdenas
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1 MÉTODO DE LAS SERIES DE TAYLOR PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALES Profsor: José Albiro Sáhz Co Dprtmto d Ciis Básis Ursidd EAFIT josh@fitdo Objto: Aplir l método d Tlor pr rsolr ios difrils q omo s rá s l mism solió q proporio l solió sris d potis o d ofiits idtrmidos Esto s si l solió sris d potis rroj l solió forml rrd s tdrá tos q l solió dd por los poliomios d Tlor tmbié trgrá dih solió form rrd Por lo tto l so d solió ptos ordirios dbrí d sñrs l método d dsrrollo d Tlor ps i sr mho más ómodo pr stdit d ios difrils ps do s trbj o solió mdit sris d potis l omodo d los ídis d l smtori simpr s poo ofso pr llos Si mbrgo mbos métodos so si los mismos Vmos q osist d método El método d ls sris d Tlor pr obtr solios méris d ls ios difrils osist llr ls drds sss d l ió difril dd ldo ls drds l pto iiil rmplzdo l rsltdo l sri d Tlor L priipl difiltd d st método s l állo rrrt d ls drds d ord sprior JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
2 El método dls sris d potis o ofiits idtrmidos osist spor solió l form S P Est ió s dr tts s omo s srio pr obtr prsios sri d tods ls drds q pr l ió difril s rmplz l ió difril dd pr obtr los ofiits L difiltd d st método s l miplió d ls sris q s pd sitr l obtió d los ofiits d ls sris Pro los métodos so silmt los mismos E fto los ofiits q pr l sri d potis los ofiits l método d Tlor i rliodos por l forml método d Tlor i dd por L solió por l S T E l libro d ios difrils [] tiliz mbos métodos pr rsolr l sigit problm d lor iiil: Ejmplo Rsolr l problm d lor iiil d d Solió t Obsrr q l solió d s pd sribir omo dt Y q o h fios lmtls pr llr l itgrl trior por lo tto o s podrí sribir l solió form rrd por osigit tdrímos q oformros o lg proimió méri Apliqmos iiilmt l método d Tlor Pr sto dbmos llr ls drds sss ládols pr obtr: [] Eios Difrils Ordiris U foq l állo mériochrls E Robrtrs Jr JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
3 ; ; 8 ; 8 ; Notdo q obti l solió rmplzdo l ió ST s L Ahor spogmos q l ió ti solió sri d potis hido l ió impoido l odiió iiil s obti Difrido l ió obtmos Y q / Rmplzdo otrmos o form qlt L L Igldo los ofiits d potis igls otrmos L JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
4 E grl s ti L D rdo o lo trior s ti q l solió sris d potis i dd por L sri org pr todo rl ritrio d l rzó Sgú l tor db sr obio q s más fáil obtr lors diiols d los ofiits d l sri tilizdo l método d los ofiits idtrmi-dos q tilizdo l método d ls sris d Tlor E osi di l tor slmt s mplrá l método d los ofiits idtrmidos dsrtdo tos l método d ls sris d Tlor Pro si sgimos trbjdo poo l jmplo trior por l método d sris d Tlor tmos ; i ; 8 ; 8 ; ii ; i 7 8 ; ii * * S obsr l sigit l d formió: L E osi s ti los ofiits JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
5 L O bi Nmt s obti l solió otrd por sris d potis: E olsió l jmplo pr mostrr q l método d l sris d Tlor o prod l mism lidd d ls solios o s álido Es más l tor di q l método d Tlor s dpt fáilmt problms d lor iiil lo l omo rmos más dlt l método fio si lo q s qir rsolr s ió difril si odiios iiils o l mism lidd d ls solios q l método d ls sris d potis Solió sris d Tlor lrddor d pto ordirio Ls ios difrils homogés lils d sgdo ord d l form JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
6 P d d d d P P dod P P P so poliomios Dihs ios pr mhs pliios físis Algos jmplos d sts ios so: Eió d Lgdr: d d d d Eió d Air: d d Eió d Chbsh: d d d d Eió d Hrmit: d d d d L solió d ss ios grl o pd prsrs térmios d fios lmtls fmilirs Por lo l tilizrmos los poliomios d Tlor Dfiiió pto ordirio Spogmos q P P P o ti ftors oms Dimos q s pto ordirio d si P o s pto siglr si P Pr l ió d Lgdr so ptos siglrs todos los otros ptos so ptos ordirios Pr l ió d Air todo pto s ordirio Nsitrmos l próimo torm Torm isti d solios sris d Tlor JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
7 Si s pto ordirio d l ió difril P P S pd otrr simpr dos solios lilmt idpdits l form d sris d Tlor trds U solió sris d Tlor org l mos pr < R dod R s l disti d l pto siglr más ro rl o ompljo tl -so s di q l solió s solió lrddor dl pto ordirio Problm: Eotrr ls solios sri d potis ios d l form pr d d β γ d form Mhs ios importts q pr pliios so d st o ilso l ió d Lgdr l ió d Ar l ió d Chbsh l ió d Hrmit d E l jmplo sigit s drá l solió sris d Tlor pr l ió l l l hrmos si pérdid d grlidd pr l so El jmplo rsltrá ilstrto q mostrrá omo trbjr todos los sos Ejmplo Etr l sri d potis pr l solió grl d d d β γ d Solió: Bsmos l solió grl d l form d JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági 7
8 MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR dod K Pr otrr l ofiit hmos rmplzmos los lors d : sto s γ γ γ lgo s ti q γ Ahor pr obtr los ofiits i i K dbrmos drr implíitmt o rspto l ió s sstitir los lors otrdos d los triors i Al drr l ió implíitmt o rspto s obti: Hido d d d β β γ d rmplzdo los lors d Lgo s tr q JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági 8 d d s ti: β γ β γ β γ β γ Obtgmos hor pr lo l drmos implíitmt o rspto l ió : d d d d d d β β β γ o bi orgizdo: Hido ti: d d d d d β β γ d rmplzdo los lors d d d d d s
9 MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR β γ β γ γ β γ Lgo s tr q γ β γ Cotido l proso s obti l fórml sigit: β γ K Llmdo P β γ K S ti lo sigit: P P P Obtmos l fórml rrs d los ofiits i i K P K L fórml oiid o l fórml dd [] Así l solió grl d s dd por Ejriio P i P i i i Ejmplo Etr l sri sris d potis pr l solió grl d Solió: d d L ió ti l form d roomos β d Por ldo otrmos l poliomio P : P d γ JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági 9
10 JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági Utilizdo l forml rrs s ti L Dtrmimos los ofiits d potis prs d : Obsrdo l l d formió d los ofiits s ti grl L i i Ahor dtrmimos los ofiits d ls potis imprs d : E grl L i i A prtir d 8 9 mos q
11 MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR i i i s l solió sdo poliomios d Tlor obsrr q s lo mismo d l sri d potis pr l solió grl d P o s l los rls lgo l solió stá dfiid todo Y R Si mbrgo i P ± i sto impli q ls solios dd por l método d Tlor org l itrlo Esto orr q ρ s l disti dl pto ± i l plo ompljo El sigit jmplo mstr q mhos sos h q oformros o otrr úmro fiito d térmios q o s ti forml rrd pr los ofiits d ls solios sris d poti Ejmplo Rsolr l problm d lor iiil mdit sris d potis Solió: d d 8 d L ió ti l form d roomos β odiios iiils: d 8 γ ls JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
12 MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR Por ldo otrmos l poliomio P : P 8 E z d tilizr l forml rrs pr obtr los ofiits i i K podmos tilizr l forml : K Eotrmos los primros térmios Pr : Pr : Pr : Pr : 7 Lgo l solió dl PVI i dd por 8 9 L 7 L Más grlmt s pto ordirio Por lo tto l solió por los poliomios d Tlor srá d l form JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
13 dod K Es l solió d S pd dmostrr d d β γ * d β γ K d Ejmplo Dtrmir mdit los poliomios d Tlor l solió grl d l ió difril Solió d d Lo primro q h q hr s sribir l poliomio E potis d P Ahor Así l ió qd: o bi l form *: d d d d Roomos β d d d d d d S ti tos l poliomio P : P γ P K JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
14 MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR E z d tilizr l forml rrs pr obtr los ofiits i i K podmos tilizr l forml : K Eotrmos los primros térmios Pr : Pr : Pr : Pr : 9 Lgo l solió dl PVI i dd por L L L L L O form más ompt: JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
15 Dbrá obsrrs q hmos hlldo dos sris form prmt for-ml ls ls so orgts pr todo fiito Pr r q mbs so lilmt idpdits dfiimos lo sigit: por lo tto W Dod W dot l Wrosio d ls solios ls ls Ejmplo Rsolr l problm d lor iiil Solió Método sris d potis: Mdit l mbio d ribl llmos l problm l orig E fto d d d d d d d d L ió tom l form d d d d Por lo tto spomos q l solió l bsmos d l form: Q l rmplzr l ió difril s obti JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
16 JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági Rlizdo ls mltipliios Esribido todo potis d obtmos Empzdo tods ls smtoris dsd orgizdo s ti [ ] mjor [ ] Así ps Usdo ls odiios iiils Co lo q Rmplzdo s ti los primros ofiits: D dod L Y hido s ti filmt L Dod l orgi s ti l itrlo por qé?
17 Método sris d Tlor: Bsmos solios d l form Pr llo drmos ssmt lmos ls drds otrds sto s 8 Sigido l proso s obti l forml rrs: D dod s sig q l solió sris d Tlor s dd por L L mism solió dd por l método d los ofiits idtrmidos pro otrd d form más sill omo pd rs E l jmplo sigit otrrmos por l método d Tlor l solió d d ls ios difrils importts q pr l físi Ejmplo 7 L ió d Lgdr Etr l solió sris Tlor lrddor d pr l solió grl d Solió: d d 7 d Bsmos l solió grl d l form d JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági 7
18 MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR 7 dod K Pr otrr l ofiit hmos 7 rmplzmos los lors d : sto s lgo s ti q Ahor pr obtr los ofiits i i K dbrmos drr implíitmt o rspto l ió 7 s sstitir los lors otrdos d los triors i Al drr l ió 7 implíitmt o rspto s obti: Hido d d d d d d rmplzdo los lors d 7 7 s ti: Lgo s tr q Obtgmos hor pr lo l drmos implíitmt o rspto l ió 7 s ti: Hido ti: d d d d d d 7 rmplzdo los lors d 7 s [ ] Lgo s tr q JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági 8
19 JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági 9 Drdo l ió 7 s ti 7 8 d d d d d d Hido rmplzdo los lors d 7 s ti: [ ] Eotrdo q Cotido l proso s obti l fórml sigit pr L L L L Todos los ofiits stá dtrmidos térmios d hor por lo l dbmos tr dod L O bi L L L O bi
20 L L Ambs rsptmt so solios d l ió d Lgdr l tomr Ells form bs pr ls solios q W Dod W dot l Wrosio d ls solios Obsrr q si s tro pr o gto lgo otir L Ejmplo 8 Rsl l ió difril 8 Solió Por l método d Tlor Spogmos q ls solios so d l form Pr sto pogmos o Hido rmplzdo los lors triors l ió 8 s ti q JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
21 MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR Drdo implíitmt o rspto l ió 8 tmos 8 Hido rmplzdo los lors triors l ió 8 s ti q Drdo l últim ió 8 tmos 8 Hido rmplzdo los lors triors l ió 8 s ti q Rpitido l proso trior s llg l sigit forml d rrri: Q l hr rmplzr los lors obtidos s obti Eotrmos rios lors 8 : : : : 7 : M i Obtgmos hor los ofiits ot q l fórml d rrri 8 jto o impli q todos los ofiits o sbídis imprs dspr JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
22 M MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR i L Etos 8 L 8 8 L sri 8 s s frtmt mtmátis plids rib l ombr d fió d Bssl d ord J Dbrá obsrrs q l método d Tlor h prodido sólo d ls solios d l ió 8 Pr hllr l otr solió lilmt idpdit smos d l forml Etos l otr solió srá: [ ] L solió grl i dd por J d [ J ] AJ BJ d [ J ] E stro próimo jmplo otrrmos sitió l l l método d Tlor o d ig solió omo s l so do s s sris d potis Ejmplo 9 Cosidr l ió d Elr JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
23 9 Solió Y q st problm o oti odiios iiils pogmos Co lo l l rmplzr l lor d l ió difril tmos Al drr implíitmt o rspto l ió difril 9 s ti Rmplzdo los lors d l últim ió difril tmos Como tods ls drds lds strá térmios d d tos todos los dsprrá por lo tto rrojrá l solió Así st so l método d Tlor fll pr otrr l solió d l ió difril d Elr l l s Aos l BAsi l E l próimo jmplo plirmos l método dl dsrrollo d Tlor pr otrr l solió d ió difril dod los ofiits d l ió o so poliomios Ejmplo Rsolr l problm d lor iiil Solió Nóts q l ió difril todos los ptos so ordirios Bsmos solió d l form: Pr sto dspjmos dod l ió rmplzdo los lors pr obtr sí : JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
24 JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági Drmos rmplzmos los lors otrdos d los ís Drmos mt rmplzmos Sigido l proso otrmos l sigit fórml pr por lo tto pr : L lgo l solió grl i dd por 7 L L sri org pr todo R
25 JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági Rlimos st mismo jmplo pro hor sdo solió sris d potis Pr sto sitmos dl sigit torm todo st itrlo pr tmbié pr org prodto d Ch d ls sris d A ooid omo l o Etos l sri itrlo orgts l S j j j b R b R R A b < > < Torm Cdo s prs térmios d fios lítis st torm firm q l prodto d dos fios lítis l itrlo I f g s tmbié él mismo fió líti I q s psió sris d potis lrddor d
26 JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági lqir pto I s l prodto d Ch d ls psios sri d potis d f g lrddor d Ahor podmos sgir o l jmplo trior Spomos l solió d l form Al rmplzr l ió difril os d o bi Ahor plimos l torm trior pr sribir l prodto d ls dos sris l sigit form: j j j L L L Sstitdo st prsió obtmos j j j D sto último s sig q j j j E prtilr
27 t priipio todos los pd llrs térmios d Rmplzdo los lors d s ti M Lgo l solió dl problm d lor iiil i ddo por L Dbrá otrs q l solió obtid por sris d potis s más pobr q l obtid por Tlor Ejriio Etr sris d potis pr l solió grl d l ió difril si Los próimos jmplos trt o ios difrils o lils Ejmplo Etr l solió sris d potis sris d Tlor dl problm d lor iiil Solió ; L ió difril o s lil si mbrgo s oo s solió π π mdit l so d sprió d ribls sbr t JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági 7
28 JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági 8 Método sris d potis: Spomos q l ti omo solió Drdo s ti ldo l impoido l odiió iiil s tr q Rmplzdo mos q los ofiits d l sri db stisfr Igldo los ofiits obtmos : : : : : E grl > s impr si si s pr si Así stmos pidd d llr form rrrt los ofiits d l sri pro o somos ps d prsr fáilmt plíitmt omo fió d Por tto o podmos llr l rdio d orgi dirtmt Si mbrgo sbmos q l rdio d orgi s / π Lgo l solió dl problm d lor iiil i ddo por
29 Método sris d Tlor: MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR π π L Spogmos q ls solios so d l form S ti iiilmt q Hido q rmplzdo l lor d o l ió s ti Drdo implíitmt o rspto l ió tmos Hido rmplzdo los lors triors ió tmos q Rpitido l proso z l Otr z Y otr z JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági 9
30 Hgmóslo z más i i Por últim z 8 8 ii ii i i i 8 i 7 Lgo l solió dl problm d lor iiil i ddo por Esto s 9 π π 8 7 L t L π π Nóts q stmos pidd d llr form rrrt los ofiits d l sri pro o somos ps d prsr fáilmt _ plíitmt omo fió d D o o podmos otrr s rdio d orgi Pro si podmos llr rrrtmt ttos ofiits d l sri omo s srio pr prodir solió o titd dsd Esto s lo q ps do s trt d otrr solió sris d problms o lils JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
31 Ejmplo Etr l solió sris d potis sris d Tlor dl problm d lor iiil ; Solió E st problm podmos otrr s solió form líti omo sig: Hido s ti q d d d d Así q mltiplimos l por pr obtr d d O bi l sigit problm d lor iiil qlt d d L ió difril s d tipo Brolli por lo tto hrmos l sstitió w Co lo l s ti dw d d d JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
32 JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági Mltiplido mbos mimbros d l ió por s obti d d O bi q [ ] w w w w d dw L ió rslt sr lil s tr q l ftor itgrt i sr p tdt µ Mltiplido l ió por l ftor itgrt s ti w d d Lgo l solió d s obtid omo dt C w t Rmplzdo l odiió iiil pr otrr C obtmos C dt C w t Así q l dolros tmos: dt dt t t Pro dt dt dt t t t l l l O filmt
33 MÉTODO DE SERIES DE TAYLOR l dt l rf > 7 dod l fió d rror rf i dd por: t rf π Ahor otrmos s solió por l método d ls sris d Tlor: Spogmos q ls solios so d l form S ti iiilmt q Hido q t π dt rmplzdo l lor d o l ió s ti Drdo implíitmt o rspto l ió tmos 7 Hido rmplzdo los lors triors ió 7 tmos q l Drdo mt l ió 7 o rspto s ti Hido 8 rmplzdo los lors triors l ió 8 tmos q Rpitido l proso trior JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
34 JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági Rptirmos l proso s ts s i i Sigido l proso otrmos l sigit fórml pr por lo tto forml tto o obi pr : L Q l lr obtmos: D qí fórml pr los ofiits :
35 Bibilogrfí Chrls E Robrtrs Jr Eios Difrils Ordiris U foq l állo mérioed Prti-Hll It 98 Kridr Kllr Ostbrg Eios Difrils Fodo Editoril Ibromrio 97 Drri W Grossm S Eios Difrils o Apliios Fodo Editoril Ibromrio 98 Grí J OVillgs G J Cstño B J Sáhz C JA Eios Difrils Fodo Editoril Ursidd EAFIT JOSÉ ALBEIRO SÁNCHEZ CANO UNIVERSIDAD EAFIT Pági
61.1 6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS
Cp. 6 Sris 6. 6.. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.. SERIES ATERNANTES 6.. SERIES DE POTENCIAS Objtivo: S prtd qu l studit: Dtrmi covrgci o divrgci d sris. Empl sris pr rsolvr
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