DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA AMPLIACIÓN DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Relación 6 (versión ) n n n.

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1 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA AMPLIACIÓN DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Relación 6 (versión ) 1. Escribir un modelo AMPL para resolver el siguiente problema lineal general: max s.a. Resolverlo para los siguientes casos particulares: z = n j=1 c jx j n j=1 a ijx j b 1 i, i I 1 n j=1 a ijx j = b 2 i, i I 2 n j=1 a ijx j b 3 i, i I 3 l j x j u j, j = 1,..., n (a) max z = 3x 1 + 2x 2 s.a. x 1 + 3x 2 10 x 1 + 7x 2 12 x 1, x 2 0 (b) max z = 3x 1 + 2x 2 s.a. x 1 + 3x 2 50 x 1 + 7x x 1 + 3x 2 = 15 x 1 x x x Un estudiante desea rentabilizar su viaje a Canarias comprando, para vender después en la península, CDs, radios, tabaco, vídeos, alcohol, cámaras, HiFi y relojes. La ganancia, peso y volumen unitarios asociados vienen dados en la siguiente tabla: Artículo Ganancia Peso Volumen CDs Radios Tabaco Vídeos Alcohol Cámaras HiFi Relojes Su maleta soporta un peso de 30 Kgs. y tiene una capacidad de 35 l. Determinar el plan óptimo de compras... (a) Ignorando la restricción de integridad en las variables. (b) Imponiendo que las variables sean enteras. (c) Teniendo en cuenta, además, que, legalmente, de cada producto no pueden traerse más de las siguientes cantidades: CD Radios Tabaco Vídeos Alcohol Cámaras HiFi Relojes

2 3. La dieta de una persona se basa en 8 productos básicos: BEEK, CHK, FISH, HAM, MCH, MTL, SPG y TUR, con los que debe cubrir sus necesidades de vitaminas A, B1, B2, C, sodio (NA) y calcio (CAL). El costo unitario de cada producto, así como las cantidades máximas y mínimas a ingerir vienen recogidas en la tabla: Producto costo cant.. cant. Max BEEF CHK FISH HAM MCH MTL SPG TUR Los niveles mínimos y máximos necesarios de nutrientes se recogen en la siguiente tabla: Nutriente n. n. Max A C B B NA CAL Asimismo, las cantidades de cada nutriente disponibles en cada alimento se dan en la siguiente tabla: BEEF CHK FISH HAM MCH MTL SPG TUR A C B B NA CAL Formular el problema de satisfacer las necesidades de nutrientes a mínimo costo. 4. Dado el siguiente modelo AMPL: set CANTMINNUT; set CANTMAXNUT; set NUTRIENTES := CANTMINNUT union CANTMAXNUT; set ALIMENTOS; param Costo {ALIMENTOS} >0; param Ali_min {ALIMENTOS} >=0; param Ali_max {ALIMENTOS} >=0; param Nut_min {CANTMINNUT} >=0; param Nut_max {CANTMAXNUT} >=0; param Cant_NutAli {NUTRIENTES,ALIMENTOS} >=0; var compra {j in ALIMENTOS} >= Ali_min[j], <= Ali_max[j];

3 minimize costototal: sum {j in ALIMENTOS} Costo[j] * compra[j]; subject to dieta_min {i in CANTMINNUT}: sum {j in ALIMENTOS} Cant_NutAli[i,j] * compra[j] >= Nut_min[i]; subject to dieta_max {i in CANTMAXNUT}: sum {j in ALIMENTOS} Cant_NutAli[i,j] * compra[j] <= Nut_max[i]; Se pide: (a) Escribir el modelo matemático asociado a este problema. (b) Escribir un conjunto de datos AMPL particular para asociar a este modelo, si la definición de los conjuntos es la siguiente: set CANTMINNUT := A B C; set CANTMAXNUT := A C D; set ALIMENTOS := F1 F2 F3; 5. Dado el siguiente problema: s.a. z = n c i+d i i=1 2 x i n i=1 a ijx i n i=1 a2 ij x i x i b j, j = 1,..., m e j, j = 1,..., m 0, i = 1,..., n donde x i, i = 1,..., n son las variables de decisión y el resto son datos del problema. (a) Escribir un modelo AMPL para resolverlo (iría en el fichero llamado: PEXA.MOD). (b) Escribe un fichero de datos AMPL (iría en el fichero llamado: PEXA.DAT) para asociar al modelo del apartado anterior, en el que: n = 2 y m = 1. (c) Rellena los siguientes huecos: AMPL: model ; AMPL: data ; AMPL: option solver cplex; AMPL: solve; AMPL: display ; AMPL: display ; para que aparezcan los pasos que seguiríamos para resolver con AMPL el problema particular planteado en este ejercicio, y obtener el valor de la función objetivo óptimo y los valores óptimos de las variables de decisión. 6. Dado el siguiente modelo AMPL: set PRODUCTOS; set EQUIPOS; param Tiempoproceso {PRODUCTOS,EQUIPOS} >=0; param Beneficio {PRODUCTOS} >=0; param Demanda {PRODUCTOS} >=0, integer;

4 Se pide: param Tdisponible {EQUIPOS} >= 0; var cantproducto {j in PRODUCTOS} >=Demanda[j], integer; maximize beneftotal: sum {j in PRODUCTOS} Beneficio[j]*cantproducto[j]; subject to tiempolimitado {i in EQUIPOS}: sum {j in PRODUCTOS} Tiempoproceso[j,i]*cantproducto[j] <= Tdisponible[i]; (a) Escribir el modelo matemático asociado a este problema. (b) Escribir un conjunto de datos AMPL particular para asociar a este modelo, si la definición de los conjuntos es la siguiente: set PRODUCTOS:= A B C D; set EQUIPOS:= 1 2 3; 7. Dado el siguiente modelo AMPL: Se pide: param n >=0, integer; set PISOS:=1..n; param super {PISOS}; param equip {PISOS}; param renta {PISOS}; param p in PISOS; var pesos {1..3} >=0; maximize valoracion: super[p]*pesos[1]+equip[p]*pesos[2]; subject to a: renta[p]*pesos[3]=1; subject to b {i in PISOS}: (super[i]*pesos[1]+equip[i]*pesos[2])<= renta[i]*pesos[3]; (a) Escribir el modelo matemático asociado a este problema. (b) Escribir un conjunto de datos AMPL particular para asociar a este modelo, si nos dicen que n = 6: param n:=6;. 8. La empresa Jobco utiliza una sola máquina para procesar tres trabajos. Tanto el tiempo de procesamiento como la fecha de entrega (en días) se proporcionan en la siguiente tabla. Las fechas de entrega se miden desde la fecha cero, que es la de inicio del primer trabajo. Tiempo de Fecha de Penalidad por Trabajo procedimiento (d) entrega (d) retraso (dólares/d) El objetivo del problema es determinar la secuencia con penalidad mínima por retraso para el procesamiento de los tres trabajos.

5 Asignación de tripulaciones a líneas de autobuses. 9. Una sociedad de transporte por carretera asegura servicio regular entre Nantes y París, disponiendo de 5 tripulaciones con un servicio horario París-Nantes y Nantes-París dado por: Salida de París N. de línea LLeg. Nantes Salida Nantes N. línea Lleg. París La sociedad desea saber cuáles deben ser las residencias de las tripulaciones y qué líneas deben atender para minimizar el tiempo total de ausencia de las tripulaciones de su domicilio, teniendo presente las exigencias del horario. Se tiene además la restricción de que ninguna tripulación emprenda un servicio si no ha disfrutado de un descanso superior a 6 horas. Variables de decisión: x ij = 1 si la línea i (i = 1, 2, 3, 4, 5) y la línea j (j = 6, 7, 8, 9, 10) son cubiertas por una misma tripulación, 0 en caso contrario. La línea i y la línea j pueden ser cubiertas por una tripulación que reside, o bien en París o bien en Nantes. Esto dependerá exclusivamente de en qué lugar de los dos se esté menos tiempo de ausencia de su domicilio. Por ejemplo, si hablamos de la línea 1 y 6, si se reside en París, el tiempo de ausencia sería: 31.5 (= ), y si se reside en Nantes, el tiempo de ausencia sería: 30.5 (= ), luego de cubrir estas líneas una tripulación, esta residiría en Nantes. A esos tiempos de ausencia de su domicilio mínimos los denotaremos por: c ij, i = 1,..., 5, j = 6,..., 10. Formulación: s.a. Realiza la formulación en lenguaje AMPL. Nota. La solución óptima es: Solucion Asig [*,*] : := ; zttotal = i=1 j=6 c ijx ij 5 i=1 x ij = 1, j = 6,..., j=6 x ij = 1, i = 1,..., 5 x ij {0, 1}, i, j

6 Programación No Lineal. 10. Consideramos el problema no lineal siguiente: var x{1..3}; maximize z: x[1]*x[2]+x[1]*x[3]+x[2]*x[3]; s.t. r1: x[1]+x[2]+x[3]-120=0; La sesión de AMPL para resolver este problema ha sido: ampl: reset; ampl: display x; ampl: model nl01.mod; x [*] := ampl: option solve minos; 1 40 ampl: solve; 2 40 MINOS 5.5: optimal solution found. 3 40; 4 iterations, objective 4800 ampl: display r1; Nonlin evals: obj = 10, grad = 9. r1 = 80 ampl: display z; z = 4800 ampl: display r1.slack; r1.slack = 0 Se puede comprobar en este caso que es realmente un máximo global (reduciendo la dimensión a 2, y convertirlo en un problema sin restricciones). El multiplicador lagrangiano es λ = 80 (AMPL indica λ = 80). 11. Resolver el siguiente problema cuadrático: Max z = 20x 1 10x 2 3x 2 1 2x 2 2 s.a. 2x 1 x 2 6 x 1 + x x 1 + 3x 2 8 x 1, x Resolver el siguiente problema fraccional lineal: x 1+2x 2 4x 1+3x 2+3 Max s.a. x 1 + x 2 2 x 1 + x 2 1 x 1, x 2 0 Atención con la Programación No Lineal. 13. Consideramos el problema no lineal siguiente: var x{1..2}; minimize z: x[1]^3+3; s.t. r1: 2*x[1]-x[2]-1<=0; s.t. r2: -2*x[1]+x[2]^2-1<=0; AMPL nos indica que ha encontrado la solución óptima: ampl: model nl03.mod; ampl: solve;

7 MINOS 5.5: optimal solution found. 0 iterations, objective 3 Nonlin evals: obj = 3, grad = 2, constrs = 3, Jac = 2. ampl: display z,x,r1,r2,r1.slack,r2.slack; z = 3 x [*] := ; r1 = 0 r2 = 0 r1.slack = 1 r2.slack = 1 Y no es cierto, ya que el punto x = ( 1 2, 0) con λ = (0, 3 8 ) y z = 23 8 = es un mínimo global (es mínimo local estricto, y tenemos que el conjunto factible es convexo y la función objetivo es cuasiconvexa). En AMPL, podemos decirle que inicie el algoritmo desde un punto determinado. Lo hicimos de la siguiente forma: ampl: let x[1]:=-0.5; let x[2]:=0; ampl: solve; MINOS 5.5: optimal solution found. 1 iterations, objective Nonlin evals: obj = 5, grad = 4, constrs = 5, Jac = 4. ampl: display z,x,r1,r2,r1.slack,r2.slack; z = x [*] := ; r1 = 0 r2 = r1.slack = 2 r2.slack = 0 Si trabajamos con el problema de maximizar: var x{1..2}; maximize z: x[1]^3+3; s.t. r1: 2*x[1]-x[2]-1<=0; s.t. r2: -2*x[1]+x[2]^2-1<=0; AMPL también responde de forma errónea diciendo que ha encontrado la solución óptima: display z,x,r1,r2,r1.slack,r2.slack; z = 3 x [*] := ; r1 = 0 r2 = 0 r1.slack = 1 r2.slack = 1 lo que no es cierto, ya que el máximo global es x = ( 3 2, 2) con λ = ( 9 2, 9 8 ) y z = (las curvas de nivel son rectas, y al recorrer con las curvas de nivel el conjunto factible, puede observarse que se trata del máximo global).

8 Podemos realizar los mismos pasos que en el problema de minimizar: let x[1]:=1.5; let x[2]:=2; solve; MINOS 5.5: optimal solution found. 1 iterations, objective display z,x,r1,r2,r1.slack,r2.slack; z = x [*] := ; r1 = 4.5 r2 = r1.slack = 0 r2.slack = 0 Optimización Global. 14. Resolver el siguiente problema: (x 1) 2 cos(5πx) s.a. x [ 0.1, 1] La representación gráfica de la función que queremos minimizar es: x El modelo AMPL sería: # global1.mod param Pi:= acos(-1); var x >= -0.1, <= 1; minimize z: (x-1)**2-cos(5*pi*x); La solución obtenida es: x = con z = (óptimo local). Si introducimos las siguientes modificaciones se obtiene: var x >= -0.1, <= 1, :=0.3; la solución obtenida es: x = con z = (óptimo local). var x >= -0.1, <= 1, :=0.7; la solución obtenida es: x = con z = (óptimo global).

9 15. Resolver el siguiente problema: 5 k=1 k sin [(k + 1)x + k] s.a. x [ 10, 10] La representación gráfica de la función que queremos minimizar es: 10 5 x El modelo AMPL sería: # global2.mod set I:= 1..5; var x >= -10, <= 10; minimize z: sum {k in I} k*sin((k+1)*x+k); Podemos resolver este problema con ayuda de los métodos multiarranque. # global2b.run set I:= 1..5; var x >=-10, <= 10; minimize z: sum {k in I} k*sin((k+1)*x+k); param xopt default 0; param zopt default 1E+9; for {1..10} { let x:=uniform(-10,10); solve; display z,x,zopt,xopt; if (z < zopt) then { let xopt:= x; let zopt:= z; display mejora ; }; }; display xopt,zopt; 16. Consideramos el siguiente problema: (y x2 π x π 6) (1 1 1 ) cos(x) π s.a. 5 x 10 0 y 15

10 La representación gráfica de la función que queremos minimizar es: # branin.mod # Número de variables: 2 # Número de restricciones: 4 # Objetivo no separable, no convexo # restricciones: cotas simples # Hay 3 mínimos globales con Fbr = : (-pi,12.275), # (pi,2.275), (3*pi,2.475). param pi := 4*atan(1); var x{1..2}; minimize Fbr: (x[2] - 5.1*x[1]^2/(4*pi*pi) + 5*x[1]/pi - 6)^2 + 10*(1-1/(8*pi))*cos(x[1]) + 10; s.t. Box1: -5 <= x[1] <= 10; s.t. Box2: 0 <= x[2] <= 15; 17. Consideramos el siguiente problema: x 2 +y cos(x) cos( y 2 ) + 1 s.a. 100 x y 100 La representación gráfica de la función que queremos minimizar es:

11 # griewank.mod # Número de variables: 2 # Número de restricciones: 4 # Objetivo no convexo, no separable # Restricciones con cotas simples # El mínimo global es Fgre = 0, x = (0,0). # Hay unos pocos mínimos locales. var x{1..2} <= 100, >= -100, := 1; minimize Fgre: (x[1]^2 + x[2]^2) / cos(x[1]) * cos(x[2] / sqrt(2)) + 1; 18. Dada: Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 Resolver el siguiente problema de mínimos cuadrados: El modelo AMPL sería: n i=1 (y i β 0 ) 2 m j=1 β jx j s.a. β j R, j = 0, 1,..., m # cuadra1.mod param Nobser >0, integer; # Num. de observaciones param Nindep >0, integer; # Num. de variables independientes set OBSER:= 1..Nobser; set INDEP:= 1..Nindep; param y {OBSER}; param x {OBSER,INDEP}; var Beta0 >= 0; # Término independiente var Beta {INDEP} >= 0; minimize SumaResiduos: sum {i in OBSER} (y[i]-beta0- (sum {j in INDEP} x[i,j]*beta[j]))**2; Unos datos asociados a este modelo podrían ser: # cuadra1.dat param Nobser:= 8; param Nindep:= 3; param y:= ; param x (tr): := ;

12 19. Podemos definir un problema fraccional lineal como: s.a. pt x + α q t x + β Ax = b x 0 donde p y q pertenecen a R n, b R m, A es una matriz m n, y α, β R. Notas: (1) Si existe una solución óptima para el problema fraccional lineal, entonces existe un punto extremo óptimo. (2) Además, cada mínimo local es un mínimo global. Método de Charnes y Cooper. Consideramos dos casos: q t x + β > 0 en el conjunto S = { x Ax b, x 0 }. Se considera el cambio de variables: z = 1 q t x + β y = zx Queda el problema lineal: p t y + αz s.a. Ay bz 0 q t y + βz = 1 y 0 z 0 Si (y, z ) es una solución de este problema lineal, x = y /z será la solución del problema fraccional lineal. q t x + β < 0 en el conjunto S = { x Ax b, x 0 }. Se considera el cambio de variables: z = 1 q t x + β y = zx Queda el problema lineal: p t y αz s.a. Ay bz 0 q t y βz = 1 y 0 z 0 Si (y, z ) es una solución de este problema lineal, x = y /z será la solución del problema fraccional lineal. Notas: (1) Si existen x 1, x 2 S tal que q t x 1 + β > 0 y q t x 2 + β < 0, entonces la solución óptima al problema fraccional sería no acotada. (2) Si las restricciones son del tipo Ax =,, b las restricciones del problema lineal transformado serían: Ay bz =,, 0, respectivamente. Resolver el siguiente problema fraccional lineal, formulando un modelo AMPL que resuelva el problema lineal asociado adecuado. 2x 1+x 2 x 1+5x 2 s.a. x 1 + x 2 1 x 1 x 2 5 x 1 2x 2 5 x 1, x 2 0