Ejercicios para resolver usando Mathematica

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1 Ejercicios para resolver usando Mathematica 1. Calcúlese la derivada de la función y(x) = sen(e x2 ) 2. Determínese la segunda derivada de la función y(x) = e x sen(x) 3. Determínese dy y 2 = 4px x 2 + y 2 = a 2 y 3 3y + 2ax = 0 x 3 + y 3 = a 3 x 1/2 + y 1/2 = a 1/2 x 2 + y2 = 1 a 2 b 2 y 3 == x y x+y y = cos(x + y) cos(xy) = x ln x + e y/x = c x = y 4. Determínese dy (a cos t, b sen t) para las siguientes funciones implícitas: para las siguientes funciones en paramétricas: (a(t sin t), a(t cos t)) ( 3at 1+t 2, 3at2 1+t 2 ) (2t 1, t 3 ) ( t 2 + 1, t 1 t 2 +1 ) (e t, e 2t ) (a[ln tan t + cos t sen t], a[sen t + cos t]) 2 1

2 5. Calculese dy/ para la funcion dada de forma parametrica como (a[t sen t], a[1 cos t]), en el punto en el que y = a 6. Hallese dy/ en el origen de coordenadas para la funcion (t ln t, ln t t ) 7. Compruebese que la funcion dada parametricamente como x = 2t + 3t 2, y = t 2 + 2t 3 satisface la ecuacion y = ( ) 2 ( ) 3 dy dy Evalúese la integral 1 0 x 3 e x 1 9. Determínese la parte real e imaginaria de: 4 + i 2 + 3i 10. Expresad los números complejos siguientes en la forma p + iq, donde p y q son números reales con 17 cifras al menos: (3π + 7i)cos(37 o ) + (2 + 8i)e 3i Determinad el valor de H 4 (x) 2 e x2 donde H n (x) son poliniomios de Hermite. 12. Resolved la siguiente ecuación diferencial d 2 y 2 + 5xdy (1 x3 )y = 0 con y(0) = 0 y y (0) = 1. Determinad y(1,8) y representad y(x) con x comprendido entre 0 y 4. 2

3 13. Factorícense las expresiones: 14. Simplificad 15. Súmese: x 4 + 2x 3 3x 6 6t 3 + 9t 2 15t ax 2 + ay + bx 2 + by 2x 4 y 6 + 6x 2 y x 2 16 x + 4 x 2 3x 4 3 x 3 x + 4 x 2 + 2x Supongamos que las funciones f(t) y r(t) están relacionadas por la ecuación f(t) = dr(t) Salvo una constante aditiva, r(t) se expresa en términos de f(t) por r(t) = f(t) Determinad r(t) para el caso en que f(t) = 5 ln t e 3t 17. Supongamos que las funciones f(t) y r(t) están relacionadas por la ecuación f(t) = dr(t) Determínese r(t) para t f(t) = d2 + t 2 donde d es una constante. 18. Evalúese x 2 3

4 19. Evalúense las siguientes integrales y compruebese que derivando el resultado se recobra el integrando x a 3 + x 3 (x 2 + 1) 2 e 2x ln 2 (x x 2 ) sin x sinh x I n = I n = x x x 3 (1 + 2x2 ) 3 cos n x calculese I 0, I 1,, I 4 x n e x calculesei 0, I 1,, I 10 (x 2 + 2) 2 x 2 ln 1 x x arctan x 1 + x 2 ex + 1 x sinh 2 x sin 3 x 5 cos3 x sin(ωt) sin(ωt + ϕ) 4

5 cos x 2 cos x 3 sin x sin 2x sin 3x sin(x + π 4 ) sin x cos x 20. Encontrar el desarrollo en serie de potencias, hasta el término de orden x 8, para (1 + x 4 ) 1/3 21. Encontad la aproximación por serie de potencias en el entrono de x = π/3 para sec(x) hasta el término (x π/3) Determinad el límite cuando x de las expresiones siguientes: log(x a) log(2(x b) log(x c) + + (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 1 e x e (x x 2 ) 23. En una reacción bimolecular A + B M, α moléculas por litro de A y β moléculas por litro de B se combinan. Si x representa el número de moles por litro que han reaccionado después de un tiempo t, la velocidad de la reacción está dada por: = k(α x)(β x) donde k es una constante que mide la velocidad de la reacción. Para el caso α = β a)demostrad que x = α2 kt 1 + αkt b) Encontrad lím x(t) t 5

6 24. Resuélvase la siguiente ecuación diferencial: 25. Demostrar que: d 2 y 2 6dy + 13y = ex cosx b) secx cscx tanx cotx a) = tanx + cotx secx + cscx 2sen2x sen3x = (8sen 2 (x/2) + secx)senx cos(x) 26. Algunas curvas famosas (en paramétricas): Cicloide: cicloide[a, b](t) = (at b sen t, a b cos t) Lemniscata de Bernoulli: Cardioide: lemniscata[a, b](t) = ( ) a cos t a sen t cos t, 1 + sen 2 t 1 + sen 2 t cardioide[a](t) = (2a cos t(1 + cos t), 2asent(1 + cos t)) Cisoide de Diocles: La tractriz: cisoide[a](t) = tractriz[a](t) = a 0 ( ) 2at t, 2at t 2 ( ( ( ))) t sen t, cos t + log tan 2 Clotoide o espiral de Carnu: ( t ( ) u n+1 clotoide[n, a](t) = a sen du, n t 0 ( ) ) u n+1 cos du n + 1

7 Deltoide: deltoide[a](t) = (2a cos t(1 + cos t) a, 2a sen t(1 cos t)) Curvas de Lissajous: Caracol de Pascal: lissajous[n, d, a, b](t) = (a sen(nt + d), b sen t) limaco[a, b](t) = (2a cos t + b)(cos t, sen t) Representad esas curvas y comprobad la dependencia con los parámetros. 27. Una definición de la curvatura de una curva en paramétricas es: K = y (t)x (t) y (t)x (t) (x (t) 2 + y (t) 2 ) 3/2 Calculad y representad la curvatura de las curvas anteriores. 28. Otra definición de curvatura: K = (x (t), y (t)).j(x (t), y (t)) (x (t), y (t)) 3 Donde. representa el producto escalar de vectores y J es la llamada estructura compleja de R 2 definida como J(p1, p2) = ( p2, p1). Con esta nueva definición recalcúlese la curvatura de las curvas anteriores. 29. Representad la curva del ocho (lemniscata de Gerono). y determinad su curvatura. ocho(t) = (sen t, cos t sen t) 30. Determínese el valor medio de los cuadrados de los ocho primeros números enteros positivos. 31. Determinad la suma de la serie infinita , + 7

8 32. Determinese n k=1 k Obténgase la serie de potencias de sen x cos x en el entorno de x = 0 hasta el orden n. Dibujése la función sen x cos x conjuntamente con la aproximación por series para distintos valores de n y véase como cambia la región en la que la serie es una buena aproximación a la función. 34. El problema de crecimiento poblacional. Denotemos por p(t) la población de una especie en un determinado habitat y sea r(t,p)la diferencia entre la natalidad y la mortalidad, si esta población está aislada entonces dp = r(t, p)p(t) en el modelo más simple (ley de Malthus) se supone que r(t, p) es constante r(t, p) = a. Determinar la evolución de la población supuesto que en t = t 0 el número de individuos es de p(t 0 ). Cuando la población es muy grande aparece en el sistema una nueva fuerza competitiva entre individuos de la misma especie que luchan por el espacio vital, recurso naturales, etc, en este caso se tiene que añadir un nuevo termino que reduce el crecimiento ( 1837 Verhulst) dp = ap(t) bp(t)2 Determinar la evolución de la población como funcion de los parámetros a y b. Consideremos el caso de la población humana para la que se conoce que a = 0,029 y b = 2, , determinar la población de la tierra como función del tiempo (años) sabiendo que en 1965 la población de la tierra era de 3, En caso de que existan dos especies que compiten por los mismos recursos las ecuaciones que describen la evolucion de la poblacion de cada 8

9 una de las especies deben modificarse para tener en cuenta esta competencia. Si denominamos x(t) e y(t) a las poblaciones de cada especie, el termino de competencia se suele tomar de la forma cx(t)y(t) es decir, proporcional al numero de encuentros entre las dos especies. De acuerdo con este modelo las poblaciones vendran descritas por las ecuaciones diferenciales: = r 1 (K 1 x αy)x K 1 dy = r 2 K 2 (K 2 y βx)y Será posible encontrar soluciones estacionarias (es decir independientes del tiempo para x e y, y en caso afirmativo, cúales serían estas? Supongamos inicialmente que sólo tenemos la especie 1 cuya población es x(t), siendo los parámetros adecuados para su evolucion r 1 = 0,4, K 1 = 500. Siendo x(0) = 5, y(0) = 0 encuentrese x(t) y su valor límite para tiempos largos. Supongamos por el contrario que solamente tengamos especie 2, siendo sus parametros evolutivos r 2 = 0,6, K 2 = 500. Siendo x(0) = 0, y(0) = 500 encuentrese y(t) y su valor limite para tiempos largos. Supongamos ahora que tenemos ambas especies y que la influencia competitiva viene descrita por los valores α = 0,3, β = 0,3. Siendo x(0) = 5, y(0) = 5 encuentrense x(t) e y(t) y sus valores limite para tiempos largos. Supongamos que la influencia competitiva viene descrita por los valores α = 1,3, β = 1,3. Repitase el calculo anterior. Que ocurriría en el caso α = 0,3, β = 1,3? Y si α = 1,3, β = 0,3? 36. Dinamicas predador-presa Supongamos una población de presas, que en ausencia de predadores siguen la ley de Malthus, es decir tienen recursos ilimitados y por tanto su población puede aumentar exponencialmente. Sea r 1 su tasa de crecimiento. Por otro lado consideremos una poblacion de predadores, que en ausencia de presas carecen de recursos y por tanto se mueren de hambre. Sea r 2 su tasa de mortalidad. Cuando ambas poblaciones 9

10 coexisten la tasa de predacion es proporcinal al numero de encuentros y contribuye a disminuir la poblacion de presas y a aumentar la poblacion de predadores, con constantes de proporcionalidad c 1 y c 2 respectivamente. En estos supuestos, la evolucion del sistema predador-presa viene regida por las ecuaciones de Lotka-Volterra = r 1x c 1 xy dy = r 2y + c 2 xy Existirán soluciones estacionarias (independientes del tiempo) para x e y y en caso afirmativo, cuales serán éstas? Supongamos inicialmente ausencia de predadores. La evolucion de la poblacion de presas viene determinada por el parametro r 1 = 1. Suponiendo que tenemos x(0) = 2000 encuentrese x(t). Supongamos ausencia de presas, siendo r 2 = 1. Si y(0) = 200 calculese y(t). Veamos el caso de que existan ambas especies, con poblaciones iniciales x(0) = 2000, y(0) = 200 y unos parametros de predacion c 1 = 0,01, c 2 = 0,001 Calculense en este caso x(t) e y(t). Que tipo de comportamiento se observa? Que ocurre si se representa parametricamente la curva (x(t), y(t))? Como compara el resultado con la solucion estacionaria? Repetir el apartado anterior para otros valores iniciales de x(0), y(0). Estudiese qué ocurre si tenemos en cuenta que las presas tienen recursos limitados añadiendo un término de la forma 0,0001x(t) 2 a la ecuacion diferencial de evolucion de x(t), incluyendo la representación parametrica comentada en apartados anteriores. 37. Economistas y sociólogos han estudiado como un cambio tecnológico o una innovación se disemina en la industria, supongamos que en t = 0 en una comunidad de N industrias surge una innovación, llamemos p(t) al número de industrias que en el tiempo t han adoptado la innovación, la ecuación que se obtiene es una ecuación diferencial: dp = cp(t)(n p(t)) 10

11 Determinar la evolución temporal del número de industrias que adoptan la innovación como función de la constante c > Los tumores producidos por crecimientos desordenados de celulas enfermas tienen una evolución del volumen como función del tiempo que está regido por la ecuación donde λ y α son constantes. dv (t) = λe αt V (t) Determinar la evolución temporal como función de las constantes (positivas) λ y α 39. Los sistemas formados por masa-resote-medio amortiguador tienen aplicaciones muy diversas en la industria y la vida diaria. El movimiento de la masa (sobre la que no actúa fuerza externa al sistema) está regida por la ecuación m d2 y = ky cdy 2 donde k es la contante de restitución del muelle y c es una constante que da cuenta de la fuerza de rozamiento (proporcional a la velocidad) por efecto del medio en el que se mueve la masa (aire, aceite, agua, etc) Determinese el movimiento de una masa m = 1 para distintos valores de las constantes k y c 40. Cuando se lanza un proyectil en la atmósfera con un ángulo de disparo θ 0 sobre la horizontal, y en asuencia de rozamiento con el aire, la ecuación del movimiento es de sobra conocida, una parábola (tiro parbólico): y = tanθ gx2 /(v 2 0cos 2 (θ 0 ) Cuando se tiene en cuenta la resistencia del aire las ecuaciones no son resolubles analíticamente, en este caso, superpuesta a la fuerza de la gravedad aparece una fuerza de rozamiento que depende del cuadrado de la velocidad de la patícula: F = mkv v 11

12 donde k es una constante que es del orden de 5,210 3 m 1 Eligiendo como origen el punto de disparo, tenemos: v 0x = v 0 cos(θ 0 ) y,v 0y = v 0 sen(θ 0 ), donde v 0 es el módulo de la velocidad de partida. Las fuerzas: ( ) 2 F x = mkvv x = mk ( + ( ) 2 F y = mkv y = mk ( + por tanto las ecuaciones a resolver son d 2 x = k ( ) 2 ( + 2 d 2 y = k ( ) 2 ( + 2 ( dy ( dy ( dy ( ) ) 2 dy i ( ) ) ) 2 (dy ) mg ) ) 2 ( ) ) ) 2 (dy ) g Cálculese la trayectoria para distintos valores de la constante k y hagáse una animación en donde se vea como varía como función de k. Calculese para un valor fijo de v 0 y k, el alcance del disparo (valor de x para el cual y = 0) como función del ángulo de disparo θ 0 y representese graficamente. Comparar los resultados cuando k = 0 y k Calculese el area entre la funcion de Airy Ai(x) y el polinomio de Hermite H 3 (x). 42. Calculense los 3 primeros ceros (diferentes de cero) de la funcion de Bessel J 1 (x) y denominense z[1], z[2], z[3]. Calculese 1 0 x J 1 (z[i]x)j 1 (z[j]x) para i, j = 1, 2, 3 Compruebese que si i j la integral es cero (dentro de la precision de los calculos) y si i = j la integral es J 2 2 (z[i])/2 12

13 43. Definanse las funciones f n (x) = cos(n arc cos x). Dibujense f 3 (x), f 4 (x) y f 5 (x) para 1 x 1. Calculese el desarrollo en serie de potencias de f 3 (x) en torno a x = 0 hasta diversos ordenes. Comparese el resultado con el polinomio de Chebyshev de primera especie T 3 (x). Cómo compararias f 129 (x) con T 129 (x)? 44. Resuelvase la ecuacion diferencial (1 x 2 )y (x) 2xy (x) + n(n + 1)y(x) = 0 con las condiciones y(1) = 1, y( 1) = ( 1) n, para diversos valores enteros de n y comparese el resultado con los polinomios de Legendre P n (x) Como compararias la solucion de la ecuacion diferencial con el polinomio de Legendre para n = 129? 13