Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

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1 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls soluciones y su pertinenci. Ejemplo A Resolver inecuciones como ls siguientes. Expresr l solución en form gráfic y lgeric. Comprr ls soluciones de los ejercicios e), f) y g). ) x 2 < 0,5 ) 4x x c) x 3 x > 5 x d) 3 ( 5 x ) > e) x 2 f) x 2 g) x = 2 Se sugieren dos forms lterntivs pr trjr l multiplicción de un inecución por un número negtivo. I. utilizr l rect numéric, poniendo en juego l reflexión respecto l origen, pr comprender cómo el cmio de signo fect l orientción de l desiguldd < < > > II. si en l resolución de un inecución se lleg un expresión de l form x <, se puede sumr x en mos miemros de l inecución y se otiene < x. Además, l expresión gráfic de l solución de un inecución permite precir l diferenci con el tipo de solución de un ecución. En el ejemplo que se ilustr continución, x = 5 es un punto de l rect; éste l sepr en ls semirects x < 5 y x > 5.

2 Unidd 2: Inecuciones lineles 65 x - 2 = 8 - x 2x = 0 x = 5 5 x - 2 < 8 2x < 0 x < 5 - x x - 2 > 8 - x 2x > 0 x > 5 Ejemplo B Resolver sistems de inecuciones, grficr ls soluciones y expresrls lgericmente. ) 3 x > 5 5 x 2 > 4 ) 3 x > 7 5 x 2 < 8 c) 2 7 3x < 8 L solución de estos sistems se puede representr gráficmente como l intersección de dos intervlos, en l rect numéric. En el cso del sistem ), l solución está constituid por los números reles myores que En el cso ) no hy ningún número que stisfg ms inecuciones simultánemente. Si ésts se plntern como inecuciones no estricts, l solución serí el número 2.

3 66 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción En el cso c), l solución es [-3, /3[ Gráficmente se tiene: Pr explicitr ls soluciones de sistems de inecuciones lineles con un vrile, es posile utilizr l expresión gráfic en l rect numéric, l notción hitul de intervlos o desigulddes, o ien l intersección de intervlos. Ejemplo C Resolver inecuciones sencills que involucren vlor soluto. Comprr ls soluciones que se expresn por unión de intervlos con quélls referids intersección de intervlos. ) x 45 ) x 60 c) x 5 < 2 d) 2x - 7 > 5 e) x - 2 f) - x 2 Ejemplo D Comprr ls soluciones de l ecución y l inecución siguiente: x = 5 x 5 (PARA EJEMPLOS C Y D) Conviene enftizr l interpretción del vlor soluto como distnci l origen. Ls inecuciones de rri se pueden entonces interpretr como pregunts del tipo: dónde se uicn los números que se encuentrn menos (o más) de tnts uniddes del origen? Tmién se podrí contextulizr con ejemplos de móviles que se cercn l origen hst llegr un ciert distnci mínim o ien que se lejn de él. En estos ejercicios ls soluciones se pueden expresr en su form gráfic utilizndo l rect numéric, recurriendo l notción hitul de desigulddes, o ien por medio de l unión o de l intersección de intervlos.

4 Unidd 2: Inecuciones lineles 67 Ejemplo E Cuáles números stisfcen l condición de ser myores que su cudrdo? En este cso se usc el intervlo de vlores pr x que stisfgn l inecución siguiente x > x 2. Es importnte comentr los procedimientos de solución que se derivn si se not x - x 2 > 0, o ien, 0 > x 2 - x que se trducen, respectivmente en x ( x ) > 0 o en 0 > x ( x - ). L resolución de culquier de ests inecuciones requiere nlizr ls condiciones pr que el producto de dos números se positivo o negtivo. Este nálisis llev plnter un sistem de inecuciones. En l unidd nterior se nlizó este ejemplo desde l representción gráfic. Actividd 4 Estudin desigulddes literles, conjeturn sore su rngo de vlidez y relizn demostrciones sencills. Ejemplo A Considerr un rectángulo de áre igul. Cuál es el vlor mínimo que puede tomr el semiperímetro? o ien, entre qué vlores vrí el semiperímetro? Est es un ocsión pr motivr los estudintes hcer geometrí dinámic. En l geometrí dinámic, se vrí o deform continumente uns figurs en otrs. En este cso se hce crecer un ldo del rectángulo y se chic el otro, permneciendo su áre constnte igul. Un mner de ordr este ejemplo es construyendo un tl de vlores como l siguiente en que es l medid de uno de los ldos del rectángulo.,0 2,0 2,5 Pr completr l tl, es conveniente utilizr un clculdor o, mejor ún, un plnill de cálculo. Su uso d rpidez y gilidd l ejercicio y se dispone de tiempo pr l reflexión y de numerosos resultdos pr estlecer conjeturs.

5 68 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Considerndo los resultdos que se otienen pr vlores de próximos, se gener l evidenci que todos los resultdos son myores que 2 y que si = el resultdo es 2. Otr mner serí hcer el gráfico de los puntos (, /); se otiene l rm positiv de l hipérol =, cd uno de cuyos puntos es el vértice superior derecho de un rectángulo con vértice opuesto en el origen. Todos estos rectángulos tienen áre y se puede ver que el de menor perímetro es el centrl, quel que tiene su vértice superior derecho donde l digonl = cort l hipérol. Además, es stnte clro cómo el perímetro tiende infinito l irse hci los extremos. Es oportuno plnter que est evidenci empíric deier confirmrse con un demostrción. Pr desrrollr l demostrción se puede prtir desde l conjetur, trnsformrl lgericmente en expresiones equivlentes y determinr si l expresión que finlmente se otiene es o no verdder ( - ) 2 0 Es importnte clrr que en cd pso se h hecho un trnsformción de un expresión en otr equivlente. Si sí no fuer, l lectur desde l conclusión finl no implicrí l conjetur inicilmente plnted. Ejemplo B Considerndo expresiones lgerics del tipo n, determinr qué intervlo pertenecen n los vlores de est expresión: I. pr vlores nturles de n, II. pr enteros negtivos. Este tipo de situción es similr ls plnteds en relción con lenguje lgerico en el Progrm de Segundo Año Medio. Si se consider oportuno se podrán proponer lgunos ejemplos numéricos ntes del cso generl. Estos se pueden desrrollr con yud de clculdor o con un plnill de cálculo. Invitr los lumnos y lumns plnter conjeturs completndo un tl de vlores como l siguiente: n n n n

6 Unidd 2: Inecuciones lineles 69 Desde otr perspectiv se puede hcer notr que n = n, de donde se puede deducir n n n que: I. si n es un número nturl y distinto de 0, se otiene < n n n 2 II. si n es entero negtivo, se otiene 0 n n n < Tmién se puede incorporr el nálisis de l expresión invers intervlo pertenece. n n y determinr qué Ejemplo C Consttr pr diversos vlores de y de, l equivlenci < < > > En estos ejemplos que involucrn generlizciones es recomendle considerr ejemplos numéricos. L tl de vlores es un uen herrmient que permite visulizr relciones entre los números Tmién l rect numéric es un uen poyo pr visulizr el cmio de signo y el de l orientción de l desiguldd. Ejemplo D Comprr y, si se se que 0 < < En este cso, en form nálog los ejemplos nteriores, un tl de vlores se constituye en un herrmient pr visulizr ls relciones entre los números. Tmién, el uso de clculdor o de plnill de cálculo tienen grn utilidd pr generr un grn cntidd de resultdos numéricos.

7 70 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Ejemplo E Determinr cuál es el vlor más pequeño pr mismo signo y distintos de cero., si y son dos números del En form similr los ejemplos nteriores, completn un tl de vlores puede ser útil; es conveniente el uso de clculdor o de un plnill de cálculo Invitr los lumnos y lumns proponer conjeturs, expresrse. Notr que si y tienen el mismo signo, y son ms positivs. Además = ; comprr con el ejemplo A. Ejemplo F Demostrr que: I , pr culquier vlor rel de II. ( ) ( ) 4, si > 0, > 0 y = En form nálog los ejemplos nteriores pr un mejor comprensión de un demostrción es conveniente que los lumnos y lumns constten l vlidez de un expresión pr diversos vlores numéricos y posteriormente intenten un demostrción generl. Es interesnte oservr que mos resultdos pueden otenerse inmeditmente del estudio de plntedo nteriormente, porque 2 4 = 2 2 y y porque ( )( ) = -, puesto que = -

8 Unidd 2: Inecuciones lineles 7 En todos estos ejemplos los estudintes hn tenido l oportunidd de utilizr l opertori lgeric prendid en los ños nteriores pr trnsformr ls expresiones.

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