FRACCIONES Y PORCENTAJES

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1 DEPARTAMENTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS COMISIÓN ANDRAGÓGICA AÑO 0 GUÍA PARA ASESORAR a las personas jóvenes y adultas que requieren presentar el examen de FRACCIONES Y PORCENTAJES Responsable de su elaboración: PROFR. RUBÉN GUTIÉRREZ RAMOS

2 Estimada persona joven o adulta Esta guía que ponemos a su disposición está estructurada en tres partes: I: Contenidos básicos del módulo II: Ejercicios de práctica y autoevaluación III: Respuestas de los ejercicios Los contenidos y los ejercicios son una síntesis de las cuatro unidades del módulo Fracciones y porcentajes Tercera edición y pretende cumplir con los propósitos del mencionado módulo: Resolución de problemas con números fraccionarios en contextos de medición, familiares y laborales. Reconocimiento de los números decimales como fracciones y elección de la representación más adecuada de acuerdo con la situación o problema. Conocimiento de la relación que existe entre las fracciones, la proporcionalidad y el tanto por ciento. Resolución de problemas que involucren relaciones de proporcionalidad directa e inversa en contextos de medición, compraventa y laborales. Resolución de problemas de tanto por ciento en contextos laborales, cotidianos y de participación ciudadana. Cálculo de perímetro y área de algunas figuras. Desarrollo de la noción de volumen. Le sugerimos estudiar y tratar de comprender la primera parte de cada unidad y posteriormente resolver los ejercicios consultando, siempre que sea necesario, los contenidos básicos, así como con su asesor u otra persona que le pueda auxiliar. El estudio y la resolución de este material no pretende sustituir al Módulo Fracciones y porcentajes de la tercera edición. Se ofrece con la finalidad de que desarrolle algunas competencias básicas que le permitan resolver el examen del módulo con cierta probabilidad de acreditarlo. Esta guía se usará como material auxiliar, en caso de desabasto temporal del módulo por parte del INEA.

3 UNIDAD CONCEPTOS GENERALES: FRACCIONAR: Dividir un objeto o cantidad (entero) en partes iguales. Cada una de las partes que se obtienen de fraccionar, se llama unidad fraccionaria. Ejemplos: Mitad o un medio ó de, se fraccionó en partes iguales Un tercio o tercera parte ó de, se fraccionó en partes iguales Un octavo u octava parte ó de, se fraccionó en partes iguales Una fracción es la expresión numérica que nos indica cuántas partes se toman del entero. Ejemplos: un medio dos tercios cinco octavos Los objetos no siempre miden un número exacto de enteros, es por eso que para poder medir con precisión, la humanidad se vio en la necesidad de crear formas más precisas de medir y números para representar medidas más pequeñas que el entero. Números como,,,,,,,, etcétera, son conocidos como fracciones. Partes de una fracción: El número de arriba se llama numerador. Indica cuántas partes se toman del entero. El número de abajo se llama denominador. Indica en cuántas partes iguales se dividió el entero. FRACCIONES EQUIVALENTES: Son aquellas que expresan una misma parte o porción del entero, objeto o cantidad. Representan mediciones que cubren el mismo espacio. = = = = = =

4 = = = = = = = 9 El tamaño de algunas fracciones se puede comparar determinando si son más grandes más pequeñas o del mismo tamaño que la fracción. En las fracciones que son equivalentes a, el numerador es la mitad del denominador; = = = = = = = = 0 0 Podemos saber que y 0 son fracciones equivalentes porque en ambas el denominador es el doble que el numerador, lo que hace que las dos son equivalentes a. es una fracción mayor que porque su numerador,, es más de la mitad de su denominador,. es una fracción menor a porque su numerador,, es menos de la mitad de su denominador,.

5 Para comparar el tamaño de dos fracciones se pueden utilizar los símbolos <, > ó = que significan: menor que, mayor que, igual respectivamente. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES: CON IGUAL DENOMINADOR + = =, + = =, + + = =, = =, - = = Para sumar o restar fracciones con igual denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. CON DIFERENTE DENOMINADOR ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) (9 ( ) 9) (7 ) ( ( ) ) 0 0 Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se deben convertir las fracciones a fracciones equivalentes con un mismo denominador. Una forma de obtener el denominador común es multiplicando los denominadores entre sí, y proceder como en los ejemplos anteriores. EJERCICIO : RESUELVA LAS SIGUIENTES CUESTIONES, ELIJA LA LETRA DE LA RESPUESTA QUE COINCIDA CON SU RESULTADO Y ANÓTELA EN EL PARÉNTESIS DE LA DERECHA, HAGA LAS OPERACIONES QUE NECESITE EN UNA HOJA APARTE. PUEDE USAR CALCULADORA..- Partimos una pizza en partes iguales, me comí pedazos. Qué parte de la pizza me comí? ( ) a) b) c) d)

6 .- Ana tardó minutos en arreglarse. Qué parte de la hora tardó? ( ) a) b) c) d).- La parte sombreada del entero de la izquierda es: ( ) a) b) c) d).- De un metro de tela, se usó la parte sombreada. Cuánto quedó? ( ) a) b) c) d).- Un cuarto de champurrados es ( ) a) b) c) d).- De huevos, se quebraron / (dos tercios). Cuántos se quebraron? ( ) a) b) c) d) De una caja de litros de leche, se venden 0. Qué fracción se vendió?......( ) a) b) c) d) 0.- Qué parte de las paredes anteriores está sin pintar? ( ) a) b) c) d) Siete cuartos (7/) de kilogramo de manzana equivale al número mixto ( ) 7 a) b) c) d) 0.- De unas cajas de lápices cada una, vendí lápices. También así puedo expresar lo vendido. a) b) c) d).- Dos fracciones equivalentes que representan las partes sombreadas son..( ) a) = b) = c) = d) =.- De las siguientes fracciones: /0, /, /, /, la menor es ( ) a) / b) / c) / d) /0.- De las siguientes fracciones: /0, /, /, /, la mayor es ( ) a) / b) / c) / d) /0.- Juan vende 7/ de barril de pulque y Nacho vende /. Quién vende más....( ) a) Nacho b) igual c) Juan d) no se sabe.- Chonita regala parte de un terreno a sus hijas: / a María y /0 a Lupita. A quién le tocó más? ( ) a) María b) Igual c) Lupita d) no se sabe.- De una pila de 00 litros de agua, se usaron / para regar la huerta y / para regar el chilar. Cuántos litros quedaron para los animales? ( ) a) 00 l b) 0 l c) 0 l d) no se sabe 7.- Una máquina hace / de la producción y otra hace /. Cuánto falta para completa el total? ( ) a) b) c) d)

7 .- Una fábrica vende / de su producción y después /0 más. Cuánto vendió? ( ) a) b) c) d) Un voceador vende periódicos de 00. Cuánto vende aproximadamente? ( ) a) b) c) d) 0.- Se usan / de sacos de cemento en el piso de una cocina, ½ en la sala y ¾ en el baño. Cuánto se gastó? ( ) a) b) c) d) RESPUESTAS DE LA PRIMERA UNIDAD AEstas respuestas no son para que las copies, son para que compares tus resultados y si alguno no coincide, debes resolver nuevamente el problema hasta que obtengas la respuesta correcta..- a).- b).- c).- d).- b).- c) 7.- a).- d) b) 0.- a).- c) =.- d) /0.- c) /.- b) igual.- a) María.- c) 0 l 7.- b).- d) 9.- a) 0.- b) 7

8 UNIDAD CONCEPTOS GENERALES: NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS Los números naturales se clasifican en números primos y números compuestos. Los números primos son aquellos que sólo se pueden dividir entre sí mismos y entre el uno sin que el resultado involucre números decimales (o números fraccionarios). Ejemplo El es número primo porque sólo se puede dividir exactamente: = y = El es número primo porque sólo se puede dividir exactamente: = y = Los números compuestos son aquellos que se pueden dividir entre más de dos números sin que el resultado involucre números decimales (números fraccionarios). Ejemplo El es número compuesto porque se puede dividir exactamente: = = = = = = CRIBA DE ERATÓSTENES (matemático griego) Los números resaltados son los números primos comprendidos entre el y el 0. Cuántos son? El número no es ni primo ni compuesto. Sólo se puede dividir exactamente entre. Cuáles son los números primos que hay entre el y el 0? SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar una fracción significa reducirla a su mínima expresión, es decir, a una fracción equivalente que tenga los términos lo más pequeños posible. Ejemplo. = = Las tres fracciones son equivalente pero tiene los términos más pequeños, es la que está reducida a su mínima expresión (simplificada). 7

9 Una forma de simplificar una fracción es mediante la factorización de sus términos. Factorizar es descomponer el numerador y el denominador en sus factores primos. Ejemplo Para simplificar la fracción, se descomponen el y el 7 en sus factores primos así 7 =, se eliminan los mismos factores que hay arriba y abajo y queda, como los 7 factores de arriba se eliminan todos, en su lugar queda el. Abajo sólo queda un, por eso queda. Así pues = = 7 Esto es el resultado de dividir el y el 7 entre, es decir: = 7 7 Cuando dividimos o multiplicamos los dos términos de una fracción por un mismo número, obtenemos otra fracción equivalente. FRACCIONES DECIMALES A las fracciones que tienen denominadores formados por un y ceros, se les llaman fracciones decimales. Ejemplo El sistema métrico decimal utiliza fracciones decimales. Ejemplo: Un decímetro ( dm) es 0 m (una décima parte del metro), porque m = 0 dm Un centímetro ( cm) es m (una centésima parte del metro), porque m = 00 cm 00 Un milímetro ( mm) es 000 m (una milésima parte del metro), porque m = 000 mm Un decímetro Un decímetro = 0 cm Un centímetro = 0 mm Existe también el sistema inglés de medidas, pero no usa las fracciones decimales para las mediciones más pequeñas que las unidades principales, por ejemplo la pulgada (in) se usa para medir longitudes y tiene un sistema fraccionario a base de mitades. Así tenemos: pulgada ½ pulgada ¼ pulgada / pulgada

10 TABLA DE EQUIVALENCIAS DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Múltiplos del metro metro Submúltiplos del metro km hm dam m dm cm mm Kilómetro (km) 0 00,000 Hectómetro (hm) Decámetro (dam) Metro (m) ,000 Decímetro (dm) Centímetro (cm) Milímetro (mm) CONVERSIÓN DE FRACCIONES A NÚMEROS DECIMALES Y VICEVERSA Para convertir una fracción a número decimal, basta con dividir el numerador entre el denominador. Ejemplo. Convertir las siguientes fracciones a números decimales = = 0. = = 0.7 = = 0. = = 0. Convertir los siguientes números decimales a fracciones: 0. = 0 = = = = = = 0 = Convertir las siguientes fracciones decimales a números decimales y viceversa: = 0. = = = El número de ceros del denominador de las fracciones decimales es igual al número de cifras a la derecha del punto decimal en los números decimales. 9

11 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES La multiplicación de fracciones sirve para encontrar una fracción de otra fracción. Ejemplo: Para hacer un postre se usa media lata de leche condensada. Cuánta leche se usará para hacer / del postre? Necesitamos saber cuánto es / de media lata de leche. Para ésto multiplicamos: Se necesita / de lata de leche para / de postre. de = de lata EJERCICIO :.- La fracción reducida a su más simple expresión (simplificada) es? ( ) a) b) c) 0 d) a) 0 9 b) 9 c) 9.- La fracción equivalente a más simple es ( ) 90 d) 0.- Al simplificar la fracción, queda la fracción equivalente ( ) a) b) c) d).- La medida que usamos con más frecuencia para medir longitudes (largo, ancho)( ) a) decímetro b) kilómetro c) metro d) milímetro.- Los centímetros que tiene el metro son ( ) a) 00 b) 000 c) 0 d) La milésima parte del metro ( m) es ( ) 000 a) decímetro b) kilómetro c) metro d) milímetro 7.- El kilómetro tiene ( ) a) 0m b) 000m c) 00m d) 0.000m.- Las fracciones que tienen como denominador 0, 00, etc.son...( ) a) comunes b) quebrados c) decimales d) múltiplos 9.- La medida inglesa que más usamos para medir longitudes es ( ) a) milla b) pulgada c) galón d) onza 0.- En una huerta de 00 manzanos, / son de manzana roja. Cuántos árboles dan manzanas rojas? ( ) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0.- Un tanque de gasolina se llena con 0 litros, si el marcador dice que trae ¼. Cuántos litros le faltan? ( ) a) 0 b) 0 c) d).- Un tanque de gas se llena con 00 litros, si tiene 00 litros, Qué fracción es?. ( ) 00 a) b) c) d)

12 A.- El número decimal equivalente a la fracción decimal ( ) a) 0.00 b) 0.0 c) 0. d).0.- La expresión 0.0m es equivalente a ( ) a) cm b) mm c) dm d) m.- Se compró de un terreno baldío y se pavimenta de lo comprado. Qué fracción del terreno baldío se pavimentó? ( ) 9 a) b) c) d) En un grupo de alumnos /9 son mujeres y ¼ de ellas usa lentes. Qué fracción del grupo son mujeres que usan lentes? ( ) a) b) c) d) 9 9 RESPUESTAS DE LA SEGUNDA UNIDAD Estas respuestas no son para que las copies, son para que compares tus resultados y si alguno no coincide, debes resolver nuevamente el problema hasta que obtengas la respuesta correcta. 9.- b).- a).- d).- c) metro 0.- a) 00.- d) milímetro 7.- b) 000m.- c) decimales 9.- b) pulgada 0.- a) 0.- c).- b) 0.- c) 0..- a) cm.- d) 0.- b) 9

13 UNIDAD CONCEPTOS GENERALES: RAZONES, PROPORCIONES Y REGLA DE TRES En una relación entre dos cantidades, cuando una cantidad aumenta en el mismo porcentaje o proporción que la otra, es decir, si una aumenta al doble, la otra también; o al triple, la otra también, etcétera, se dice que son cantidades que varían proporcionalmente. Ejemplo Un automóvil gasta 0 litros de gasolina al recorrer 00km de distancia. Cuántos km recorre con la mitad de gasolina? Y con 0 litros? Si aumenta o disminuye la distancia recorrida, aumenta o disminuye el consumo de gasolina en la misma proporción, en este caso se dice que hay una variación directamente proporcional. RAZÓN: Es una comparación de dos cantidades mediante una división. Ejemplo: La razón de asesores a personas jóvenes y adultas en un círculo de estudios es: asesor por alumnos, es decir a = : = / Juan tiene $ y María tiene $. Así decimos: La razón del dinero de Juan con el de María es a = : = / = /. Ésto quiere decir que Juan tiene una tercera parte de lo que tiene María. La razón del dinero de María con el de Juan es a = : = / =. En este sentido, la comparación nos dice que María tiene el triple (tres veces) lo que tiene Juan. RAZONES EQUIVALENTES: Son como dos fracciones equivalentes. Ejemplo: de 0 = de 0, de otra forma /0 = /0; de = de, ó / = / PROPORCIÓN: Dos razones equivalentes forman una proporción. Ejemplo: / = / : : : : (esto se lee: es a como es a ). PROPIEDAD DE LAS PROPORCIONES: Es igual que la de las fracciones: ::: : En toda proporción, el producto de los extremos ( y ) es igual al producto de los medios ( y ). APLICACIÓN: En una proporción, en la que desconocemos uno de los cuatro términos que la componen, podemos calcular el término desconocido, usando la propiedad de las proporciones, aprovechando los tres términos conocidos. A este procedimiento se le conoce como Regla de tres

14 x x 7 x x 0 x 7 x 0 x x x x manzanas cuestan $. Cuánto cuestan manzanas? DATOS PLANTEAMIENTO OPERACIONES manzanas = $ m = $ x () manzanas = $ m = x x 9 9 manzanas cuestan $ x = x Pedro y Juan hacen un trabajo en días. Pedro trabajó 7 días y Juan. Cuánto le toca a cada uno si el costo de la obra fue de $ 00.00? DATOS PLANTEAMIENTO OPERACIONES Costo de la obra $ 00 días = $ 00 x = 7(00) Días trabajados 7 días = x x = 00 Días de Pedro 7 = 7/ x = $00 Días de Juan = / días = $ 00 x = (00) Pedro ganó días = x x = 000 Juan ganó x = $00 Es importante en el planteamiento, cuidar el orden de los términos de la proporción, así, cuando los multipliquemos en diagonal (cruzados) obtendremos los resultados deseados. REGLA DE TRES INVERSA Cuando en una relación entre dos cantidades, al aumentar una, la otra disminuye inversamente en la misma proporción, es decir, si una aumenta al doble, la otra disminuye a la mitad o al triple la otra disminuye a la tercera parte, etcétera, se dice que son cantidades que varían en forma inversamente proporcional. Ejemplo: trabajadores tardan días en abrir una zanja. Cuánto tardarán 0 trabajadores? Si se aumentan los trabajadores al doble, el tiempo disminuye a la mitad. Es decir al aumentar una cantidad, la otra disminuye en forma inversamente proporcional. APLICACIÓN Un automóvil con una velocidad de 0 km/h recorre una distancia en horas. Cuánto tardará en recorrer la misma distancia si disminuye la velocidad a 00 km/h? DATOS PLANTEAMIENTO OPERACIONES 0 km/h = h 00 km/h = h 00 : = 0 : x 00 km/h = 0 km/h = x (0) = 00x 0 = 00x 0/00 = x x =.h

15 En una regla de tres inversa es importante en el planteamiento, invertir el orden de las cantidades de la derecha para que al multiplicar en diagonal (cruzados) obtengamos el resultado deseado. PORCENTAJES 00% representa siempre el total de algo: dinero, personas, herramientas, cosas, etc. POR CIENTO (%). Esta expresión significa tanto de 00. % significa de 00 = /00 = 0.0 0% significa 0 de 00 = 0/00 = 0.0 % significa de 00 = /00 = 0. (cuarta parte) 0% significa 0 de 00 = 0/00 = 0.0 = 0. (mitad) 7% significa 7 de 00 = 7/00 = 0.7 (tres cuartas partes) 00% significa todo de 00 = 00/00 = (el total) El porcentaje es una relación entre dos cantidades. Por ejemplo Entre los 000 alumnos de un municipio y los 0 de esos alumnos que están becados se establece la relación y se calcula el porcentaje aplicando la propiedad de las proporciones: 0 x 000 = Multiplicamos en diagonal 0(00) = 000x 000 = 000x = x = x Por lo tanto = Es decir 0 es el 7% de 000 EJERCICIO : APLICACIONES: El precio de una camisa sin IVA es de $ Cuánto se debe pagar en total? DATOS PLANTEAMIENTO OPERACIONES Costo de la camisa = $0 Impuesto = % de 0 x = 00 0 Impuesto (IVA) = % Costo total = 0 + Impuesto (0) = 00x 000 = 00x Costo total = $ x Impuesto $ 0 = x Costo total = $ 0 + $ 0 = $ 90 Un vestido cuesta $ 7.00 y por oferta tiene un descuento del %. Cuál es su precio final? DATOS PLANTEAMIENTO OPERACIONES Costo del vestido = $ 7.00 Descuento = % de 7 x = 00 7 Descuento = % Precio final = 7 descuento (7) = 00x 00 = 00x Precio final = $ 00/00 = x Descuento = $ Precio final = $ 7 - $ = $

16 PROBABILIDAD La probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia los fenómenos del azar. A la probabilidad de que ocurra un evento o hecho se le asocia un número que va del cero (0) ¼, ½, / al. Por lo tanto, el número asociado a la probabilidad es cero (0), uno () o un número fraccionario o decimal, aunque también puede expresarse como porcentaje. Cuando es seguro que ocurra un evento o suceso se le asocia el número. Ejemplo: Si trabajo es seguro que me paguen, por lo que a que me paguen le asocio el número uno. Cuando es seguro que no ocurra un evento o suceso se le asocia el número cero. Ejemplo: Si tiro dos dados es seguro que no caiga el número uno, pues la mínima cantidad que que se puede formar con los puntos de dos dados es dos. Cuando la posibilidad de que ocurra o no ocurra un evento no es total, la cantidad de probabilidad se asocia con una fracción, número decimal o porcentaje. Ejemplo: Al tirar un dado la probabilidad de que caiga a), es de, es decir /, 0.,.7% porque el dado tiene los números del al, uno diferente en cada cara (en total números). b) Número par, es de, es decir /, ½, 0., 0% porque el dado tiene números pares (,, ). c) Número impar, es de, es decir /, ½, 0., 0% porque el dado tiene números impares (,, ). EJERCICIO :.-Mary y Luis compran un boleto de una rifa de $70.00; Mary pone $0.00 y Luis $0.00. Si el boleto salió premiado con $ A Mary le tocan? ( ) a) $ b) $ c) $. d) $ 7..- Pedro y Juan hacen un trabajo en días. Pedro trabajó 7 días y Juan. Cuánto le toca a Pedro si el costo de la obra fue de $ 00.00? ( ) a) $ b) $ c) $ d) $ Una llave tira 0 litros de agua en minutos En cuánto tiempo tira 0 litros?. ( ) a) min b) 0 min c) 0 min d) min.- Cuántos km recorro en horas si en. Hs. avanzo 0? ( ) a) 00 km b) 0 km c) 0 km d) 0 km.- Azucena hace ramos con flores. Cuántas flores necesita para ramos?... ( ) a) b) 9 c) 0 d).- Eva ganó $ 7.0 en bermudas. Cuánto gana en? ( ) a) $.0 b) $.0 c) $.0 d) $.0

17 A 7.- Nueve lápices cuestan $.0. Cuánto cuestan lápices? ( ) a) $.0 b) $ 9.00 c) $ 0.00 d) $.00.- Para llenar de agua una pila, llaves tardan horas. Se necesita que se llene en horas, con cuántas llaves se puede lograr? ( ) a) 7 b) c) d) 9.- Para pagar una sala en meses, las mensualidades son de $0.00. Cuánto se pagará mensualmente si se paga en meses? a) $ b) $ 0.0 c) $ 0.00 d) $ Hay inscritos 0 alumnos de 0 que se admitirán. Qué porcentaje se inscribió?..( ) a) 0% b) 0% c) 0% d) 7%.- Una herramienta cuesta $ 0.00 más IVA (%). Cuánto se paga en total?.... ( ) a) $ 7.00 b) $ 70.0 c) $ 7.00 d) $ Un televisor cuesta $ 00.00, por oferta le descuentan el %. En cuánto sale?..( ) a) $.00 b) $ c) $.00 d) $ El enganche de un carro es $ 00.00, si éste es el % del valor, Cuánto vale?. ( ) a) $ 0.00 b) $ 0.00 c) $ d) $ El precio con IVA (%) de una olla es de $.0 Cuánto vale sin IVA? ( ) a) $.00 b) $.00 c) $ 0.00 d) $ De 0 accidentes, fueron por exceso de velocidad. Cuál es el porcentaje?..( ) a) % b) % c) % d) %.- Mary ganaba $ por quincena y le aumentan 0%. Cuánto gana con el aumento? ( ) a) $ 0.00 b) $.00 c) $ d) $ En una caja hay fichas azules, rojas, verdes, y amarilla. Si sacamos una ficha cada vez y la regresamos a la caja, qué puede suceder?. Contesta las siguientes cuestiones: 7.- Es más probable sacar una ficha de color ( ) a) verde b) roja c) amarilla d) azul.- La probabilidad de sacar una ficha verde es ( ) a) /0 b) / c) / d) /0 9.- La probabilidad de sacar cualquier color es ( ) a) 0 b) 0% c) 00% d) % 0.- Es igualmente probable sacar una ficha amarilla o verde que sacar una ficha azul...( ) a) no b) sí c) 0% d) no se puede saber RESPUESTAS DE LA TERCERA UNIDAD Estas respuestas no son para que las copies, son para que compares tus resultados y si alguno no coincide, debes resolver nuevamente el problema hasta que obtengas la respuesta correcta..- c) $..- a) $ 00.- b) 0 minutos.- d) 0 km.- b) 9.- d) $ c) $ a) c) $ a) 0%.- c) $ a) $.00.- d) $ c) $ b) %.- c) $ d) azul.- a) /0 9.- c) 00% 0.- b) sí

18 UNIDAD CONCEPTOS GENERALES: CÁLCULO DE ÁREAS DE CUADRADOS Y RECTÁNGULOS Se va a poner cerámica en paredes y piso de un baño que mide: largo = m, ancho = m, alto = m m m m m m m m m Cuántos metros cuadrados (m²) de cerámica se necesitan? Para el piso, para las paredes cuadradas, para las paredes rectangulares. Para calcular el área de un rectángulo se multiplica, la longitud de su base por la longitud de su altura. Área base altura La fórmula se puede abreviar de la siguiente manera: A b h Por ejemplo, para conocer el área de un rectángulo que tiene. cm de base y.9 cm de altura se multiplica:. cm.9 cm. cm² El área de dicho rectángulo es de. cm². Para calcular el área de un cuadrado se hace de la misma forma que con el rectángulo, pero como sus dos lados miden lo mismo, entonces la fórmula es: Área lado lado En forma abreviada: A A ² Donde ² significa multiplicar la medida del lado por sí misma. La unidad que más se usa para medir superficies es el metro cuadrado (m²) y este es un cuadrado que mide m por lado. Para superficies pequeñas usamos el centímetro cuadrado (cm²). m m 7

19 A b h A ² A A ² A = cm² A = A = cm² CÁLCULO DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS, ROMBOS Y ROMBOIDES T RIÁNGULO Diagonal mayor (D) ROMBO Diagonal menor (d) Observando esta figura, vemos que en el rectángulo caben dos triángulos de igual base y altura. Por tanto decimos que el área de un triángulo es la mitad de un rectángulo de igual base y altura. Así el área del triángulo se obtiene: A b h Observando esta figura, vemos que en el rectángulo quedan en las esquinas cuatro triángulos iguales a los que forman el rombo. Por tanto decimos que en un rectángulo caben dos rombos. También podemos observar que las diagonales del rombo miden lo mismo que la base y la altura de rectángulo. Así el área del rombo se obtiene: D d A ROMBOIDE Si cortamos y llevamos el triángulo de la izquierda y lo pasamos a la derecha, convertimos el romboide en un rectángulo de igual base y altura. Por tanto decimos que el área de un romboide es igual al de un rectángulo con igual base y altura. Así el área de un romboide se obtiene igual que la del rectángulo: A b h Calcular el área de las siguientes figuas: Triángulo Rombo Romboide Base (b) = m Diagonal mayor (D) = cm Base (b) = cm Altura (h) = m Diagonal menor (d) = cm Altura (h) = cm

20 b h D d A A A b h A A A = A = m² A = 0 m² A = m² POLIGONOS: Figuras geométricas limitadas por tres o más lados y ángulos. ÁNGULO: Abertura comprendida entre dos segmentos de recta unidos en un punto llamado vértice. La unidad de medida de los ángulos es el grado. 9

21 Vértice Lado Ángulo recto DIAGONALES: Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos en un polígono. El rectángulo tiene dos diagonales El pentágono tiene diagonales El círculo forma un ángulo de 0 ; medio círculo forma un ángulo de 0 ; un cuarto de círculo forma un ángulo de 90 (recto). Ángulo de 0 Ángulo de 0 Ángulo recto 90 PERÍMETRO Y ÁREA DEL CÍRCULO Círculo: Es un polígono de infinitos lados. También se le conoce como una superficie plana limitada por una línea curva cerrada cuyos puntos todos están a la misma distancia de otro punto llamado centro. Circunferencia: Es la línea curva que limita al círculo. También se le conoce como el perímetro del círculo. Diámetro: Línea recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro del círculo. Es la recta más larga que se puede trazar dentro del círculo Radio: Es la recta que va del centro del círculo a un punto cualquiera de la circunferencia. El Radio es la mitad del diámetro. Diámetro Círculo Circunferencia Radio La longitud de la circunferencia es igual a un poquito más de diámetros (.). Esta medida no es exacta, es lo más aproximado que se conoce actualmente y se le identifica con la letra griega pi (π). Perímetro del círculo: Se obtiene multiplicando π (.) por el diámetro. P = π x d Área del círculo: Se obtiene multiplicando π (.) por el cuadrado del radio (r²). A = π x r² 0

22 Ejemplo: Un círculo tiene un diámetro de m. Calcular cuánto mide su circunferencia y su área. Datos: Fórmulas Operaciones Diámetro = m P = π x d P = (.) Radio = ½ diámetro = m A = π x r² P =.9 m Circunferencia = A = (.)² Área = A = (.)9 A =.7 m² LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS Prisma Pirámide Cubo cuadrangular Cilindro cuadrangular Cono

23 CUBO: Tiene caras iguales en forma de cuadrados, aristas y vértices. PRISMAS: Tienen dos bases iguales en forma de polígono regular y tres o más caras laterales rectangulares, según el número de lados que tengan las bases. CILINDRO: Tiene dos bases circulares y una cara redonda. PIRÁMIDES: Tienen una base en forma de polígono regular y tres o más caras en forma de triángulos isósceles unidas en un vértice opuesto a la base. CONO: Tiene una base circular y una cara redonda terminada en un vértice opuesto a la base. VOLUMEN DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS: El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo. El volumen se mide con el metro cúbico (m³) que es un cubo de m por arista. Para volúmenes pequeños se usa el centímetro cubico (cm³), que es un cubo de cm por arista. Ejemplo: La caja de este camión tiene forma de prisma rectangular (paralelepípedo rectángulo) y mide m de ancho, m de largo y m de altura. Cuál es el volumen de la caja? DATOS FÓRMULA OPERACIONES Largo (l) = m V = l x a x h V = ()()() Ancho (a) = m V = l a h V = 7 m³ Altura (h) = m Volumen (V) = Si se carga el camión con cajas de queso que miden m por arista, es decir m x m x m = m³. Cuántas cajas caben en la caja del camión? Si cada caja de queso mide m³, entonces le caben 7 cajas de queso. A una pila que mide m por arista, es decir m³ le caben 000 litros de agua. Cuál es el volumen de una pila que mide m de largo, m de ancho y m de alto? Cuántos litros de agua le caben? DATOS PLANTEAMIENTO OPERACIONES m³ = 000 litros V = l x a x h V = ()()() Largo = m litros = V 000 V = 0 m³ Ancho = m litros = (0) 000 Altura = m litros = SIMETRÍA: Es una propiedad de muchos seres y cosas de la naturaleza. También la tienen muchos objetos creados por el hombre. A esta propiedad se le llama simetría reflexiva o simetría bilateral y es la más conocida. Ejemplos:

24 Estas figuras son simétricas porque si los doblamos por la mitad que marca el eje de simetría las dos mitades coinciden exactamente en todas sus partes. Por eso se llama simetría bilateral. Los objetos con simetría reflexiva se reconocen porque la mitad de ellos es el reflejo de la otra mitad La línea que separa las dos mitades reflejadas de un objeto se llama eje de simetría. Traza los ejes de simetría a las siguientes figuras y anota cuántos tiene cada una EJERCICIO : Un pintor debe pintar cuatro paredes que miden: A) Lado = m; B) base = m, altura = m C) base = 9 m, altura m ; D) base = m, altura m. Con los datos anteriores resuelve los problemas a.- El área de la pared A es ( ) a) m² b) 9 m² c) m² d) m².- El perímetro de la pared D es ( ) a) m b) m c) m d) m.- El área de la pared C es ( ) a) m² b) m² c) m² d) m².- Cuántos metros cuadrados pinta por todo? ( ) a) 7 m² b) 7 m² c) m² d) m².- Si cobra $.00 por metro cuadrado cuánto le pagan por el trabajo? ( ) a) $.00 b) $ 0.00 c) $.00 d) $ Las diagonales de un rombo miden cm y cm respectivamente, su área es.....( ) a) cm² b) cm² c) cm² d) cm² 7.- Un romboide mide m de base y 9 m de altura. Calcula su área ( ) a) m² b) 0 m² c) m² d) m².- Se va a poner cerco a un ruedo para charrería que tiene m de diámetro. Qué necesitamos conocer? ( ) a) área b) radio c) perímetro d) superficie

25 A 9.- Para sembrar pasto a un campo circular necesitamos conocer ( ) a) área b) radio c) perímetro d) superficie 0.- Un salón de baile circular tiene de diámetro 0 m y la pista para bailar mide m de radio. Qué superficie queda para mesas y sillas? ( ) a). m² b).7 m² c) 7. m² d). m².- El perímetro de la pista anterior es ( ) a). m b) 7. m c). m d).7 m.- El volumen de una alberca mide m de largo, 0 m de ancho y m de alto es..( ) a) m³ b) m³ c) 0 m³ d) m³.- Cuántos litros de gasolina le caben a un depósito cúbico que mide. m por arista, si m³ es igual a 000 litros? ( ) a) 0. l b) 7 l c). 7 l d). l.- El número de ejes de simetría que tiene el cuerpo humano ( ) a) b) c) d) ninguno.- Los ejes de simetría de un pentágono regular son ( ) a) b) infinitos c) d) ninguno.- Los ejes de simetría de un círculo son ( ) a) b) infinitos c) d) ninguno RESPUESTAS DE LA CUARTA UNIDAD Estas respuestas no son para que las copies, son para que compares tus resultados y si alguno no coincide, debes resolver nuevamente el problema hasta que obtengas la respuesta correcta..- b) 9 m².- a) m.- a) m².- a) 7 m².- c) $.00.- d) cm² 7.- b) 0 m².- c) perímetro 9.- a) área 0.- d). m².- a). m.- c) 0 m³.- b) 7 l.- c).- a).- b) infinitos Bibliografía: Modulo Fracciones y porcentajes Tercera Edición