Ejercicios resueltos de Muestreo

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1 Tema Ejercicios resueltos de Muestreo Ejercicio Sea ua població ita de 4 elemetos: P = f; 4; ; g : Se cosidera muestras de elemetos que se supoe extraidos y o devueltos a la població y que el muestreo es aleatorio simple. Las muestras se cosidera distitas si se diferecia e algú elemeto. Se pide: ) Escribir todas las muestras posibles ) Calcular la probabilidad de cada muestra. ) Calcula la media, ; la variaza, de la població. 4) Calcula la media, x; la variaza, S ; y la cuasivariaza, s c de cada muestra. 5) Describe las fucioes de probabilidad de estos estadísticos. 6) Calcula la esperaza E(x); y decide si x es u estimador cetrado o isesgado de la media de la població 7) Calcula la esperaza S ;y de s c y decide si alguo de estos estadísticos so estimadores cetrados o isesgados de la variaza de la població. 8) Cálcula la variaza de x: 9) Comprueba la cocordacia de los valores obteidos e los ateriores apartados co los resultados teóricos.. Las muestras posibles so f; 4; g ; f; 4; g ; f; ; g ; f4; ; g :. La probabilidad de extració de cada ua de estas muestra es 4 = ( 4 ) = 0:5. La media de P = f; 4; ; g es = :5 y su variaza es = :5 4. Las medias variazas y cuasivariazas de cada ua de estas muestras está dadas e la tabla siguiete: muestra media,x Variaza, S f; 4; g :b6.b5 cuasivariaza,s c.b f; 4; g 0.b6 f; ; g 0.b6 f4; ; g :b.b5.b

2 TEMA. EJERCICIOS RESUELTOS DE MUESTREO 5. La fució de probabilidad de la medias de la muestra es la siguiete: x Probabilidad :b6 /4 /4 /4 :b /4 La fució de probabilidad de la variaza de la muestra es: La fució de probabilidad de la cuasivariaza s c cuasivariaza.b / / cuasivariaza.b5 / 0.b6 / S de la muestra es: 6. La esperaza de la media de las muestra, teiedo e cueta su fució de probabilidad es. E(x) = : : 4 = : 5 = : por tato x es u estimador isesgado de la media poblacioal : 7. La esperaza de la variaza de la muestra, teiedo e cueta su fució de probabilidad es. E(S ) = : : = : La esperaza de la cuasivariaza de la muestra, teiedo e cueta su fució de probabilidad es. E(s c) = : + = : igua de estas esperazas coicide co la poblacioal, = :5; así que iguo de estos estadísticos so estimadores cetrados de la variaza de la població. 8. La variaza de la media muestral es: V ar(x) = E(x) = : : 4 :5 = 0: E el caso del muestreo aleatorio simple si reemplazamieto se cumple: a) La esperaza de la media muestral es la media poblacioal, tal como se ha puesto de mai esto e el apartado 6) b) E(s c) = = :5 4 = : 666 7; así que ahora la cuasivariaza de la muestra es u estimador isesgado de la cuasivariaza de la població, coicidiedo co el resultado del apartado 7)

3 Por otra parte: E(S ) = E(s c ) = E(s c) = = : = : coicidiedo co el valor obteido e el primer cálculo del apartado 7). c) V ar(x) = ( ) = :5 ( ) = 0:8 89 que es el valor obteido para la variaza de la media muestral e el apartado 8). Ejercicio Cosiderado e la població P = f; 4; ; g ya dada e el problema, se realiza u cierto tipo de muestreo e el que las úicas muestras posibles so f; 4; g y f4; ; g ; co la distribució de probabilidad y características idicada e la siguiete tabla muestra Probabilidad media,x Variaza, S cuasivariaza,s c f; 4; g 0. :b6.b5.b f4; ; g 0.7 :b.b5.b. Calcular la esperaza, la variaza, el sesgo y el error cuadrático medio del estadístico x. Es mejor este tipo de muestreo, o el aleatorio simple del problema, para estimar la media poblacioal?.. E(x) = : : + : 0:7 = : 4 V ar(x) = : :+: 0:7 : 4 = : Sesgo(x) = E(x) = :4 :5 = 0:066 7 ECM(x) = E(x ) = E x x + = E x E (x) + = : : + : 0:7 :5: 4 +:5 = 0:0: 794 4: Tambié podíamos haber empleado la expresió: ECM(x) = V ar(x) + Sesgo (x) = 0: ( 0 0:0667) = : Este estimador o es cetrado como el del muestreo aleatorio simple, pero a cambio tiee meos variaza. Para decidir etre ambos comparamos los errores cuadrático medio del estadístico x:. Calculamos el error cuadrático medio del primero, es decir, del muestreo aleatorio simple: ECM(x) = V ar(x) + Sesgo (x) = 0: = 0:09 9: Como el error cuadrático medio es mejor e el caso del muestreo aleatorio simple, preferimos este tipo de muestreo.

4 4 TEMA. EJERCICIOS RESUELTOS DE MUESTREO Ejercicio Para estimar la media de ua cierta variable se ha dividido los datos de la variable e 4 estratos. Cada uo de estos estratos cotiee el úmero de elemetos que se idica: Estrato Estrato Estrato Estrato 4 Tamaño del estrato Si se desea extraer ua muestra que globalmete cotega 50 elemetos, Cuátos elemetos ha de asigarse ha de seleccioarse de cada estrato.. Ua vez seleccioada esta muestra, se ha estimado la media y la variaza de cada estrato, usado los valores muestreados detro de el, obteiédose los valores siguietes. Estrato Estrato Estrato Estrato 4 media de la muestra Cuasivariaza de la muestra A partir de estos datos realizar u estimació para la media variaza de esta estimació y de la. Para calcular el tamaño de la muestra de cada estrato e la a jació proporcioal usamos la siguiete relació: = = = l = l ) i = i = i El tamaño de la població es: = = = : Por tato: = = = = 4 0 = 50 = : 09 5 = 50 = 5: = 50 = 65: = 50 = : 59 : Se ha redodeado por exceso el mayor de ellos para coseguir que el úmero de elemetos de la muestra global sea 50.. Resumiedo la iformació que teemos hasta ahora: Estrato Estrato Estrato Estrato 4 Tamaño del estrato Tamaño de la muestra 5 66 media de la muestra Cuasivariaza de la muestra

5 X = P h 9: 9; i= i V ar(x) = P h 65 x i = 0 i= i (sc) i 6: : :5 + = i i i i = 0 4:7 = 0: : : Ejercicio 4 Co los mismos datos del ejercicio, realizar todos los apartados del mismo, sustituyedo e el euciado la a jació proporcioal por la óptima.. Para calcular el tamaño de la muestra de cada estrato e la a jació óptima usamos la siguiete relació: = = = l l l = P l i i ) i i ) i = i i P l j= = P l j j j= j j Estimado la variaza de la població la cuasivariaza de la muestra. P l j= s j j = s + s + s + s 4 4 = 0 p 5: + 5 p : + 65 p 6:5 + p 4:7 = 55: : 7 + 6: : = 4098: Por tato: = P s l = 50 55:0 j= s j j 4098 = 5: = P s l = :7 j= s j j 4098 = 59: = P s l = 50 6:5 j= s j j 4098 = 5: = P s 4 4 l = : j= s j j 4098 = 48: Resumiedo la iformació que teemos hasta ahora: Estrato Estrato Estrato Estrato 4 Tamaño del estrato Tamaño de la muestra media de la muestra Cuasivariaza de la muestra X = P h 9: 9; i= i V ar(x) = P h 65 x i = 0 i= i (sc) i 6: : :5 + = i i i i = 0 4: = 0:5 58 5: :

6 6 TEMA. EJERCICIOS RESUELTOS DE MUESTREO Ejercicio 5 Cosiderado como població los úmero aturales impares del al 40 estima la media poblacioal por medio de ua muestra aleatoria de 8 elemetos usado las siguietas técicas de muestreo:. Extrayedo la muestra por medio de u muestreo aleatorio simple co sustitució.. Cosiderado la població e dos estratos: El primer estrato formado por los úmeros de a 0 y el segudo por los úmeros del 0 al 40. Usar asigació proporcioal.. Cosiderado la població e dos estratos: El primer estrato formado por los úmeros de a 0 y el segudo por los úmeros del 0 al 40. Usar asigació óptima. 4. Usado u muestreo sistemático.. La població es P = f; ; 5; 7; 9; ; ; 5; 7; 9; ; ; 5; 7; 9; ; ; 5; 7; 9g : co = 0 Para seleccioar ua muestra de 0 elemetos usaremos el siguiete procedimieto: Tomamos ua tabla de umeros aleatorios y cosideramos 0 grupos de dos cifras. Los úmeros obteidos por este procedimieto e la tabla so , etc. Dividimos estos úmeros por 00, para coseguír u úmero compredido etre 0 y. A cotiuació los multiplicamos por 0 y elegimos la parte etera. + para coseguir el orde del úmero que hay que seleccioar. Vamos a seleccioar detalladamete los tres primeros: 0:00+ = : 6: El primer elemeto de la muestra es el, que ocupa el lugar correspodiete a la parte etera. 0: = 0: 4: El segudo elemeto es el 9 (ocupa el lugar décimo) 0:4 0 + = 9: 6: El tercer elemeto es el 7 o obstate, como este método sería muy tedioso, por lo que se ha usado u procedimieto de Excel para seleccioar muestras de ua població (seleccioar: herramietas! aálisis de datos! muestra): Por este procedimieto se ha obteido la muestra de 8 elemetos siguiete f7:; 7; 9; ; 9; 7; 9g cuya media resulto ser x alea = 6:75:. La asigació proporcioal cosiste e elegir elemetos del primer estrato y 6 del segudo estrato. Realizado este trabajo co excel se ha obteido las muestras de los dos estratos siguietes: M = f7; g y M = f9; ; 9; 7; 9; 7g :La media del primer estrato es 5 y la del

7 7 segudo estrato estimado ahora la media de la muestra del global resulta: x prop = = 7: 75. Para estimar la desviació de los estratos usamos la cuasidesviació de los estratos extraidos e el apartado, cuyos valores so.8 y 9.6 respectivamete. s = 5 :8 = 4: 5 s = 5 9:8 = 40: 7 s + s = 4:5 + 40:7 = 54: 85: Así que la sigació óptima se realiza de la siguiete forma: = 8 4:5 54:85 = 0:7 0 = 8 40:7 54:85 = 7: 69 0 Redodeado a los eteros más cercaos seleccioamos elemeto del primer estrato y 7 del segudo estrato. realizado de uevo la selecció co Excel obteemos las dos muestras de cada estrato M = f9g y M = f5; 5; 9; 5; 5; ; 7g : La media de la primera muestra es 9 y la media de la seguda es.4. La estimació de la media poblacioal usado la a jació óptima ha resultado ser: x opt = :4 = 9: 07: Cosiderado que la media de la població total es 0 resulta que la a jació óptima da mejor resultado que la a jació proporcioal. El peor resultado se cosigue co el muestreo aleatorio. Este resultado o es sorpredete, ya que se demuestra que las variazas de las estimacioes de las medias e el muestreo aleatorio es mayor que la variaza de la estimació e el estrati cado co asigació proporcioal y esta a su vez mayor que la variaza de la estimació co a jació óptima: V ar(x alea ) V ar(x prop ) V ar(x opt ) 4. Hemos sorteado el primer elemeto que resultó ser 5 el primer. Para seleccioar el itervalo del úmero de orde etre u elemeto y otro hemos calculado 0 8 = : 5. Como o resulta exacto, podríamos elegir u úmero cada dos elemetos o u úmero cada seleccioado, elemetos. Seleccioado u elemeto para la muestra cada tres elemetos de la població y comezado por 5 se ha obteido la siguiete muestra sistemática:f5; ; 7; ; 9; 5; ; 7g : La estimació de la media co esta muestra es: x sist = =

8 8 TEMA. EJERCICIOS RESUELTOS DE MUESTREO

9 Tema Ejercicios resueltos de Estimació Ejercicio 6 Cosideremos la variable aleatoria cuya fució de desidad es f(x; ) = e x para x 0 y > 0: Supogamos que dispoemos de dos estimadores posible de ; basados e muestras aleatorias simples de tres elemetos: = x +x +x ; = x +x +x 4 : Se pide:. Deducir si estos estimadores so isesgados y, si procede calcular su sesgo.. Deducir cuál de estos estimadores es más e ciete.. Seleccioar cuál de ellos es mejor estimador. 4. Calcular el error cuadrático medio de ambos estimadores. 5. Si cosideramos muestra de elemetos y los estimadores de : = x +x ++x ; = x +x ++x + : So estos estimadores cosistetes?. E( ) = E x +x +x = [E(x ) + E(x ) + E(x )] = E(x) = ; ya que la variable x es expoecial E( ) = E x +x +x 4 = 4 [E(x ) + E(x ) + E(x )] = 4 E(x) = 4 El sesgo del primero es = El sesgo del segudo es 4 = 4 iguo de los estimadores es isesgado, y el segudo es, e este aspecto, mejor que el primero, porque tiee meos sesgo. 9

10 0 TEMA. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTIMACIÓ. V ar( ) = V ar x +x +x ya que la variaza de la x es : = 4 V ar (x + x + x ) = 4 V ar(x) = 4 = 6 V ar (x + x + x ) = 6 V ar(x) = V ar( ) = V ar x +x +x 4 6 : El segudo estimador tiee meor variaza, así que es más e ciete que el primero.. Cosiderado estos dos aspectos es mejor el segudo, ya que además de teer meos sesgo, tiee meos dispersió. 4. ECM( ) = V ar( ) + sesgo ( ) = = ECM( ) = V ar( ) + sesgo ( ) = = 4 5. Tiee que cumplirse: lim! E(T ) = y lim! Var(T ) = 0 lim! E( ) = E x +x ++x lim! E(x) = : Veamos si cumple tambié la seguda propiedad: lim! Var( ) = lim! Var x +x ++x lim! = lim! [E(x ) + E(x ) + + E(x )] = = 0 = 0: ( ) Así que es u estimador cosistete de. = lim! ( ) V ar(x) = Por u razoamieto parecido puede comprobarse que tambié es u estimador cosistete de : Ejercicio 7 Dada ua distribució biomial B(,p) y sus muestras de tres elemetos fx ; x ; x g, comprobar que el estimador de p coseguido por el método de los mometos igualado la media muestral y la media poblacioal es al mismo tiempo u estimador de máxima verosimilitud para p. Calculamos la expresió del estimador. La media poblacioal es, e el caso de la biomial p la media muestral de las muestras de tres elemetos es: : Igualado ambas expresioes obteemos: p = x = x +x +x : Despejado p; se obtiee bp = x : Hallamos ahora el estimador de máxima verosimilitud para p: La fució de verosimilitud, sería ahora el producto de las probabilidades correspodietes a los valores de la muestra: Como la fució de probabilidad de la biomial es, llamado x a la variable, P (X = b) = b p h b ( p) b ; etoces la fució de verosimilitud sería: V (x ; x ; x ; p) = i h x p x ( p) x i h x p x ( p) x x p x ( p) i x p x +x +x ( p) (x +x +x ) =

11 p) h l [V (x ; x ; x ; p)] = l i x x x +(x +x +x ) l p+[ Hallado ahora la derivada co respecto a p e igualado a 0 obteemos (x + x + x ) p [ (x + x + x )] p = 0; (x + x + x )] l( Ejercicio 8 x +x +x p = (x +x +x ) p ; Despejado p obteemos bp = x +x +x = x : Por lo tato el estimador que se había obteido por el método de los mometos es tambié el de máxima verosimilitud. Coviee sustituir este valor de p e la derivada seguda para asegurarse que es u máximo y o u míimo (La derivada seguda ha de ser egativa). Como el itervalo de de ició de p es cerrado se debe hallar la verosimilitud e los extremos de p que so 0 y. Pero se puede observar fácilmete que V (x ; x ; x ; 0) = 0 y V (x ; x ; x ; ) = 0: Ejercicio 9 La siguiete tabla es la tabla de frecuecias de la edad e meses e la que empezaro a adar ua m. a. s. de 40 iños. Edad frecuecia Costruir ua Diagrama de Barras para la variable edad. A la vista de esta grá ca decida si la variable edad parece ser ormal y si el promedio de la muestra se distribuirá como ua ormal.. Calcular la media, el error estádar y u itervalo de co aza para la edad media e que estos iños ha comezado a adar.. Si se desea que el marge de error sea de sólo de 0.5 meses, Cuátos iños debería coteer la muestra mateiedo el mismo ivel de co aza. El Diagrama de barras preseta este aspecto:la distribució de la edad o parece ormal, pues o parece que la grá ca sea simétrica. o obstate, el promedio de edad, segú el teorema cetral del límite se aproximará a ua ormal, ya que el tamaño de la muestra es amplio ( = 40 >> 0):. La media es: x = P = ix i = 40 ( ) = :08 meses s El error estádar de la muestra es p c ; Para calcular s c usamos la expresió:

12 TEMA. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTIMACIÓ Diagrama de barras para edad frecuecias frecuecias edad s c = = 40 9 S = P = ix i x = 40 ( ) :08 = :7 Error estádar = p sc = p :7= p 40 = 0:4. Este valor es ua estimació de la deviació típica del promedio de edad para muestras co 40 elemetos. Para calcular el itervalo de co aza hay que cosiderar que la variaza es descoocida. Por tato el itervalo de co aza sería: (x t ; s c p ; x+t ; s c p ): o obstate como la muestra es muy grade puede sustituirse la t de Studet por la ormal estádar. Así que este itervalo se obtedría: (x z p s c ; x + z p s c ) = (:08 0:4 ) = (: 86; : 4). El error de precisió es z Asi que queremos que z p :7 p s c p s c p < 0:5 :96 0:4 ; :08 + :96 :96 0:5: Despejado 57: 009: Por lo tato la muestra debería coteer al meos 58 iños.

13 Ejercicio 0 Calcular estimadores de máxima verosimilitud para los parámetros y de ua distribució ormal, supoiedo que ambos parámetros so descoocidos. Cosiderar muestras de muestras co elemetos E este caso la fució de desidad es: p e ( x de verosimilitud será: L (x ; x ; ::::x ; ) = f (x ; ) f (x ; ) :::f (x ; ) = = p e x p e x p e x El logaritmo eperiao de esta fució de verosimilitud es: ), así que la fució l p x x x Cosiderado las derivadas parciales co relació a y a e igualado ambas a 0, se obtiee el sistema. La derivada co respecto a igualada a 0 es: 0 x x x x = 0 (x ) x (x ) x (x ) = 0 Despejado de la primera ecuació, obteemos su estimació máximoverosímil: ^ = x +x +x = x Sustituyedo esta expresió e la seguda ecuació del sistema obteemos, trás multiplicar por : + (x x) + (x x) + (x x) = 0: despejado se obtiee: c = (x x) + (x x) + (x x) Así que la variaza muestral es estimador de máxima verosimilitud de ; que es ua propiedad deseable para u estimador, teiedo si embargo el icoveiete de o ser u estimador isesgado: El estimador de máxima verosimilitud para es la desviació típica de la muestra. r (x x) + (x x) + (x x) b = Ejercicio Sea ua variable aleatoria cuya fució desidad viee dada por f(x) = ax ; 0 x ::Se pide:. Calcular el valor de a e fució de :

14 4 TEMA. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTIMACIÓ. Se ha extraido ua muestra de 4 elemetos de esta distribució, f; ; :5; 4g : Se pide calcular ua estimació de máxima verosimilitud para el parámetro. Usado la media aterior hallar ua estimació para por el método de los mometos. 4. Cosiderado muestras de elemetos calcula u estimador de por el método de los mometos calcula su media, su variaza, su sesgo, y su cosistecia. 5. Ua muestra de 60 elemetos de esta distribució tiee ua media de 4. Estima el valor de y calcula u itervalo de co aza al 90% (aproximadamete) para la media poblacioal.. R 0 ax dx = a = ; a =. La fució de veromilitud para la muestra es: V (; ; :5; 4; ) = :5 4 5: = :y 0 x : Esta última fució os idica que ha de ser mayoro igual que los valores de la muestra. Esta fució es decreciete e el itervalo [0; ] ; y o está de ida para = 0; por lo que o tiee máximos relativos e este itervalo. Si hacemos su derivada observaremos que o puede aularse. Así que habrá que usar otros recursos. Es obvio que mietras más pequeño sea mayor será la fució de verosimilitud,. pero además debe ser mayor o igual que todos los valores de la muestra, el mejor valor es el mayor valor de la muestra, y por tato damos a el valor 4, siedo este valor su estimació de máxima verosimilitud.. Igualamos la media muestral y la media poblacioal. x = ++:5+4 4 = : 5: La media poblacioal es: = E(x) = R 0 x x dx = 4: Igualado ambas medias :5 = 4; = 4: 66 7: 4. 4 = x; b = 4 x; E( ) b = E( 4 x) = 4 E( x +x ++x ) = 4 E(x) = 4 4 = ; asi que es u estimador isesgado. V ar( ) b = V ar x +x ++x = V ar(x) = V ar(x) : Calculamos ahora la variaza de x: V ar(x) = R 0 x x dx 4 = 5 4 = 80 : Por tato V ar( b ) = 80

15 5 Como el estimador es isesgado y el límite de la variaza es 0 para! ; :el estimador es cosistete. b = 4 x = 4 4 = : 5. Como la muestra es amplia podemos supoer que la media se distribuye aproximadamete como ua ormal y que su itervalo de co aza puede aproximarse co la expresió: (X S c p t ; = ; X + S c p t ; = ) (.) Como o se cooce S c ; que es la cuasivariaza de la muestra, el úico recurso dispoible es estimar su valor por medio de la expresió: q V ar(x) = 80 ; Sc b = 80 = p 0:07 5 = 0:9 65 = 0:9 65 = 6: 96 8: El valor de = 0:90; y t 59;0:95 = TIv(0:95; 59) = : 67 ; así que el itervalo de co aza resultará: 6:968 (4 p t 59;0:95 ; 4 + 6:968 6:968 p t 59;0:95 ) = (4 p :67; :968 p 60 :67) = (4 : 6 9; 4 + : 6 9) = (: 66; 5: 7):

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