Algebra vectorial y matricial

Transcripción

1 Capítulo Algebra vectorial y matricial.. Espacio vectorial Los conjuntos de vectores en el plano R yenelespacior cuentan con muchas propiedades interesantes. Es posible sumar un vector en R y obtener un vector en R.Bajolasumalos vectores en R obedecen las leyes conmutativa y asociativa. Si x R, entonces x + = x y x+( x) =. Se pueden multiplicar vectores en R por escalares y obtener las leyes distributivas. LasmismaspropiedadessecumplenenR. Los conjuntos R y R junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar se llaman espacios vectoriales. Intuitivamente, se puede decir que un espacio vectorial es un conjunto de objetos que junto con operaciones que obedecen las reglas conmutativa y asociativa. Definition 7 Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones suma y multiplicación por un escalar que satisfacen axiomas... Axiomas de un espacio vectorial. Si x y y, entonces x + y.cerradurabajolasuma.. Para todo x, y y z en, (x + y)+z = x+(y + z). Ley asociativa de la suma de vectores.. Existe un vector tal que para todo x, x + = + x = x. El se llama vector oidénticoaditivo.. Si x, existe un vector x en tal que x+( x) =. Donde x se le llama el inverso aditivo de x. 5. Si x y y están en, entonces x + y = y + x. Ley conmutativa de la suma de vectores. c Gelacio Juárez, UAM 8

2 . Independencia lineal 6. Si x y es un escalar, entonces x. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar. 7. Si x y y están en y es un escalar, entonces (x + y) = x+ y. Primera ley distributiva. 8. Si x y y son escalares, entonces ( + ) x = x + x. Segunda ley distributiva. 9. Si x y y son escalares, entonces ( x) =( ) x. Ley asociativa de la multiplicación por escalares.. Para cada vector x, x = x... Independencia lineal Definition 8 Dependencia e independencia lineal. Sean v, v,...,v, vectores en un espacio vectorial.entoncessedicequelosvectoressonlinealmente dependientes si existen escalares,,..., no todos cero tales que v + v + + v = (.) Si los vectores no son linealmente independientes, se dice que son linealmente independientes. Theorem 9 Dos vectores, v y v, en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno es múltiplo escalar del otro. v = v Ejemplo Dos vectores son linealmente dependientes en R. Los vectores Ã! Ã! v = y v = 8 son linealmente dependientes pues v =v,estoes v v = (.) con base en la ec. (.) los valores de las constantes en la ec. (.) son =y =. c Gelacio Juárez, UAM 9

3 . Independencia lineal Ejemplo Dos vectores son linealmente independientes en R. Los vectores v = y v = 5 son linealmente independientes; si no lo fueran v = v.entonces = y = y 5=, lo cual es evidentemente imposible para cualquier valor de. Ejemplo Determine si los vectores en R son linealmente dependientes. v =, v = 6 y v = Solución. Suponiendo que: = multiplicando y sumando, se tiene el sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas. + + = = (.) +6 + = puesto que la solución es trivial, = = =, se concluye que los vectores v, v y v son linealmente independientes. Otra manera de garantizar este resultado es formado una matriz con los vectores: =(v v v )= 6 el determinante es =7,alser 6= se garantiza que estos vectores son linealmente independientes c Gelacio Juárez, UAM

4 . Independencia lineal Ejemplo Determine si los vectores en R son linealmente dependientes. v =, v = 6 y v = 8 Solución. Suponiendo que: = multiplicando y sumando, se tiene el sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas. + 8 = +6 = (.) + = puesto que se tiene un número infinito de soluciones, se concluye que los vectores v, v y v son linealmente dependientes. Otra manera de garantizar este resultado es formado una matriz con los vectores: 8 =(v v v )= 6 el determinante es =, con lo que se garantiza que estos vectores son linealmente independientes Tarea Determine si el conjunto de vectores es linealmente dependiente o independiente. Ã! Ã! ; ; 7 8 c Gelacio Juárez, UAM

5 . Transformaciones lineales ; ; ; ;.. Transformaciones lineales ; 5 Definition Sean y espacios vectoriales reales. Una transformación lineal de en es una función que asigna a cada vector v un vector único v yquesatisface,para cada u y v en y cada escalar (u + v) = u + v ( u) = u Notación.. Se escribe : para indicar que T toma el espacio vectorial real ylollevaal espacio vectorial real ; esto es, es una función con como su dominio y un subconjunto de como su imagen.. Se escribe indistintamente v y (v). denotan lo mismo; las dos se leen " de v". Es análogo a la notación de funciones ( ) queselee" de x". Las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales. Ejemplo Reflexión respecto a al eje y. En R se define una función mediante la fórmula Ã! Ã! = Geométricamente, toma un vector en R ylorefleja respecto al eje como se muestra en la figura.. Una vez dada la definición básica, se verá que es una transformación lineal de R en R. La transformación puede representarse como la matriz c Gelacio Juárez, UAM

6 . Transformaciones lineales Figura.: Reflexión del vector ( ). Ã =! Ejemplo Ejemplo círculo de Mohr Del estado de esfuerzos mostrado en la fig. determine: a) los esfuerzos, direcciones principales y posibles planos de falla y b) el estado de esfuerzos a un ángulo = en dirección contraria a las manecillas del reloj: " # = MPa (.5) Figura.: Trazo Mohr Solución a) Cálculo del centro Cálculo del radio = + =MPa c Gelacio Juárez, UAM

7 . Transformaciones lineales = s µ + ³ =MPa Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (.) = + = 5MPa = = MPa Cálculo del ángulo : = tan à (! ) = El esfuerzo cortante máximo, máx, corresponde al radio del círculo: y el ángulo es: máx = =MPa = 5 Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestran en la fig.. Figura.: Esfuerzos principales y cortante máximo. b) El ángulo se determina gráficamente de la fig. (.) = =( ) ( )= Los esfuerzos en el plano y se determinan como: c Gelacio Juárez, UAM

8 . Transformaciones lineales = + cos( ) = MPa + MPa cos( )=8 79 MPa = cos( ) =MPa MPa cos( )= 6 MPa = sin( ) = MPa sin( )= 6 8 MPa Sea un estado de esfuerzos definido en un sistema de referencia e, Ejemplo transformaciones lineales Con el estado de esfuerzo (.5) determine el estado de esfuerzos en un sistema coordenado e conunángulode = y = en dirección antihoraria. Las componentes en se obtienen mediante la siguiente relación. σ = T σ T (.6) donde la matriz de transformación T se define como: T = " cos sin sin cos # (.7) Figura.: Trazo Mohr para un ángulo Solución a) El estado de esfuerzos en un sistema coordenado e rotado un ángulo = es: " cos ( ) sin( ) #" # " cos ( ) sin ( ) # σ = T σ T = " # 5 sin ( ) cos( ) MPa sin ( ) cos( ) σ = MPa correspondiente a los esfuerzos principales mostrados en la figura.. c Gelacio Juárez, UAM 5

9 . Transformaciones lineales a) El estado de esfuerzos en un sistema coordenado e rotado un ángulo = es: " cos ( ) sin( ) #" #" cos ( ) sin ( ) # σ = r σ r = sin ( ) cos( ) " # sin ( ) cos( ) σ = MPa Ejemplo El marco de concreto mostrado en la figura.5 tiene sección transversal de m m en las vigas y en las columnas, con un total de siete grados de libertad en los nodos. El concreto tiene un módulo elástico = 9 kg m. Figura.5: Marco La matriz de rigideces global del marco mostrado en la figura.5 es = La ecuación de equilibrio es = (.8) Multiplicando la ec. (.8) por c Gelacio Juárez, UAM 6

10 . Transformaciones lineales = (.9) En la ecuación (.9) se puede definir la transformación =, que para el vector de fuerzas de la figura.6a, le corresponde el vector de desplazamientos 8 kg 5 kg 8 kg = 5 kg 6 cm cm 7 rad 6 cm 6 cm rad rad para el vector de fuerzas de la figura.6b, le corresponde el vector de desplazamientos kg kg kg = 5 kg kg cm 96 cm cm rad 95 cm cm rad 7 rad Esta transformación asigna a cada vector de fuerzas externas un sólo vector de desplazamientos. Figura.6: Marco sujeto a cargas. c Gelacio Juárez, UAM 7