PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Transcripción

1 PROBLEMS RESUELOS SOBRE MOVIMIENO RMÓNICO SIMPLE L ecución de un M..S. e ( = co,, en l que e l elongción en y en. Cuále on l mpliud, l frecuenci y el período de ee movimieno? En un M..S. l elongción en e ( =,4 co ( /, iendo el iempo en. Clculr l elongción, velocidd y celerción del móvil en lo inne = y = /. L celerción (en m/ de un M..S. en función de l elongción (en m = 5. Eprer e celerción en función del iempo biendo que l mpliud de l vibrción e de,5. Conidéree nul l conne de fe. 4 L velocidd en m/ de un M..S. e v( =, en (4 +, donde e el iempo en. Cuále on l frecuenci y l mpliud de ee movimieno? Ecribir l epreión de u elongción en función del iempo. 5 Clculr l velocidd y celerción máim del M..S. cuy ecución e ( = 5 co (4 + /, en l que e l elongción en y el iempo en. L elongción en de un M..S. e = 4 co, donde e el iempo en. Clculr l celerción en el inne en que l elongción e de. 7 Un prícul e deplz con M..S. de mpliud y frecuenci 8 Hz. Clculr u velocidd y u celerción en el inne en que iene un elongción de mm. 8 Qué mpliud y qué período debe ener un M..S. pr que l velocidd máim e de / y l celerción máim de m/? Eprer l elongción de ee movimieno en función del iempo. 9 En un M..S., cundo l elongción e nul, l velocidd e de m/ y, en el inne en que l elongción e de 5, l velocidd e nul. Cuál e el período del movimieno? Un M..S. iene un frecuenci de 5 Hz y un mpliud de 8 mm. En el inne =, el móvil e encuenr en el cenro de l vibrción y e deplz en enido poiivo. Eprer u elongción, u velocidd y u celerción como funcione del iempo. Cuál e l máim fuerz que cú obre un cuerpo de m 5 g cundo vibr con un frecuenci de 5 Hz y un mpliud de mm? Se hce ocilr vericlmene un cuerpo de m 8 g que eá colgdo de un muelle en hélice de conne eláic N/m. Si l mpliud de l ocilción e de, cuál erá l epreión de u elongción en función del iempo? l upender un cuerpo de m g del eremo de un muelle que eá colgdo vericlmene, ée e lrg. Si e ir del cuerpo 5 hci bjo y e uel, comienz ocilr. Clculr el período del movimieno. Cuál erá l máim velocidd que lcnzrá?

2 SOLUCIONES Sbemo que l elongción de un m... eá dd por un ecución del ipo ( co( unque pudier er igulmene un función eno. í que brí comprr con l ecución dd, pr obener inmedimene lo reuldo: ( co rd/ rd En cuno l periodo y l frecuenci, y que, erí n imple como 5 5 Hz Si l ecución de elongcione e (,4 co(, l de velocidd y celerción e obienen por imple derivción: v ( ( d( d dv( d 4 4 en( co( / / y ólo hbrí que url en lo inne propueo, = y = /. En el iempo =, l fe del movimieno vle y en el iempo = /, l fe e (. de form que, l iempo =, lo vlore pedido on rd rd (,4 co(, ( v ( 4 en(.88 / ( ( 4 co( 97,9 / ( Enre or co, hy que nor que l poición en ee momeno eá mid de ino enre el cenro de equilibrio y l mpliud (, e l elongción l mpliud e,4, mienr que l velocidd de,88 / no e de ningun mner l mid de l velocidd máim (de ±,57 /, como e fácil de ver. Qué comenrio pueden hcere obre eo? Vemo hor lo vlore de elongción, velocidd y celerción l iempo / : (,4 co,5 (4 v ( 4 en,8 / (5

3 ( 4 co 4,89 / ( de modo que, en ee momeno, l velocidd eá dirigid en enido negivo y vle l mid del vlor máimo (±,57 /, como y e hizo nor. Eo permie reponder l pregun hech neriormene: l velocidd del móvil lcnz u vlor máimo (,57 / cundo p por el cenro de l ocilcione ( =, y v diminuyendo cundo e deplz hci el eremo de l ocilción (e en =,4, e en =,4 pero no lo hce de form linel, y que l celerción e v hciendo má grnde medid que el móvil e cerc l eremo. En or plbr, e pierde l myor pre de l velocidd cundo e eá y cerc del eremo de l ryecori: eo puede comprobre mirndo con ención lo vlore obenido en lo reuldo ( (. enemo = 5, con medido en m y en m/. Como e be, en un m... l ecución fundmenl e de form que reul evidene que 5 ( co( 5 rd/ De oro ldo, l ecucione emporle de elongción, velocidd y celerción on del ipo ( v( ( en( co( donde =, l como e dice en el enuncido. Finlmene, conocemo mbién el vlor de l mpliud =,5 =,5 m í como l pulción = rd/, de form que ólo hy que ecribir ( donde e mide en y e mide en m/. 4 L velocidd del m... que no proponen e v (, en en(,5.5 en (4,4 en y de e ecución debemo obener, por imple comprción con l ecución eóric de l velocidd en un m..., l conne del movimieno, en priculr el período y l frecuenci. Podemo prir de l ecucione de un m... que plnemo coninución: ( v( ( co( en( en l que, como puede vere, hemo udo un función coeno en l elongción ( pr que, de ee modo, prezc l función eno en l velocidd, l como ucede en l función del enuncido. hor, comprndo l egund de e ecucione con l velocidd del enuncido, enemo l iguiene idenificcione inmedi:, 4 rd m / rd/ co(, 4,5 m de l cule, fácilmene, coneguimo hor el período y l frecuenci: 4 v,5 Hz m/

4 Y qued úniene l función elongción iempo. Conocemo l mpliud, l pulción y l fe inicil, de modo que fl ólo ecribir: ( co(,5co(4,5co (4 m 5 Si l elongción como función del iempo eá dd por ( enonce e inmedio idenificr 5co(4 5 4 rd/ rd de mner que lo vlore máimo de l velocidd y l celerción on muy encillo: m v m (4 8,8 / 789,57 / y no prece precio decir mucho má, lvo recordr quizá que lo vlore máimo de l velocidd e ienen cd vez que el móvil p por el cenro de l ocilcione (por =, y u igno depende que el móvil pe por hí moviéndoe en un enido u oro. En bio, lo vlore máimo de l celerción e ienen en lo eremo de l ocilción, cundo l elongción e igul l mpliud (e decir, = = 5, y ienen igno conrrio l de, de cuerdo l ecución fundmenl =. l drno l elongción: 4 co no eán ofreciendo l mpliud (vle 4, como e fácil de ver y l pulción, cuyo vlor e = rd/. Por oro ldo, l ecución fundmenl de un m... e, como e be, l que relcion elongción y celerción del móvil: donde, en nuero co, = = rd /. En conecuenci, podemo ecribir y, pr =, erá. / m / / 7 Siendo l frecuenci = 8 Hz, e muy encillo obener l pulción (o frecuenci ngulr, como mbién e l conoce: rd/ y hor debemo recordr l relción eiene enre velocidd y elongción del móvil en un M..S.: v de mner que, conociendo = y = rd/, e inmedio verigur l velocidd pr culquier elongción. Pr =, endremo: v,.,8 4, / Y, en lo que repec l celerción, brá recordr l ecución fundmenl de un M..S.:

5 donde ólo hy que uiuir el vlor de l elongción, :., 55,95 / 5, m / 8 Qué mpliud y qué período debe ener un M..S. pr que l velocidd máim e de / y l celerción máim de m/? Eprer l elongción de ee movimieno en función del iempo. Si l velocidd máim e de /, enonce bemo que y i l celerción máim e de m/, enonce e que /, m/ ( m / ( í que brí dividir l iguldde ( y ( pr ener fácilmene y. Primero : y hor, meiendo en ( o en (: /, 4 rd/ / 4 rd/,75 Enonce podemo ecribir l ecución de elongcione, que erí del ipo ( = en ( +, implemene uiuyendo lo vlore obenido. Quedrá: (,75 en(4 Debe obervre que l fe inicil qued indeermind, pueo que no podemo clculrl con lo do diponible. Eo no ignific, in embrgo, que no omemo en cuen u eienci. 9 L elongción e nul en un M...S. cd vez que el móvil p por el cenro de equilibrio, e decir, =. Como bemo, en l momeno l velocidd debe ener u máimo vlor, ±. En conecuenci, bemo que el vlor m/ que indic el enuncido e el vlor máimo de l velocidd, omdo con igno poiivo, e decir, cundo el móvil e deplz en el enido poiivo del eje. Podemo ecribir, conecuenemene = m/ Por oro ldo, cundo l velocidd e nul el móvil endrá que er en un eremo de u ocilción, e decir, l elongción erá igul l mpliud en ee inne: = 5 =,5 m De l do iguldde e depej inmedimene, dividiéndol miembro miembro: y el período e hor inmedio, recordndo : m,5 m rd/,4

6 Ecribiendo l elongción de un M..S. en érmino de ( en( l como hemo hecho nooro, decir que l iempo = el móvil e hll en el origen y moviéndoe en enido poiivo ignific que l fe inicil e nul (o vle un número enero de vece, lo que viene er lo mimo. Por lo no, l ecución de elongcione quedrí ( en y, como bemo que = 8 mm y = 5 Hz (de modo que = = rd/, l ecucione de elongción, velocidd y celerción quedrán ( v( (,8 en d( d dv( d 8 8 co en / / con lo que el problem erí reuelo. provechremo, in embrgo, pr morr de nuevo que l ecucione de elongción pueden ecribire indiinmene emplendo eno o coeno en u formulción: en efeco, i ecribiéemo l elongción del M..S. como ( co( enonce l condicione inicile de elongción nul y velocidd poiiv l iempo = requieren que ome el vlor / rd (lo cul no e ino un modo de decir que l función eno eá rerd / rd repeco l función coeno. L repue lerniv l problem erí, enonce: ( v( (,8 co( d( d dv( d 8 8 en( co( / / donde, como e fácil de comprobr, lo vlore que e obienen pr culquier vlor de iempo, en priculr pr el inne inicil =, on eene lo mimo que en l ecucione ecri má rrib. Como e be, l fuerz que debe er plicd obre un cuerpo cundo ee derroll un M..S. e del ipo eláico F K ( donde e l dinci del cuerpo l cenro de l ocilcione y K l conne eláic correpondiene, relciond con l m m del cuerpo y l pulción del movimieno egún En nuero co, y que l frecuenci e conocid, e inmedio obener : K m 5 rd/ y, coniguienemene, K m,5.(5,7 N / m Y que bemo mbién el vlor de l máim elongción (mpliud = mm, podemo implemene uiuir en (, dndo el máimo vlor poible y obeniendo el máimo vlor de l fuerz obre el cuerpo. Precindimo, en odo co, del igno de l fuerz y repondemo con u máimo vlor boluo:

7 F má,7 N /m.. m,47 N En ee co conocemo direene l conne eláic de recuperción del reore K = N/m y l m del cuerpo, m =,8 kg, de form que reulrá encillo obener, recordndo que K = m : K m,8 5 rd/ con lo cul, y conociendo l elongción =, e inmedio ecribir l ecución pedid: ( = en (5 + donde l conne de fe inicil,, erí indeermind por fl de do cerc de l condicione inicile de l ocilción. Hy que empezr por eplicr cómo upendemo el cuerpo del reore: lo coloo en el eremo libre y, ujeándolo con l mno, lo dejmo bjr uvemene e impidiendo que gne velocidd, h que e lcnz l iución de equilibrio en l que el peo del cuerpo y l fuerz con que el reore ir de él hci rrib eán iguld. L figur muer cómo el reore eá lrgdo y cuál debe er el equilibrio de fuerz l ecribir e iguldd ommo el vlor boluo de mb fuerz pr eigir que midn lo mimo. Cundo el iem e bndon en e poición, qued en equilibrio y el cuerpo en repoo h que e deforme el reore 5 má, como pide el enuncido. Enonce e eblece el M..S. con mpliud de 5 y con el cenro de ocilcione en el lugr en que e lcnzó el equilibrio enre peo y fuerz de recuperción del reore (no en el que correponde l longiud nurl del muelle. El equilibrio de fuerz ne de inroducir l deformción