MATEMÁTICA FINANCIERA

Transcripción

1 C O L E C C I Ó N A P U N T E S U N I V E R S I T A R I O S MATEMÁTICA FINANCIERA GRADO ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS 6 Créditos GRADO FINANZAS Y CONTABILIDAD 6 Créditos DOBLE GRADO ADE- DERECHO 6 Créditos

2 Matemática Fiaciera Pillatoer SL Todos los derechos reservados. Ni la totalidad i parte de este libro puede reproducirse o trasmitirse por igú procedimieto electróico o mecáico, icluyedo fotocopia, grabació magética, o cualquier almaceamieto de iformació y sistema de recuperació si permiso escrito de la editorial. Edita e imprime: PILLATONER SL C/ Ramó Llull, 45 bajo Valecia Teléfoo: pillatoer@yahoo.es Fecha seguda edició: Noviembre

3 Matemática Fiaciera Pillatoer SL Prólogo Pillatoer SL, es ua empresa dedicada a la edició y veta de aputes para uiversitarios. Somos ua empresa jove que tiee por objetivo lograr dotar al estudiate uiversitario de u material de apoyo adicioal a los ya existetes (mauales, asistecia a clase, material de reprografía, etc.) Es por ello que recopilamos los aputes de aquellos alumos que asiste regularmete a clase, que completa sus aputes co mauales, así como co coocimietos previos. Ofrecemos al estudiate, u resume de lo más imprescidible de cada asigatura, co el fi de que sirva de material adicioal (adicioal porque si coocimietos previos, difícilmete valdrá de algo esta compilació de aputes), a los métodos ya existetes. Esperemos que co esta colecció, la vida uiversitaria se haga al estudiate más corta y fructífera. Suerte y a estudiar, que es el úico método coocido (exceptuado las chuletas), de aprobar la carrera. 2

4 Matemática Fiaciera Pillatoer SL Temario Tema 1. Coceptos previos - Itroducció - Leyes fiacieras - Suma fiaciera - Operació fiaciera - Problemas Tema 2. La capitalizació compuesta - Factor fiaciero - Rédito - Tato o tipo de iterés - Problemas Tema 3. Operació fiaciera - Defiició y clasificació - Plateamieto geeral - Reserva matemática. Cocepto y métodos de cálculo - Tato efectivo de ua operació pura - Tato efectivo de ua operació co características - Problemas Tema 4. Valoració fiaciera de cojutos de capitales - Valor fiaciero de u cojuto de capitales - Retas. Valor fiaciero de ua reta - Valoració de retas costates - Valoració de retas variables - Valoració de retas fraccioadas 3

5 Matemática Fiaciera Pillatoer SL Tema 5. Operació de amortizació. Prestamos - Plateamieto geeral de la operació de amortizació co iterés postpagables - Préstamo americao - Préstamos fracés - Prestamos co cuotas de amortizació costates - Préstamos idexados - Problemas Tema 6. Empréstitos de obligacioes - Cocepto y clases - Estudio fiaciero - Coste y redimieto de la emisió - Valor de ua obligació e el mercado - Problemas 4

6 Matemática Fiaciera Pillatoer SL TEMA 1. CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certeza. El itercambio fiaciero supoe que u agete libra a otro u capital (o capitales) quedado obligado el que recibe a devolver, e el térmio acordado, el capital prestado más ua catidad (llamada iterés) que represetara el precio por haberlo dispuesto durate ese plazo. El iterés puede defiirse como la catidad, expresada e uidades moetarias, que será ecesaria pagar por dispoer de capitales ajeos durate u determiado periodo de tiempo. El iterés depederá del importe del capital dispuesto y del itervalo de tiempo durate el que se dispoe de dicho capital. El capital fiaciero es la medida de u bie ecoómico referida al mometo de su dispoibilidad, vecimieto o libramieto. Es ua magitud bidimesioal (C, t) dode C represeta la catidad de dicho capital que esta expresada e uidades moetarias (euros, dólares, etc.) y t el mometo de tiempo e que es dispoible, co C R +, t R. 2. LEYES FINANCIERAS Dado u capital (C, t), la ley fiaciera es la expresió matemática que permite obteer, e u mometo t, la catidad equivalete (C+I) del capital al que se reucia. Ley de Capitalizació simple Co este criterio, el iterés I que se pagara por dispoer de u capital de catidad C e u periodo de tiempo dado, se determia de maera proporcioal al capital dispuesto y a la amplitud del periodo. Esto es: I = C i = C i (t t) 5

7 Matemática Fiaciera Pillatoer SL Siedo I el tipo de iterés o precio a pagar al fial del periodo por uidad de capital e i el tipo de iterés expresado e la misma uidad de medida que el tiempo. De esta forma, la catidad que se recibirá al fial del periodo, C, tedrá la siguiete expresió: C = C + i = C + C i = C (1 + i ) A partir de esta expresió, la ley de capitalizació simple será: L (t; t)= (1+i), de forma que C = C (1+i ) = C L (t; t) E la práctica, el parámetro i suele expresarse e térmios auales, por tato el tiempo, se expresara e años o fracció de año. Esto es: dode: K ( t; t ) = (1 + i ) = 1+ i, amb = m L m = fraccioamieto, es decir, el úmero atural que represeta los subperiodos de igual amplitud e que se divide el año (m=12 meses, m=4 trimestres, m=365 días ) K = úmero de subperiodos compredidos etre t i t. K m Ejemplo2 C = 5000 i = 0' Por 180 días C = '04 = 5098' Por 3 meses C = '04 = Los itereses o geera itereses.más alta meos de u año Ley de Capitalizació compuesta Si se aplica la expresió aterior, la catidad que se obtedría por pospoer la disposició del capital periodos sería: C = C L (t; t) = C (1+i ) 6

8 Matemática Fiaciera Pillatoer SL No obstate, podría platearse ua alterativa a esta situació, dividiedo la duració total del periodo e subperiodos y plateado la misma operativa para cada uo de ellos, pero reivirtiedo los capitales obteidos al fial de cada periodo para u periodo más. Así: 1er período (amplitud 1) C1 = C (1+i 1) 2 período (amplitud 1) C2 = C1 (1+i1) =C(1+i1)(1+i1)=C (1+i) 2 período (amplitud 1) C = C-1(1+i1)=C(1+i1)(1+i1).(1+i1)=C(1+i) siedo i el tipo de iterés, expresado e la misma uidad que el tiempo. A la ley resultate se le deomia capitalizació compuesta y su expresió es: L (t; t)=(1+i) i, por tato, C = C (1+i) = C L (t; t) E la práctica, el parámetro i suele expresarse e térmios auales por lo que el tiempo,, se expresara e años o fracció de año: L( t; t dode: k / m ) = (1 + i) = (1 + i), amb - m = fraccioamieto = - k = úmero de subperíodos compredidos etre t i t k m Ejemplo3 C = 5000 Por 180 días C = C L Por 3 meses C = i = 0'04 K / m ( t; t) = C( 1+ i) = C( 1+ i) = 5000( 1+ 0'04) 3 / 12 ( + 0'04) = 5049' / 365 = 5097'65 Por otra parte, los itereses se obtedría de la expresió: I = C C = C k / m ( 1+ i) 1 i si k/m = 1 I = C i Ejemplo4 C = 5000 i = 0'04 = 3 años I = C C = C( 1+ i) C = C ( 1+ i) C = 5000 = 3 meses i = 0'01trimestral 1 I = C[ ( 1+ i) 1] = [( 1'01) 1] = 50 3 [ 1] = 5000[ ( 1'04 ) 1] = 624'32 7

9 Matemática Fiaciera Pillatoer SL Como puede observarse, la idea fudametal de la capitalizació compuesta es que los itereses geera a su vez itereses. La utilizació de este criterios supodría el mismo resultado que la aplicació de la ley de capitalizació simple de forma sucesiva, reivirtiedo cada vez los capitales geerados e el periodo aterior. Comparació de la ley de capitalizació simple co la compuesta N(AÑOS) LCS INTERESES ACUMULADOS INTERESES POR PERIODO LCC INTEREES ACUMULADOS INTERESES POR PERIODO ¼ ½ Ley de descueto simple E ocasioes, la operació fiaciera se cocibe como el aboo e el mometo actual de ua catidad coocida que se debería etregar e u mometo futuro. El precio o recompesa se llama descueto (e vez de iterés) y la ley fiaciera más usada es la ley de descueto simple comercial. D = C d Siedo d el tipo de descueto o precio a pagar al iicio del periodo por uidad de capital y uidad de tiempo, expresado e la misma uidad que vega medido el tiempo. 8

10 Matemática Fiaciera Pillatoer SL Por lo tato, la catidad Co que se recibiría al iicio del periodo, se obtedría de la expresió siguiete: Co = C D = C C d = C [1 d ] La expresió de la ley de descueto simple comercial es: A (to; t) = 1-d co = t- to I, por lo tato: Co = C A (to; t) E la práctica el parámetro d se suele expresar e térmios auales por lo que el tiempo,, se expresara e años o fracció de años. Esto es: k ( t ; t) = 1 d, amb = m A o k m Dóde: - m = fraccioamieto. - k = Número de subperiodos compredidos etre to i t. Ejemplo C o C 7 [ 1 d] C = 6000 o = C = C C = 6000 d = 0'06 90 = ' ' = d = 0'06 = 6 meses 6 12 [ 1 d] = '06 = 5820 = 90 días 3. SUMA FINANCIERA El capital suma fiaciera se defie como el capital fiaciero (S,r), dode la catidad S es la suma aritmética de las catidades equivaletes e r a las catidades de los capitales sumados. Dados los capitales fiacieros (C1, t1) I (C2, t2) I supoiedo que r > t2> t1, el capital fiaciero se determia: Sr = C1 L (t1; r) + C2 L (t2; r) E el caso de que exista m capitales sumados (C1, t1), (C2 t2),..., (Cm, tm) y supoiedo que r >tm>...> t2> t1 el capital fiaciero será: Sr = C1 L (t1; r) + C2 L (t2; r)+.+ Cm L(tm; r) Todo e el caso de ua ley de capitalizació. 9

11 Matemática Fiaciera Pillatoer SL La defiició del capital suma fiaciera permite exteder el cocepto de equivalecia fiaciera etre capitales a equivalecia fiaciera etre cojutos de capitales y así se dice que dos cojutos de capitales so equivaletes, e base a ua ley fiaciera, cuado e u mismo mometo tiee el mismo capital suma fiaciera. Ejemplo 9 t t {(, t + 1)( 2000, t + 3) } ( S, t + 4) L( t;t ) = ( 1+ 0' ) A = Cómo se puede sumar capitales si e el caso de ua ley de capitalizació el vecimieto del capital suma o cumple que r >tm>...> t2> t1? Hay dos maeras de resolverlo: - Utilizado el factor fiaciero. - Se platea la ecuació e el mometo dode veza el último capital y a cotiuació se despeja de la catidad del capital suma. 4. OPERACIÓN FINANCIERA A partir de los coceptos ateriores, se defie operació fiaciera como el itercambio o simultaeo de capitales fiacieros pactado, etre dos agetes ecoómicos, de forma que se verifica la equivalecia e base a ua ley fiaciera, etre los capitales etregados por ua parte y la otra. El cojuto de los capitales que etrega el prestamista se llama prestació. El cojuto de los capitales que etrega el prestatario se llama cotraprestació. 10

12 Matemática Fiaciera Pillatoer SL La persoa que recibe el primer capital se llama prestatario. La persoa que libra el primer capital se llama prestamista. PROBLEMAS PROBLEMA 1 a) 18 meses iterés aual 3 % C = '03 C = C[ 1+ i ] = = '03 I = C i = = b) 30 días iterés aual 5 % C = '05 0'05 I = = 36'99 I = = 37' c) 1 año iterés aual 2 5 % C = 9000 I = '025 1 = 225 PROBLEMA 2 a) 3 años iterés aual 4 5 % C = 6000 C3 = 6000 ( ) = 6810 b) 90 días iterés aual 4 5 % C = '045 C 90 = = 6066' PROBLEMA 3 a) C = 9000 i = meses C18 = C(1+i) = 9000 (1+0 03) 18/12 = I = C18 C = b) C = 9000 I = días C30 = 9000 (1+0 05) 30/365 = I = C30-C = c) C = 9000 I = año C1 = 9000 ( ) = 9225 I = C1 C =

13 Matemática Fiaciera Pillatoer SL PROBLEMA 4 a) I 5 % aual C = = '05 1 = 500LCS I = (1+ 0'05) = 500 LCC b) I = '05 2 = 1000LCS I = (1+ 0'05) c) I = '05 3 = 1500LCS I = (1+ 0'05) d) I = '05 4 = 2000LCS I = (1+ 0'05) = 1025 LCC = 1576'25 LCC = 2155'06 LCC E capitalizació compuesta los itereses que se geera e cada periodo se acumula al capital para geerar uevos itereses. E capitalizació simple los itereses se paga sobre el capital iicial. PROBLEMA 5 Co = C A (to, t) = C [1-d] D = C Co D = C d C = % aual 3 meses 0'03 D = = 22' '50 = 2977'50 12 PROBLEMA 6 a) C = días 5 % aual C o 0'05 = = 5926' '03 = 73' b) C = meses 0 3 % mesual C o [ 1 0'003 8] = = 6000 = 12

14 Matemática Fiaciera Pillatoer SL c) C = año 3 5 % aual C o [ 1 0'035] = = = PROBLEMA 7 a) C = 3000 i = 4 % aual 76 meses 0'04 Simple C = = / 12 Compuesta C = 3000(1 + 0'04) = 3845' 91 b) C = 5000 i = 0 04 % aual 49 meses 0'04 Simple C = = 5816' / 12 Compuesta C = 5000(1 + 0'04) = 5868' 44 c) C = 1000 i = 0 04 % aual 2 años Simple C = 1000 [ 1+ 0'04 2] = 1080 Compuesta C = 1000(1 + 0'04) 2 = 1081' 60 PROBLEMA 8 S = C1 L (t1,z)+c2l(t2,z)+...+cm L(tm, Z) a) L (t, t) = ( ) t -t S = 7000 L (1 5) L (2 5) L (3 5) = = 7000 ( ) s ( ) s ( ) s-3 = b) L (t, t) = (t-t) S = 7000[ (s-1)]+5000 [ (s-2)] [ (s-3)]= La equivalecia fiaciera de capitales es idepediete de la ley fiaciera utilizada? FALSO si que depede. PROBLEMA 9 L( t, t = 9894'68 S S B A ) = (1 + 0'045) = 900(1 + 0'045) = S B t t s 1 S A = 1000(1 + 0'045) (1 + 0'045) s 3 s 0 + x = 2711'30 x 9894'68 = 2711'30x x = 7183' (1 + 0'045) s (1 + 0'045) s 4 = 13