El teorema de los números primos

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1 Misceláea Matemática 38 (2003) 5 3 SMM El teorema de los úmeros rimos Jaime Ramos Gayta Istituto de Matemáticas, UNAM-Morelia Aartado Postal 6-3 (Xagari) 58089, Morelia Michoacá MÉXICO jramos@matmor.uam.m I mathematics, simle ideas usually come last J. Hadamard.. Itroducció. El objetivo de este trabajo es robar el teorema de los úmeros rimos: π() lím / log =, ( ) e dode π() es el úmero de rimos meores o iguales que. Más recisamete, se aalizará la rueba de D.J. Newma [2] co más detalle que e el artículo origial. Para esto, osotros seguimos la eosició de D. Zagier [4], que resulta ya bastate simle, ero u oco resumida. 2. Atecedetes históricos. El teorema de los úmeros rimos fue euciado or rimera vez or Gauss y Legedre a fiales del siglo XVIII. El rimero e itetar co algú éito la demostració de ( ) fue P.L. Chebyshev. A mediados del siglo XIX, G.F.B. Riema itrodujo la teoría de fucioes de variable comleja e el estudio de los úmeros rimos. Riema hizo ua serie de afirmacioes sobre el roblema de la demostració de ( ) que ivestigadores osteriores se ecargaría de demostrar. E articular, 5

2 6 Jaime Ramos Gayta e 896, J. Hadamard y C.J. de la Valleé-Poussi udiero robar el teorema de los úmeros rimos ( ). Para más iformació histórica, ver [] y [5]. 3. Fucioes eseciales. E esta secció se defie y se estudia las fucioes eseciales que os ayudará a robar el teorema de los úmeros rimos. Defiició. Para el úmero comlejo s = σ + it tal que σ > se defie la fució zeta de Riema mediate ζ(s) = s. Proosició 2. La fució ζ(s) coverge absoluta y uiformemete e subcojutos comactos del semilao σ >. Por lo tato, ζ(s) rereseta ua fució aalítica e σ >. Demostració. Por el teorema de covergecia aalítica (ver [3, ág. 95]) es suficiete robar que la sucesió de fucioes aalíticas f k (s) = k = = s, k N, coverge uiformemete e subcojutos comactos de σ >. Nosotros demostraremos todavía más, a saber, que la covergecia uiforme se da e semilaos σ σ 0 e dode σ 0 >. Para s = σ + it se tiee s = σ+it = e σlog e itlog = σ. Puesto que σ σ 0 etoces / s / σ 0. Por lo tato s = σ 0 = + σ 0 d = σ 0 σ 0. Esto rueba la covergecia uiforme e el semilao σ σ 0 de la serie que defie ζ(s). Defiició 3. Para s = σ + it tal que σ > se defie la fució Φ(s) mediate Φ(s) =, s e dode la suma es sobre todos los úmeros rimos.

3 El Teorema de los Números Primos 7 Lema 4. La serie = log σ coverge si σ >. Demostració. Suogamos que σ >. Sea ε y δ úmeros ositivos tales que σ = + ε + δ. Puesto que etoces eiste M tal que Por lo tato log δ 0 cuado, 0 log δ M ara toda N. = log σ = = log +ε+δ = = log δ +ε = M +ε < Proosició 5. La fució Φ(s) coverge absoluta y uiformemete e subcojutos comactos del semilao σ >. Por lo tato, Φ(s) rereseta ua fució aalítica e σ >. Demostració. Sea σ σ 0, e dode σ 0 >. Puesto que cada úmero rimo es u úmero atural, etoces s = log σ 0. Por el Lema 4 la serie de la derecha es covergete. Por lo tato, la serie que defie a Φ(s) coverge uiformemete e el semilao σ σ 0 ara cada σ 0 >. Por el teorema de covergecia aalítica Φ(s) es ua fució aalítica e σ >. Proosició 6. Para σ > se cumle que ζ(s) = s. Esta roosició es llamada usualmete el roducto de Euler ara la fució zeta de Riema, e dode se rereseta a dicha fució or medio de u roducto ifiito etedido sobre todos los úmeros rimos.

4 8 Jaime Ramos Gayta Demostració. Sea k el k-ésimo úmero rimo. Ahora cosideremos el roducto arcial N Q N = s. k k= Probaremos que Q N ζ(s) cuado N ara cada s tal que σ >. Teemos etoces que / s = / σ < ara todo y σ >. Por lo tato Q N = N k= ( + s k + 2s k + ) + 3s k co lo que Q N queda eresado como u roducto fiito de series absolutamete covergetes. Esto es, hemos logrado escribir cada uo de los factores como ua serie geométrica. Ahora, si multilicamos todas estas series y reordeamos los térmios de acuerdo co el crecimieto de los deomiadores, etoces obteemos otra serie absolutamete covergete, cuyo térmio geeral es de la forma ( a a 2 2 a 3 3 a N N Por cosiguiete teemos ) s = s y cada a j N { 0 }. Q N = s e dode está etedida a aquellos cuyos factores rimos so todos meores o iguales que N. E otras alabras, es la suma de los / s, e dode tiee descomosició e factores rimos meores o iguales que N. Por el teorema fudametal de la aritmética se deduce que cada ua de estas s aarece e ua y sólo ua vez. Restado Q N de ζ(s) obteemos ζ(s) Q N = = s s = s e dode está etedida a aquellos que osee or lo meos u divisor rimo mayor que N. E otras alabras es la suma de todos los / s e dode tiee e su descomosició de factores rimos almeos u factor mayor que N. Puesto que estos se halla etre los eteros mayores que N etoces teemos ζ(s) Q N = s σ. > N > N

5 El Teorema de los Números Primos 9 Cuado N la última suma tiede a 0. Por lo tato Q N ζ(s) cuado N. Proosició 7. La fució ζ(s) s admite ua etesió aalítica al semilao σ > 0. Demostració. Otra vez la idea es usar el teorema de covergecia aalítica. Como ates, es suficiete si robamos covergecia uiforme e subcojutos comactos del semilao σ > 0. Sea K u subcojuto comacto coteido e σ > 0. Sea σ 0 = mí { σ : σ + it K }. Sea M = má { s : s K }. Si σ > etoces Por lo tato d s = s. ζ(s) s = = = = s s + d = s d = = + s = + d = s = d s + ( s s ) d Esta última serie coverge absolutamete e σ σ 0. E efecto, + ( ) d = s s s s + + du u s+d du d = s u s+ + du u σ+d. Puesto que /u σ+ / σ 0+ ara cada u + etoces + ( ) d s s s σ du d = s σ 0+.

6 20 Jaime Ramos Gayta De esta maera, si s K etoces s M y or lo tato teemos = + ( ) d s s = M σ 0+ < y or lo tato la covergecia es uiforme e K. Defiició 8. Para R se defie la fució ϑ() mediate ϑ() =, e dode la suma es sobre todos los rimos meores o iguales que. Para euciar el siguiete resultado, recordemos que si f() y g() so fucioes defiidas e R y g() > 0 ara cada R etoces la otació f() = O ( g() ) sigifica que eiste dos costates A > 0 y 0 tales que f() Ag() siemre que 0. Proosició 9. La fució ϑ() satisface ϑ() = O(). Demostració. Probaremos que eiste A > 0 tal que ϑ() A ara. Por la easió biomial teemos que 2 2 = ( + ) 2 = ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 < 2. Esto último es cierto ya que ( ) 2 = (2)! ( + )( + 2) (2) = (!) 2! < 2 uesto que si < 2 etoces aarece e la descomosició del etero ( + ) (2)/! or lo meos ua vez. Así 2 2 < 2 = e {log < 2 } = e{ϑ(2) ϑ()}. { = e < 2 }

7 El Teorema de los Números Primos 2 Por otra arte, si a < b y f es ua fució creciete etoces se cumle que f(a) < f(b). E articular la fució logaritmo es ua fució creciete. De la desigualdad e { ϑ(2) ϑ() } 2 2 teemos que ϑ(2) ϑ() 2 log 2. Por lo tato, ara todo se cumle que ϑ(2) ϑ() M e dode M = 2(log 2 + ). De esta maera se obtiee ϑ() ϑ( 2 ) M 2, ϑ( 2 ) ϑ( 4 ) M 4, ϑ( 4 ) ϑ( 8 ) M 8, etc. Sumado verticalmete os queda ϑ() M j= 2 j = M. Proosició 0. Si σ etoces ζ(s) 0 y además es aalítica e el semilao σ. Φ(s) s Demostració. Probemos rimero que si σ > etoces ζ(s) 0. Por la Proosició 6 teemos que = ( + ) ζ(s) s σ ( + + ) σ + = ζ(σ) <. 2σ Por lo tato ζ(s) 0 ara σ >. Tomado logaritmo a ζ(s), teemos log ζ(s) = log ( ) = log ( ). s s

8 22 Jaime Ramos Gayta Derivado térmio a térmio obteemos ζ (s) ζ(s) = d ( ds log ) = s s. Por otra arte s = = = = s s ( s ) s + s ( s ) ( s ) + s ( s ) [ + ] s s ( s ) de dode ζ (s) ζ(s) = s = Φ(s) + s ( s ). Afirmamos ahora que s ( s ) coverge absolutamete ara σ > / 2. Para robar uestra afirmació veamos rimero alguas acotacioes. Tomado s teemos que y tomado iversos De esta maera = s ( s ) s s = σ > σ 0 s < 0 σ. s s 0 2σ. Esta última serie coverge or el Lema 4 y uesto que 2σ >. Por el teorema de covergecia aalítica, la serie F(s) := s ( s )

9 El Teorema de los Números Primos 23 rereseta ua fució aalítica e el semilao σ > 2. Teemos etoces que Φ(s) = ζ (s) ζ(s) s ( s ) = (s) ζ ζ(s) F(s). Eamiemos ahora la aaliticidad de Φ(s). Por la Proosició 7, teemos que h(s) := ζ(s) es aalítica e σ > 0. Desejado s ζ(s) ζ(s) = s + h(s) y reescribiedo a h(s) de la siguiete forma h(s) = (s )h(s) s = H(s) s co teemos ζ(s) = ( + H(s)). s Haciedo G(s) = + H(s) ζ(s) = G(s) s H(s) = (s )h(s), co lo que ζ(s) queda eresada como roducto de dos fucioes. Ahora tomamos la derivada logarítmica ara obteer Por lo tato teemos que ζ (s) ζ(s) = s G (s) G(s). Φ(s) = ζ (s) ζ(s) F(s) = s G (s) G(s) F(s). De esta maera Φ(s) se etiede meromórficamete a σ > /2. Esto es, Φ(s) es aalítica e σ > /2 eceto e s = y tambié e aquellos utos e dode ζ(s) se aula, ues estos utos so olos ara Φ(s). Recuerde que s = es recisamete e dode ζ(s) tiee su olo. Probemos or último que ζ( + i α) 0 ara todo α 0, α R. Por el riciio de refleió de Schwarz ζ( s) = ζ(s), ver [3, ág. 55].

10 24 Jaime Ramos Gayta Por lo tato, si ρ es u cero de ζ(s) etoces su cojugado ρ tambié es u cero. Suogamos que ζ(s) tiee u cero de orde µ e s = ± iα y u cero de orde ν e s = ± 2iα. Como ζ(s) s = h(s) es aalítica e σ > 0, etoces µ, ν so eteros o egativos. Por tato ε lím ε Φ( + ε) = lím ε 0 ε 0 + ε lím ε G ( + ε) ε 0 G( + ε) ε lím ε F( + ε) = lím ε 0 ε 0 ε = ues el segudo y tercer límites se aula ya que G() = y F(s) es aalítica e σ > /2. Además Por la Defiió 3, teemos que 2 r= 2 ya que ( ) 4 Φ( + ε + irα) = 2 + r = = = 2 = 4 lím ε Φ( + ε ± i α) = µ, ε 0 lím ε Φ( + ε ± 2i α) = ν. ε 0 +ε 2 r= 2 2 ( r ( r= 2 ( ε ( ) r +ε+irα ) irα iα + iα ) + ( 2iα + 2iα )) (3 + 4 cos(α ) + cos(2α )) +ε +ε ( + cos(α )) cos θ + cos 2θ = cosθ + 2 cos 2 θ = 2( + cosθ) 2 0. E resume 2 r= 2 ( ) 4 Φ( + ε + irα) r

11 El Teorema de los Números Primos 25 Multilicado or ε y tomado el límite cuado ε 0 se obtiee ν 4µ + 6 4µ ν = 2 r= 2 ( ) 4 lím ε Φ( + ε + irα) r ε 0 De dode 6 8µ + 2ν 8µ. Puesto que µ es u etero o egativo etoces µ = 0. Por lo tato ζ( + iα) El teorema de los úmeros rimos. E esta secció se usará las roiedades de la fució Φ(s), que se obtuviero e la secció aterior, ara fialmete demostrar el teorema de los úmeros rimos. Proosició. Se cumle que la itegral ϑ() d es cover- 2 gete. Para la rueba de la Proosició será ecesario el siguiete resultado, cuya demostració se dará al fial de este trabajo. Teorema 2 (Teorema Aalítico). Sea f : [, ) R ua fució itegrable e cada itervalo fiito [a,b] [, ) y tal que f() = O(). Sea s = σ + it. Para σ > sea g(s) = f() d. s+ Suogamos que e σ > la fució g(s) es aalítica. Si g(s) admite ua rologació aalítica al semilao cerrado σ etoces X lím X f() d = g(). 2 Demostració de la Proosició. Por la Defiició 3 y or la fórmu-

12 26 Jaime Ramos Gayta la de adició or artes, teemos que ara σ > Φ(s) = = = s E resume Por lo tato =2 s = =2 ( s ( ) s ) =2 s(ϑ() ϑ( )) ϑ() d = s s+ s Φ(s) = ϑ( ) = s s Φ(s) s = ϑ() d. s+ ϑ() d. s+ ϑ( ) =2 ϑ() d. s+ d s+ Puesto que la fució s Φ(s) s es aalítica e el semilao cerrado σ, etoces el teorema aalítico imlica que la siguiete itegral coverge ϑ() d],. 2 Proosició 3. La fució ϑ() satisface ϑ() lím =. Demostració. Suogamos lo cotrario, es decir que eiste u λ > tal que ϑ() / λ ara arbitrariamete grades. Puesto que ϑ() es o decreciete, etoces ϑ(t) ϑ() λ siemre que t λ. Por lo tato λ ϑ(t) t dt t 2 λ λ t dt. t 2

13 El Teorema de los Números Primos 27 Haciedo el cambio de variable t = u teemos λ ϑ(t) t dt t 2 λ λ u u 2 du > 0. Pero esto cotradice el criterio de Cauchy ara la covergecia de itegrales imroias. Por lo tato o eiste λ tal que ϑ() / λ ara arbitrariamete grade. De maera similar, si ϑ() λ, ara valores arbitrariamete grades de y λ < etoces λ ϑ(t) t dt t 2 λ λ t t 2 dt = λ λ t t 2 dt < 0 lo cual tambié cotradice el criterio de Cauchy. Ahora odemos usar la Proosició 3 ara demostrar el teorema de los úmeros rimos. Primero ótese que ϑ() = log = π() log. Por otra arte teemos que ara toda ε > 0 ϑ() Esto es ε ε ( ε) log = ( ε) log [ π() + O( ε ) ]. ϑ() log π() ϑ() ( ε) log + O( ε ). Multilicado or log y dividiedo etre obteemos ϑ() π() log ϑ() ( log ) ( ε) + O. ε Tomado límite iferior e la rimera desigualdad y límite suerior e la seguda desigualdad se obtiee que lím if π() log lím su π() log ε.

14 28 Jaime Ramos Gayta Haciedo ε 0 vemos que lím if π() log = lím su π() log. Por lo tato el siguiete límite eiste y es igual a, es decir, lím π() / log =. Esto termia la demostració del teorema de los úmeros rimos. 5. Demostració del teorema aalítico. Sea σ >. Por defiició, teemos que g(s) = f() d = s+ 0 { f(e ) e } e (s ) d. Por lo tato basta robar la siguiete versió del teorema aalítico. Teorema. Sea f :[0, ) R ua fució acotada e itegrable e cada itervalo fiito [a,b] [0, ). Sea z = + iy. Para > 0 sea g(z) = 0 f(t)e zt dt. Si g(z) se etiede aalíticamete al semilao cerrado 0 etoces T lím f(t) dt = g(0). T 0 Demostració. Para T > 0 la fució g T (z) = T 0 f(t)e zt dt es etera. Sea R u úmero real grade y sea Γ la frotera de la regió {z = +iy : z R, δ}, e dode δ > 0 es u úmero suficietemete equeño (que deede de R). Puesto que g(z) es aalítica e 0 etoces g(z) es aalítica e el segmeto de recta que ue Ri co Ri. Para cada uto z de este segmeto eiste ua vecidad V z e dode g(z) es aalítica. Por lo tato, teemos ua cubierta abierta del cojuto comacto {iy : R y R}. Etrayedo ua subcubierta fiita vemos que eiste δ > 0 tal que g(z) es aalítica detro y sobre el cotoro Γ.

15 El Teorema de los Números Primos y R δ Γ 0 Por el teorema itegral de Cauchy teemos g(0) g T (0) = ( ) (g(z) g T (z)) e zt + z2 dz 2πi Γ R 2 z. Sobre el semicírculo C + = Γ { > 0} el itegrado está acotado or 2B / R 2, e dode B = ma{ f(t) : t 0}, orque si z = + iy etoces g(z) g T (z) = = = B 0 T T = B e T T f(t)e zt dt f(t)e zt dt 0 f(t)e zt dt B e zt dt e t dt Por otro lado z = + iy = Re iθ co θ [0, 2π] T (recuerde que > 0). ( ) e zt + z2 ( ) = e T + z2 = e T R 2 z R 2 z z + z. R 2 Pero como cosθ = R etoces z + z R 2 R = z + z e R R = iθ + e iθ R = 2 cos θ R = 2 R. 2 De esta maera teemos ( ) e zt + z2 = 2 R 2 z R 2 et.

16 30 Jaime Ramos Gayta Por lo tato la cotribució a g(0) g T (0) que roviee de la itegral sobre C + está acotada e valor absoluto or B/R. E efecto ) (g(z) g T (z))e ( zt + z2 dz 2πi C + R 2 z Be T 2π = B R. et 2 R 2 πr Para la itegral sobre C = Γ {z = + iy : < 0} tomaremos a g(z) y g T (z) searadamete. Puesto que g T es etera, etoces el cotoro de itegració C ara la itegral que ivolucra a g T uede ser reemlazado or el semicírculo C = {z = + iy : z = R, < 0}. Etoces teemos que aalizar las dos itegrales siguietes; ) I (T,R) = g T (z)e ( zt + z2 dz 2πi C R 2 z, I 2 (T,R) = ) g(z)e ( zt + z2 dz 2πi C R 2 z. Para aalizar I, ótese rimero que g T (z) = T B 0 T f(t)e zt dt B = B e T Puesto que ara z C se cumle que e dode < 0, etoces T 0 e zt dt e t dt (recuerde que < 0). ( ) e zt + z2 = 2 R 2 z R 2 et, I (T,R) B 2π e T 2 R 2 et πr = B R. Fialmete la itegral restate sobre C tiede a cero cuado T ), ues el itegrado es el roducto de la fució g(z) ( + z2 R 2 z, que es ideediete de T, mietras que la fució e zt tiede a cero

17 El Teorema de los Números Primos 3 ráidamete y uiformemete e cojutos comactos del semilao < 0. Por lo tato lím T I 2(T,R) = 0. Se cocluye etoces que lím su g(0) g T (0) 2 B T R. Como R es arbitrario, esto rueba el teorema. Referecias [] P. T. Batema. y H. G. Diamod, A hudred years of rime umbers, Amer. Math. Mothly 03 (9), (996), [2] D.J. Newma, Simle aalytic roof of the rime umber theorem, Amer. Math. Mothly 87 (9), (980), [3] E. C. Titchmarsh, The theory of fuctios, Secod editio. Oford Uiv. Press, Lodo, 99. [4] D. Zagier, Newma s short roof of the rime umber theorem, Amer. Math. Mothly 04 (8), (997), [5] F. Zaldívar, La fució zeta de Riema, Misceláea Matemática 36 (2002),